CC BY
28
УДК 512.552.4
АЛ. Олексенко
Базис го?кдеств алгебры матриц второго порядна над С1Я[р2,п)
ІЗ [I] поставлена проблема нахождения базиса тождеств полной матричной алгебры над кольцом Галуа. Она решена в случае матриц порядка, не превосходящего 4, над конечным полем в работах [2, с. 28 32; 3, с. 365-388; 4, с. 313 323, 351 366]. В работе [5, с. 186-193] найден базис обобщенных тождеств кольиа Галуа. Настоящая статья посвящена исследованию многообразия, порожденного алгеброй М2(ОМ(р2,п)), где р -простое число.
Пусть д = рп,
г) = [(1-[ж,*],_1)(а; - жч')(г -
(1 -М4~Х)(1/
М - <>«г(Ф, = 01г = Г 7), А =
иагМ?(СЯ[р2, п)).
Цель данной работы доказательство следующего результата.
Теорема. М = А.
Доказательство теоремы основано на нижеследующих леммах.
Лемма 1. Алгебра А = М2(С Г(д)) удовлетворяет тождествам /,■ =0 (і = 1, 5).
Доказательство следует из работ [2, с. 28-32; 9]. Д
/1(х,у) = (х-х'1) {у — у'1 )(1-
Ы*,У) = С - [у, ^],-1)(у - г/Х*-ж9*),
/з(х,у) = (•>’ - хч)(у - Уя~)(1 - [*,у]9-]),
/4(х,у) = (1 - [.V. х]ч~1){у - Vя ){х -х4)-,
/ъ{х,у) - [(•г--л.л)7"_1,у],
Фх(х,у,г,г) = Л(х,у) ■ Д(г,*),
$ф,г/) - рМ*,у),
Ф3(ж) — р2х,
Ф4(лг, у, г,/) = /з [г, у) ■
Фа(*,#) = [(*-^)(,а"1)р,у],
Фб(ж, у) = [[х-2. у], [х, у]],
)(*-г»а)(1-[г,х]«“1)](1
Лемма 2. Алгебра 11= М2(ОЯ(р2,п)) удовлетворяет тождествам Ф, =0 (г = 1,6/
Доказательство. Так как Я/7(Д) й Л, то Ф, = 0 - тождество в Я при ( = 1,5. Тождество Фе = 0 - следствие из теоремы Гамильтона-Кэли. Д
Лемма 3. Алгебра И удовлетворяет тождеству Ф?(х, у, г) — 0.
Доказательство. Пусть а - образ элемента
а. £ Я при гомоморфизме Я —> А, Для любых элементов а, Ь,с £ Я
Ф7(а,М)= [Ыс,а)(Ь-6«3)(1 - [с,*]9-1) - (1 - М^Кі-^/Ис.а)] (I - [а,б]""1) = [(1-[а,с]9-1)(а-^3)/1(с,6)-/2(с,6)(а-а?3)(1-[с1а]‘г-1)] (1 - [а,Ц«-1).
Если 6 или а имеют жордаиову форму вида
] , то Ь - ЬЧ3 € ./(Л) или а - о«3 € ./(/?) и л?;
и Ф7(а,6,с) = 0. Если Ь = Г1 (? € Я,
А € 6Т(?)), то а = Г1 / ({,/? £ а*'(ч)).
Возможны два случая.
Случай 1. р > 2.
1.1. с = Г1 (оМг («лй € ^(д)). Так
как I обратим, то I обратим. Поэтому 6 — Ь4' = + £>1, а — а7' = 1~1 @е 12<- + аь с — с7"’ = ^ ^1е12^"Гсь *Де а1: (>1 £ рЯ. Тогда
(6 — 69 )(с — с4 )(а — и4 ) = 1 е 12^С1 ^ =
(а — а',-: )(с — сп~)(Ь — Ь!,~) и Фт(а, 6, с) = 0.
1.2. с = № е
М2{СР{д2))\1'1,1'2 € СР{({1)). Тогда с.-с'1* = су е рЯ, Аналогично рассуждениям в пункте 1.1, (6 - Ьч*)(с - сЧ2){а - а?3) = Г'е^суГ1 $сп1 = (а-а^){с- с^)(Ь-Ь^) и Ф7(а,Ь,с) = 0. Случай 2. р = 2.
Доказательство аналогично случаю 1. Вычисления несколько усложняются, если с имеет различные характеристические корни. Д Предложение 1. М Э А.
Доказательство следует из лемм 1-й. Д Многообразие М имеет конечный индекс и экспоненту. По теореме Львова [7, с. 269-297] М поро?кдается конечным числом конечных критических колец. Покажем, что каждое из этих колец лежит в многообразии .4.
Предложение 2. Пусть N = иаг(хуг1 = 0). Тогда М П N — .4 Л АЛ
Доказательство. В силу предложения 1 М П А/- Э А Л АЛ Пусть Е(х,у.г) - свободное
трехпорожденное кольцо многообразия М Л АЛ Для доказательства включения М Л А/’ С А Л Аг достаточно показать, что F(x,y,z) £ А.
Пусть и -, / =
01 р о
, Ь =
0 1 рр
с =
И
U 1
0 р
1 1 -1-р -1
d =
1 1
—1 -1) ' J ~ \р— 1 р - элементы из Я. Положим, С = 0^1, Я*, где Я,■ = Я. Тогда С £ А■ Пусть
*1 — ( е\2 0, 0, С, 0,0, Ь, о, о, о, с, ь, с 1 •>, 0, 21, ре 21 0, £12, а. с, 0, с, а 0,
У\ = ( 0, 612, 0, 0, с, 0, о, ь, 0, ь, «, с, ре 21 С12, 0, ^12, ре 21, 0, с. 0, а, а, 0 с,
*! = ( 0, 0, С12, 0, 0, с, 0, о, ь, с, Ь. а, 0, Р* 2! C]2i 0, 612, Ре 21) 0. я. г, 0. с
d, f, g), d,f,g), d, f, g)
элементы кольца С, В подкольцо в С, порожденное элементами 34,2/1, г*. Тогда Я4 = 0 и В £ К Отображение х —>• Ху, у -4 ух, г —>■ иродолжается до изоморфизма Р(х, у, ~) -»• В.
