Авторегрессионная модель квазипериодического сигнала, связанная с изображением на цилиндре Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

СТАТИСТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ И АНАЛИЗ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

УДК 621.391

В. Р. КРАШЕНИННИКОВ, Д. В. КАЛИНОВ

АВТОРЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА, СВЯЗАННАЯ С ИЗОБРАЖЕНИЕМ НА ЦИЛИНДРЕ

Предложена и проанализирована модель квазипериодического случайного сигнала, который можно рассматривать как развертку изображения, определенного на цилиндре или на винтовой спирали. Порождаемые сигналы, если их рассматривать как звуковые, близки по звучанию к гласным речевым звукам или к музыкальным тонам.

Известная авторегрессионная модель Хабиби [1] часто используется для представления изображений, заданных на конечной или бесконечной плоской прямоугольной сетке, шаг которой для удобства возьмем единичным:

хи = Р*к,1-1 + гхк_и - Р гхк_] Ы + 0£к1 , (1)

гДе 4/ - независимые стандартные гауссовские случайные величины. Изображение, порождаемое этой моделью, в установившемся режиме имеет ковариационную функцию (КФ)

= = (2)

где

дисперсия изображения.

Кроме плоских изображений, можно рассматривать и другие двумерные изображения. Например, изображения, заданные на различных поверхностях - цилиндрах, конусах и т.д. Рассмотрим изображения, заданные на цилиндрах (рис. 1).

/С-

а) круговая б) спиральная

Рис. 1. Различные сетки на цилиндре

На цилиндре можно задать различные сетки для формирования изображений. На рис. 1а показана сетка, соответствующая обычным цилиндрическим координатам. Строки этой сетки являются окружностями, т.е. они замкнуты. Поэтому изображение на такой сетке может быть задано только некаузальной авторегрессионной моделью, что неудобно для имитации. Рассмотрим спиралевидную сетку, показанную на рис.16. Строки этой сетки представляют собой витки спирали (винтовой линии), и все такое сеточное изображение естественным образом может быть развернуто в последовательность своих отсчетов.

Для описания изображения, заданного на спиралевидной сетке, можно применить модель (1), где к- номер витка спирали и 1 - номер узла в витке. При этом / - О,Г -1 и хк1 = хш,_т при I >Т . Существенно, что данная модель

каузальна, поэтому легко может быть использована для имитации изображений, заданных на цилиндре.

Полученная модель цилиндрического изображения может быть представлена в эквивалентном виде как модель случайного процесса, представляющего собой развертку изображения вдоль спирали:

= Р*п-х + гхп-т - Р гх„-т-1 + , (4)

где п = кТ +1.

Очевидно, при значениях г, близких к единице, соседние строки изображения (витки спирали) будут незначительно различаться между собой, поэтому модели (1) или (4) могут быть использованы для описания и имитации квазипериодических сигналов, например, речевых или музыкальных.

Проанализируем описанную модель изображения и процесса. Представление модели в виде (1) дает основание предположить, что КФ

изображения при |/)«Г, когда еще не сказывается квазипериодичность, должна быть близка к (2).

Найдем КФ процесса, заданного моделью (4), на бесконечной в обе стороны спирали (и = -со,+со), т.е. в установившемся режиме. Используя г-преобразование, имеем :

(1 -рг-г^+ргг™)* {\-Р2){\-гг1)хп=^п,

Р

" {\-pzW-rz7)

(5)

Отсюда г-преобразование КФ А/[х0хп] процесса хиесть

}2 о2„Г+1

Р

р г

(1 - р г)(\ - ггт )(1 - р/2)( 1 - г/2Г) (1 - р г)(7 - /7)(1 -пт ){?'• - г)

Следовательно,

(6)

где С = {2 -1} - единичная окружность на комплексной плоскости. Учитывая, что при и>0 внутри С находятся полюсы гк = Ъ1гехр(12кл;/Т), к =б,7*-1 и гт - р, и вычисляя (6) с помощью вычетов, получаем:

= 32

Т+в

Т+г

Т-1

^ О -РЧ )(** ~ Р)( 1 - гг\ )П (х, ~ 7М) ' (1-р:,)(1-гр?)(/-г)

+ -

ш^Лг

(7)

1

£

{(Х-г^Ти^-Р^ь-Р) (1--р1){\-г5)($-г)

где х = р .

