CC BY
46
ИНФОРМАЦИОННЫЕ
УДК 519.85
БАЛАНСНАЯ КОМПОНОВКА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
КОВАЛЕНКО А.А., ПАНКРАТОВ А.В., РОМАНОВА Т.Е., СТЕЦЮК П.И.
Рассматриваются три оптимизационные задачи балансной компоновки цилиндров в контейнере, которые применяются в космическом машиностроении. Учитываются ограничения поведения спутниковой системы (ограничения на центр масс, осевые и центробежные моменты инерции). Для аналитического описания ограничений на размещение объектов применяется метод phi-функций Стояна. Строятся три математические модели в виде задач нелинейного программирования с разными видами функции цели, геометрическими формами контейнера, размещением объектов на стеллажах контейнера. Рассматриваются стратегии решения задач балансной компоновки с применением методов дифференцируемой и недифференцируемой оптимизации. Приводятся тестовые примеры.
Введение
Среди множества задач балансной компоновки 3D-объектов, которые применяются в космическом машиностроении [1], особый интерес представляют задачи компоновки цилиндрических объектов. Т ак, в работах [2-4] рассматриваются задачи компоновки цилиндров в цилиндрическом контейнере с учетом ограничений поведения (ограничения по статическим и динамическим характеристикам спутниковой системы). В данных публикациях приводятся математические модели с различными функциями цели, среди которых: радиус контейнера, отклонение центра масс системы от заданного значения, свертка, учитывающая как радиус контейнера, так и равновесие всей системы. Однако для решения данных задач предлагаются различные эвристические алгоритмы, что приводит к потере локально-оптимальных решений задач.
В статье [5] с помощью метода ph/'-функций [6] строится обобщенная математическая модель задачи балансной компоновки 3D-объектов в виде задачи нелинейного программирования. Данная математическая модель учитывает ограничения поведения (ограничения на центр масс, осевые и центробежные моменты инерции системы).
Целью данной работы является рассмотрение трех конкретных реализаций обобщенной математической модели, приведенной в работе [5], с объектами размещения цилиндрической формы, построение математических моделей данных задач с различными функциями цели, указанными выше, а также разработка алгоритмов решения с применением методов нелинейного программирования [7] и методов недифференцируемой оптимизации [8, 9].
1. Общие понятия и постановки задач
Рассмотрим класс задач балансной компоновки 3D-объектов в следующей постановке: разместить набор одинаково ориентированных прямых круговых цилиндров в контейнере с учетом ограничений поведения так, чтобы функция цели достигала своего экстремального значения. Сформулируем три вида задач балансной компоновки цилиндров.
Задача 1. Балансная компоновка цилиндров в цилиндрическом контейнере минимального радиуса при условии, что высота контейнера совпадает с высотой всех цилиндров.
Задача 2. Балансная компоновка цилиндров в контейнере (цилиндрической, параболической или усеченной конической формы) с круговыми стеллажами при условии, что цилиндры крепятся (сверху или снизу) к стеллажам контейнера. Функция цели - отклонение центра масс системы от заданного значения.
Задача 3. Балансная компоновка цилиндров в цилиндрическом контейнере с круговыми стеллажами при условии, что цилиндры крепятся сверху к круговым стеллажам контейнера. Функция цели учитывает радиус контейнера и равновесие системы.
Следуя работе [5], определим основные понятия, необходимые для построения математических моделей поставленных задач. Пусть Q - контейнер высоты н, описанный следующим образом:
Q = {(x, y, z) є R3 : G(x, y, z) > 0} .
В пределах данного исследования q рассматривается трех видов: круговой цилиндр с радиусом основания R при G = min{-x2 -y2 + R2, -z + H, z} ; параболоид вращения с радиусом основания R = VH при G = min{-z - x - y + H, z} ; усеченный круговой конус с радиусами Rі и R2 нижнего и верхнего оснований, соответственно, учитывая, что G = min{-z - H(y/x2 + y2 + R1V(R1 - R2), -z + H, z}. Контейнер q задан в собственной неподвижной системе координат Oxyz, где Oz - продольная ось симметрии.