Итак, М Л .\Г = А Л АЛ Поэтому любое конечное критическое радикальное кольцо из многообразия М лежит в многообразий А. Д
Предварим изучение конечных критических нерадикальных колец многообразия М несколькими техническими леммами.
Лемма 4 [9]. Конечное кольцо К, содержащее единицу, является критическим с коммутативным радикалом *1{К) тогда и только тогда, когда К изоморфно (антиизоморфно) одному из следующих колец:
К | - коммутативное критическое кольцо;
’ ; а, Ь £ Г,
Ч(;
<г(а)
а автоморфизм пол
я F |;
А'г,
, где F - компо-
А’з = Mt(F), где F - поле;
К4 = Л/( (АЧ);
Л/, (fi)
О М,( F2)
зит полей F] м F^- При этом существует автоморфизм а поля F такой, что если а — (а,:,) € ЛЛ(Л), /? = (М G М5(Я,), и = (»у) £ Л/,*,! Л). то а ■ V = (nij)(fi,,), v ■ /? - vfi” = 1>(<г(6,;)).
Пусть - подмножества кольца
К. Обозначим через подгруппу в
А'+, порожденную всеми произведениями вида *V( I)...лтг(») • !Де ^ ■ произвольный элемент на
группы подстановок 3(1), - элемент подмно-
жества & (» — hi).
Лемма 5 [7, 269 297] (Критерий некри-тичности). Пусть С, D\,..., Dn - подкольца конечного кольца К такие, что.
1) К порождается множеством C\ID\\JJJD„;
2) для любого г < п К не порождается множеством С U D\ U ... U /Л_ 1 U Д+1 U ... U Пп;
3) Для любого к > 0 ({ П\...Рп, К, =
к
(0).
Тогда К не является критическим кольцом.
Лемма 6. Пусть К — ДА (А) £ М, где А = ОИ(р1,т). Тогда т делит 2и, I < 2, I < 2. Если I = 2, то т делит п. Кроме того, К £ Д.
Доказательство. Условия для т, / и / следуют из тождеств Ф[ = 0, Фз = 0. Регулярное представление показывает, что СЩр1,'2п) изоморфно подкольцу М^(СЩр1, п)). 1! остальных случаях искомое включение очевидно. Д
Лемма 7. Пусть К - конечное критическое кольцо из М.
1) Если К содержит подкольцо 3, изоморф-ное С'Я(р1, т), где I < 2. т не делит п, т делит 2п, и с - единица кольца 5, то
1.1) для любого элемента ] £ Л (К) существует элемент я 6 5 такой, что [(?,/] = р[в,з];
1.2) с.)(К)е - 0.
2) Если К содержит подкольцо 3. изоморфное М2{А). где А - кольцо Галуа, и с единица кольца в, то с - единица кольца К и .ЦК)' = 0.
Доказательство. 13 пункте I используются тождества Ф5 - 0 и Ф<| = 0, в пункте 2 тождества Фб = 0 и Ф.1 = 0. Д
Лемма 8. Пусть К - конечное критическое кольцо из М. К содержит подкольцо 5 ~ СН.(р1, т.) (I < 2,гп делит п) и е - единица кольца 5. Тогда
1) •’’] — 0 для любых 5 6 5, <1 £ сК( 1 — е) Л ДК), <2 £ (1 — е)А*е Л J{K):
2) [/],г]/2 = 0 для любых а £ 3, /1 £ еЗ{К)е., £ еА'(1 — I?) Л У(А’).
Доказательство следует из тождества Ф« = 0.
Д
Следствие. Если е,1(К)е порождается любым своим ненулевым элементом и равенство е,ЦК)е ■ (еА'(1 — е) Л ■У(А’)) = 0 влечет выполнение критерия некритичное™, то для любых
5 £ 5, / £ е .7 (7\) е [^5^] — 0.
Пусть, далее, К - конечное критическое нерадикальное кольцо из М, J - радикал кольца К. Если 5 - собственный фактор кольца К, то радикал 5 будет обозначаться .7(5).
Лемма 9. Кольцо К содержит такой ненулевой идемпотентп с, что пирсовское разложение К = еА'е + еА'(1 — е) + (1 — е)Ке + (1 — е)К (1 — с) удовлетворяет следующим условиям.'
1) еА'е - кольцо с единицей е;
2) е А'е = Q+N (сумма абелевых групп), где ,1((3) = рО, N С ,/(еА’е) = ^е., N (д,д) -бимодуль;
3) К/J 2 (Э/рЯ;
4) J = рС) + N + еК(1 — е) + (I — е)Ке+
(1 - е)А(1 - е);
5) Ц — 0*_, Л,, где Л, матричное кольцо над кольцом Галуа при г = 1,к;
6) г- = 53^-] е.-, где е,- единица кольца А,- при г = 1, к;
7) Любой левый (правый, двусторонний) уни-
тарный - модуль 5, лежащий в кольце К, представим в виде прямой суммы своих подмодулей: Я — 51^=1 е«1<’ (соответственно, 5 = 5е,-,
Доказательство следует из [8, с. 115; 376] и унитарности модуля 5. Л
Предложение 3. Пусть .У(А) = (0). Тогда К е А.
Предложение 4. Пусть (0) ф 3 ф К, .72 — (0), рК ф (0). Тогда К = М((Л), где Л кольцо Галуа, и К 6 А.
Доказательство. Из леммы 9 и иодпрямой неразложимости кольца А' следует, что А' =■ ЛА(Л) (Л - кольцо Галуа). В силу леммы 6 К £ А. Д
Замечание. Пусть М(т) = М2{0Н(р~. т))
0 М2(С'П.[р2, 7П.)) (ш делит п). 'Тогда М(т) е А и М(т) можно рассматривать как алгебру над СЛ(-р2,т). Это кольцо будет применяться при построении вложения кольца К и кольцо из многообразия А.
