CC BY
77
УДК 539.388.1, 539.431, 539.42
Автомодельные закономерности развития иоврежденности и оценка надежности силавов АМгб и Д16Т ири комбинированном динамическом и гигацикловом нагружении
В.А. Оборин, Ю.В. Баяндин, Д.А. Билалов, М.А. Соковиков, В.В. Чудинов, О.Б. Наймарк
Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 614013, Россия
В работе проведено исследование кинетики роста усталостных трещин в сплавах алюминия АМгб и Д16Т в режиме гигацикловой усталости при предварительном динамическом деформировании. Актуальность постановки определяется важными приложениями — оценкой ресурса материалов и элементов конструкций авиационных газотурбинных двигателей в условиях полетного цикла при случайных динамических воздействиях. Предварительное нагружение образцов осуществлялось динамическим растяжением на разрезном стержне Гопкинсона-Кольского при скоростях деформации до ~103 с-1, при последующем гигацикловом нагружении на ультразвуковой испытательной машине Shimadzu USF-2000 и количественном анализе фрактографии изломов на основе данных профилометрии и сканирующей электронной микроскопии. В работе предложено оригинальное кинетическое уравнение, устанавливающее связь между скоростью роста усталостной трещины, изменением коэффициента интенсивности напряжений и масштабными инвариантами, характеризующими коррелированное поведение дефектов различных структурных уровней. Показана связь параметров кинетического уравнения (показателей степени в обобщенном законе Пэриса) с масштабными инвариантами дефектных структур, формирующих рельеф поверхности разрушения в процессе гигациклового нагружения. Морфология поверхности трещин разрушения алюминиево-магниевого сплава АМг6 при предварительном динамическом нагружении и последующем гигацикловом нагружении исследовалась методом мультифрактального анализа флуктуаций с исключенным наклоном. Установлено, что переход от стадии формирования области локализованного деформирования «fish-eye» происходит за счет формирования очагов разрушения и сопровождается качественной сменой нелинейной динамики системы — переходом от монофрактальной к мультифрактальной динамике, что характеризуется расширением мультифрактального спектра на завершающей стадии роста трещины, приводящей к макроразрушению.
Ключевые слова: разрушение, гигацикловая усталость, скейлинг, морфология поверхности, мультифрактальный анализ, уравнение Пэриса, кинетика роста трещины
DOI 10.24411/1683-805X-2018-16015
Self-similar patterns of damage development and reliability assessment of AMg6 and D16T alloys under consecutive dynamic and gigacycle loading
V.A. Oborin, Y.V. Bayandin, D.A. Bilalov, M.A. Sokovikov, V.V. Chudinov, and O.B. Naimark
Institute of Continuous Media Mechanics UrB RAS, Perm, 614013, Russia
In the paper, we study the kinetics of fatigue crack growth in AMg6 and D16T aluminum alloys in the gigacycle fatigue mode under dynamic predeformation. The relevance of the problem statement is determined by the critical applications—assessment of resource of materials and structural elements of aircraft gas turbine engines experiencing random dynamic effects under flight cycle conditions. Specimens were preloaded by dynamic tension using the split Hopkinson (Kolsky) pressure bar at strain rates up to ~103 s-1, with subsequent gigacycle loading on the Shimadzu USF-2000 ultrasonic testing machine. Quantitative analysis of fracture fractography was performed using profilometry and scanning electron microscopy data. We propose an original form of the kinetic equation, which relates the fatigue crack growth rate to a change in the stress intensity factor. The scale invariance of defect structures responsible for the formation of the fracture surface relief under gigacycle fatigue loading is found to be related to the power exponent of the Paris law. The fracture surface morphology of an aluminum-magnesium alloy under consecutive dynamic and gigacycle loading is studied by the multifractal detrended fluctuation analysis method. It is found that a transition from the stage of formation of a localized "fish-eye" deformation region is caused by the generation of fracture sites and accompanied by a qualitative change of the nonlinear dynamics of the system—a transition from monofractal to multifractal dynamics characterized by the expansion of a multifractal spectrum at the final crack growth stage, which leads to macrofracture.
Keywords: fracture, gigacycle fatigue, scaling, surface morphology, multifractal analysis, Paris law, crack growth kinetics © Оборин В.А., Баяндин Ю.В., Билалов Д.А., Соковиков М.А., Чудинов В.В., Наймарк О.Б., 2018
1. Введение
Изучение закономерностей стадийности развития поврежденности, кинетики распространения усталостных трещин, являясь фундаментальной проблемой физики и механики разрушения, привлекает в последнее десятилетие исключительно большой интерес в связи с приложениями в авиационном моторостроении, ядерной энергетике при прогнозировании ресурса материалов и конструкций в области сверхмногоцикловых на-гружений. Серии катастроф, обусловленных усталостным разрушением газотурбинных двигателей [1-3], в сочетании с высокой стоимостью оценки ресурса и потенциальной стоимостью разработки новых конструкций, стимулировали перспективные концепции национальных программ в области много- и гигацик-лового разрушения, основанные на использовании новых фундаментальных результатов при оценке усталостной прочности. Влияние случайных статических или динамических нагрузок на долговечность материалов в условиях гигацикловой усталости вызывает в настоящее время большой интерес в авиационном моторостроении в связи с необходимостью решения проблемы надежности (долговечности) в условиях эксплуатации, например, лопаток газотурбинных двигателей при соударении с твердыми частицами, получившей в западной литературе определение «foreign object damage» [4-9].