Пусть А= {С'і,іє In}, In = {1,2,...,n}, - семейство однородных цилиндров с метрическими характеристиками (ri, hi), где Гі - радиус основания, h — полувысота цилиндра С-х. Каждый цилиндр С-х задан
69
в собственной системе координат 0;х;у^;, где O; -центр симметрии С, O;Z; - продольная ось симметрии С, O^z; \| Oz . Расположение цилиндра С внутри контейнера Q определяется вектором трансляции u; = (v;, Z;) относительно неподвижной системы координат Oxyz , где v; = (x;, у;). При этом основным свойством, объединяющим перечисленные выше три задачи, является то, что z; = const, 1 є In . В общем
случае вектор переменных имеет вид u = (p, v), где p - переменная метрическая характеристика контейнера
Q , v = (vb vn) є R2n - вектор переменных пара-
метров размещения цилиндров. Обозначим через Q А систему, образованную в результате размещения цилиндров С; семейства А в контейнере Q , а через OsXYZ - систему координат для QА, где Os = (xs(v),ys(v),zs) - центр масс QА, а оси OsX\|Ox, OsY\|Oy, OsZ\|Oz,
Z mixi
Z т;У; Z mizi
xs(v) =
i=i
M
■’ys(v) =
i=i
і=1
(1)
M
M
’ 7 =
s
Ц2 (v) = min{-J x (v) + A Jx , - Jy (v) + A Jy,
-J z (v) + AJ z } (4)
здесь Jx (v), Jy (v), Jz(v) - моменты инерции системы Q А относительно осей системы координат OsXYZ ; AJx, AJy, AJz - допустимые значения для величин Jx (v), Jy (v), Jz(v);
JX(v) = Z Jx; +Z (y2 + zi2)mi -M([ys(v)]2 + zs2),
i=i i=i
Jy(v) = Z Jy; +Z (x2 + z2)m; -M([Xs(v)]2 + z2),
i=i i=i
Jz(v) = Z Jz; +Z(x2 + y2)mi- M([xs(v)]2 + [ys(v)]2X
i=i i=i
(5)
где Jx; = Jy; = m;(3r;2 + 4h;2^i2, JZ; = miri^/2 -моменты инерции цидиндров Сі , і є In, относительно осей системы координат Oixiyizi;
Ц3 (v) = min{pЗl(v), Ц32 (v) Ц33(v)} , (6)
n
где mi - масса цилиндра Сі , і є In ; M = Z mi
i=i
масса системы Q а .
Ц31(v) = min{-Jxy (v) + AJxy , Jxy (v) + AJXУ},
Ц32 (v) = min{-JxZ(v) + AJXZ, Jxz(v) + AJXZ}, (7) ^3(v) = min{-Jyz(v) + AJyz, jyz (v) + AJyz},
Ограничения поведения системы Q а описываются системой неравенств вида
{ri (v) > 0, Ц2 (v) > 0, Ц3 (v) > 0, где Ц! (v) > 0 - ограничения на центр масс систмы Q а, ц 2(v) > 0 и ц 3 (z) > 0 - ограничения на осевые и центробежные моменты инерции системы Qа , соответственно. Функции Ц! (v), ц 2 (v), ц 3(v) определяются так:
Цl(v) = min{Aii(v), Цl2(v), Ц13}, (2)
Ц ii (v) = min{—(xs (v) - x0) + Ax0,(xs(v) - x0) + Axo}, Цl2(v) = min{-(ys(v) - y0) + A y0,(ys(v) - y0) + A У0^ Цl3 = min{-(zs -z0) +Az0,(zs -z0) + Az0},
(3)
где (x0, y0, z0) - некоторая заданная точка, отклонение центра масс Os от которой не должно превышать допустимого значения, а Ax0, Ay0, Az0 - заданные допустимые отклонения от точки (x0, y0, z0). Полаем, что z = (zi,...,zn) є Rn таковой, что
Цlз(z) = цi3 = const > 0 (в противном случае задача не имеет решения);
70
здесь J xy (v), Jxz (v), Jyz (v) - центробежные моменты инерции системы QА относительно осей системы
координат OsxYZ; AJxy, AJxz, A Jyz - заданные допустимые значения,
n
Jxy (v) = Z xiyimi -Mxs(v)Уs(v),
i=i
JxZ (v) = Z xizimi - Mxs (v)zs ,
i=i
(8)
n
Jyz(v) = Z yizimi -Mys(v)zs.
i=i
Ограничения размещения цилиндров семейства А в контейнере Q описываются системой неравенств {Y i (u) > 0, Y 2(u) > 0, где Y! (u) > 0 и Y 2(u) > 0 -ограничения, описывающие непересечение и включение цилиндров в контейнер, соответственно,
Yi(u) = min^j^uyujXi > j є In},
Y2 (u) = min^fQ* (p,ui),i є In}, (9)
Ф ^ (Ui, u j ) - phi-функция для цилиндров C- и Cj
*
[6], ФрQ (p, Ui) - phi-функция для цилиндра C- и объекта Q* = R3 /int Q [10].