Если Т - кольцо, 3, 5’ь 5г - коммутативные кольца с единицей, то запись Т = £.ч(<ъ ..., </) [Г = Г = £5(<1,...,//), 7 =
££•(<1, ...,<!;)) означает, что 7' является 5 - алгеброй (соответственно. (5ь За) - бимодулем, левым 5 - модулем, правым 5 модулем), причем абелева группа кольца 71 является прямой суммой групп Т,(г = 1,/), где 1\ = 5Л- (соответственно, 51/(62. 5<,-, 1,5). Д
Предложение 5. Пусть 7С алгебра над
без единицы и (0) ф ] ф К, ,1- = (0). Тогда К изоморфно либо ант иизоморфно коль-
и А' € А.
лит п, то К <К-
■ о,Ье 6'А(</2)
6^(р"‘) ОГ(рт)
цу 1 о о
Доказательство. Из поднрямой неразложимости К, леммы 9 и леммы 7 следует, что либо А' = <5+еА'(1 — е), либо К = ^+(1 - е)А'е, где 2 (ЗА(рт) (пг делит п), ь - единица кольца <У, идеал еА'(1 — е) ((I — е)А'е) порождается одним элементом в. Тогда К - Сд(е)+С^(а), причем е2 = е,ев = », ее = в2 = 0 (или — .ч,еб =
0). Отсюда очевидным образом следует искомое включение. Д
Предложение 6. Пусть К - алгебра над с единицей, ,7 ф (0) и ./2 = (0). Тогда К 6 Л.
Доказательство. Применим для описания кольца К лемму 4.
Случаи X. К - коммутативное кольцо.
В силу леммы 9, коммутативности и подпря-мой неразложимости кольца А, К = 0[у]/(у2), где д = ОГ(р'п) (771 делит 2п). Если 7П делит и, то К < МпКгГ(р"х)). В противном случае /\ гомоморфный образ подкольца М(п).
Случай 2. К =; /\2.
В определении кольца К-2 поле У = СГ(р'п), где, В силу леммы 6, Ш делит 271. Если 777 делит п, то /\' < Л/2(Сг’А((/)) и /\^ 6 А. Если т не де-а Ь
0 а?'"
(1 < /с < 277) Кольцо К является гомоморфным образом подкольца Я.
Случай 3. К =М[(7\2).
Из тождества Ф1 = 0 следует, что I < 2. Можно считать, что 7 = 2. В опреде-
лении кольца А'2 поле А = С Г {р’п). Так как К/,1 = А/2(А), то, в силу леммы 7,
77* делит ?7. Из тождества Ф6 следует, что К2 - СР(рт){у}/(у-!), .1(К2) = С,Г(р'п)у, .1 = М2(ЦКз)) и К = М2{СгР((ргп))+.Т. Таким об разом, К — £ар(рт)(е,^,и^|»,^' = 1,2), причем е^еш = Sjke.il, ецИ11 = «пеп = КЦ, «11 е 1 а =
^12. ^21^11 — ^21, е-21Т71]е12 — '^221 «11 ~ 9. КОЛЬ-цо К является гомоморфным образом подалгебры М(т).
Случай 4. К 2 А'б .
Из тождеств Фа = 0, Фв = 0 следует, что
Суммируя результаты предложений 4-6, получаем, что любое критическое кольцо К, степень нильпотентности радикала которого равна
2, лежит в многообразии А.
В лемме 10 и предложениях 7- 12 исследуется кольцо К, степень нильпотентности радикала которого равна 3.
Лемма 10. Пусть К - кольцо с единицей с и .Я — (0), ./2 ф (0). Пусть, далее, К =
А'2 ф О, С? = 0*-1 Л,- « е; _ единица кольца .4,. 1'огда при / — 1, /.• А, = ОЩр1', ш,), где I, < 2, тп, делит п. При этом выполнено одно из следующих условий:
1) = .1 ], -V = г-1 /V с | ;
2) (? = 0 Ап, (Ы) = (е^е3 + е->А’с,),
АГ2 = еаАГ2*1;
3) <5 = Л, 0 Л2, Л’ = е]Лге! + суМе->, А'2 = <=чЛг?е2;
4) <5 = Л, 0 Л2. /V = С1.Уеа + е2А>2> Л'2 =
С] А'2е2.
Доказательство. Из представления Ж2 -И/ ; = 1 и подпрямой неразложимости
кольца А' следует, что /V2 = с, для некоторых {,) < к. Иниду представлений N — 53;,; = 1 е,-Лгеу И КрИТерИЯ НеКрИТНЧНОСТИ ИМРКУ1 место следующие 5 случаен:
1) ЛГ = е1ЛГв1, д = л1;
2) (Дг) = (с|Атс2 + е2еI), Л’* = е 1 Л"2в 1, *2 — Л1 0 Л2;
3) Аг = в1ЛГе, + е,//е2, /V2 = е,ЛГ2е2) д = Л] 0 Л2;
4) N = е]Л^е2 + ^2Лге2, /V2 = б1 А’2е2, (3 — •Л 1 0 Л2;
5) (Ат) = (в, ЛГез + РаЛ^еа), А2 = е,А2е2, Я — А1 0 Л2 0 Лз.
(Случай 5 исключается с помощью тождества Фц = 0. В силу леммы 7 Л, 2 СЩр1, , т,), где < 2. т,- делит 71. Д
Предложение 7. Пусть А' кольцо с единицей и J'■i = р,/ = (0), ./2 ф (0). Тогда /С € -4.
Доказательство. Так как К = ц р„/ =
0, то ,/ = р<5+^, У2 = Аг2. Рассмотрим каждый из перечисленных в лемме 10 случаев.
Случай 1.132 ОЩр', т). где I < 2, т делип
V.