В отличие от традиционных подходов, используемых при оценке ресурса, речь идет о необходимости разработки фундаментальных основ кинетики развития дефектов, зарождения и роста усталостных трещин в поврежденном материале с учетом эффектов взаимодействия дефектов различных уровней. Сложность постановки проблемы, аналогичной по ряду признаков фундаментальным проблемам в других разделах физики, ставит задачи исследования нелинейных закономерностей развития дефектов в условиях сильного взаимодействия последних, формирования областей локализованного роста дефектов с качественным изменением кинетики, приводящим к зарождению макроскопических трещин и их развитию в материале с дефектами. На особенность фундаментальных постановок задач усталостного разрушения обращал внимание Г.И. Ба-ренблатт, приводя аналогии с задачами физики горения и взрыва, в которых ряд ключевых результатов был получен применением методов теории подобия, связанных с установлением классов универсальных (автомо-
дельных) решений нелинейных кинетических уравнений.
Характерной чертой развития разрушения в условиях многоцикловой (гигацикловой) усталости является решающее влияние на усталостную долговечность стадии инициирования усталостной трещины. При этом качественным отличием является образование усталостной трещины в объеме материала, что решающим образом меняет постановку проблемы оценки усталостного ресурса, методов исследования стадийности развития разрушения. В противоположность сложившимся традициям в области многоцикловой усталости, где центральное внимание уделяется стадии распространения трещин, возникает фундаментальная проблема о зарождении усталостной трещины в ходе многомасштабных процессов развития поврежденности [10], ассоциируемой с дефектами различной природы (включения, полосы локализованного пластического сдвига, микротрещины, поры). В [11] отмечается, что стадийность разрушения характеризуется эффектами «необратимости», инициированными формированием локализованных сдвигов, играющих ключевую роль при зарождении усталостной трещины, что может проявляться в признаках нелинейности упругого поведения материалов, «аномалий упругой податливости» усталостных образцов. Роль стадии инициирования особенно важна для гигацикловых режимов нагружения, которые характеризуются зарождением очага разрушения в форме «fish-eye» в объеме материала. Природа образования особой зоны с сильно измельченным зерном вокруг внутреннего дефекта является также предметом интенсивных исследований [12].
2. Материал и условия эксперимента
Предварительное нагружение образцов из сплава алюминия АМгб и Д16Т осуществлялось динамическим растяжением на разрезном стержне Гопкинсона-Кольского при скоростях деформации до ~103 с-1, после чего образцы подвергались циклическим испытаниям (с коэффициентом асимметрии R = -1) на испытательной машине резонансного типа Shimadzu USF-2000 при обильном воздушном охлаждении сжатым воздухом с последующим изучением фрактографии изломов.
Химический состав и механические характеристики сплавов представлены в табл. 1 и 2.
Таблица 1
Химический состав алюминиевых сплавов (в процентном содержании)
Al Cu Mg Mn Si Fe Zn Be Ti Cr
АМгб 91.1-93.68 0.10 5.8-6.8 0.5-0.8 0.4 0.4 0.20 0.0002-0.0050 0.02-0.10
Д16Т 90.9-94.7 3.8-4.9 1.2-1.8 0.3-0.9 <0.5 <0.5 0.25 <0.15 <0.15
Таблица 2
Квазистатические характеристики при растяжении АМгб и Д16Т
Модуль упругости, ГПа Предел текучести, МПа Предел прочности, МПа Максимальное удлинение, %
АМгб 71 180 355 25
Д16Т 72 300 470 19
При растяжении образцов на разрезном стержне Гопкинсона-Кольского с помощью компактной газовой пушки, при налетании ударника на левый торец первого мерного (входного) стержня в нем формируется продольный одномерный импульс сжатия еп(?) (рис. 1).
Нагружающий импульс сжатия свободно проходит через обойму и образец, не вызывая пластической деформации в образце (основная часть волны распространяется через обойму, имеющую высокий предел текучести), во второй (выходной) стержень волной е12(?) и, достигнув свободного торца этого стержня, отражается волной растяжения. Этот импульс растяжения является исходной падающей волной для растяжения образца. Импульс растяжения, достигнув образца, частично проходит через него в первый стержень, частично отражается во второй стержень. Образец при
этом претерпевает пластическую деформацию в области, примыкающей к наименьшему сечению, обойма не испытывает растяжения, т.к. она не скреплена со стержнями (рис. 2).
