Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {48,35,9;1,7,40}

Махнев Александр Алексеевич; Биткина Виктория Васильевна; Гутнова Алина Казбековна

Владикавказский математический журнал 2020, Том 22, Выпуск 2, С. 24 33

УДК 519.17

DOI 10.46698/ n0833-6942-7469-t

АВТОМОРФИЗМЫ ДИСТАНЦИОННО РЕГУЛЯРНОГО ГРАФА С МАССИВОМ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ {48, 35, 9; 1, 7, 40}#

А. А. Махнев1, В. В. Биткина2, А. К. Гутнова2

1 Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского, Россия, 620990, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16; Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 44-46 E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Аннотация. Если дистанционно регулярный граф Г диаметра 3 содержит максимальный локально регулярный 1-код, совершенный относительно последней окрестности, то Г имеет массив пересечений {a(p + 1), cp, a + 1; 1, c, ap} ил и {a(p + 1), (a + 1)p, c; 1, c, ap}, где a = a3, c = c2, p = p33 (Юришич и Видали). В первом случае Г имеет собственное значение в2 = — 1 и Г3 является псевдогеометрическим графом для GQ(p + 1,a). Если c = a — 1 = q p = q — 2, то Г имеет массив пересечений {q2 — 1, q(q — 2), q + 2; 1, q, (q + 1)(q — 2)} q > 6. В работе изучены порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов гипотетического дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {48, 35, 9; 1, 7,40} (q = 7). Пусть G = Аи^Г) — неразрешимая группа, действующая транзитивно па множестве вершин графа Г K = 07(G), T — цоколь группы G = G/K. Тогда T содержит единственную компоненту L, точно действующую на K, L = L2 (7), A5, Аб, PSp4(3) и для поотого прообраза L группы L имеем La = Ka х 07'(La) и |K| =7 в случае L = L2(7), |K| = 7 в противном случае.

Ключевые слова: сильно регулярный граф, дистанционно регулярный граф, автоморфизм графа. Mathematical Subject Classification (2010): 05С25.

Образец цитирования: Махнев А. А., Биткина В. В., Гутнова А. К. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {48, 35, 9; 1, 7,40} // Владикавк. мат. журн.—2020.—Т. 22, вып. 2.—С. 24-33. DOI: 10.46698/n0833-6942-7469-t.

1. Введение

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для вершины а граф а Г через ГДа) обозначи м ¿-окрестность вершины а, т. е. подграф, индуцированный Г на множестве всех вершин, находящихся на расстоянии г от а. Положим [а] = Г1(а) а± = {а} U [а].

Пусть Г — граф, а,Ь € Г число вершин в [а] П [^обозначается через ц,(а,Ъ) (через Л (а, b)), есл и а b нжодятся на расстоянии 2 (с межны) в Г Далее, индуцированный [а]П[Ь] подграф называется ^-подграфом {Л-подграфом).

Система инцидентности с множеством точек P и множеством прямых L называется а-частичной гемьетрией порядка (s, i), еми каждая прямая содержит ровно s + 1 точку

# Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований и ГФЕН Китая, проект № 20-51-53013.

каждая точка лежит ровно на ¿+1 прямой, любые две точки лежат не более чем на одной прямой, и для любого антифлага (а, 1) € (Р, ^) найдется точно а прямых, проходящих через а и пересекаюших 1 (обозначение: рСа(в, ¿)). В случае а = 1 геометрия называется обобщенным четырехугольником и обозначается С((в,Ь). Точечный граф геометрии

Р

Точечный граф геометрии рСа(в, ¿) сильно регулярен с V = (в + 1)(1 + вЬ/а), к = в(Ь + 1), Л = в — 1 + ¿(а — 1) ^ = а(Ь + 1). Сильно регулярный граф с такими параметрами для некоторых натуральных чисел а, в, Ь называется псевдогеометрическим графом, для рСа(в,Ь).

