CC BY
16
^ 0 I ISSN 1994-7836 (print) тШЛ ISSN 2519-2477 (online)
@ El Correspondence author V. Р. Karashetskyy Volodymyr10@gmail.com
В. П. Карашецький
Нацюнальний л^отехтчний утверситет Украти, м. Львiв, Украта
АВТОМАТИЗОВАНА ВЕБ-СИСТЕМА П1ДБОРУ ТА В1ДОБРАЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ АПРОКСИМАНТ
Iнодi таблично-задана функщя е результатом експериментальних дослщжень. Кожна з наведених точок, якi входять у таблицю експериментальних даних, не е абсолютно достовiрною внаслiдок впливу ряду випадкових чинниюв. Розроблено методику i програмне забезпечення автоматизовано'' веб-системи пiдбору та вщображення оптимальних апроксимант для таблично-заданих двовимiрних залежностей. Розроблене програмне забезпечення представляе веб-сайт. Цю веб-систему можна застосовувати для математичного опису дослщжуваних процеав у рiзних предметних областях. Для отримання розв'язку задачi апроксимацп застосовано метод найменших квадратiв. Як апроксиманту використано повний полшом. Систему лшшних алгебра'чних рiвнянь вiдносно коефщенив апроксиманти розв'язують чисельним методом Гауса для кожного з повних полiномiв першого, другого, та третього степешв. Якiсть апроксимацп оцiнюють за максимальним значенням ко-ефiцiента детермшацп. Пiдбiр оптимально!' апроксиманти виконують пiсля заповнення таблиц значень xh y, zt двовимiрноi' залежностi у вiкнi графiчного iнтерфейсу системи. Розроблена веб-система виводить дiалогове вiкно з виразом оптимально'' апроксиманти або з повщомленням про неможливють И отримати, якщо система лшшних алгебра'чних рiвнянь вiдносно ко-ефiцiентiв апроксиманти не мае розв'язку, та вщображае тривимiрний графiк оптимально'' апроксиманти, який можна повер-тати, масштабувати, перемiщати по осi Z, анiмувати та зберегти у виглядi скриншоту, для цього застосовано бiблiотеку Jzy3d на мовi Java.
Кл^чов^ слова: апроксимащя; метод Гауса; метод найменших квадраив; оптимальна апроксиманта; повний полшом; сайт; Java; Jzy3d.
Вступ. 1нод1 таблично-задана функщя е результатом експериментальних дослвджень. Кожна з точок, яш входять у таблицю експериментальних даних, не е абсолютно достов1рною внаслщок впливу ряду випадкових чиннишв, до яких вщносять похибки вим1рювання, а та-кож фактори, що випливають з неможливосп чи до-щльносп щеально точного дотримання умов експери-менту в кожнш з експериментальних точок.
Постае потреба якимось чином описати дослщжува-ний процес, тобто представити його у певнш матема-тичнш залежносп. Тому задача встановлення виду за-лежносп одшеТ величини в1д шшоТ е важливою задачею як у науковому, так i в практичному плаш.
Мета роботи полягае в розробленш методики i програмного забезпечення автоматизовано1 веб-систе-ми пiдбору та вщображення оптимальних апроксимант для таблично-заданих двовимiрних залежностей.
Виклад основного MaTepiaiy. Часто для побудови функцiональних залежностей використовують метод апроксимацп (вiд латинського слова "approximate", що означае "наближати"), суть якого полягае в тому, щоб замшити деяку залежшсть, наприклад z = f (x, y), яка вь дома тiльки для деяко1 кiлькостi значень x та y на ш-шу залежшсть z = g(x, y) так, щоб вiдхилення f (x, y) вiд
Ш
НАТЫ
ЫКРА1НИ
»imieft®
Науковии BicHMK НЛТУ УкраТни Scientific Bulletin of UNFU
http://nv.nltu.edu.ua https://doi.org/10.15421/40280326 Article received 25.04.2018 р. Article accepted 26.04.2018 р.