Пусть элемент г £ СН(р2, и) и подколь-цо (г) 2 СтИ(р2,т), Пусть, далее, а £ (г) -такой элемент, что (в) - (г). Положим, / =
6 Н. Тогда {/) = СЩр2,™). Пусть
С. В - кольца, построенные в предложении 2. Пусть и £ С - такой элемент, что и(г) = 1. для любого г = 1,27. Тогда (и) £ СЯ(р2,т). Пусть /?• = (и, В) - подпольно в С, е\ единица в (и) (совпадает с единицей кольца С). Тогда В: = £(и)(с1)+£((и),(„))(«), причем £[(и),(и)){В) = 0 -1, А(«),(ч))(^) (прямая сумма свободных бимодулей), где (,/ = 1,30) нее различные одночлены из В. Кольцо К является гомоморфным образом подкольца В® и К £ А.
Случаи 2. Я = Л10Л2, (;У) = <ехЛ/е2 + СгЛ'е]), А2 = ехАстАех.
Из критерия некритичности следует, что е1 = £(л,,А3)(в). сгЛ^е] = С(А, А,){1).
Если рК ф (0), то рК — рЛі = ./2 и К = £д, (ві)+£л2(еа)-і-£(л1.лз)(я)'і‘^(/ь1лі)(<)» причем 6.,-Sj = (Jj-j-e.;, Рг5 — s«2 = s,e2< — tey =
і, = pej, <s = .s2 - t2 — p* = pi = p2e\ — рсч -0.
Если p/\ = 0, то К = £4, (cx)4- £Аа(вг)4-^(>»1.А2)(я)+ -С.Л, (и), причем =
S,jCi, C\S = SC2 ~ ’ /, ^5 = -S" = /“ —
0, sf = u, u £ Ann{s,l).
Случай 3. Q = Л] 0 л2, A’ = ej Aei + ti Ae2, jV2 = eiAT2e2.
Из подпрямой неразложимости кольца А’ следует, что рА' = (0). I! силу следствия из леммы 8 И критерия некритичности C\Nei — £a,(s|s2 =
0) и идеал Є] Nе2 + ejNe^Nez порождается одним элементом I, лежащим в к \ N. Тогда ^ = £,i,(fi)+ £а3(є2)4- £.4,(*‘)+ £(а,,а2)(0+
Ал,а)(’'). где e<ej = SijCi, eis = .set = D,
f=j/ ^ ten = I, Is = sJ — 1.- = 0, st = 1/ £ Ann(s t).
Случай 4. Q = Л1 0 Л2, Ar — e.iNe^+e^Ne^, N2 = eyN-f-,.
Аналогично доказательству случая 3, рА' = (0) и А — £л1(еі)+£д3(б2)4-£Аг(*)+£{А11,і.,)(0+ £(Лі,Л3)(и)’ ПрИЧЄМ e{Cj = e2s = se2 — s,
ці — ІС2 = t, st = S2 = t2 = 0, /s = M і
U £ Лпп{й,<).
В случаях 2, 3, 4 кольцо А' - гомоморфный образ подкольца М(т). Д
Предложение 8. Пусть А' - кольцо с единицей и J3 - (0), pJ ф (0), J2 Ф (0). Пусть, дале'е, К = Q+N и А2 = (0). Тогда К £ А.
Доказательство. Из представления N = Efj-ц^Ае; (Q = 0f=1 Ле,- - единица кольца Лі) и подпрямой неразложимости кольца К следует, что N = CjNcj для некоторых г, j < к. Возможны два случая.
Случай 1. N = ejAfi], Q — Лу.
Из леммы 7 следует, что Q = GR(p2, т) (гп делит ті). Далее доказательство искомого включения А £ Л такое же, как в случае 1 предложения 7.
Случай 2. N = e.yNc2, Q = Лі 0 Л2.
Так как pJ = рА7 ф (0), то рЛі ф (0) и рЛ2 ф (0). Из леммы 7 и подпрямой неразложимости кольца К следует, что А; = GR(p2,m.i) (ГГЦ делит п) и АГ = £(A1,Aa)(*|s2 = Р2« = 0). То есть К = £а1(єі)-І-£аі(є2)+£(а1 Ла)(в), причем dCj = <У,-j е і , е і .s = se2 = s,s~ = p2s = p2ti = 0). Кольцо К изоморфно подкольцу R. Д
Предложение 9. Пусть К - кольцо с единицей и J3 = (0), pJ ф (0), J2 ф (0). Пусть, далее, К = Q+N и А2 ф (0). Тогда К £ А.
Доказательство. Так как ./ = pQ-j-N, то J2 = pN + N2. Для описания кольца К иенль-зуется лемма 10.
Случаи 1. Я — Ль N =
В этом случае доказательство такое же, как и I) случае 1 предложения 7.
Случай 2. (5 — /ЬфЛо, (Д) = (еуМе? + саЛ/еО, /V2 = с^2сх.
Равенство рК П А2 = 0 влечет противоречие с иодпрпмой неразложимостью кольца А. Поэтому такой случай невозможен.
Случай 3. Я = Л] ®.42, N = е\Ые\-\-е\Кеч. Ы2 = пК2ег.
В силу' критерия некритичности и следствия из леммы 8 А = £д,(р1)4- £/»Ле2)+ £(л 1,/ь)(*)+ £д,(/), причем е.-е,- = йу-е.^а = ае2 = л-,е 1 / = /ет ~ /, /,а — рв,а2 = /- = р2а = р1 — р2('< = >7 =
0.
Случай 4. <5 = Л| 0 Лд, .'V = й1 Nе,2, /V2 .-= С1^2е2.
Аналогично случаю'2 К — £аД?1) + £А:ДС2) + £(Л,.Аа)(8)+£,13(<), ГфИЧеМ б, е ^ = 6^а,РЛ.Ч ~
— й,ез■( — <«2 = ^а/- — Р*', а2 = / — р а —
= р2а = /а = о.