3. Численное моделирование предварительного нагружении образцов
Величина и скорость предварительной динамической деформации образцов из АМгб и Д16Т определялись методами численного моделирования при помощи стандартной упругопластической модели. Полная система полевых уравнений для описания поведения материала при динамическом нагружении включает в себя уравнение движения
ру = У- о, (1)
уравнение неразрывности
р + рУ-у = 0, (2)
кинематическое соотношение
ё = 2(Уу + УУ), (3)
разделение тензора напряжений на шаровую и девиа-торную части:
о = о „ + о d, (4)
о„ = 1(о : Е)Е, (5)
гипотезу аддитивности деформаций:
ё = ёе + ёр. (6)
Ударник Мерный стержень Тензодатчик Образен
Рис. 1. Распространение волн в системе разрезного стержня Гопкинсона-Кольского
Рис. 2. Внешний вид образцов: образец, установленный в разрезной стержень Гопкинсона для предварительного динамического нагружения (обойма для наглядности снята) (а), исходный и после испытаний образцы на динамическое растяжение (б) (цветной в онлайн-версии)
Для описания упругого деформирования используется закон Гука
о = Х(£е: Е)Е + 2б£е, (7)
закон неупругого деформирования
р 3 V£р : £р
d'
условие пластичности
-он : он =а
у'
(8)
(9)
Приняты следующие обозначения: р — плотность; V — вектор скорости; о — тензор напряжений; о8 и аd — его шаровая и девиаторная части; £ — тензор деформаций; £е и £р — его упругая и пластическая составляющие; Е — единичный тензор; X и G — упругие константы; сту — предел текучести. Значения констант для сплава АМгб взяты из работы [13], а для сплава Д16Т — из работы [14].
Таблица 3
Результаты численного определения величины деформации и скорости деформации при предварительном динамическом нагружении для АМгб
№ Удлинение образца, мм Максимальная величина пластической деформации в области наименьшего сечения образца, % Средняя скорость пластической деформации в области наименьшего сечения образца, с-1
1 0.89 7.9 1080
2 1.77 13.5 1530
3 1.27 10.2 1210
4 2.21 17.6 1540
5 1.33 11.4 1230
б 1.23 11.4 1220
8 0.84 6.4 680
9 1.55 11.8 860
10 1.52 11.7 850
11 1.60 12.2 880
Таблица 4
Результаты численного определения величины деформации и скорости деформации при предварительном динамическом нагружении для Д16Т
№ Удлинение образца, мм Максимальная величина пластической деформации в области наименьшего сечения образца, % Средняя скорость пластической деформации в области наименьшего сечения образца, с-1
1 0.68 11.5 1280
2 0.77 12.4 1290
3 1.08 16.5 1370
6 0.80 13.6 1260
7 0.90 14.2 1240
8 0.92 14.9 1260
9 0.95 15.2 1160
10 0.96 15.4 1160
10 20 30 Время, мкс
Рис. 3. Зависимость скорости деформации от деформации в области концентратора (а) и разницы перемещения стержней от времени (б) для образца № 1 Д16Т
Для проведения расчетов использовались условия нагружения (перемещения захватов входного и выходного стержней от времени) из результатов экспериментальных исследований образцов АМгб и Д16Т на стержне Гопкинсона-Кольского. Результаты моделирования представлены в табл. 3 и 4 и на рис. 3 и 4.
4. Усталостные испытания образцов
Образцы, подвергнутые предварительному динамическому нагружению, подрезались и испытывались на усталость. Усталостное нагружение проводилось на испытательной машине резонансного типа Shimadzu USF-2000 при уровнях напряжений 105-162 МПа (рис. 5). Геометрия образцов приведена на рис. 6. Ультразвуковая испытательная машина позволяет испытывать мате-
вР
0.12 0.10 0.08 0.06 -0.04 0.02 0.00
Рис. 4. Распределение интенсивности пластической деформации в процессе предварительного нагружения для образца № 1 Д16Т в моменты времени (сверху вниз): 35, 50, 85, 100 мкс (цветной в онлайн-версии)
риалы на базе 109-1010 циклов с амплитудой от 1 и до нескольких десятков микрометров частотой 20 кГц, что сокращает время испытания до нескольких дней.
Обнаружено снижение на 15-25 % предельного напряжения разрушения предварительно нагруженного сплава АМг6 от уровня напряжения 162 МПа в исходном (недеформированном) состоянии до уровня напряжений 121-138 МПа, соответствующего критическому количеству циклов -7.5-108. Снижение предельного напряжения разрушения предварительно нагруженного сплава Д16Т (от уровня напряжения 150 МПа в исходном недеформированном состоянии до уровня напряжений 90-105 МПа) достигало 30-40 %.
5. Фрактальный анализ
Поверхностный рельеф разрушенных образцов исследовался методами фрактального анализа с помощью интерферометра-профилометра высокого разрешения NewView (при увеличении х2000) [15-18] для определения характеристик коррелированного поведения многомасштабных дефектных структур, с которыми связывалось распространение трещины.
