Научная статья на тему 'Автоматизация учета и приложения методов математического программирования, распознавания образов в экономике'

Автоматизация учета и приложения методов математического программирования, распознавания образов в экономике Текст научной статьи по специальности «Экономика и экономические науки»

CC BY
85
19
Поделиться
Ключевые слова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ / MATHEMATICAL PROGRAMMING / РАСПОЗНАНИЕ ОБРАЗОВ / PATTERN RECOGNITION / ЭКОНОМИКА / ECONOMY

Аннотация научной статьи по экономике и экономическим наукам, автор научной работы — Попов А.Л.

В статье рассматриваются современные условия приложений формальных методов оптимизации и классификации в экономике. В контексте исторических аспектов и технических условий повсеместной информатизации, расширяющейся автоматизации учета анализируются особенности приложений математического программирования, распознавания образов в экономике параллельно с приложением эконометрики и финансовой математики.

Похожие темы научных работ по экономике и экономическим наукам , автор научной работы — Попов А.Л.,

Automation of account and application of methods of mathematical programming, pattern recognition in the economics

The article examines the current conditions of the application of formal optimization methods and classification in the economy. In the context of historical and technical aspects of the ubiquitous information environment, expanding accounting automation analyzes the peculiarities of application of mathematical programming, pattern recognition in the economy in parallel with the application of econometrics and financial mathematics.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Автоматизация учета и приложения методов математического программирования, распознавания образов в экономике»

УДК 330.4

АВТОМАТИЗАЦИЯ УЧЕТА И ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ, РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ В ЭКОНОМИКЕ

Попов А.Л.

Аннотация

В статье рассматриваются современные условия приложений формальных методов оптимизации и классификации в экономике. В контексте исторических аспектов и технических условий повсеместной информатизации, расширяющейся автоматизации учета анализируются особенности приложений математического программирования, распознавания образов в экономике параллельно с приложением эконометрики и финансовой математики.

Ключевые слова: математическое программирование, распознание образов, экономика.

AUTOMATION OF ACCOUNT AND APPLICATION OF METHODS OF MATHEMATICAL PROGRAMMING, PATTERN RECOGNITION IN THE ECONOMICS

Popov A.L.

Abstract

The article examines the current conditions of the application of formal optimization methods and classification in the economy. In the context of historical and technical aspects of the ubiquitous information environment, expanding accounting automation analyzes the peculiarities of application of mathematical programming, pattern recognition in the economy in parallel with the application of econometrics and financial mathematics.

Keywords: mathematical programming, pattern recognition, economy.

Профессиональную, например, экономическую специализацию людей принято сопоставлять с соответствующей так называемой «картиной мира», включающей мировоззрение, мировосприятие... На один и тот же объект представители различных специальностей смотрят по-разному. Так, анализируя химическое производство, химики и экономисты будут оперировать различными количественно измеряемыми по-

казателями, разными расчетными алгоритмами для одного и того же развернутого во времени материального процесса (явления). «Экономический взгляд» в целом может показаться более актуальным, чем, в частности, «химический...», что подтверждают и данные о желающих получать соответствующее специальное образование. В реальной жизни практически всем приходится непосредственно выбирать товары, услу-

ги, вести домашнее хозяйство, контролировать оплату налогов и т.п., тогда как экспертные химические заключения могут быть применены опосредованно в форме стандартов (ГОСТ и др.) при выборе тех же продуктов.