УДК 536.21
g(x, y) на множит значень X та У було найменшим. Функщю g(x, y) при цьому називають апроксимантою. Для побудови функцюнальних залежностей дослвджу-ваних процесiв використовують метод найменших квадрапв (Filtc, Kotciuba, & Gritciuk, 1991; Filts, 1995). Апроксимувати таблично-задану функщю методом найменших квадрапв означае серед вах апроксимант цього класу вибрати ту, для якоТ сума s квадратiв вщхи-лень Si значень апроксиманти у вузлах xi та yi ввд таб-личних значень Zi буде найменшою
m m
S = Z(g(x,yi) - Zi)2 = ZS2 ^ min . (1)
i=1 i=1
Однак, при так1й постановцi задача апроксимацп експериментальних даних мае багато розв'язк1в. Для отримання единого розв'язку щеТ задачi потрiбно нада-ти g(x, y) певного вигляду, наприклад повного полшо-му n -го степеня
g(x, y) = a0 + a1x + a2y + a3xy + a4x2 +
2 , (2) +a5y2 +... + aw-1xn + awyn
(2 + n)!
де w =- '
2! n!
З урахуванням (2) запишемо вираз (1) у виглядi
1нформащя про автора:
Карашецький Володимир Петрович, канд. техн. наук, доцент, кафедра шформацШних технолопй.
Email: Volodymyr10@gmail.com Цитування за ДСТУ: Карашецький В. П. Автоматизована веб-система тдбору та вiдображення оптимальних апроксимант.
Науковий вкник НЛТУ УкраТни. 2018, т. 28, № 3. С. 127-130. Citation APA: Karashetskyy, V. Р. (2018). Automated Web-Based System for Selecting and Displaying Optimal Approximants. Scientific Bulletin of UNFU, 28(3), 127-130. https://doi.org/10.15421/40280326
S = 2 (ao + ax + a2y¡ + a3Xiy¡ + a4x2 + a5y,-2
+... + aw-iXi" + awy,-" - z,)2 = 2^;2 ^ min
(3)
dS 0-8S -
da0 = 0; = da1 0;- _ da2 = = da3
dS = 0; da5 dS =
da4 daw-1
(4)
= 0.
Очевидно, що величина 5 - це багатопараметрична Врах°вуючи (3), виконаемо спрощення i ^едст^-функцiя на множинi ah(i = 0,..., w). MÎHÎMyM тако1 фун- мо (4) У вигляд системи лiнiйних алгебрш'чних prnrarn кцп знаходиться за виконання умов вигляду: вiдносно коефiцieнтiв ^ai, a2,.aw
m
£(ao + aix, + a2yt + ajXiyi + a4x,2 + а}у,2 +... + aw-ix,n + awy,n - z,) = 0
i=1 m
£(ao + aix, + a2y, + a&iyi + a4x,2 + a5y,2 +... + aw-ix," + awy,n - z,)xi = 0
i=1 m
£ (ao + aix, + a2y, + a&iyi + a4x,2 + a5y,2 +... + aw-ix," + awy,n - z^y, = 0
2(ao + aix + a2y, + азх,у,- + a4x¡2 + a¡y¡2 +... + aw-ix¡" + awy¡" - z,)x,y,- = 0
i=1 m
2 (ao + aix, + a2y, + a3Xiyi + a4x,2 + a5y¡2 +... + aw-ix" + a^y," - z,)x2 = 0
i=1 m
2(ao + aix, + a2y, + a3Xiyi + a4x,2 + a5y¡2 +... + aw-ix" + a^y," - z¡)y¡2 = 0
£(a0 + aix, + a2y, + a3x,yi + a4x,2 + a5y,2 +... + aw-ix," + awy" - z,)x,n = 0
,=i "m
£(a0 + aix, + a2y, + a3x,yi + a4x,2 + asy,2 +... + aw-ix,n + awy,n - z,)y,n = 0 =i