При усталостных испытаниях сплава АМг6 наблюдались два типа разрушения образцов: 1) образцы разрушались непосредственно во время эксперимента;
а, МПа -
150- ♦
130-
1101 90
♦ Без предварительного нагружения □ С предварительным нагружением
1-1-1-1-1-1-1-г
5.5
6.5
7.5
8.5
№
а, МПа 150130"
110- с 90"
щ
♦ □
70;
5.5
♦ Без предварительного нагружения □ С предварительным нагружением
-1-1-1-1-1-1-1-1-
6.5 7.5 8.5 1е Л
Рис. 5. Кривая а-Ы в случае динамического предварительного нагружения и без предварительного нагружения для образцов АМг6 (а) и Д16Т (б)
Рис. б. Геометрия образцов АМгб (а), Д16Т (б). Размеры указаны в миллиметрах
2) образцы, обладающие явными признаками разрушения (сильное изменение резонансной частоты испытаний, выход усталостной трещины на поверхность), уже были не способны продолжать выдерживать усталостную нагрузку в резонансной частоте. Поверхность разрушения образцов первого и второго типа «вскрывалась доломом» при предварительном охлаждении образцов жидким азотом. Предполагается, что поверхность разрушения в режиме гигацикловой усталости уже сформировалась в процессе эксперимента и занимает большую часть поверхности разрушения, что сопровождается изменением резонансной частоты испытаний.
Рис. 7. Характерный рельеф поверхности зоны усталостного разрушения сплава АМг6 при многоцикловой (а) и гигацикловой усталости (б) для образца № 2 (цветной в онлайн-версии)
При разрушении цилиндрических образцов за число циклов, соответствующих многоцикловой усталости (106-107), трещина образуется на поверхности образца (рис. 7, а). При разрушении сплава АМг6 на базе 108 циклов и более трещина образуется внутри образца, и на поверхности разрушения видна характерная для такого режима усталости область излома—«рыбий глаз» («fish-eye»), в центре которой находится очаг разрушения, окруженный областью с фрагментированной (субмикрокристаллической) структурой (светлая область), рис. 7, б.
Области сканирования распределялись по зоне роста усталостной трещины и анализировались одномерные образы-срезы рельефа поверхности в радиальном направлении по отношению к границе раздела между зонами 1 и 3. Около 12 одномерных «срезов» анализировались в пределах каждого «окна», обеспечивая представительность данных о структуре рельефа, индуциро-
log2C (г)
log2r
log2C (r)
H = 0.68397 гч
sc 1 ^pz
^ 2.2 мкм 27.5 мкм
0 2 4 6 8 log2r
Рис. 8. Характерный вид зависимости log2C( г) от log2r (Х2000): АМг6, зона «fish-eye» (а); Д16Т (б)
ванного дефектами, с вертикальным ~0.1 нм и горизонтальным разрешением ~0.1 мкм.
Для определения минимального (критического) масштаба lsc, соответствующего установлению длинно-корреляционных взаимодействий в ансамблях дефектов, использовался метод определения показателя Херс-та [17]. По одномерным профилям рельефа поверхности разрушения вычислялась функция C(r) по формуле
1/9
C(r) = ((z(x + r) - z(x))2} - rH, (10)
где C(r) представляет собой усредненную разность значений высот рельефа поверхности z(x + r) и z(x) для окна размером r; H — показатель Херста (показатель шероховатости).
Представление функции C(r) в логарифмических координатах в соответствии с соотношением (10) позволяет провести оценку критического масштаба lsc (рис. 8, б). Значение нижней границы масштаба скей-линга принималось за значение критического масштаба lsc, значение верхней границы принималось за значение масштаба, связанного с зоной процесса Lpz — областью
коррелированного поведения дефектных структур (рис. 8, б).
Значения показателя Херста H и критических масштабов Lpz и lsc для различных условий нагружения приведены в табл. 5.
Сравнение скейлинговых характеристик образцов, нагруженных в условиях много- и гигацикловой усталости, позволило установить существенное уменьшение диапазона пространственных масштабов (0.510.9 мкм), на которых показатель Херста остается постоянным для динамически нагруженных образцов сплава АМгб в зоне «fish-eye».
6. Химический анализ
Химический состав сплава АМг6 определяли с помощью сканирующего электронного микроскопа Hitachi S-3400n по спектру излучения отраженных электронов с помощью модуля INCA (рис. 9, б). По данным сканирующей электронной микроскопии распределение элементов по сплаву неравномерно.