Поскольку zi = const, i є In , то функции Yj (u) и Y 2 (u) в (9) можно представить в эквивалентном виде с использованием phi-функций для двумерных объектов, аименно:
Yj(v) = min^ij (vi, vj), (i, j) є S},
Y2(R, v) = min^i(R,vi),i є In}, (10)
где Фij(vi,vj) - phi-функция для кругов Ci и Cj радиусов Гі и rj с центрами в точках vi = (xi, yi) и
vj = (xj,yj>,
Фij(vi,vj) = (xj -xi)2 + (yj -Уі)2 -(ri + rj)2 ,
S = {(i j):|zi - zj < hi + hj,i< j U, (11)
Ф i(R, vi) - phi-функция для круга Ci радиуса Гі с центром в точке vi = (хі , Уі ) и объекта C = R /intC радиуса R? с центром в точке (0,0) вида
Ф i(R,vi) = - хі2 - yi2 + (R7(R) - Гі)2, (12)
здесь Rz (R) - радиус круга Cz (сечение контейнера Q плоскостью, параллельной Oxy,на высоте Zi + hi), RZ(R) > ri. Для каждого вида задач конкретное значение радиуса R iz определяется в последующих разделах.
2. Математическая модель задачи 1
В задаче 1 размещается семейство A цилиндров одинаковой высоты 2hj и различных радиусов Гі в цилиндрическом контейнере О высоты H = 2hi ми-
нимального радиуса так, чтобы выполнялись ограничения поведения Pj (v) > 0, р2 (v) > 0, Р3 (v) > 0 .
Поскольку hi = 0.5H, і є In (рис.1) и Zi = 0, і є In, то Os = (xs (u), ys (u), 0). Начало собственной системы координат Oxyz контейнера О расположено в центре его симметрии. Для задачи 1 полагаем
(x0,y0,z0) = (0, ° 0).
С учетом перечисленных особенностей математическую модель задачи 1 можно представить следующим образом:
min R s.t. u є W,
где u = (R, x1,y1,...,xn,yn)є R2n+1, а W описывается системой неравенств вида
(Xj - Xi)2 + (yj - Уі)2 - (Гі + Tj)2 > 0, i < j є In,
-Xi2 - yi2 + (R - Ti)2 > 0, i є In,
n n
-Z m-Xi + ДX0 > 0 ,Z m-Xi + Ax0 > 0, i=1 i=1
n n
-Z miyi +ДУ0 >0, Z mіУі +ДУ0 >0,
i=1 i=1
a1 -Z y2m +M[ Z m іУі]2 +ajx >0,
i=1 i=1
n 2 n 2
a1 -Z xfm- +M[Zm-x-]2 +AJy >0,
i=1 i=1
a2 -Z (x2 + y2)m- + M([Zm-x-]2 +
i=1 i=1
+[Zm'iyi]2) + AJZ >0, i=1
Рис. 1. Контейнер О (а); объект C- (б); система О а (в)
Рис. 2. Виды контейнеров: а - цилиндр; б - параболоид вращения; в - усеченный конус
n n
-X xi3Tmi +MXmixiXmiyi +AJXY ^0>
i=1 i=1 i=1
n n n
X xiYimi -MX mixi X miуi +ajxy ^0,
i=1 i=1 i=1
R -Rlow ^ 0
Заметим, что
mi n
m: = = const, M = X m: = const,
i M i
i=1
случай 1) если цилиндры C, i є I+, крепятся сверху
к стеллажам Sk подконтейнера Qk, тогда
k
Zi = X ti—і + hi, полагая t0 = 0 ; случай 2) если ци-1=1
линдры Ci, i є I-, крепятся снизу к стеллажу S
Ax0, Ay0 = const, AJX, AJY, AJZ = const, a1 =- — Xmi(3ri2 + H2) = const, Riow = max Гі
12i=1 i=l,...,n
1 ^ 2
a2 = — X m:r: = const, AJXY = const
2 i=1
3. Математическая модель задачи 2
Для данной задачи рассмотрим три вида контейнера q , описанных выше. Метрические характеристики Q - постоянные величины. Полагаем, что начало собственной системы координат Oxyz расположено в центре нижнего основания контейнера. Пусть контейнер Q разделен круговыми слеллажами Sk на
отсеки Qk, k = 1, ...,m (рис.2). Расстояния между
k+1
подконтейнера Qk, тогда Zi =X ti - hi . Заметим,
1=1
что I k = I + UI - и I + n I - = 0 , k = 1,..., m , при этом в случае, когда Q - параболоид вращения I m =0 .
m
Функция Yi (v) в (10) определена при Н = U Нk,
k=1
Нk = {(i, j):|zi -zj |< hi + hj,: < j є Ik}, и функция Y2 (v) в (10) задана при следующих значениях Rf :
случай 1) Rf = H -2hi -X ti-1 , і є I+, для парабо-
1=1
лического контейнера; Rf = R, і є I+, для цилиндрического контейнера;
f R1 - R2 k
Rf = R1---^^(2hi +X ti-1), i є I+,
H
1=1
стеллажами Sk и Sk+1 обозначим через tk , для контейнера формы усеченного конуса; случай 2)
k = 1,..., m , X tk = H.