Розкриемо дужки та спростимо кожне з piвнянь системи окремо. Як результат отримаемо систему piвнянь такого виду
(5)
m m m m m m
ma0 + ai2 x, + a22 y, + a32 х,У, + a42 X2 + a52 У2 +... + aw-i2 x" + a„2 y" = 2 z,
mm x,
, = 1 , = 1 , = 1 , = 1 , = 1 m m m m m m
a02 x, + a12 x2 + a22 xtyt + a32 x^y + a42 x3 + a52 x,y2 +... + a^2 x,"+1 + a„2 x,y" = 2 x,z,
,=1 ,=1 ,=1
mm
2 x,
m
,=1 ,=1 ,=1 ,=1 ,=1 ,=1 ,=1 ,=1 ,=1
m m m m m m m m m
a02 У, + a12 xtyt + a22 У2 + a32 xiy} + a42 У'*? + a52 У3 +... + aw-12 У^" + aW2 У'"+1 = 2 y,z, , = 1 , = 1 , = 1 , = 1 , = 1 , = 1 , = 1 , = 1 , = 1 m m m m m m m m m
a02 x^^.y, + a12 x}y¡ + a22 x,y2 + a32 x2y,2 + a42 xfy, + a52 x,y2 +... + a^2 x"+1y¡ + a„2 xiy"+ = 2 xytz, , = 1 Í = 1 , = 1 , = 1 , = 1 Í = 1 , = 1 , = 1 Í = 1 m m m m m m m m m
a02 x2 + a12 x3 + a22 x?y< + a32 x?y; + a42 x4 + a52 x2y2 +... + aw-12 x"+2 + a^2 x^tt" = 2 x2z;
, = 1 Í = 1 , = 1 , = 1 Í = 1 , = 1 , = 1 , = 1 Í = 1 m m m m m m m m m
a02 У2 + a12 XiУ2 + a?2 У3 + a32 XiУ3 + a42 x2y2 + a52 У4 +... + aw-12 x"y2 + a„2 У"+2 = 2 y2z<
m
m
m
m
m
m
m
mm
a02 x" + a12 x,"+1 + a?2 xly, + a32 xf+V, + a42 x,"+2 + a52 xi У? +... + aw-{2 x2" + a„2 xfy," = 2 x"zî , = 1 , = 1 Í = 1 Í = 1 , = 1 , = 1 Í = 1 , = 1 Í = 1 m m m m mm m mm
a<02 У" + a12 xiy" + a?2 У<"+1 + a32 Xi^f+1 + a42 x}y" + a52 У<"+2 +... + «w-12 x?y? + a^2 У,2" = 2 y?z,
,=i ,=i ,=i ,=i ,=i Розв'яжемо систему piвнянь виду (6) для кожного з
(6)
,=1 ,=1 ,=1 ,=1 Розроблене програмне забезпечення представляе
повних полiномiв першого, другого, та третього степе- веб-сайт, у головному вiкнi якого (рис. i) натисненням hie одним i3 бвдомих чисельних метод ¡в. наприклад ме- на кнопку "Вхад" зд1йснюеться перехад на реестрацш. тодом Гауса. Як результат отримаемо шукаш коефь цiенти апроксимант для кожного з цих полiномiв.
Як1сть апроксимацп оцiнюватимемо на пiдставi ко-ефщента детеpмiнацiï Я2, який визначають (Coefficient of determination, 20i8) так:
S
R2 = 1 --
де:
So
Stot = 2 (z - z )2 ,=1
1 m
m , =1
(7)
(8) (9)
Оптимальною вважатимемо ту з отриманих апроксимант (Filts, 1995; Gryciuk & Dragan, 2016), у яко1 зна-чення коефiцiента детермiнацiï е найбiльшим•
Про проект
Рис. 1. Головне в^о сайту
Шсля успiшного виконання реестрацп з'являеться вiкно графiчного iнтерфейсу системи (рис. 2). Спочат-ку користувачу необхiдно порядково заповнити табли-цю вхiдних величин, наприклад, для залежносп пито-мо! теплоeмностi деревини г (кДж/(кг-К) вiд абсолют-
m
0
,=1
m
,=1
m
но'' вологост x (%) i температури y (°С). Для цього пот-рiбно вводити у вiдповiднi поля значення величин xt, y, zj по кожному i-му вузлу i натискати кнопку "Ввести значення".