Таблица 5
Значения показателя Херста H (при увеличении Х2000) и критических масштабов Lpz и lsc при различных уровнях напряжения усталостной долговечности
Номер образца Удлинение, мм Скорость ударника, м/с а, МПа AN, циклы lsc, мкм Lz,мкм H
1 (АМгб) 0.89 28.41 130 7.33 • 10б 1.4 20.б 0.57
2 (АМгб) 1.77 40.30 120 7.82-108 «fish-eye» 0.5 10.9 0.б3
3 (АМгб) 1.27 32.10 120 5.72-107 1.0 18.2 0.б0
4 (АМгб) 2.21 40.30 105 5.83 • 10б 1.0 14.2 0.4б
5 (АМгб) 1.33 32.5 118 1.б0-10б 1.1 21.2 0.75
б (АМгб) 1.23 32.5 112 7.б5 • 108 0.9 11.3 0.57
7 (АМгб) 1.89 24.0 144 1.54-107 0.8 21.7 0.б1
8 (АМгб) 1.83 23.1 142 2.б4- 10б 0.5 20.0 0.54
9 (АМгб) 1.б2 21.9 130 7.88-10б 3.9 37.б 0.б4
10 (АМгб) 1.74 23.1 138 7.51 • 108 «fish-eye» 0.8 13.4 0.49
11 (АМгб) 1.94 23.б 135 4.84-107 1.0 13.8 0.49
12 (АМгб) 1.74 22.7 135 4.бб • 107 1.0 2б.б 0.58
1 (Д1бТ) 0.б8 23.8 130 3.б4-108 1.1 2б.7 0.53
2 (Д1бТ) 0.77 25.0 120 3.34^108 1.5 32.4 0.б2
3 (Д1бТ) 1.08 27.8 110 4.17 • 105 0.7 18.7 0.45
б (Д1бТ) 0.80 2б.0 110 1.35 •Ю9 1.0 14.2 0.4б
7 (Д1бТ) 0.90 2б.0 105 2.33 •Ю8 0.9 29.8 0.бб
8 (Д1бТ) 0.92 2б.0 104 9.99 •Ю8 2.3 19.0 0.б1
9 (Д1бТ) 0.95 2б.б 102 8.94 •Ю8 1.0 32.3 0.б8
10(Д1бТ) 0.9б 2б.б 90 2.04 •Ю8 1.3 32.3 0.бб
Рис. 9. Увеличенные фрагменты «fish-eye» для сплава АМг6, образец № 2
Исследовали спектр излучения в трех областях (рис. 9, а). Для образца № 2 из табл. 5 в области 2 в центре «fish-eye» содержание Al и Mg составляет 49 и 42 % соответственно. В области 1 рядом с «fish-eye» содержание Al и Mg — 91 и 6 %, как и положено для сплава АМг6. В области 3 на дне «fish-eye» содержание Al и Mg — 72 и 24 %. Анализ образца № 10 из табл. 5 показал несущественное изменение химического состава в окрестности «fish-eye». Область 2 может свидетельствовать о наличии интерметаллидного включения, например Al3Mg2 (Р-фаза состояния системы Al-Mg) или Al12Mg17 (у-фаза) [18], которое стало концентратором напряжений и способствовало локализации по-врежденности, обусловившей инициацию трещины в объеме материала.
7. Автомодельные закономерности роста усталостной трещины
Проявление автомодельных закономерностей роста усталостной трещины на образцах, нагруженных в области много- и сверхмногоцикловой усталости, исследовали с использованием методов теории подобия и размерностей [19, 20]. Зависимость скорости роста трещины dN (а — длина трещины, N — число циклов) определяется следующими параметрами:
= F (ДК, Е, 4С, L\ (11)
dV
где ДК — размах коэффициента интенсивности напряжений; Е — модуль Юнга; /8С — минимальный пространственный масштаб в окрестности вершины трещины (зоны процесса разрушения), на котором начинают проявляться масштабно-инвариантные закономерности рельефа поверхности разрушения; Lpz — масштаб зоны процесса разрушения в вершине трещины. Значения Lpz и ¡5С (табл. 5) определены экспериментально на основе исследования корреляционных свойств с помощью масштабного инварианта (показателя Херста). Следуя П-теореме [19], в безразмерном виде функцию (11) с использованием переменных ДК,
E, lsc, L можно представить следующим образом:
AK L ^
da dV
= Ф
L
'pz
EVi'
(12)
Оценка значений ДК/(Е^ДС) << 1 и Lpъ|¡ж >> 1 позволяет предположить промежуточно-асимптотический характер кинетики роста трещины и записать (12) в виде
( ДК
da =
dV " s
Y
Г L V pz
l
(13)
где а и в — степенные показатели, отражающие промежуточно-асимптотический характер кинетики роста трещины как функции безразмерных переменных ¡ж, ¡р2, ДК/ (Е^С). Вводится параметр
ДК^ =ДК (1^¡8с)Р/а, который позволяет записать уравнение (13) в виде, аналогичном закону Пэриса:
da
dV
(
= ls.
AK
г
eff
eVIST
(14)
и который может быть применен как для описания малых, так и больших трещин, кинетика которых определяется различными структурными параметрами ¡ж, Lpz и показателями скейлинга а, р.
Полученное уравнение кинетики роста трещины при ¡^ ^ Ь (Ь — вектор Бюргерса), Lpz ^ ¡ж и, соответственно, ДК^ ^ ДК, аналогично уравнению, предложенному в работе [21].
Решения уравнения (14) представлены в обычной (рис. 10, а) и логарифмической (рис. 10, б) шкале по оси абсцисс. Неизвестные параметры были найдены с использованием экспериментальных данных: а = 3, Р = -6.38. Начальный размер трещины равен а0 ~ 50 мкм для образца № 2 и а0 = 20 мкм для образца № 10. Полученные результаты качественно согласуются с результатами численного моделирования [22].