Если вершины и, w находятся та расстоянии г в Г, то через Ъ^(и^) (через с^(и, w)) обозначим число вершин в пересечении Г^+1(и) (Г^_1(и)) с Граф Г диаметра I называется дистанционно регулярным с массивом, пересечений {Ъ0, Ъ1,..., Ъ^_1; с1,..., с^}, если значения Ъг(и, w) и сг(и, w) не зависят от выбора вершин и, ^ ^^ ^^тетоянии г в Г для любого г = 0,..., I. Положим аг = к — Ъг — с

Для подмножества X автоморфизмов графа Г через Пх(Х) обозначается множество всех вершин графа Г, неподвижных относительно любого автоморфизма из X. Далее, через р-(ж, у) обозначим число вершин в подграфе Г^(х) П Г^(у) для вершин ж, у, находящихся па расстоянии 1 в графе Г. В дистанционно регулярном графе числа р-(ж, у) не зависят от выбора вершин ж, у, обозначаются р- и называются числам,и пересечений графа Г [1].

Граф называется вершинно симметричным, если его группа автоморфизмов действует транзитивно на множестве вершин.

Пусть Г — граф диам етра йе — натуральное число. Подмножество С вершин графа Г называется е-ко^о^, если минимальное расстояние между двумя вершинами из С не меньше 2е + 1. Для е-кода в дистанционно регулярном графе диаметра I = 2е + 1 выполняется граница |С| ^ р^ + 2. В случае равенства код называется максимальным. Для максимального е-кода в дистанционно регулярном графе диаметра I = 2е + 1 выполняется граница с^ ^ а^р^. В случае равенства код называется локально регулярным. Наконец, для е-кода в дистанционно регулярном графе диаметра I = 2е + 1 выполняется граница |С| ^ к^/^^=0Píd + 1- В случае равенства код называется совершенным относительно последней, окрестмост,и, [2].

Если дистанционно регулярный граф Г диаметра 3 содержит максимальный 1-код С, являющийся локально регулярным и совершенным относительно последней окрестности, то по предложению 5 из [2] Г имеет массив пересечений {а(р + 1), ср, а + 1; 1, с, ар} или {а(р + 1), (а + 1)р, с; 1, с, ар}, где а = аз, с = с2, р = р^. В первом случае Г имеет собственное значение 02 = —1 и граф Гз является псевдогеометрическим для С((р+1, а).

В случае с = а — 1 = д, р = д — 2 по [2] граф Г имеет массив пересечений {д2 — 1, д2 — 2д,д + 2; 1, д, (д + 1)(д — 2)} д > 6, спектр (д2 — 1)1, (2д — 1)^2_1)/6, —1(?+1)(?2 +9_2)/25 —(д + 1)9(9_1)(9_2)/3 и Г2 является псевдогеометрическим графом для рС2(д — 1, 2д + 2). При д = 7 получим массив пересечений {48, 35, 9; 1, 7, 40}.

В данной работе изучаются автоморфизмы гипотетического дистанционно регулярного графа Г с месивом пересечений {48, 35, 9; 1, 7, 40}. Этот граф имеет V = 1 + 48 + 240 + 54 = 343 = 73 вершин и спектр 481, 1356, — 1216, —870. Ввиду границы Дельсарта максимальный порядок клики в Г не больше 7, а максимальный порядок коклики в Г не больше 49. Далее, граф Гз является псевдогеометрическим для С((6, 8).

Теорема 1. Пусть Г — дистанционно регулярный граф, имеющий массив пересечений {48, 35, 9; 1, 7, 40} С = Аи^Г), д — элемент из С простого порядка р и О = Пх(д). Тогда

п(О) С {2, 3, 5, 7} и выполняется одно из следующих утверждений:

(1) О — пустой граф, р = 7 а:^) = 49(1 + 1 + 38) а3(д) = 49(21 + 1) и 31 + 2 + 38 ^ 7;

(2) О является 1-кликой, р = 3, а^д) = 3(71 + 16 + 21в) а3(д) = 421 + 54 и 91 + 98 + 15 ^

49

(3) О является 7-коклнкой, любые две вершины из О находятся на расстоянии 3, р = 2, а1(д) = 141 - 18 + 42в п аз(д) = 281 - 36;

(4) О содержит ребро и либо О содержит вершины, находящиеся на расстоянии 2 в Г ир ^ 11 либо О — объединение двух изолированных 4-клик, р = 5 а1(д) = 35в+20+105^ и а3(д) = 5 + 708.