Несмотря на давние традиции исследования и практического приложения экономических аспектов, имеет смысл продолжать совершенствование соответствующих методик, особенно в связи с развитием информационных (компьютерных) технологий. В связи с этим адекватное применение понятия «социально-экономическая картина мира» [1] в современных условиях предусматривает особое описание. Так, принято рассматривать сопоставимые с эталонами измерения количественные (сумма, вес и др.) и иные характеристики (классифицируемые, например, по штрихкоду) в динамике времени. Современная конструктивная экономическая деятельность предусматривает эффективное управление ограниченными ресурсами. И сегодня это достигается прежде всего с помощью контроля и планирования по отчетам об итогах на текущий момент, об оборотах за предыдущие периоды для отслеживаемых видов товаров, услуг по местам сбыта в разрезах имеющих отношение к экономическому анализу количественных показателей [2]. С другой стороны, сущность рыночной экономики во многом проявляется в том, что потребители «голосуют рублем» за нужные товары, услуги (по приемлемой цене) и за, соответственно, более полезные применяемые экономические методики при совершенствовании управления ресурсами и др.

Творческая сущность людей в экономике как хозяйственной деятельности общества проявляется в продуцировании новых видов бизнеса и совершенствовании существующих. При этом приходится сталкиваться с ограниченностью ресурсов и периодически требуется распределять доли конечных инвестиций (заемных средств) по видам бизнеса. Желательно в соответствии

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

с отлеживаемыми потребностями окружающей рыночной среды, то есть согласно рентабельности как отношения прибыли к соответствующим общим издержкам (или прибыльности). Для этого важен учет выручки и издержек по видам, местам сбыта продукции (в динамке времени). И уже порядка половины тысячелетия в экономике для указанных целей полезной и общепризнанной является практика, ассоциируемая сегодня с понятиями бухгалтерский, оперативный учет, позволяющая отслеживать итоги (сальдо) на моменты времени, обороты за разные периоды. Этот подход дает возможность по предыдущим событиям (и будущим планам) отслеживать расходы и доходы, оценивать прибыльность, рентабельность видов бизнеса согласно указанному стилю, актуальному в наши дни при автоматизации учета и управления. Соответствующие методы сегодня часто называют информационными, тогда как основатель методики (итальянец Лука Пачоли, 1445 - 1517) считался прежде всего математиком своего времени [3].

Указанный выше имеющий длительную историю подход, основанный сегодня на компьютеризированной автоматизации, позволяет оперативно получать сведения о детализированной экономической картине мира. В дополнение к этому сегодня актуален и выявленный столетиями ранее уточняющий эффект наращивания (дисконтирования). Потенциальный рост капитала с течением времени в конкретной экономической среде нашел отражение в рамках научной дисциплины «Финансовая математика» [см., напр. 4]. Заметим, что указанные эффекты инициировали появление банковской системы в целом, что, в частности, позволяет «ослаблять» жесткость условия принципиальной ограниченности ресурсов (и перераспределять во времени, в пространстве свободные капиталы и, как следствие, ресурсы, производительные силы). Кроме того, они помогают совершенствовать важные для принятия управленческих

решений потенциально повсеместно применимые в каждой организации финансовые оценки указанного вида.

Творческий потенциал человека, связанного с определенной профессиональной деятельностью (с экономикой в частности), в последнее время вследствие интенсивного развития информационных технологий все в большей степени определяется кибернетическим понятием «управление». Основной метод кибернетики «вычислительный эксперимент» оказался весьма уместным в экономике: в изменчивой со временем финансовой реальности эксперименты невозможны! Однако автоматизированный учет позволяет воспроизвести реальный объект с экономической точки зрения с определенной глубиной истории, можно применять сведения о похожих аналогах, подключать эффекты финансовой математики (наращивания, дисконтирования) для учета динамики времени, инфляции и т.п. Вычислительные эксперименты на таком информационно-имитационном объекте могут оказаться полезными для совершенствования принятия как оперативных управленческих решений (накануне нового периода), так и стратегических - при планировании на некоторую перспективу (например, в связи с взятием банковского кредита на определенный срок, подбором величин и сроков погашения долга, процентов).

Управляемость, во-первых, определяется объективными возможностями (наличием функционирующих «рычагов управления», существующими возобновляемыми условиями). Во-вторых, для организации качественного управления нужны сведения о характеристиках прошлых управляющих воздействий и соответствующих реакциях окружающей рыночной среды. В экономике «рычаги управления» - это ценообразование в динамике времени при выпуске новых партий продукции, манипулирование расходами на рекламу, иными издержками с течением времени. Востребованная локальная социально-экономическая картина

мира, включающая исследуемую организацию, должна опираться на характеристики, обеспечивающие успешное функционирование, развитие в будущем согласно имеющейся истории данных.