Несмотря на практически одинаковое критическое число циклов до разрушения, видно, что рост усталостной трещины для образца № 2 происходит более
а, мм
Рис. 10. Кинетика роста усталостной трещины для образцов №№ 2 (1) и 10 (2) (табл. 5)
плавно, что связано с большим размером а0. Это может являться следствием того, что для образца № 2 местом инициирования трещины служило интерметаллидное включение, а для образца № 10 — некоторый дефект структуры дислокационного типа. Таким образом, двум различным механизмам инициирования подповерхностных трещин соответствуют различные начальные размеры и скорости роста на разных стадиях, что отражается в уравнении (14) при помощи введенных параметров 1рЪ и /8С.
8. Мультифрактальный анализ поверхности разрушения. Автомодельные закономерности формирования зон разрушения
Морфология различных зон поверхностей разрушения содержит важную информацию о доминирующих механизмах разрушения и их стадийности. Специфика сверхмногоциклового разрушения связана с влиянием качественно различных механизмов, отвечающих за локализацию поврежденности, зарождение и распространение трещин. Математически это отражено в соответствующих нелинейных кинетических уравнениях относительно значимых переменных. К последним относятся параметры, характеризующие поврежденность (например, объемная плотность дефектов), и текущие размеры трещин. В [23] обсуждаются особенности кинетики данных параметров, которая обнаруживает нелинейную (сингулярную) динамику, свойственную автомодельным (промежуточно-асимптотическим) решениям «второго рода».
Для анализа механизмов разрушения при зарождении и распространении усталостной трещины проводился мультифрактальный анализ поверхностного рельефа разрушенных в режиме гигацикловой усталости образцов сплава АМг6 с использованием метода построения частичных функций для флуктуаций высоты одномерных профилей поверхности разрушения с исключенным наклоном (MF-DFA) [24-31], позволяющий выделить мультифрактальную динамику локализованных полей деформаций на определенных масштабных уровнях, ассоциируемых с коллективными модами дефектов.
Алгоритм метода MF-DFA состоит из следующих этапов. Пусть анализируемая функция высоты одномерного профиля х(/) задана таблично на множестве целых значений I = 1, ..., N. На первом шаге алгоритма вычисляется кумулятивная сумма от исходной функции:
и СО = £(х(0 - X),
(15)
I=1
где X — среднее значение.
Далее массив значений и(]) разбивается на Ы8 = = N¡8 интервалов длиной ^ каждый, которые обозначим как иу(к) = и(/ + к), где 1 <к^, I = (у - 1^, 1 <у< N8. Для всех интервалов вычисляется локальный наклон (линейный тренд уу (к) = ак + Ь) и определяются среднеквадратичные отклонения
8) = - £ ((к) - у (к))2, (16)
8 к=1
которые усредняются по всем интервалам:
[*(8)]2 8). (17)
^ v=1
В общем случае, если наблюдается степенная зависимость F(8) ~ 8Н, то степень Н (ниже значение показателя Гельдера при q = 2) называют показателем Херста, который связан с показателем наклона на спектре мощности Фурье в = 2 Н - 1 или с корреляционным индексом у = 2 - 2Н [31].
Для определения мультифрактального спектра строятся структурные функции для различных значений q:
2(Ч, 8) =
1- £ [ * V, 8) ]"2 Г ч * о
ехр|^£>[>>8)], Ч = 0.
(18)
В выражении (18) q является степенью, отражающей влияние вклада крупномасштабных флуктуаций при q >0 и мелкомасштабных флуктуаций при q < 0 [32]. По полученным структурным функциям Z(q, s), где s играет роль масштаба в диапазоне масштабов 8т[ <
< 8 < 8„
на котором справедлива степенная зависи-
мость 2(ч, 8) ~ Гельдера к(а).
ь ( Ч )
строятся обобщенные показатели
(19)
°) - Z(q = определяет
На заключительном шаге алгоритма с использованием преобразования Лежандра определяется мульти-фрактальный спектр f (£):
|С = й( д) + ддН( д)/ дд -1,
{/(С) = Я 2дН( д)/ дд +1.
Ширина спектра = — степень мультифрактальности [32], а характерные значения функции спектра сингулярностей f(£) и ее производной при различных положительных значениях ц = = 0, 1,2 и т.д. характеризуют фрактальные размерности. При ц = 0 достигается максимальное значение функции /(ц = 0) = D(q = 0) = 1, которое совпадает с фрактальной размерностью Хаусдорфа и является размерностью вложения пространства—области задания анализируемой функции х(.). При ц = 1, характеризующем наклон графика функции или д//д^ = д = 1 по смыслу обратного преобразования Лежандра, значение D1 = / (С) является информационной размерностью, а при ц = 2 производная д/ / д^ = д = 2 определяет корреляционную размерность D2 = 2£ - / (С) [32]. При других значениях ц спектр фрактальных размерностей, являющийся монотонно убывающей функцией от ц, может быть найден по формуле 1
Dq = --- (qZ(q) - f (Z(q))). q 1
(20)
Одномерные профили, полученные для рельефа поверхности, были использованы для построения автокорреляционных функций следующего типа:
Т(Г) = J (Z(X)-<z>)(z(х- г)-<z>)dx.