Рис. 3. Дiалогове вiкно з повщомлеииям про введения вказаних значень
Рис. 4. Дiалогове вiкно з нагадуванням про необхiднiсгь запов-нення полiв
Кнопки "Видалиги рядок" га "Очистити габлицю" призначеш вщповщно для видалення осганнього введе-ного рядка таблиц га очищения вмюту ус1е! таблищ. При иагискаииi на кнопку "Видалити рядок" чи "Очистити таблицю" на екраиi вщображаеться дiалогове вк-но вiдповiдио для видалеиия остаииього введеиого рядка таблищ (рис. 5) чи очищения таблищ (рис. 6), яке ви-магае тдтвердження або вщмши вказаних дiй.
Рис. 6. Дiалогове вiкио пiдтверджеиия або вiдмiии очищения вмiсту усiеl таблищ
Для тдбору оптимально'' апроксиманти потрiбно натиснути кнопку "Пуск". Внаслiдок цього спочатку з'являеться дiалогове вiкно з виразом оптимально'' апроксиманти (рис. 7) або з повщомленням про неможли-вють И отримати (рис. 8), якщо система рiвнянь (6) не мае розв'язку. Пюля закриття цього вкна вщобра-жаеться тривимiрний графiк оптимально'' апроксиманти (рис. 9), який можна повертати, масштабувати, перемь щати по осi Z, ашмувати та зберегти у виглядi скриншоту, для цього застосовано бiблiотеку Jzy3d (2018) мовою Java.
Message
Рис. 2. Вшно графiчного ^ерфейсу системи
Пiсля натискання кнопки "Ввести значення" з'являеться дiалогове в^о з повiдомленням про введения вказаних значень (рис. 3) або нагадуванням про необ-хщнють заповнення полiв (рис. 4).
О
Оптимальна апроксиманта:
Z= (7.3086636E-7)*XA3 + (-2.09849 Е-4)*ХА2 +(0.027551 902)*Х + + (1.311 7284Е-7)УЗ + (-2.3265846E-5)V2 + (0.004244852)^ + + (0.004244852)*у + (-3.927739Е-7)*ХА2*у+ (5.2303 6E-8)**V2 + (5.649959E-5)Vy + (1.6003915)
S
Рис. 7. Дiалогове bïkho з виразом оптимально!' апроксиманти
Рис. 8. Дiалогове вiкно з повщомленням про неможлишсть от-римання оптимально!' апроксиманти
Рис. 5. Дiалогове в^о пiдтверджеиия або вiдмiии видалеиия остаииього введеиого рядка таблищ
" V X 100,0
Рис. 9. Тривишрний графш оптимально'' апроксиманти для за-лежиост питомо'' теплоемиостi деревиии вщ абсолютно'' воло-гостi i температури
Висновки. Розроблено методику i програмне забез-печення автоматизовано'' веб-системи шдбору та вщоб-раження оптимальних апроксимант для таблично-зада-них двовимiрних залежностей. Цю веб-систему можна застосовувати для математичного опису дослщжуваних процесiв у рiзних предметних областях.
Перелш використаних джерел
Coefficient of determination. (2018). Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_determination
Filts, R. V., Kotciuba, M. V., & Gritciuk, Iu. I. (1991). Algoritm vychisleniia na EVM mnogochlena Teilora i ego proizvodnykh. Elektromekhanika: Izvestiia vuzov, 5, 5-10. [In Russian].
Filts, R. V. (1995). Nablyzhennia tablychno zadanykh funktsii (interpoliatsiia ta aproksymatsiia). Konspekt lektsii z predmetu "Matematychni zadachi elektromekhaniky" dlia stud. spets. 1801 "Elektromekhanika". Lviv : Vyd-vo DU LP. 59 p. [In Ukrainian].