Впервые применявшиеся в экономике почти столетие назад математико-статисти-ческие методы выявления, восстановления зависимостей между показателями позволили задуматься об управлении «в принципе неуправляемым» (прибылью, рентабельностью, выручкой), путем управления «непосредственно управляемым»: ценами, расходами на рекламу, на послепродажное обслуживание и т.п. Стало возможным объяснять формальными методами экономическое «неформальное» (и численно прогнозировать значения опосредованно управляемых характеристик с оценкой ожидаемых погрешностей). Управляемость хотя бы локальная, в окрестности предыдущих значений, чтобы осуществить хотя бы выбор направления изменений, стала истинно революционным шагом. Информатика позволила широко применить адаптированные к экономике математику, статистику - так оформилась важная научно-практическая дисциплина «эконометрика» [см., напр., 5]. Появилась возможность численно экспериментировать по будущим периодам (обучаясь на данных о прошлом своего предприятия и предприятий-аналогов) и получать конкурентные преимущества. Методы эконометрики дополняют социально-экономическую картину о предприятии, окружающей рыночной среде и интервальными оценками будущих значениях нужных показателей.

Появившиеся в экономике параллельно с расцветом вычислительной техники в прошлом веке методы математического программирования, исследования операций [см., напр., 6] пока востребованы в экономике не очень активно. Тогда как уже давно имеется возможность накапливать в аналогичных условиях опыт предшествующих управляющих воздействий на окружающую

рыночную среду, соответствующих реакций в количественной форме, адекватно систематизировать его и применять. Все рельефнее проявляется возможность продуцировать полезные рекомендации накануне принятия решений по характеристикам управляющих воздействий.

Заметим, что в последнее время в экономике все шире применяются компьютерные, аппаратные технологии, нарастает интерес к экономико-математическому моделированию, к соответствующим комплексным подходам [7]. При этом необходимо иметь в виду новые аспекты. В силу того, что учет организовывают адекватно управлению, дополнительно востребованы методы, ранее относившиеся лишь к математике (или лишь к информатике) [8].

На основании эффектов наращивания, дисконтирования, прогнозирования на краткосрочную (долгосрочную) перспективу в алгоритмической модельно-блоко-вой форме стало возможным находить оптимальные планы по выбору значений непосредственно управляемых показателей в динамике ряда будущих периодов, применять комплексные методы оптимизации (исследования операций). Вычислительно нетрудоемкие математические расчеты доступны в рамках современных используемых для автоматизации учета и управления типовых программных средств (где имеются встроенные математические функции, внутрисистемный алгоритмический язык). Параллельно интенсивно развивается и специализированное программное обеспечение для решения сложных математических задач (включая многовариантные итерационные оптимизационные расчеты): МаШета^са, МарНе, MathCad, МА^АВ и др. При этом уместна и доступна интеграция, то есть обмен данными с применением файлов или в режиме реального времени, в том числе и для решения указанных выше задач [9; 10].

В целом сегодня необходимо выявлять, восстанавливать нужные для комплексно-

го модельного анализа зависимости, обеспечивающие нахождение оптимальных решений по ценообразованию, затратам на рекламу, по запасам в динамике времени и по местам событий. В соответствующие модельные расчеты уместно и целесообразно закладывать события взятия, возврата банковских кредитов, привлечения накапливаемых к анализируемому моменту финансовых ресурсов. То есть согласно потребностям рынка необходимо выстраивать наиболее выгодным образом для своей организации (и для рынка соответственно) ценовую, рекламную, резервную будущую политику в развертке непосредственно управляемых, прогнозируемых экономических показателей. Практическ требуется подкреплять численно обоснованными подсказками многое из того, что уже делается, и развивать такую стилистику, продуцируя, возможно, учет ранее нерассмотренных потенциально измеримых показателей, нужных для совершенствования управления [см., напр., 11].