Г

сечений {48, 35, 9; 1, 7, 40}, и неразрешимая группа О = Аи^Г) действует транзитивно на множестве вершин графа. Если К = 07(0) Т — цоколь группы О = О/К, то Т содержит единственную компоненту Ь, точно действующую на К, Ь = ¿2(7) А5, Аб, Р 5^4(3) и для полного прообраза Ь группы Ь имеем Ьа = Ка х О7' (Ьа) и |К| = 73 в случае Ь = ¿2(7), |К| = 74 в противном случае.

Для доказательства следствия полезна

Теорема 2. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (343, 54, 5, 9) и спектром 541, 5216, — 9126, О = Аи^Г), д — элемент простого порядка р из О, аДд) = pwi для г > ^А = Р1х(д). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) д _ пустой граф, р = 7 и а1(д) = 49(2в + 1);

(2) А является н-кликой, либо р = 2 н = 7 и а1(д) = 281, либо р = 3 н = 1, 4, 7 иа1(д) = 5н + 7 + 421;

(3) А является т-кокликой, т > 1, р = 3 т € {4, 7,..., 49} и а1(д) = 5т + 7 + 421;

(4) А р = 3 максимальной клики из А равен 1 или 4;

(5) р < 7.

2. Предварительные результаты

Сначала приведем один вспомогательный результат [3, теорема 2.3].

Лемма 1. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (V, к, А,^) и вторым собственным значением г. Если д — автоморфизм Г и А = Е1х(д), то |А| ^ V ■ тах{А, ^}/(к — г).

По лемме 1 для графа с параметрами (343, 54, 7, 9) получим | А| ^ 343 ■ 9/49 = 63.

Г

{48, 35, 9; 1, 7, 40} Г

(1) р111 = 12 р112 = 35 р212 = 160 р123 = 45 р133 = 9

(2) р121 = 7 р212 = 32 р123 = 9 р222 = 171 р223 = 36 р233 = 9

(3) р?2 = 40 р?3 = 8 р32 = 160 р23 = 40, р33 = 5.

< Доказательство следует из [1, лемма 4.1.7]. >

Доказательство теорем опирается на метод Хигмена работы с автоморфизмами дистанционно регулярного графа, представленный в третьей главе монографии Камерона [4]. При этом граф Г рассматривается как симметричная схема отношений (X, с ^ классами, где X — множество вершин графа, Яо — отношение равенства на X и для г ^ 1

класс Кг состоит из пар (и, w) таких, что ((и, w) = г. Для и € Г положим кг = |Гг(и)|, V = |Г|. Классу Кг отвечает граф Г г на множестве вершин X, в котором вершины и, w смежны, если (и, w) € Кг. Пуст ь Аг — матрица смежности графа Г г для г > 0 и Ао = / — единичная матрица. Тогда АгА^ = ^ рг^- Аг для чисел пересечений рг^-.

Пусть Рг — матрица, в которой на месте (^ 1) стопт рг^-. Тогда собственные значения р1(0),... ,р1(() матрицы Р1 являются собственными значениями графа Г кратностей т0 = 1,..., ш^. Матрицы Р и у которых на месте (г, стоят pj(г) и qj(г) = т^рг(^)/кг соответственно, называются первой и второй матрицей собственных значений схемы и связаны равенством Р( = (Р = V/.

Подстановочное представление группы С = Аи^Г) па вершинах графа Г обычным образом дает матричное представление ф группы С в СР^, С). Пространство С является ортогональной прямой суммой собственных подпространств "0,..., "а матрицы смежности А1 граф а Г Для любого д € С матрица ф(д) перестаповоч па с А, поэтому подпространство "г является ф(С)-инвариантпым. Пусть хг — характер представления

д € С

а

хг(д) = ^^ Qгj а (g), j=0

где аj(д) — число точек ж из X таких, что ((х,хд) = j.

Лемма 3. Пусть Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {48, 35, 9; 1, 7, 40} С = Аи^Г). Если д € С, Х1 _ характер проекции представления ф на подпространство размерности 56, Х2 — характер проекции представления ф на подпространство размерности 216, то аг (д) = аг(дг) для любого патурального числа I, взаимно простого с|д|, Х1(д) = (7а0(д)+2а1 (д)—аз(д))/42 —7/6 иХ2(д) = (9а0(д)+аз(д))/14—9/2. Если |д| = р — простое число, то х1(д) — 56 и х2(д) — 216 делятся на р.