k=1
Осуществим разбиение семейства A на группы Ak = {C{, і є Ik}, k = 1,..., m , в зависимости от принадлежности цилиндра Ci подконтейнеру qk (I1 UI2 U...UIk U...Im = In). На размещение C, внутри Qk накладываются ограничения по z вида: 72
Ri JH X tl , i є Ik , для параболического контей-
1=1
нера; Rf = R, i є Ik, для цилиндрического контейне-
f R1-R2 k -
ра; Ri = R1--——X t1, i є I-, для контейнера
H
1=1
формы усеченного конуса. Центр масс, осевые и центробежные моменты инерции системы QA опре-
деляются по формулам (1), (5) и (8), соответственно.
Для задачи 2 полагаем (x0, y0, z0) = (0,0, z0).
Математическая модель задачи 2 имеет вид:
min
[X mixi]2 + [X mІУі]2 + [X mizi -z0]2
V i=1 v є W ,
i=1
i=1
s.t.
где v = (x1, У1,..., xn, yn), а область W описывается системой неравенств вида
Если в задаче 2 положить z0 = zs, то при нулевом значении функции цели будет получено оптимальное решение данной задачи.
4. Математическая модель задачи 3
Пусть q - цилиндрический контейнер высоты H и переменного радиуса R (см.рис.2,а). Цилиндры размещаются на стеллажах контейнера Q при I k = I + , k = 1,..., m .
Математическую модель задачи 3 можно представить так:
(Xj -Xi)2 + (y j - Уі)2 -(Гі +rj)2 > 0, (i, j) є»,
- Xi2 - Уі2 + (RZ - гі)2 > 0, і є In,
a1 -X(У2 +z2)mi +M(£miyi]2 + zs2) + AJx >0, i=1 i=1
а1 - j^(x? + z2)m- + M([Xm'-X-]2 + z2) + AJy >0, i=1 i=1
а2 -X(x2 + y2)mi + M([Xmixi]2 + [XmіУі]2) +
i=1 i=1 І=1
+AJ z > 0,
n n n
-X xiyimi + MXmixiX miyi +ajxy > 0,
i=1 i=1 i=1
n n n
X xiyimi -MXmixiXmiyi +ajxy >0,
i=1 i=1 i=1
n n
-X xizimi +MzsX mixi +AJXZ >0,
i=1 i=1
n n
X xizimi -MzsX mixi +AJXZ >0
i=1 i=1
-X yizimi +Mzs X КУі +ajyz >0
i=1
i=1
X y izimi-Mzs X m-y i +AJYZ > 0
i=1 i=1
Заметим, что
, mi n
z0 = const, mi = — = const, M = X mi = const, M
i=1
zi = const, - є In, zs =X m-z- = const i=1
1 ^
=-----X mir2 = const,
i=1
min f , s.t. u є W,
где u = (R, Х1,У1,..,Хп,Уп),
f = aR + P([X mix-]2 +[X miy-]2 +[X m-z- -z0]2^,
i=1 i=1 i=1
область W описывается системой неравенств вида
(Xj - Xi)2 + (y j - у-)2 -(г- +rj)2 > 0, (i, j) є»,
-Xi2 - Уі2 + (R - r-)2 > 0, i є In,
a1 -X (y2+z2)mi +M([X miyi]2+z2)+AJX >0,
i=1 i=1
a1 -Xl(x? + z2)m- +M([Xm-Xi]2 +z^) + AJy >0, i=1 i=1
a2 -X(X2 + y2)mi + M([X m-X-]2 +
i=1 i=1
+[Xm-Уі]2) + AJz >0, i=1
n n n
-X X-y-mi +MXm'iXiXmiy- + ajxy >0,
i=1 i=1 i=1
n n n
X X-y-mi -MX miXi X miyi +ajxy >0,
i=1 i=1 І=1
n n
-XXizimi +MzsXmiXi +AJXZ >0, i=1 i=1
n n
X Xizimi -MzsX miXi + AJXZ > 0
i=1 i=1
n n
-Xy-zimi +MzsX miy- +ajyz >0,
i=1 i=1
n n
X уizimi -MzsX miy- + ajyz > 0
i=1 i=1
R -Rlow > 0.
Заметим, что
a1 = -
12
n 2 2
X m- (3r-2 + 4h-2) = const, i=1
A J x, AJy, AJz = const, AJxy , A J xz , AJ yz = const.