(21)
Предполагалось, что первое ненулевое значение автокорреляционных функций определяет критический масштаб гС для установления дальнодействующих корреляционных взаимодействий в ансамблях дефектов, образовавшихся в зоне процесса. Результаты представлены в табл. 6 и на рис. 11.
Установлено, что переход от стадии формирования области локализованного деформирования (зоны лока-
Таблица 6
Построение частичных функций на основе анализа флуктуаций исследуемого сигнала с исключенным наклоном
Увеличение
х400
х500
х800
х1000
х1300
Зона 1
48.71
28.37
18.16
17.43
11.37
z -с-
0.82
0.90
0.87
0.87
0.94
Зона 2
64.42
34.02
21.06
13.30
13.26
zm -z
max m
0.74
0.78
0.88
0.93
1.02
Зона 3
z -z •
42.65
23.27
24.22
20.17
12.9
0.83
1.02
1.36
1.35
1.24
Рис. 11. Характерные значения функции спектра сингулярностей f (z) для образца № 2 при увеличении х1000: зона зарождения трещины (1), зона роста (2), зона вблизи доло-ма (3)
лизации поврежденности «fish-eye») к стадии распространения усталостной трещины сопровождается качественной сменой нелинейной кинетики системы — переходом от монофрактальной к мультифрактальной динамике. Доминирующим механизмом в зонах 1 и 2 является кинетика поврежденности и ее локализация, определяемая соответствующим автомодельным решением, отраженным в структурных признаках аномальной фрагментации материала, предшествующих зарождению макроскопической трещины. Переход к зоне 3 характеризуется расширением мультифракталь-ного спектра f (Z) (рис. 11), что связано с влиянием двух типов автомодельных решений, определяющих сингулярную кинетику распространения зародившейся трещины в поврежденном материале [23].
9. Выводы
Сравнительный анализ масштабных инвариантов в характерных зонах (зона «fish-eye», зона распространения усталостной трещины) для образцов, нагруженных в условиях много- и гигацикловой усталости, позволил установить существенное уменьшение диапазона пространственных масштабов, на которых показатель Херста остается постоянным для динамически нагруженных образцов сплава АМг6. Этот результат подтверждает наше предположение о связи характеристических масштабов Lpz и Lsc, определяющих коррелированное поведение ансамблей дефектов, с механизмами зарождения и распространения усталостных трещин [33]. Установлено, что переход от стадии формирования области локализованного деформирования «fish-eye» происходит за счет формирования очагов разрушения и сопровождается качественной сменой нелинейной динамики системы — переходом от монофрактальной к мультифрактальной динамике, что характеризуется расширением мультифрактального спектра на завершающей стадии роста трещины, приводящей к макроразрушению.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (18-08-01186_а, 17-08-00905, 17-41-590149, 1701-00867).
Литература
1. Cowles B.A. High cycle fatigue in aircraft gas turbines — An industry perspective // Int. J. Fracture. - 1996. - V. 80. - P. 147-163.
2. Шанявский А.А. Моделирование усталостных разрушений металлов.
Синергетика в авиации // Уфа: Монография. - 2007. - 500 c.
3. Nicholas T. High Cycle Fatigue. A Mechanics of Material Perspective. - New York: Elsevier, 2006. - 641 p.
4. Peters J.O., Ritchie R.O. Influence of foreign object damage on crack initiation and early crack growth during high-cycle fatigue of Ti-6Al-4V // Eng. Fract. Mech. - 2000. - V. 67. - P. 193-207.
5. Spanrad S., Tong J. Characterisation of foreign object damage (FOD) and early fatigue crack growth in laser shock peened Ti-6Al-4V aerofoil specimens // Mater. Sci. Eng. A. - 2011. - V. 528. - P. 21282136.
6. Oakley S.Y., Nowell D. Prediction of the combined high- and low-cycle fatigue performance of gas turbine blades after foreign object damage // Int. J. Fatigue. - 2007. - V. 29. - P. 69-80.
7. Chen Xi. Foreign object damage on the leading edge of a thin blade // Mech. Mater. - 2005. - V. 37. - P. 447-457.
8. Nowell D., Duy P., Stewart I.F. Prediction of fatigue performance in gas turbine blades after foreign object damage // Int. J. Fatigue. -2003. - V. 25. - P. 963-969.
9. Franklin J. Foreign Object Damage in the UK RAF // Nat. Aerospace FOD Prevention Inc. (NAFPI), I Int. Conf. - London, 2003.
10. Панин В.Е., Елсукова Т.Ф., Попкова Ю.Ф., Почивалов Ю.И., Сундер Рамасуббу. Влияние структурного состояния поверхност-ныж слоев образцов технического титана на их усталостную долговечность и механизмы усталостного разрушения // Физ. мезомех. -
2014. - Т. 17. - № 4. - С. 5-12.
11. Mughrabi H. Microstructural fatigue mechanisms: Cyclic slip irreversibility, crack initiation, non-linear elastic damage analysis // Int. J. Fatigue. - 2013. - V. 57. - P. 2-8.
12. Bathias C., Paris P. C. Gigacycle Fatigue in Mechanical Practice. -New York: Marcel Dekker Publisher Co., 2005. - 328 p.