< Имеем

1 1 1 1

56 91/6 —7/6 —28/3

216 —9/2 —9/2 20

70 —35/3 14/3 —35/3

Значит, х1(д) = (8а0(д) + 13а1 (д)/6 — а2(д)/6 — 4аз(д)/3)/49. Подставляя а2(д) = 343 — а0(д) — а1(д) — аз(д), получим х1(д) = (7а0(д) + 2а1(д) — аз(д))/42 — 7/6.

Аналогично х2(д) = (432а0(д) — 9а1(д) — 9а2(д) + 40аз(д))/686. Подставляя а1(д) + а2(д) = 343 — а0(д) — аз(д), получим х2(д) = (9а0(д) + аз(д))/14 — 9/2.

Остальные утверждения леммы следуют из [5, лемма 2]. >

(343, 54, 5, 9)

В леммах 4-6 предполагается, что Г — сильно регулярный граф с параметрами (343, 54, 5, 9) и спектром 541, 5216, — 9126, С = Аи^Г), д — элемент простого порядка р из С, аг(д) = pw¿ для г > 0 и А = Е1х(д). Ввиду границы Хофмана максимальный порядок клики К из Г не больше 1 — к/0а = 7, максимальный порядок коклики С из Г не больше — ^а/(к — = 49. В случае |К| = 7 любая вершина из Г — К смежна с единственной вершиной из К, а в случ ае |С | = 49 любая вершина из Г — С смежна точно

С

Лемма 4. Выполняются следующие утверждения:

(1) если А — пустой граф, то р = 7 и а1(д) = 49(28 + 1);

(2) если А является н-кликой, то р = 2, н = 7 и а1(д) = 281;

(3) если А является т-кокликой, т > 1, то р = 3 т € {4, 7,..., 49} и а1(д) = 5т + 7 + 421

(4) А р = 3 и порядок максимальной клики из А равен 1 или 4.

< Имеем

( 111 д = 216 20 —9/2 \ 126 —21 7/2

Пусть ^2 — проекция мономиального представления О на подпространство размерности 126. Тогда <^2(д) = (36а0(д) — 6а1(д) + а2(д))/98. Подставляя а2(д) = 343 — а0(д) — а1(д) получим <^2(д) = (5а0(д) — а1(д) +49)/14.

Пусть А — пустой граф. Так как V = 73, то р = 7. Далее, число ^>2(д) = (—а1(д) + 49)/14 делится та 7, поэтому а1(д) = 49(2в + 1).

Пусть А является н-кликой. Если н = 1, то р делит 54 и 288, поэтому р = 2. В этом случае число ^>2(д) = (54 — а1(д))/14 четно, поэт ому а1(д) = 281. Далее, числа А и ^

Г— А А

Если н > 1, то для двух вер шин а, Ь € А элемен т д действует без неподвижных точек на [а] П [Ь] — А, [а] — Ь± и на Г — а\ Отсюда р делит 7 — н, 48 и 288, поэтому р = 2. Далее, числа А и ц нечетны, поэтому любая вершина из Г — А смежна с вершиной из А и н = 7. Далее, число <^2(д) = 6 — а1(д)/14 четно, поэтому а1(д) = 281.

Пусть А является т-кокликой, т > 1. Для двух вершин а, Ь € А элемент д действует без неподвижных точек на [а] П [Ь] и на Г — (а^ и Ь^ и А) Отсюда р делит 9 и 244 — т, поэтому р = 3, т € {4, 7,..., 49} ^>2(д) = (5т — а1(д) + 49)/14 и а1(д) = 5т + 49 + 421. Если т = 49, то каждая вершина из Г — А смежна с 9 вершинами из А и а1(д) = 0.

Ар делит 9 и 7 — где Ь — порядок максимальной клики из А, поэтому Ь € {1, 4} >

Лемма 5. Выполняются следующие утверждения:

(1) [а] А а € Г

(2) Г (V ',к ', 5, 9);

(3) р < 7.

< Пуст ь [а] С А для некоторой вер шины а. Тогда для любой вершины и € Г2(а) — А орбита и^ не содержит геодезических 2-путей и является кокликой.

Если |А| = 55, то р делит 288, ^>2(д) = (324 — а1 (д))/14 = 324/14, противоречие. Если же Ь € А — а^, то [Ь] С А, противоречие.