В случаях 3, 4 кольцо 7\ изоморфно подколь-цу М(т). А
Предложение 10. Пусть Л’ - кольцо без единицы и ,73 = р.7 = (0), рА' ф (0), .72 7^ (0) Тогда () = СЩр2,т) (т делит п), А" = ^сг(р)+£д(а) + £д(<), где е2 = е, ев = 8, <е =
/,а/ = рр,р2р — 7>а = р1 = 1г — а2 — яр = с? =
^ а — 0 и А £ .Д.
Доказательство. Из критерия некритичности, под прямой неразложимости кольца А и леммы 7 следует, что А = (С}, еК(1 — с),
(I - в)Ке) = С2 + еК(\ — е) Ке + еА'(] — г)+
(1 — е) Ас, <7 = СН(р2. т) (гм делит п), еА'( 1 — е) = £д(а|а2 — рх — 0) И (1 - е)Ае = £д(<|£2 = р1 = 0). Поэтому К = £д(е)4-£д(а) + £д(<), где с2 = е,еа = а, 1р. =
I, и1 — ре,р2е = ра = р< = /2 = а2 = ас = р< =
/а = 0 Кольцо А является гомоморфным образом подкольца М(т). Д
Замечание. Пусть кольцо содержит под-кольцо 5 = С'Я(р(,т) (/ < ‘2, т делит гс). Пусть, далее, Г = (1 —е)КеК(1 - с) - подкольцо кольца К. Тогда 'Г= {/а|/ € (1 — е) Ас, а £ еК(1 — е)}. Па Т можно внести структуру 5 - алгебры, а именно положив су • (/а) = (<а) • о = 1ав для любых / € (I — е) Ас, а £ еК(1 — е), а £ Это позволит использовать для Т запись вида Т = £з(...).
Предложение 11. Пусть К - алгебра над %р без единицы и ,73 = (0), ./2 Ф (0). Тогда К £ А.
Доказательство. В обозначениях леммы 9 ,1 = /V + с А( I — р) + (1 — е) Ас + (I — е) А'(1 - е). Для того, чтобы к К был неприменим критерий некритичности, необходимо, чтобы К было одним из следующих колец.
Случай 1. А = Я + N + сА'(1 — е).
Из критерия некритичности, тождества Ф,з —
0 и леммы 7 следует, что Я ~ СГ(рт) (т делит п), р7\'(1 - е) и N + А’еА(1 — с) - однопорож-деяные идеалы. Поэтому К = £д(р)-(- £ц(а)+ £д(/)+ £д(и), причем с2 = е, са = ас = а, е/ — I, а/ — и, 1,е — I2 = ь2 = <а = 0, и £ Апп(з, /■) (Д'
<5 - алгебра в силу следствия из леммы 8).
Случай 2. А = Я + Д + (1 — е)Ке.
Аналогично случаю 1 А' = £д(е)+£д(а) + £^(0+£д(«). причем е2 = е, еа = ае = а, 1е — /, /а = и, с/ = <*’ = а2 = = 0, « £ Лпп(а,<).
Случай 3. А = (Я,еК(1 — е), (1 — б)А’с).
Если 72 = сА'(1—е)А'е, то из критерия некритичности, тождества Фе = 0 и леммы 7 следует, что Я = СГ(рт) (т делит п); еК([ - е) + сА"(1 — е)А(, (1 — е)А'е + сАГ(1 - е)Кс
- одиопорождениые идеалы. Тогда А' = £0(е)+£д(а)4-£д(г)Ч-£д(и), причем е2 = е, еа = в, 1е = а< = и, ас = е/ = /2 = а2 — /а = 0. и £ Л»»(.•),<) (еА(1 — е)А’е д алгебра в силу леммы 7).
Если .72 = (1 — с)КеК( 1 - р), го, аналогично предыдущему, 7\ — £д(е)+£д(в)+
£д(<)+£д(?;), где е2 = с, са = а, = /, /.а = г,
— е1 — I2 ^ *-2 — й/ = 0, и £ Лпп(а,().
Случай 4. А — д + сЛ’(1 — с) + (1 — с) А(1 — с).
Из критерия некритичности и леммы 7 еле дуст, что Я = СР{рт)\ вК( 1 — с)+ еА‘(1 - е) А(1 - е), (1 — е)А(1 -с)+ еА(1 — е)А(1 - е) однопорождеиные идеалы. Тогда А = £<5(е)4-£гр(й)+£д(<)+^с?(иЛ ''Р" чем е2 — е, и = /, <а = и, са = ар = 1с = —
= 0, г/ £ Апп(.ч,{).
Случай 5. А = <5 + (1 — е)А'е+(1 — с)7\’(1 — с).
Аналогично случаю 4 А = £д(е)+£7(1(а) + £д(/) + £д(и), причем е2 = р, 1е — I, а/, — и, ря = яр — с1 = <2 = а2 = <а = 0. г/. £ Лпп(а, /).
Во всех случаях кольцо К является гомоморфным образом подкольца М(т). Д
Предложение 12. Пусть К - кольцо без единицы и о/3 = (0), р-1 ф (0), У ф (0). Тогда А £ Л.
Доказательство. Необходимо рассмотреть следующие 5 случаев.
Случай 1. К = Я + Д' 4- сА'(1 — е).
Из критерия некритичности, подпрнмой неразложимости кольца А и леммы 7 следует, что Я = СН(р2, т) (т делит п).
Если АеА'(1 — е) = 0, то N = (0). Идеал еА(1 — е) однопорожденный. Поэтому А 2
(СЛ(р2,т) Сй(р2,т) ^ иКеЛ
Если ДеА'(1 — с) ^ (0), то А =
£д(е)+£д(а)+£д(<), причем Р2 = е, еа = ае = А,
е1. = I, я1 = р1, /е = ts = I2 = я2 = ре = рЦ = 0. Кольцо К изоморфно подкольцу М(т).
Случай 2. К = Я + N + (1 — е)Ке.