Rlow = maX ri i=1,...,n
mi =-
mi
M
= const ,
M = X m- = const,
i=1
n
zi = const, zs = ^ m-z; = const, i=1
ai = -
12
^ mi (Згі2 + 4hi2) = const, i=1
X * = max X, s.t. u 'є wx, (И)
WX = {u 'є R 2n+2 : Y1(v') > 0, Y 2(u') > 0, Z > 0,
1 -X > 0, X > 0, Rup -R >0}, (14)
1 ^ 2
a2 =---> ШіГі = const,
2 i=1
AJX, AJу, AJz = const, AJxy , AJxz , AJyz = const.
5. Алгоритмы решения
Для решения рассматриваемого класса задач балансной компоновки цилиндров предлагаются эффективные алгоритмы с использованием методов нелинейного программирования и негладкой оптимизации.
Суть алгоритмов с использованием методов нелинейного программирования заключается в следующем:
строится множество стартовых точек u0,
s = 1,2,...., n, из области допустимых решений W ; производится поиск локального экстремума задач 13 для каждой стартовой точки u0 є W ; лучший из
полученных локальных экстремумов выбирается в качестве локально-оптимального решения. Приведенные ниже алгоритмы используют IPOPT [7] для локальной оптимизации. Такой подход к поиску локальных экстремумов задач 1-3 позволяет улучшить сходимость методов локальной оптимизации и сократить время решения.
В целях упрощения нетривиальной процедуры поиска допустимой стартовой точки для описанных выше задач осуществляется переход к решению вспомогательных задач, основанных на гомотетических преобразованиях кругов. Таким образом, в дальнейшем
полагаем, что коэффициенты гомотетии X і переменные, при этом X і = X, 0 <X< 1, і є In.
Рассмотрим подробнее алгоритмы поиска стартовых точек из области допустимых решений для задач 1-3.
Алгоритм 1.1 предназначен для поиска стартовых точек из области допустимых решений задачи 1 и заключается в следующем.
Шаг 1. Задаем стартовое значение радиуса контейнера R0 = Rup , Rup - верхняя оценка радиуса R.
Шаг 2. Генерируем множество точек v0 = (x0, y0) є Q°, і є In, случайным образом. Полагаем X0 = 0 .
Шаг 3. Используем точку u'0 = (R0,v0, X0) ,
v0 = (x0, у0, ..., хП, уП) в качестве допустимой стартовой точки для следующей вспомогательной задачи:
где u' = (R, v'), v'= (v, X), функции Y1 (v'), Y2(u')
задаются аналогично функциям Yi (v), Y 2 (u) в математической модели задачи 1 с учетом коэффициента гомотетии X. Обозначим точку локального максимума u'* = (R*, v'*) = (R*, v*, X*). Заметим, что если
X * = 1, то u '* является точкой глобального максимума задачи (13)-(14).
Следует отметить, что u'0 є Wx по способу построения.
Шаг 4. Стартуя из точки u''0 = (R0,v0, ц0) =
= (R*/X* ,v*/X* , -n), где n > 0 - заведомо большое число, решаем вспомогательную задачу:
ц* = max ц, s.t. u''є , (15)
W^ = {u'' є R2n+2 : Y1 (v) > 0, Y2 (u) > 0, ц (v) - ц > 0,
Ц2(v)-ц >0, ^(v)-ц>0,Z>0,RUp - R>0}, (16)
где u'' = (u, ц) = (R, v, ц). Следует отметить, что u''0 є W^ по способу построения.
Если в результате решения задачи (15)-(16) получено значение ц* < 0, это означает, что при заданной оценке Rup для сгенерированной стартовой точки u''0 не
удалось получить точку u'' , принадлежащую области допустимых решений задачи 1, поскольку нарушаются условия поведения системы. В этом случае
следует увеличить значение верхней оценки Rup и перейти к первому шагу алгоритма. Если в результате решения задачи (15)-(16) ц* > 0, то обозначаем полученную точку локального максимума через
u''* = (R''* ,v''*, ц*) .
Шаг 5. Формируем точку u0 = (R'' *, v'' *), полученную из точки u''* локального максимума задачи (13)-(14). Точка u0 служит стартовой точкой, принадлежащей области W задачи 1.
Алгоритм 1.2 предназначен для поиска стартовых точек из области допустимых решений задачи 2 и заключается в следующем.
Шаг 1. Генерируем случайным образом множество точек v0 = (x0, y0), принадлежащих кругам радиуса
R? , i є In . Полагаем X0 = 0 .