Условия экономико-математического моделирования определяются конкретными целью и объективными обстоятельствами деятельности предприятия (фирмы) [12; 13]. Например, можно полагать, что в течение двух предшествующих периодов и в будущем периоде (продолжительность каждого периода определенная) сбыт конкретного вида продукции при прочих неизменных условиях прямо пропорционален цене. Для этой продукции следует определить цену и прогнозируемый при ней объем сбыта (выпуска), обеспечивающие максимизацию ожидаемой выручки в следующем периоде. Пусть известны данные двух предшествующих периодов о ценах (с1,с2) и объемах сбыта Кроме того, пусть данные двух предыдущих периодов соответствуют линейной зависимости спроса от цены. Отсюда получаем систему уравнений a•c1+b=k1, a^c2+b=k2, из которой следует, что а = (к2 - k)/(c2 - c), ь = №1с2 - k2^c1)/(c2 -с). Выручка в течение каждого из трёх рас-

сматриваемых периодов составит V = (а-с+Ь)-с (с - цена для определенного периода). Тогда из необходимого условия экстремума для будущего периода d[(a с+Ь) -с]Мс = 2а с+Ь = 0 получим, что обеспечивающая максимизацию выручки цена составит с*в = - Ь/(2а). Ожидаемый в следующем периоде сбыт при цене с*в : к* = а • с* + Ь, получаемая при этом выручка: V* = к*в-с*в . Заметим, что оптимальная выручка будет не меньше выручки и 1-го (V1 = к1-с1), и 2-го (V2 = к2-с2) прошлых периодов, и превзойдет их среднее значение при а<0 (соответствующим экономическому смыслу и обеспечивающим выполнение необходимого условия максимума [см., напр., 7]).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Так, средний прирост по отношению к каждому из предшествующих периодов составил порядка 5% по конкретной выборке из ста различных экономически интерпретируемых вариантов (когда при увеличении цены спрос падает, а при уменьшении цены спрос увеличивается, т.е. а<0). Заметим, что вместо двух периодов сбыта в одном месте уместно выбирать и данные по двум аналогичным местам сбыта для того же вида продукции за один прошлый период. Выборка из двух прецедентов непрезентабельна статистически, но здесь уместна для применения соответствующая эконометрическая модель парной линейной регрессии, например, с целью восстановления зависимости между ценой и спросом (планируемым сбытом) по многим прецедентам. Кроме того, очевидно, что максимизация выручки будет актуальна лишь в эпизодических ситуациях по сравнению, например, с желаемой максимизацией ожидаемой прибыли (хотя учетные данные, необходимые для указанного выше вида оптимизационного моделирования, практически доступны на многих предприятиях - нужна лишь автоматизация учета оборотов выручки и сбыта).

Заметим также, что рассмотренного вида примеры порождают определенный класс

задач математического (квадратичного) программирования в более общем случае. В частности при рассмотрении многих видов продукции, при наличии общих ограничений или ограничений на группы продукции в связи с условиями выпуска продукции на рынок (доставки, хранения, пр.), из-за условий положительности цен, возможной ограниченности общих затрат в целом и по группам и т.п. А в случае выпуска нового вида продукта уместно подключать и распознавание образов для выявления по косвенным характеристикам групп продукции и выбора той группы, к которой наиболее естественно подходит новый продукт. Цель - выявить усредненные характеристики зависимости спроса от цены по группе и применить их на первой итерации. Это нужно для подбора близкой к оптимальной цене по новому виду продукции, пока не накопятся данные по реализации нового продукта. Очевидно, что рассматриваемый подход более актуален для случаев высокой интенсивности сбыта, например, в супермаркетах, где уместны и дополнительные вычислительные тесты по глубине истории имеющихся данных (в частности, можно по каждому виду продукции подбирать свою продолжительность периода, для которого проверенная на последнем периоде ошибка прогноза окажется минимальной).