а 1 ; • ~ ( ОЩр2, т) 0 \
Аналогично случаю 1, Л £2 ^Т.)% ;
V Сй(р“,т) 0 )
(т делит п) либо К = £у(е) + £<э(.?)+ ££,(/),
причем е" = е,е« = яе = Я,£е = <,/я = /?/, е< =
st = I2 = я2 = ре = р2г = 0. В обоих случаях
А' € л.
Случай 3. К = (Я,еК{ 1 — е), (1 — е)/\е) = <5 + Т, где Т = еА'(1 — е)А'е + еА'(1 — е)+
(I — е) А'е + (1 — е) А'е А'( 1 — е).
Ввиду подпрямой неразлогкимости кольца А и критерия некритичности (1 —е)Ке. = (0), либо йА'(1— р) = (0). Поэтому А' — <5 + еА'(1 — е), либо К = <5 + (1 — е)А'е. Эти случаи рассмотрены в пунктах 1 и 2 соответственно.
Случай 4. К = <3+еАГ(1—е) + (1-е)А'(1-е).
Ввиду подпрямой неразложимости кольца К и критерия некритичности (1 - е)К(\ - с) = (0) (этот случай рассмотрен в пункте 1), либо Р = ОЩр2,пг) (т делит п) и еА'(1 - е), (1 — е)А’(1 — <0 ~ однопорожденные подкольца. Тогда К = ^CQ(e)+£lQ(s)+Czp(^), где е2 = е,ея = я, я/ = рн, ее — с/ = /е = s2 = I2 — р2е = р2я = р2 = /я = 0.
Случай 5. А' = £?+(1 —е)А'е + (1—е)А'(1—е),
Аналогично случаю 4, К = £д(е)4-£д(ь)4-причем б2 = е,яе = я,£я = ря, ея = е1 = 1е --- я2 = <2 = р2е = р2я — р1. = я< = 0.
В случаях 4, 5 кольцо К изоморфно подкольцу М2(СЯ(р2,т)). Д
Суммируя результаты предложений 7-12. приходим к выводу, что если А' - конечное критическое кольцо из многообразия М и степень нильпотентности радикала кольца К равна 3, то А' лежит и многообразии А.
В леммах 11, 12 и предложениях 13 17 исследуется кольцо К, степень нильпотентности радикала которого равна 4.
Лемма 11. Пусть К - критическое кольцо без единицы и 73 Ф (0). Тогда К = (<5,еА'(1 — е), (1 — е)Ке), а = СН(р1,т) (I < 2, 7п. делит п). Кроме того рК = (0) либо pJ ф (0).
Доказательство. В обозначениях леммы 9 J = рЯ + М +еК (1-е) + (1-е)Ке + (1—е)К(1-с). Поскольку J удовлетворяет тождеству хгу — угх = 0, то У = /V3 + еАГ(1 - р)А"сА'(1 - е) + (1 — е)КеК(1—е)А'е+((1 —е)А'(1—е))3. Из критерия некритичности и подпрямой неразложимости кольца К следует, что (ТУ) и (1 — е)А'(1 - е) можно исключить из числа порождающих под-колец кольца К. Поэтому либо
,/3 = сА'(1 — е)КеК(1 — е), либо J3 = {1-е)КеК{1 - е)Ке.
Из разложений (1 — е)А'е - 52*=1(1 - е)А'е,-, еА'(1 - е) — Ylizzi е>К( \ - е)К> критерия некри-тичпости, тождества хгу—угх = 0 многообразия N Г\ М и леммы 7 следует, что Q = СЩр‘,тп), где / < 2, m делит п.
Если pJ = (0), то рА' = pQ < К. Так как J3 П pQ = (0), то рК = (0). Д
Замечание. Пусть О(гп) = ®Li > где A'i = Мг(СЯ(р2,т)) (г = 1,6), причем гп делит 71. Тогда С(т) € Ан С(т) можно рассматривать как алгебру над GR(p'2,m). Это кольцо будет применяться при построении вложения кольца К в кольцо из многообразия А.
Предложение 13. Пусть К - кольцо без единицы такое, что J3 ф (0), pJ ф (0). Тогда К £ А.
Доказательство. Из леммы 11 следует, что К — (Q,eA'(l - е), (1 — е)А'е), е - единица в Q, Q = GR(p2,m) (т делит п). Будем считать, что ,/3 = еА"(1 — е)КеК(1 — е) (второй вариант рассматривается аналогично). Из критерия некритичности следует, что (1 — е)Ке - однопорож-денное кольцо. Пусть / - идеал, порожденный подкольцом еА'(1 — с). Тогда минимальная система поро?кдающих идеала / состоит из не более чем двух элементов, лежащих в еА'(1 «- а). Из подпрямой неразложимости кольца К следует, что pJ = J3 = реК(1 — е). Далее, J(eKe) = pQ + еА'(1 — е)А'е. Возможны два случая: pQneA'(l — с)А'е = (0) и pQПеА’(1 — е)Кс ф (0). Имеют место следующие варианты строения К.
Случай 1. I порождается одним элементом.
1.1. pQ П еА'(1 — е)Ке ф (0). Тогда К = £y(e)+£y(s)-j-£g(i)-i-£y(u), где с2 = е, es = s,
1.е = t., si = pe, is u, sts = ps, se = et =- s'2 — i2 = p~e = p2s = pi = 0. Кольцо К изоморфно подкольцу M2(GR(p2,7Tl)).
1.2. pQ Л eA’(l — е)А'б = (0). Тогда
A — £д(е)4-£д(5) + £д(0 + £с?(М) + £у (W). ПРИ" чем e2 = e, es nr я, te = t, si = и, ts = v, sts = ps, tsl — se = et = s2 = I2 = p2e = р2я = pt = 0. Кольцо К пвляется гомоморфным образом под-кольца М(т).
Случай 2. I порождается двумя элементами.
2.1. pQ Л еА'(1 — е)Ке = (0). Тогда К =
£у (c) + £g(si) + £Q(sv)+£g(#)-i-£y('U] )+£<э(«2) + £q(w1 ) + £q(('2), причем е2 = е, es, ■■= Si, te = t, Sit = <s,- = i;,', Sit so = = PS],
Я, е = tl = S{ Sj = t.2 = p2s I = PS2 = pt = p2e = sitsi = is,-* = 0.