Шаг 2. Используем точку u'0 = (v0,X0), где
v0 = (x0, y0,..., xn, y0), B качестве стартовой точки для следующей вспомогательной задачи:
X* = max X, s.t. v^ WX, (17)
WX ={v': Y1(v')>0, Y2(v')>0,1 -X>0,X>0}, (18)
где v' = (v, X) є R2n+1, функции Y1 (v'), Y2 (v ') задаются аналогично функциям Yj (v), Y 2 (v) в математической модели задачи 2 с учетом коэффициента гомотетии X. Обозначим точку локального максимума
u' = (v' ) = (v , X ). Если в результате решения
вспомогательной задачи (17)-(18) получено X* < 1, то для данной стартовой точки для задачи 2 не удалось получить допустимого размещения объектов. В этом случае осуществляется переход к первому шагу алгоритма. Следует отметить, что u '0 Є Wx по способу построения.
Шаг 3. Полагаем u''0 = (v0, р0) = (v*, -р), где п >0 - заведомо большое число.
Стартуя из точки u''0 , решаем вспомогательную задачу:
р* = max р, s.t. u 'є , (19)
Wp = {u ''є R 2n+1 : Y1(v) > 0, Y 2(v) > 0,
P2 (v)-P>0, P3(v)-р>0} (20)
где u'' = (v, р) . Следует отметить, что u''0 Є Wp по способу построения.
Если в результате решения вспомогательной задачи
(19) -(20) получено значение р* меньшее нуля, то это
означает, что для задачи 2 не удалось получить решение, удовлетворяющее условиям поведения системы. В этом случае следует перейти к шагу 1 алгоритма. Обозначим точку локального максимума задачи (19)-
(20) через u''* = (v*, р*).
Точка v = v , полученная из точки локального экстремума u'' задачи (19)-(20), служит стартовой точкой, принадлежащей области допустимых решений W для задачи 2.
Для поиска стартовых точек из области W задачи 3 используется алгоритм 1.1, при условии, что в задаче
(15)-(16) область Wp имеет вид
Wp = К є R2n+2 : Y1 (v) > 0, Y2 (u) > 0, р2 (v) - р > 0,
рзС^)-р> 0 С> 0,Rup -R > 0}.
Такой подход к поиску локальных экстремумов задач 1-3 позволяет улучшить сходимость методов локальной оптимизации и сократить время решения.
Суть алгоритма с использованием методов недифференцируемой оптимизации заключается в следующем.
Алгоритм 2 основан на применении r-алгоритма Шора, который позволяет с помощью негладких штрафов свести:
- задачу 1 условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации вида
min f1 (u),
N1 3
f1(u) = R + P1 S max{0, -Фk} + P2 S max{0, -рj} + k=1 j=1
+P3 max{0, -Q, (21)
- задачу 2 условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации вида
min f 2 (v),
N 2
f2 (v) = F(v) + P1 S max{0, -Фk } + k=1
3
+P2 S max{0, -рj} (22)
j=2
- задачу 3 условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации вида
min f3 (u) ,
N 3
f3(u) = aR + рF(v) + P1S max{0, -Фk} + k=1
3
+P2 S max{0, -рj} + P3 max{0, -Q (23)
j=2
где F(v) = (xs(v))2 + (y s (v)) 2 + (Zs - Z0)2, P1,P2,P3
- штрафные коэффициенты [9]; N1,N2,N3 - число
phi-неравенств в ограничениях размещения для соответствующих задач, где N1 = n(n +1)/2 ,
N2 = N3 = card(S) + n, Фk - phi-функции вида
(11), (12) из соотношений (10); ц, ц2, Н-з - функции вида (2), (4), (6), Z = R - max r.
i=1,...,n
Этот алгоритм предполагает также использование мультистарта и состоит в нахождении локальных минимумов функции вида (21), (22) или (23) для заданного набора стартовых точек. Стартовые точки генерируются случайным образом.
6. Тестовые примеры
Пример 1. Рассмотрим задачу 2 для контейнера, имеющего форму усеченного конуса. Пусть
А = {С) ще m = 2, H = 0^ Ri = O.5, R 2 = O.3,
ti = H/2,
A1 = {C^C^C^Q}, A2 = {C'5,C'6,C'7,C'8}, (xo,yo,Zo) = (0,0,0.275),
(ДJx, Ajy> Ajz) = (5, 5,5), (AJxy> AJyz> Ajxz) =
= (0,0,0).
Наилучшее решение с учетом всех ограничений поведения, полученное с помощью алгоритма 1 (рис. 3): u =v*, F(u*)=0.000819642. Заметим, что и* является точкой глобального минимума.