Допустим, что Г содержит собственный сильно регулярный подграф £ с параметрами (V ', к', 5, 9). Тогда 4(к' — 9) + 16 = н2, поэтому н = 21, к' = 12 + 5 1 ^ 6 £ имеет неглавные собственные значения 1 — 2 —2 — 1 и кратность 1 — 2 равна (1 + 1)(12 + 5)(12 + 1 + 7)/181. Отсюда 1 = 5 V ' — к' — 1 = 80 и £ имеет параметры (111, 30, 5, 9). Теперь число ребер между £ и Г — £ равно 111 ■ 24, противоречие с тем, что некоторая вершина из Г — £

£

Если р ^ 11, то А — сильно регулярный подграф с параметрами ^',к', 5, 9), противоречие. Значит, р ^ 7. >

Из лемм 4-5 следует теорема 2.

4. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа

{48, 35, 9; 1, 7, 40}

В леммах 6-7 предполагается, что Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {48, 35, 9; 1, 7, 40} С = Аи^Г), д — элемент простого порядка р из С и О = Пх(д).

Лемма 6. Выполняются следующие утверждения:

(1) если О пустой граф, то р = 7, а1(д) = 49(1 + 1 + 3в) и аз(д) = 49(21 + 1), 31 + 2 + 3в ^ 7;

(2) если О являет ся п-кликой, топ = 1 р = 3, а1(д) = 3(71 + 16 + 21в), аз(д) = 421 + 54 и 91 + 9в + 15 < 49;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(3) О ш ш > 1 О на расстоянии 3 в Г, р = 2, ш = 7, а1(д) = 141 — 18 + 42в и аз(д) = 281 — 36;

(4) О О

2 в Г либо О — объединение двух изолированных 4-клик, р = 5, а1(д) = 35в + 20 + 105Ь и аз(д) = 5 + 70в.

< Пусть О — пустой граф. Так как V = 343, то р = 7, число х2(д) = (аз(д) — 63)/14 сравнимо с 6 по модулю 7, поэтому аз(д) = 63 + 14(71 + 6) = 49 + 981.

Далее, число х1(д) = (а1(д) — 49(1 + 1))/21 делится та 7, поэтому а1(д) = 49(1 + 1) + 147в = 49(1 + 1 + 3в). Утверждение (1) доказано.

Пусть О является п-кликой. Если п = 1, то р делит 48 и 54, поэтому р = 2, 3. Имеем рзз = 9, рзз = 9 и рзз = 5, поэтому р = 2. Если р = 3, то число х2(д) = (9 + аз(д) — 63)/14 делится па 3, аз(д) = 421 + 54.

Далее, число х1(д) = (7 + 2а1(д) — 6(71 + 9) — 49)/42 = (а1(д) — 211 — 48)/21 сравнимо с 2 по модулю 3, поэтому а1(д) = 211 + 48 + 63в.

Если п > 1, то р делит 14 — п, 54 и 35, противоречие. Утверждение (2) доказано.

Пусть О являет ся ш-кокликой, ш > 1. Если любые две вершины из О находятся на расстоянии 3, то из равенств р1з = 8, рзз = 5 следует, что р = 2 и ш € {3, 5, 7}. Так как любая вершина из Г — О находится па расстоянии 3 от вершины из О, то ш = 7. Далее, число х2(д) = (63 + аз(д) — 27)/14 четно, поэт ому аз(д) = 281 — 36. Аналогично число х1(д) = (а1(д) — 141 + 18)/21 четно и а1(д) = 141 — 18 + 42в.

Ор Утверждение (3) доказано.

Пусть О содержит ребро и не содержит вершин, находящихся па расстоянии 2 в Г.

О1 клик находятся на расстоянии 3 в Г Так как р^ = 35 и р12 = 40, то р = 5 и порядки максимальных клик из О равны 4. Далее, рзз = 5, поэтому 1 = 2, число х2(д) = (72 + аз(д) — 63)/14 сравнимо с 1 по модулю 5, поэтому аз(д) = 5 + 70в. Число х1(д) = (1 + а1(д) — 35в)/21 сравнимо с 1 по модулю 5 и а1(д) = 35в + 20 + 1051 >

Лемма 7. Если О содержит вершины а, Ъ на расстоянии 2 вТ, то р ^ 11.