В. П. Карашецький
Национальный лесотехнический университет Украины, г. Львов, Украина
АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ ВЕБ-СИСТЕМА ПОДБОРА И ОТОБРАЖЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ АППРОКСИМАНТ
Иногда таблично-заданная функция является результатом экспериментальных исследований. Каждая из приведенных точек, входящих в таблицу экспериментальных данных, не является абсолютно достоверной вследствие влияния ряда случайных факторов. Разработаны методика и программное обеспечение автоматизированной веб-системы подбора и отображения оптимальных аппроксимант для таблично-заданных двумерных зависимостей. Разработанное программное обеспечение представляет веб-сайт. Данную веб-систему можно применять для математического описания исследуемых процессов в различных предметных областях. Для получения решении задачи аппроксимации применен метод наименьших квадратов. В качестве аппроксимант использован полный полином. Система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов аппроксимант решается численным методом Гаусса для каждого из полных полиномов первой, второй и третьей степеней. Качество аппроксимации оценивается по максимальному значению коэффициента детерминации. Подбор оптимальной аппроксиманты выполняется после заполнения таблицы значений xi, yi, zi двумерной зависимости в окне графического интерфейса системы. Разработана веб-система выводит диалоговое окно с выражением оптимальной аппроксиманты или сообщение о невозможности ее получить, если система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов аппроксимант не имеет решения, и отображает трехмерный график оптимальной аппроксиманты, который можно поворачивать, масштабировать, перемещать по оси Z, анимировать и сохранить в виде скриншота, с этой целью применена библиотека Jzy3d на языке Java.
Ключевые слова: аппроксимация; метод Гаусса; метод наименьших квадратов; оптимальная аппроксиманта; полный полином; сайт; Java; Jzy3d.
V. Р. Karashetskyy
Ukrainian National Forestry University, Lviv, Ukraine
AUTOMATED WEB-BASED SYSTEM FOR SELECTING AND DISPLAYING OPTIMAL APPROXIMANTS
A table-defined function tends to be sometimes the result of experimental research. Each of the points given in the table of experimental data is not absolutely reliable due to the influence of a number of random factors. Therefore, we have developed the technique and software of the automated web-system of selection and display of optimal approximants for tabulated two-dimensional dependencies. This web system can be used for a mathematical description of the investigated processes in various subject areas. To obtain a solution of the approximation problem, the classic method of least squares is applied. To obtain a unified solution of the approximation problem, we use a complete polynomial n-order. The system of linear algebraic equations with respect to the coefficients of approximants is solved by the numerical Gaussian method for each of the complete polynomials of the first, second, and third order. The approximation quality is estimated at the maximum value of the determination coefficient. An optimal approximant will be considered to be the one that has the highest value for the determination coefficient. The developed software represents the website in the main window of which users are re-registered. The window of the graphical interface of the system appears after the successful completion of the registration. First, the user must fill in the values of the input values in the table. To do this, you need to enter values xi, yi, zi in the corresponding table fields for each i-node. The automatic selection of the optimal approximation is performed after filling the table of values x, y, z of two-dimensional dependence in the window of the graphical interface of the system. The developed web system displays a dialog with the expression of the optimal approximation or with the message that it cannot be obtained if the system of linear algebraic equations with respect to the coefficients of the approximation has no solution, and displays a three-dimensional chart of the optimal approximation, which can be rotated, scaled, moved along the Z axis, animate and save as a screenshot. For this purpose, the Jzy3d library was used in Java.
Keywords: approximation; Gauss method; least squares method; optimal approximant; full polynomial; site; Java; Jzy3d.
Gryciuk, Yu. I., & Dragan, Ya. P. (2016). Numerical integration of table functions to one variable using Taylor polynomial. Scientific Bulletin of UNFU, 26(3), 350-360. Lviv: RVV NLTU Ukrainy. [In Ukrainian]
Gryciuk, Yu. I., & Dragan, Ya. P. (2017). Numerical integration of tabular functions from two variables using the Taylor polynomial. Selection and processing of information, 44(120), 80-89. Lviv: Vyd-vo FMI im. H. V. Karpenka NAN Ukrainy. [In Ukrainian].
JZY3D. (2018). Open source API for 3d charts. Retrieved from: http://www.jzy3d.org/