Пример 2. Рассмотрим задачу 2 для контейнера параболической формы. Пусть А = {С'і,іє I45}, m = 3, H = 70, t1 = 18.5, t2 = 14, hi = 1.85, i е I45, радиусы Гі и массы mi цилиндров C), і е I45, задаются
{ri,iе I8} = {0.1, 0.1, 0.1, 0.075, 0.075, 0.06, 0.05, 0.045}, {hi,iе I8} = {0.12, 0.09, 0.1, 0.1, 0.1, 0.075, 0.1, 0.08}, {mi,iе I8} = {26.62, 16.97, 18.85, 10.6,
следующим образом: {Гі , i е J45} = {2 0, 2 4, 08, 1 1,
1.3, 0.7, 0.7, 1.5, 2.4, 1.8, 1.5, 1.7, 1.7, 1.4, 1.6, 1.8, 0.5,
2.1, 2.1, 1.3, 0.8, 1.4, 0.8, 1.5, 1.1, 1.7, 2.1, 1.6, 0.6, 1.8,
2.4, 1.3, 2.0, 1.0, 1.5, 2.0, 2.2, 1.7, 1.7, 0.7, 2.1, 1.1, 0.5,
Рис. 3. Размещение объектов, соответствующее точке локального минимума и* , с учетом всех ограничений поведения: а - размещение цилиндров подмножества А1 снизу стеллажа S2 ; б - размещение
2
цилиндров подмножества А сверху стеллажа S2 ; в - вид системы Qа
Рис. 4. Размещение цилиндров, соответствующее точке глобального минимума u*: а - подмножество А1 цилиндров на стеллаже S1; б - подмножество А2 цилиндров на стеллаже S2 ; в - подмножество А3 цилиндров
на стеллаже S3 ; г - вид системы Q А
2.3, 0.8}, {mi, і є I45} = {86, 72, 81, 54, 29, 94, 92, 41,
57, 77, 40, 67, 31, 47, 39, 61, 73, 83, 11, 20, 75, 29, 36,
58, 75, 32, 98, 52, 76, 85, 59, 18, 85, 36, 12, 35, 61, 49, 89, 68, 80, 93, 82, 70, 20},
(xo,yo,zo) = (0,zs), a1 = {q,...,C20b
A2 = {^21,..., ^35}, A3 = {С36,...,ед. Наилучшее локально-оптимальное решение без учета ограничений р 2 (v) > 0 и р3 (v) > 0, найденное с помощью алгоритма 1 (рис. 4): u* = v*, F(u*)=0. Заметим, что u* является точкой глобального минимума.
Пример 3. Рассмотрим задачу 3. Пусть А = {^і,іє I21} , m = 3 , H = ^ ti = 3, t2 = 3, hi = 0,88, i є I21, (x0,y0,z0) = (0,0, zs). Радиусы Гі и массы mi цилиндров С, i є I21, задаются так: Гі = 0,45, mi = 3,1416, для i = 1,...,7; Гі = 0,5, mi = 3,8013, для і = 8, ...,14 ; Гі = 0,54,
mi = 4,5239, для і = 15,...,21.
a1 = {С1> С8, С9 , С15 , С16 , С17, С18 } ,
А2 = {С2, С3, С4, С10, С11, С12, С13, С19, С20},
А3 = С5,С6,С7,С4,С21}.
Наилучшее решение без учета ограничений р 2 (v) > 0
и р3(v) > 0, найденное с помощью IPOPT (рис. 5): u*=(R*, v*), R*=1,7554, F(u*)=1,7555+0,0. Точка u является точкой локального минимума.
Пример 4. Рассмотрим задача 3. Пусть А = {С,іє 135} , m = 2, H = 9, ^ = 4, hi = 1,85,
(x0,y0,z0) = (0, 0, zs). Радиусы Гі и массы mi цилиндров Сі, і є I35, задаются так: {rb і є I35} = ={20, 24, 8, 11, 13, 7, 7, 15, 24, 18, 15, 17, 17, 14, 16, 18, 5, 21, 21, 13, 8, 14, 8, 15, 11, 17, 21, 16, 6, 18, 24, 13, 20,
10, 15}, {mi, і є I35} = {86, 72, 81, 54, 29, 94, 92, 41, 57, 77, 40, 67, 31, 47, 39, 61, 73, 83, 11, 20, 75, 29, 36,
* 1
Рис. 5. Размещение цилиндров, соответствующее точке локального минимума и : а - подмножество A
23 цилиндров на стеллаже Si; б - подмножество A цилиндров на стеллаже S2 ; в - подмножество A
цилиндров на стеллаже S3 ; г - вид системы Q а
Рис. 6. Локально-оптимальное размещение цилиндров без учета ограничений поведения:
1 2
а - подмножество A цилиндров на стеллаже Si; б - подмножество А цилиндров на
стеллаже S2 ; в - вид системы Qа
58, 75, 32, 98, 52, 76, 85, 59, 18, 85, 36, 12}, A1 = {CX,C2,...,C20}, А2 = {С'21,Г22,...,Г35}.