< Пусть О содержит вершины а, Ъ па расстоянии 2 в Г и О0 — содержащая а, Ъ

О

Если р ^ 13, то О0 — вполне регулярный граф с параметрами ^',к', 12, 7). Если О0 — сильно регулярный граф, то 4(к' — 7) + 25 = п2. В этом случае п = 2w + 1 и к' = w2 + w + 1. Неглавные собственные значения О0 равны w + 3 и 2 — w, причем кратность w + 3 равна (w — 3) + w + 1) + 2w — 1)/(7(2w +1)). Далее, ^ — 3,2w + 1) делит 7, + w + 1, 2w + 1) = (2w2 + 2w + 2, 2w2 + w) = ^ + 2, 2w + 1) делит 3 и

+ 2w — 1, 2w + 1) = (2w2 + 4w — 2, 2w2 + w) = (3w — 2, 2w + 1) делит 7. Отсюда 2w + 1 делит 49 ■ 3 и 2w + 1 = 7, противоречие.

Если О — несвязный граф, то к' ^ 8, противоречие. Итак, О — связный граф диаметра, большего 2. В случае к' ^ 25 получим |О| ^ 1 + 25 + 25 ■ 12/7 + 1. Противоречие с тем, что по лемме 1 имеем |О| ^ 63. В случае к' ^ 17 получим Ь1(О) ^ 4, к' ^ 3Ь1(О) и

О

Если к ' = 18, то р делит 30. Если к' = 19, то р = 29, Ь1(О) = 6, к ' ^ 3Ь1(О) и диаметр О не больше 2, противоречие.

Если к' = 20, то р делит 28. Если к' = 21, то р делит 27. Если к' = 22, то р = 13, |О3(а)| ^ 15 и |О| ^ 1 + 22 + 22 ■ 9/7 + 15, противоречие.

к = 23 р к = 24 р

>

Из лемм 6-7 следует теорема 1.

5. Вершинно симметричный дистанционно регулярный граф

{48, 35, 9; 1, 7, 40}

Г

сивом пересечений {39, 36, 4; 1,1, 36} и неразрешимая группа О = Аи1(Г) действует тран-зитивно на множестве вершин графа. Для вершины а € Г получим |О : Оа| = 343. Ввиду теорем 1-2 имеем п(О) С {2, 3, 5, 7}. Пусть К = 07(О), Т — цоколь группы О = О/К.

Лемма 8. Пусть и — элементарная абелева подгруппа из О порядка 49, д^ г € {1,2,..., 8} порождают различные подгруппы порядка 7 из и, Оi = Е1х^) и О0 = Е1х(и). Тогда выполняются следующие утверждения:

(1) если а € О0, то [а] и Г3(а) содержатся в ^О) и на Г нет и-орбит длины 49;

(2) О0

Пусть а € О0. Из действия и на [а], на Г2(а) и на Г3(а) следует, что О0 содержит не [а] Г2(а) Г3(а)

Для Ь € [а] П О0 следует, что [а] П [Ь] содержи 5 или 12 вершин из О0. Заметим, что [а] и Г3(а) содержатся в В противном случае Г3(а) содержит и-орбиту длины 49.

Противоречие с действием и на [й] П Г3 (а) для й € Г3(а) П О0. Если Г2(а) содержит V-орбиту А длины 4 9, и € А, то и смежна с 9 вершин ами из Г3(а). Верши па й € Г3(а) П [и] попадает в О^ ^^^ ^жотор ого г и й смежна с 7 вершин ами из А. Противоречие с тем, что число ребер между А и Г3(а) равно 9 ■ 49 но не больше 54 ■ 7. Утверждение (1) доказано.

Если |О0| ^ 28, то ввиду леммы 1 имеем |Г — О0| ^ 8 ■ 35 = 280, противоречие. Значит, |О0| ^ 21. Далее, 3 = 40, поэтому вершина из Г3(а) П О0 смежна с 5 вершинами из Г2(а) П О0. Поэтому О0 содержит точно 6 вер шин из [а], 9 вершин из Г2(а) и Г3(а) а € О0 Г3(а) П О0 и

Г2(а) П О0 равно 25 а число ребер между Г2(а) П О0 и Г3(а) П О0 равно 18, противоречие.