13. Билалов Д.А., Соковиков М.А., Чудинов В.В., Оборин В.А., Баяндин Ю.В., Терехина А.И., Наймарк О.Б. Исследование локализации пластического сдвига в алюминиевых сплавах при динамическом нагружении // Вычислительная механика сплошных сред. -
2015. - Т. 8. - № 3. - С. 319-328.
14. Фролов К.В. Машиностроение. Энциклопедия. Том II-3: Цветные металлы и сплавы. Композиционные металлические материалы. -М.: Машиностроение, 2001. - 880 с.
15. Федер Е., Данилов Ю.А., Шукуров А. Фракталы. - М.: Мир, 1991.- 254 с.
16. MandelbrotB.B. The Fractal Geometry of Nature. - New York: Freeman, 1983. - 480 p.
17. Bouchaud E. Scaling properties of cracks // J. Phys. Condens. Matter. - 1997. - V. 9. - P. 4319-4344.
18. Лякишев Н.П. Диаграммы состояния двойных металлических систем. Т. 1. - М.: Машиностроение, 1996. - 992 с.
19. Barenblatt G.I. Scaling phenomena in fatigue and fracture // Int. J. Fracture. - 2006. - V. 138. - P. 19-35.
20. Баренблатт Г.И., Ботвина Л.Р. Автомодельность усталостного разрушения. Накопление поврежденности // Изв. АН СССР. МТТ. - 1983. - № 4. - С. 161-165.
21. HertzbergR.W. On the calculation of closure-free fatigue crack propagation data in monolithic metal alloys // Mater. Sci. Eng. A. - 1995. -V. 190. - P. 25-32.
22. Билалов Д.А., Баяндин Ю.В., Наймарк О.Б. Математическое моделирование процесса разрушения сплава АМг2.5 в режиме много- и гигацикловой усталости // Вычислительная механика сплошных сред. - 2018. - Т. 11. - № 3. - С. 323-334.
23. Бетехтин В.И., Кадомцев А.Г., Нарыкова М.В., Банников М.В., Абаимов С.Г., АхатовИ.Ш., Palin-Luc Т., Наймарк О.Б. Экспериментальное и теоретическое исследование многомасштабных закономерностей разрушения при сверхмногоцикловой усталости // Физ. мезомех. - 2017. - Т. 20. - № 1. - С. 82-93.
24. Dupak Gh., Srimonti D., Shukla S. Fluctuation of gold price: a multifractal approach // Acta Phys. Polon. B. - 2012. - V. 43. - No. 6. -P. 1261-1274.
25. Kantelhardt J.W., Zschiegner S.A., Koscielny-Bunde E., Bunde A., Havlin S., Stanley H.S. Multifractal detrended fluctuation analysis // Physica. A. - 2002. - V. 316. - P. 87-114.
26. Absil P., Sepulchre R., Bilge A., Gterard P. Nonlinear analysis of cardiac rhythm fluctuations using DFA method // Physica. A. - 1999. -V. 272. - P. 235-244.
27. Makoviec D., Galaska R., Dudkowska A., Rynkiewicz A., Zwierz M. Long-range dependencies in heart rate signals—Revisited // Physica. A. - 2006. - V. 369. - P. 632-644.
28. Biswas A., Zeleke T.B., Si B.C. Multifractal detrended fluctuation analysis in examining scaling properties of the spatial patterns of soil water storage // Nonlin. Proc. Geophys. - 2012. - V. 19. - P. 227238.
29. Movahed M.S., Jafari G.R., Ghasemi F., Rahvar S., Tabar S.R.R. Multifractal detrended fluctuation analysis of sunspot time series // J. Stat. Mech. Theor. Exp. - 2005. - V.2. - No. 2.
30. Pedron I.T. Correlation and multifractality in climatological time series // J. Phys. Conf. Ser. - 2010. - V 246. - P. 012034.
31. Vern^e S., Ponson L., Bouchaud J.-P. Turbulent fracture surfaces: A footprint of damage percolation? // Phys. Rev. Lett. - 2015. - V. 114. -P. 215501.
32. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. -Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. - 128 с.
33. Оборин В.А., Банников М.В., Наймарк О.Б., Palin-Luc T. Масштабная инвариантность роста усталостной трещины при гига-цикловом режиме нагружения // Письма в ЖТФ. - 2010. - Т. 36. -№ 22. - C. 76-82.
Поступила в редакцию 15.11.2018 г., после доработки 15.11.2018 г, принята к публикации 22.11.2018 г.
Сведения об авторах
Оборин Владимир Александрович, вед. инж. ИМСС УрО РАН, [email protected] Баяндин Юрий Витальевич, к.ф.-м.н., гас ИМСС УрО РАН, [email protected] Билалов Дмитрий Альфредович, вед. инж. ИМСС УрО РАН, [email protected] Соковиков Михаил Альбертович, к.ф.-м.н., снс ИМСС УрО РАН, [email protected] Чудинов Василий Валерьевич, инж. ИМСС УрО РАН, [email protected] Наймарк Олег Борисович, д.ф.-м.н., проф., зав. лаб. ИМСС УрО РАН, [email protected]