2.2. pQ Л eA’(l — e)Ke ф (0). Тогда К = £д(е)+£д(я1)+£д(я2)+£ц(/)+£<з(«)+£у(их)+
£3(^2), причем е2 = е, СЯ; = в,', <е. = /, Я2/ - ре, = и, /в; = и,-, в] <32 = рЯ] , Я,е = е1 = =
<2 = р2я, - рв2 = р/ = р-е = А,/я,' = <8,< = 0.
В обоих случаях кольцо К гомоморфный образ подкольца С(т). Д
Предложение 14. Пусть К - алгебра над 2Р без единицы и 73 ф (0). Тогда К € Л.
Доказательство. Как и в предложении 13, К = (р, е/С(1 — е), (1 - е)А’е), е - единица в (?, У3 = еА'(1 — е)КеК(\ — е), Я = CF(pm) (т делит п). Тогда (1 - е)А’е порождается одним элементом; если / - идеал, порожденный подкольцом е.К(1 — е), то минимальная система порождающих идеала / состоит из не более чем двух элементов, лежащих в е/\'(1 — е).
Если I порождается одним элементом в, то Л = £д(е)+£д(я)+£д(0+£д(и)+£д(1,)+ £д(ш) и е2 = е, ев = 8, /е = 1, в/ - и, ts = V, 6<Я — и:, А'е = е< = в2 = 1~ = Ш — 0. Кольцо А -гомоморфный образ подкольца М(т).
Если I порождается двумя элементами лт п «а, то А = £д(е) + £д(«1)4-£д(л’т)+£д(/.) + £ц(и1 )4"£<з (г^2)+£ц(г'1 )4'£у(^а)4'£(2 (г^), причем с1 = е, ев; = 1.е = /, а,/. = щ, tSi = гг;,
.5,<в2 = и;, я,-е — е? = г= 12 = я,*я, = = 0.
Кольцо 7\ является гомоморфным образом подкольца С(т). Д
Лемма 12. Пусть К кольцо с единицей и .У3 7^ (0). Тогда К = <3+ЛГ (разложение из леммы 9) и выполняется одно из следующих условий:
1) (} = СЩр1. т), где I < 2, т делит п;
2) Я - Л,0Ла, Л 2 СЩр\т.) (?, < 2, т,-делит п) и К = {Я,е\Ме2,е2Ме\), где е,- - единица кольца Аг (г = 1,2/ Кроме того рК — (0) либо р.! ф (0).
Доказательство. Из представлений ЛГ3 = с,-А'3е_,- и /V = Е^-=1 е,-ЛГе,-, а также подпрямой неразложимости кольца К, критерия некритичности и тождества хгу — угх = 0 многообразия N П М следует, что имеют место два случая:
Случай 1. N = ехЛгех, <2 — А\ и в = еЛ. Случай 2. (/V) = су), Ы3 =
е1Ы3еъЯ = у\]фЛ2.
Из леммы 7 следует, что .4, = ОН{р1,,т,) (/, < 2, т,- делит п.). В случае 2 в силу подпрямой неразложимости кольца Л'. рК = (0) либо р./ ф (0). Д
Предложение 15. Пусть К - кольцо с единицей, 73 ^ (0) и в разложении А' = <5+Л' (5 = ОЯ(р1,гп), где I < 2, т делит п (случай
1 леммы 12). Тогда К £ А
Доказательство аналогично доказательству случая 1 предложения 7. Д
Предложение 16. Пусть К - кольцо с единицей, ./3 ф (0), рс/ ф (0). Пусть, далее, К — Q+N и Я = А] 0 .42 (случай 2 леммы 12). Тогда А £ *Д.
Доказательство. Из подпрямой неразложимости кольца К следует, что р.) = ре\Ne-i — І3. Пусть I - идеал, порожденный подкольцом е^ег- В силу критерия некритичности минимальная система порождающих идеала / состоит из не более чем двух элементов, лежащих в еіЛ^е2: е2Аге, = £(Лз1л1)М- Д^ее, ./(еіА'еі) = рАі -I- e^Ne■^Nel, І(егА^е2) = рЛ2 + с^КеїІ^є^-Эти суммы могут быть прямыми, а могут и не быть. Учитывая вышесказанное, получаем, что возможны следующие случаи.
Случай 1. I порождается одним элементом в £ еі/Уег (*'2 = р2в = 0).
1.1. рА\ Пєі N^^,N61 ф (0), рЛгПег^еіУУег ф
(0). Тогда К = £л,(еі)+ £д3(е2)+ £(л,,л^)(й')+ ■с(лі1д,)(0. причем е<е,- = е, я = ве2 -
А’, е2< = <Єі = І, А2 = І2 — 0, я/ = рЄі,/Я —
ре'2 ,р2е,- = р2« = р/ = 0). Кольцо А изоморфно подкольцу М2(СЛ(р2,т)).
1.2. р41 П є і .V е о е і ф (0), pA.2C\c■^N С\Ы сі —
(0). Тогда А = £лі(еі)-Ь £а3(£2)+ £(Ні,.42)(я)+ £(А21А,)(<)+ £лЛи)> причем С, с і - 6і:Єі, Є і А' -ве2 = в, Є2< — /еі = І. А'2 — = 0, АI = ре 1,
1,8 = К, р2Є; = р А' = р( ■= 0.
1.3. р.4і ПеїЛ^егАГеї = (0), р.ЧгПегЛГеї АГе2 ї= (0). Тогда А = £д1(еі)+ £л2(^2)+ £(Аі,Л2)(ь') +
£лі («), ПрИЧЄМ Є<Єу - ^С;, Є].Ч =
вС2 = в, Є2< — ІЄ\. — <, А“ = <* — 0, А< — «, /я = ре2, р2е,- = р-ь — рі = 0.