>

Оа

Лемма 9. Выполняются следующие утверждения:

(1) если 7 делит порядок компоненты L группы Т, то L фиксирует вершину из Г, |K : Ka| = 73, группа L изоморфна L2 (7) и точно действует на K;

(2) если 7 не делит порядок компоненты M группы Т, то группа M = Ma изоморфна As, Аб или PSp4(3) M не централизует K и |K : Ka| делит 73.

< По таблице 1 из [6] группа L изоморфна L2(7), L2(8), U3(3), A7, L2(49), U3(5), L3(4) As, A9) A10 J2, U4(3),PSps(7) £рб(2) или Q+(2).

Так как |L : La| делит 73, то группа L изоморфна L2(7) ми A7. Если |L : La| = 7, то |K : Ka| = 72, La цептрализ ует K и поточечно фиксирует aK. Есл и K — пеабе-лева группа, то коммутант K' содежится в Ka, противоречие. Теперь для подгруппы U = [K, La] порядка 9 орбита aU содержит 49 вершин, противоречие с леммой 8. Итак, L = La, |K : Ka| = 73 и L точно действует па K. Отсюда группа L изоморфна L2(7). Утверждение (1) доказано.

Если 7 не делит порядок компоненты M группы Т, то группа M = Ma является {2, 3, 5}-группой. Поэтому M изоморфна A5, A6 ми PSp4(3). Далее |K : Ka| делит 73.

M K M

ет aK >

Лемма 10. T содержит единственную компоненту L, точно действующую на K, L = L2(7) A5, A6, PSp4(3) и для полного прообраза L группы L имеем La = Ka х O7' (La) и |K| = 73 в случае L = L2(7), |K| = 74 в противном случае.

< По лемме 9 любая ком понента L групп ы T фиксирует вер шипу a. Есл и |L | не делится на 7, то по лемме 9 L = L2(7), A5, A^ PSp4(3) и L не централизует K. Пусть L — полный прообраз компоненты L. Тогда La = Ka х O7' (La).

Если |L | делится па 7, то по лемме 9 имеем |K : Ka| = 73, поэтому K — элементарная абелева подгруппа порядка 73, L изоморфпа L2(7) и |G : L| делит 2.

Допустим, что |La| не делится па 7. Так как GL3(7) не имеет секций, изоморфных A5, A6 или PSp4(3), то |K : (K)| делится па 74. Далее, группа Ga имеет циклическую силовскую 7-подгруппу, поэтому (K) фиксирует a, (K) = 1 и |K| = 74. >

Следствие 1 доказано.

Литература

1. Brouwer А. Е., Cohen А. М., Neumaier A. Distance-Regular Graphs.—Berlin-Heidelberg-N. Y.: Springer-Verlag.-1989. DOI: 10.1007/978-3-642-74341-2.

2. Jurisic A., Vidali J. Extremal 1-codes in distance-regular graphs of diameter 3 // Des. Codes Cryptogr.^ 2012,-Vol. 65.^P. 29-47.

3. Behbahani M., Lam C. Strongly regular graphs with nontrivial automorphisms // Discrete Math.— 2011.—Vol. 311.-P. 132-144. DOI: 10.1016/j.disc.2010.10.005

4. Cameron P. J. Permutation Groups.^Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.^(London Math. Soc. Student Texts, № 45). DOI: 10.1017/CB09780511623677.

5. Гаврилюк А. Л., Махнев А. А. Об автоморфизмах дистанционно регулярных графов с массивом пересечений {56, 45,1; 1, 9, 56} // Докл. АН.^ 20Ю.^Т. 432, № 5.-С. 512-515.

6. Zavarnitsine А. V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Siberian Electr. Math. Reports—2009—Vol. 6—P. 1-12.

Статья поступила 30 марта 2020 г. Махнев Александр Алексеевич

Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского, за в. отделом алгебры и топологии

РОССИЯ, 620990, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16 E-mail: makhnev0imm.uran. ru

Виткина Виктория Васильевна

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова,

доцент кафедры прикладной математики

РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 44-46

E-mail: [email protected]

Гутнова Алина Казбековна

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, доцент кафедры алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 44-46 E-mail: [email protected]