Наилучшее локально-оптимальное решение без учета ограничений р2 (v) > 0 и р3 (v) > 0 , найденное с помощью IPOPT (рис. 6): u*=(R*, v*), R*=80,716254, F(u*)=80,716254+0,0. Точка u* является точкой локального минимума.
Выводы
Рассмотрены три класса задач балансной компоновки цилиндров: в зависимости от вида функции цели, формы контейнера, наличия стеллажей в контейнере, метрических характеристик цилиндров и особенностей их размещения внутри контейнера. Основным свойством, объединяющим перечисленные выше три задачи, является то, что параметры размещения цилиндров по оси z - фиксированы. Для каждой задачи построены математические модели в виде задач нелинейного программирования. Рассмотренные задачи могут быть сведены к задачам квадратичного программирования. Для их решения задач используются два подхода: 1) метод локальной оптимизации с применением алгоритмов построения стартовых точек из области допустимых решений и программы IPOPT; 2) метод негладкой оптимизации, основанный на /"-алгоритме Шора с применением программы ralgb5. Данные подходы используют принцип «мультистарта» для поиска “хороших” локальных, а в некоторых случаях и глобальных, решений. Приведенные результаты для тестовых примеров показали эффективность предложенных подходов для рассмотренных классов задач балансной компоновки цилиндрических объектов. Получены рекорды для некоторых известных тестовых примеров benchmark instances.
Литература: 1. Fasano G, Pinte ’r J.D. Modeling and Optimization in Space Engineering. Series: Springer Optimization and Its Applications. New York: Publisher Springer New York, 404 p. 2. Che C., Wang Y., Teng H. Test problems for quasi-satellite packing: Cylinders packing with behavior constraints and all the optimal solutions known // Орtіmization Online. 2008. Electronic source: http:// www.optimizationonline.org/ DB_HTML/2008/09/2093.html. 3. Sun Z., Teng H. Optimal layout design of a satellite module // Engineering optimization. 2003. Vol. 35, №2 5. P. 513-530. 4. Lei K. Constrained Layout Optimization Based on Adaptive Particle Swarm Optimizer // Advances in Computation and Intelligence. Series: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2009. № 1. P. 434-442. 5. Коваленко А.А., СтецюкП.И., Романова
Т.Е. Задача балансной компоновки 3D-объектов: математическая модель и методы решения // Кибернетика и системный анализ. 2015. Т. № 4. 6. Stoyan Yu., Romanova T. Mathematical Models of Placement Optimization: Two- and Three-Dimensional Problems and Applications // Modeling and optimization in space engineering. Series: Springer optimization and its applications / Fasano G, Pinte’r J.D. (Eds.), XII. 2013. Vol. 73. P. 363-388. 7. Wachter A., Biegler L.T. On the implementation of an interior-point filter line-search algorithm for large-scale nonlinear programming // Mathematical Programming. 2006. Vol. 106, № 1, P. 25-57. 8. Shor N.Z. Nondifferentiable optimization and polynomial problems. Kluwer Academic Publishers, 394 p. 9. Shor N.Z., Stetsyuk P.I. Modified r-algorithm to find the global minimum of polynomial functions // Cybernetics and Systems Analysis. 1997. Vol. 33, № 4. P. 482-497. 10. Романова Т.Е., Коваленко А.А. Phi-функции для моделирования ограничений включения в оптимизационных задачах компоновки // Системи обробки інформації. 2013. Т. 1, №> 117. C. 228-133.
Поступила в редколлегию 23.11.2014
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Шляхов В.В.
Коваленко Анна Андреевна, аспирант Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Научные интересы: исследование операций, математическое моделирование, геометрическое проектирование. Адрес: Украина, 61013, Харьков, ул. Матюшенко, 3а, кв. 43, тел.: 098 0005125.
Панкратов Александр Викторович, д-р техн. наук, научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Научные интересы: исследование операций, математическое моделирование, геометрическое проектирование. Адрес: Украина, 61103, Харьков, ул. Деревянко, д. 14, кв. 26, тел.: 057 2941578.
Романова Татьяна Евгеньевна, д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Научные интересы: исследование операций, математическое моделирование, геометрическое проектирование. Адрес: Украина, 61084, Харьков, ул. Новгородская, д. 6а, кв. 31, тел.: 057 7013477.
Стецюк Петр Иванович, д-р физ/-мат/ наук, заведующий отделом методов негладкой оптимизации Института кибернетики им. В.М.Глушкова НАН Украины. Научные интересы: методы оптимизации, исследование операций, математическое моделирование. Адрес: Украина, 02090, Киев, ул. Новаторов, 22В, кв. 269, тел.: 044 2961059.