1.4. рА\С\е\Ме^е\ = (0), рЛ2Пе2АГеі УУе2 = (0). Тогда АГ = £л1(еі) і- £,12(^2)+ £(д,,л3)(*’)+ £(Д2,а.)(0+ £а,М+ £л,(«), причем е,^ ^
Єі« = «Є2 = Є2< = <Єі = І, Я2 = І2 = 0,
я/ — ((, <я = у, я/я = ря, Ы — 0,р2е,- = р2я = рі =
0.
В случаях 1.2-1.4 кольцо А' изоморфно под-кольцу М (т).
Случай 2. / порождается двумя элементами Я1,Я21 где р2Я 1 = рЯ2 = Я і 6'^ ГГ о.
Для К возможен один из следующих случаев:
1) К = £д, (е1)-і-£д_,(е2) + £;д,,да)(*1 ) +
£(Ді,Аі)(52) + £(.42,А1)(*)+£Ді (и)+£дг(г')-
2) К = £д,(е1 ) + £.4Ле2) + £(Д1.4^(5!) +
£(Ді,-4з)(*-') + £(.4і,Аі)(0 + £Ді («)+£Д3(Уі )-і-
£д2(і»2)і
3) К - £д1(Єі) + £.4^(Є2)+-£(Д,,.42)(А'і) + £(Ді,Д3)(я2) + £(Д3.Д,)(0 + £4і («і)-І-£/1і (иг)-і-
£д3(г>);
4) А - £д,(еі)-і-£д2(е2)+ £(ЛьЛ2)(ві)+
£(Д і,Дз) С®2)~І- £(Д^,/1!)(0 + £д, («і) + £,4і («2)4
£д3((; і)+£да(г;2)-
В каждом из указанных случаев — £уе,-,
€х*'; = *4^2 = $11 ^Сд = t, 8^.4] — /2 = О,
5^*2 = #а<*1 = Р«1, «»/•<. = /»<< = 0. Соотношения, которыми различные случаи отличаются друг от друга, выглядят следующим образом:
1) «!< = и, 82< = ре 1, /«1 = V, /в2 = ре2;
2) в]I = ц,52< = ре!,<«,■ = г>,(г — 1,2);
3) *,/ = |/,(г = 1,2), /*'1 = «,<*’2 — рс?!
4) = щ(1 = 1,2), = г;,(г = 1,2).
В каждом случае кольцо К - гомоморфный образ подко'льца С(т). Д
Предложение 17. Пусть К - алгебра над %р с единицей, .Я ^ (0). Пусть, далее. А’ = Я+М и Я — *4[ 0 Л2 (случай 2 леммы 12). Тогда К £ А.
Доказательство. Так как рК = 0, У = Л7, далее, Л3 = с;АГсгЛ^с-!ЛГе2. Пусть 7 - идеал, порожденный подкольцом ехЛ'ез- Аналогично предложению 16, минимальная система порождающих идеала 1 состоит из не более чем двух элементов, лежащих в е\Ме2\ егА'б! =
— р1 — 0). Возможны следующие
случаи.
Случай 1. I порождается одним элементом *• (я 6 е\.Ые2. 8~ — 0).
1огда Л — (^1 )+£л-Дсп)+£(дьЛг)(в)+
^(Ла,л1)(0 + £л, («) + 'С/1а(г’) + £(/11,Лз)(и;)1 МРИ"
чем fi.Cj = ISijei, б 1 .S = St2 = я, ео/ = te 1 = t, s2 = /- = 0, sf = u, Is — v, sin = w, 1st. = 0. Кольцо К является гомоморфным образом подкольца М(т).
Случай 2. I порождается двумя элементами
Тогда К = £д1(е1)+£да(е2)+£(л4,л3)(®1)+ £(Л I ,/Ь)(*'2) + £(.4.,,.4,)(0 + £д1 («1 ) + £.4i («'.') + £д3(«1)+£д3(«2)+£(Л;,А3)(и'). причем e-iej = SijCi, fl Si = я,е 3 = Si, f>2< = <«1 = <, =
<2 = 0, Sif = Ui, tSi — v,-t S]<S2 = «2^1 — til, S, tSj — tSit = 0. Кольцо К является гомоморфным образом подкольца С(т). Д
Из предложений 13-17 следует, что все конечные критические кольца К многообразия М. радикал которых имеет степень нильпотентности, равную 4, лежат в многообразии А.
Доказательство теоремы. В силу теоремы Львова [7, с. 2(59-297] многообразие М порождается своими конечными критическими кольцами. Из предложений 2-17 следует, что все конечные критические кольца многообразия М лежат в многообразии А. Поэтому М С А. В предложении 1 доказано включение М Э А. Окончательно получаем, что М = А. Д
Литература
1 Сибирская школа по многообразиям алгебраических систем: тезисы сообщений. Барнаул, 1988.
2. Мальцев Ю.Н., Кузьмин Е.И, Базис тождеств алгебры матриц второго порядка над конечным полем // Алгебра и логика. 1978. Т. 17. Мб 1.
3. Генов Г.К. Базис тождеств алгебры матриц третьего порядка над конечным полем // Алгебра и логика. 1981. Т. 20. №4.
4. Генов Г.К., Сидеров ПН. Базис тождеств алгебры матриц четвертого порядка над конечні.їм полем. І, II // Серди ка Българско мат. списание. 1982. № 8.
5. Нечаев А А. Базис обобщенных тождеств ко-
нечного коммутативного локального коДьца главных идеалов // Алгебра и логика. 1979. Т 18. №2.
6. Mal’cev Y.N. The structure of associative algebras satisfying the polynomial identities and varieties of algebras. Barnaul, 1994.
7. Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец. I // Алгебра и логика. 1973. Т. 12. №3.
8. McDonald В. Finite rings with identity. New York: Dckker, 1974.
9. Мальцев 10.IT Критические кольца и многообразия ассоциативных колец: Дисс. ... докт. физ.-мат. наук / Алтайский гос. ун-т. Барнаул, 1985.