Выражение (7) представляет собой разложение КФ по степеням гк,

к —0,Т. При вычислении предполагалось, что рт фг, т.е. = р, и все

полюсы в (5) простые. В противном случае, переходя в (7) к пределу при г рт, получаем:

1-\

V

"(и) = 01 У т- ,, * о--^г- А

■, (2я -1 + Т)р2 - (2п +1 + Т)+ {2п +1 - Т)р1т + (1 + Т - 2п)р2т'2 „

2т(1-р2Ц1-р"Т " '

Вычисления в (7) при больших Т становятся громоздкими, поэтому получим другие выражения для КФ, используя разложение хп по возмущениям ¿¡п) следующее из (5):

«5 Г-1

= I (Р *У К«г )' -11Р" [гк + гн 5 + -■ + *4 У- =

(1-р2)(1-ггт) ' ^ ' кОА'

1 / ч

г к=0 /в=0

= Л±{гМ - 1 (9)

Г ^ О т=0 Г 5

где [л}= 1т(*/7") и (*) = *(то<1Г). Отсюда

(г ~ 5)

В частности, при п = кТ получаем

?2 « 7 -1

= X ХУИ

=-^-£-((1 - Г )г*+1 - (1 - г2 )

Из (11) при А- = 0 находим дисперсию процесса

±?>-- (12)

(1-^)(1-Г2)(1-Г5)

и другую форму (11):

При О <1<Т

У(кТ) = а1гк + - 5{г\ *к) . (13)

(П)

_/ Г-1

т = о'Р'+--Х > (14)

Из (13) и (14) следует, что КФ цилиндрического изображения несколько отличается от множительной КФ (2): межстрочная КФ (13) и внутристрочная КФ (14) несколько больше, чем (2). Однако при больших Т , 1 «Т , к «Т и р та г вторыми слагаемыми в (13) и (14) можно пренебречь, т.е. на небольших расстояниях КФ цилиндрического изображения близка к множительной. Это объясняется тем, что на небольших расстояниях квазипериодичность сказывается незначительно.

Ил рис. 2 представлен график корреляционной функции процесс I. вычисленной с помощью (7) при р - г 0 9 и У 100. На рис 3 покидан пример июбрижения. имитированного с помощью описанной модели при юх же значениях параметров Ни лом рисунке 200 в»п кои спирали представлены и виде столбцов. Кик и следовало ожидать, это и поражение по тскстурс очень похоже на изображения, получаемые с помощью модели Хабиби О|личительной особенностью являси-м блиюсгь яркостей первой и последней строк.

4 У(п)/У(0)

ч. !Чк 2 I рйфик КФ щкжеич»

Рис.З. Имтнровлнмое м л Сражение

Случайные процессы, порождаемые этой моделью, кваншериодичны и не имеют большие скачков при />, близких к единице. На рис. 4 представлен график реализации процесса при тех же параметрах, ню и на рис. 3. Если подобные процессы рассматривать ка» туковые сигналы, го

гю жучаиию они походят на музыкальные юна или речевые мненыг ж>ки Для сравнения на рис 5 приведен график записи звука «а» Отметим, что если таким же образом ишернретиривть растровую рнзиертку изображения, ими иронанного с помощью обычной модели Хабиби, то ирослушинаггся

сильный треск из 1а скачков процесса при переходе от конца одной строки к началу следующей.

Таким образом, предложенная модель позволяет описышш. и имитировать изображения, заданные па цилиндре, и киазииериодичсскис сигналы, близкие ПО сиоИстнам к музыкальным тоним и гласным речевым тукам. Отметим, что данная модель допускает различные обобщения Можно повысить порядок лвторегрссош, вводя зависимость очередного отсчета от более ранних ниIкон спирали и от большею числа злементов ни нитках. Ьолсс интересным обобщением является задание изображения на более сложной поверхности вращения (с переменными радиусами сечений), тогда книжнериоды могут иметь различную продолжительность, чго присуще, например, речевым сигналам.

СПИСОК ЛИТГРАТУРЫ

I Хооиои А Диум?рнмя (>нйссояскдя оиенм то«ул г.сний // ГИИ")Р 1972. К» 5. С. 113-\Ж

Иестник Ул1 ТУ 3^2000

I

Крашенинников Виктор Ростиславович, доктор технических наук, профессор, действительный член РАЕН, окончил механико-математический факультет Казанского государственного университета. Профессор кафедры САПР Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области статистических методов обработки многомерных случайных полей, в частности, изображений и их последовательностей,

Калинов Дмитрий Вячеславович, аспирант кафедры САПР УлГТУ. Окончил естественнонаучный факультет Ульяновского государственного технического университета. Имеет работы в области обработки изображений.