Vladikavkaz Mathematical Journal 2020, Volume 22, Issue 2, P. 24 33

AUTOMORPHISMS OF A DISTANCE REGULAR GRAPH WITH INTERSECTION ARRAY {48, 35, 9; 1, 7, 40}

Makhnev, A. A.1, Bitkina, V. V.2 and Gutnova, A. K.2

1 N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, 16 S. Kovalevskaja St., Ekaterinburg 620990, Russia 2 North Ossetian State University, 44-46 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia; E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Abstract. If a distance-regular graph r of diameter 3 contains a maximal locally regular 1-code perfect with respect to the last neighborhood, then r has an intersection array {a(p + 1),cp,a + 1;1,c, ap} or {a(p +1), (a + 1)p, c; 1, c,ap}, where a = ai, c = C2, p = p|3 (Jurisic and Vidali). In the first case, r has an eigenvalue #2 = — 1 and ri is a pseudo-geometric graph for GQ(p + 1,a). If c = a — 1 = q, p = q — 2, then r has an intersection array {q2 — 1, q(q — 2), q + 2; 1, q, (q + 1)(q — 2)} q > 6. The orders and subgraphs of fixed points of automorphisms of a hypothetical distance-regular graph with intersection array {48, 35, 9; 1, 7,40} (q = 7) Me studied in the paper. Let G = Aut(r) be an insoluble group acting transitively on the set of vertices of the graph r, K = O7(G), T be the socle of the group G = G/K. Then T contains the only component L, L that acts exactly on K, L = L2(7), A5, A6,PSp4(3) and for the full the inverse image of L of the group L we have La = Ka x O7' (L„^d |K| = 71 in the case of L = L2(7), |K| = 74 otherwise.

Keywords: strongly regular graph, distance-regular graph, automorphism of graph.

Mathematical Subject Classification (2000): 05C25.

For citation: Makhnev, A. A., Bitkina, V. V. and Gutnova, A. K. Automorphisms of a Distance Regular Graph with Intersection Array {48,35,9; 1,7,40}, Vladikavkaz Math. J., 2020, vol. 22, no. 2, pp. 24-33 (in Russian). DOI: 10.46698/n0833-6942-7469-t.

References

1. Brouwer, A. E., Cohen, A. M. and Neurnaier, A. Distance-Regular Graphs, Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag, 1989. DOI: 10.1007/978-3-642-74341-2.

2. Jurisic, A. and Vidali, J. Extremal 1-Codes in Distance-Regular Graphs of Diameter 3, Designs Codes and Cryptography, 2012, vol. 65, pp. 29-47.

3. Behbahani, M. and Lam, C. Strongly Regular Graphs with Nontrivial Automorphisms, Discrete Math,., 2011, vol. 311, pp. 132-144. DOI: 10.1016/j.disc.2010.10.005.

Univ. Press, 1999. DOI: 10.1017/CB09780511623677.

5. Gavrilyuk, A. L. and Makhnev, A. A. On Automorphisms of Distance-Regular Graphs with Intersection Array {56, 45,1; 1, 9, 56}, Doklady Mathematics, 2010, vol. 81, no. 3, pp. 439-442. DOI: 10.1134/S1064562410030282.

6. Zavarnitsine, A. V. Finite Simple Groups with Narrow Prime Spectrum, Siberian Electr. Math. Reports, 2009, vol. 6, pp. 1-12.

Received March 30, 2020 Alexander A. Makhnev

N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics,

16 S. Kovalevskaja St., Ekaterinburg 620990, Russia,

Head of Departament of Algebra and Topology

E-mail: makhnev0imm.uran. ru

https://orcid.org/0000-0003-2868-6713

vlktoriya V. bltkina

North Ossetian State University,

44-46 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia,

Associate Professor of the Department of Applied Mathematics

E-mail: [email protected]

Alina K. Gutnova

North Ossetian State University,

44-46 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia,

Associate Professor of the Department of Algebra and Geometry

E-mail: [email protected]

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

https://orcid.org/0000-0001-7467-724X

Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {48,35,9;1,7,40} Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Махнев Александр Алексеевич, Биткина Виктория Васильевна, Гутнова Алина Казбековна

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Махнев Александр Алексеевич, Биткина Виктория Васильевна, Гутнова Алина Казбековна

AUTOMORPHISMS OF A DISTANCE REGULAR GRAPH WITH INTERSECTION ARRAY {48,35,9;1,7,40}

Текст научной работы на тему «Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {48,35,9;1,7,40}»