Заметим также, что, с одной стороны, в указанной выше ситуации в простых случаях расчеты могут быть связаны лишь с последовательным выбором номенклатурных позиций, приносящих наибольшую выручку (по сравнению с остающимися позициями). При этом нетрудно учесть и общее финансовое ограничение. С другой стороны, алгоритмы расчета выручки могут оказаться достаточно сложными (со всевозможными скидками, с различными дополнительными условиями-ограничениями). И тогда уместно говорить о задаче математического программирования, заданной в условиях плохой формализуемости, примени-

мой как для оптимизации в целом, так и для совершенствования алгоритмов распознавания образов в связи с предшествующей, сопровождающей формальной диагностикой по планируемому выпуску продукции, их ценам [см., напр., 14]. Таким образом, уже в связи с более простым для организации соответствующего учета желанием максимизировать ожидаемую выручку просматриваются уместные приложения математического программирования и распознавания образов - от нетрудно реализуемых в ряде случаев формульных расчетов до сложных, итерационных, применимых в более общих случаях.

Пусть при неизменных в течение двух предыдущих и будущего периодов приходящихся на единицу продукции переменных (р) и общих постоянных издержках (Р) требуется выявить оптимальное решение по выбору цены, обеспечивающей наибольшую будущую прибыль, причем согласно сформировавшимся условиям (при рассмотренных выше предположениях). Для данного случая прибыль по конкретному виду продукции за определенный период является разностью выручки и соответствующих издержек = (ас+Ь)с-(Р+(ас+Ь)р), и оптимальная цена для рассматриваемой задачи может быть выявлена согласно необходимому условию экстремума dS/dc = d[(a•c+b)(c-p)-P]/dc = 2ас+Ь-ар=0 следующим образом с* = (р-Ь/а)/2. Ожидаемый в следующем периоде сбыт при цене с*п составит k* = а •с* +Ь, наибольшая ожидае-

пп

мая в следующем периоде прибыль: S=k*п• (с*п —р)—Р (очевидно, что с*п> с*д при прочих неизменных условиях).

Заметим, что оптимальная прибыль не меньше, чем прибыль и 1-го (81 = k1 •(с1-р)-Р), и 2-го (8^2^(с2-р)-Р) предыдущих периодов, и заведомо превзойдет их среднее значение при а<0 (обеспечивающем выполнение необходимого условия максимума и в этом случае) [7]. Так, средний прирост прибыли по отношению к каждому из предшествующих периодов составил порядка

10% по указанной выше выборке ста экономически интерпретируемых вариантов (выручка при этом снизилась в среднем на 2%). Также заметим, что организовать адекватный учет в связи с оптимизацией прибыли труднее - нужно корректно разносить переменные, постоянные издержки по видам продукции (для этого нужен и содержательный экономический анализ, и дополнительная автоматизация соответствующей детализации учета).

Все, что было указано по отношению к выручке в связи с возможным уместным применением математического программирования и распознавания образов, в полной мере распространяется и на показатель «прибыль». Такой оптимизируемый показатель, как прибыль, особенно интересен в связи с возможностью взятия (возврата) кредита и расчета его величины. Для рассмотренного случая прибыль конкретного вида продукции за определенный период является разностью выручки и соответствующих затрат S=V-Z•(l+t) = (а^с+Ь)^с -(Р+(ас+Ь) р) (1+$, где t - это процентная ставка (доля), определяющая плату за пользование деньгами на все издержки будущего периода. Оптимальная цена (затраты) для рассматриваемой задачи может быть вычислена согласно необходимому условию экстремума dS/dc=2a•c+b-ар ^(1+^=0 следующим образом с*пк = (р •(1+)Ь/а)/2; ожидаемый в следующем периоде сбыт при цене с* пк составит k* = ас*пк +Ь. Изменения средней цены в случае использования кредита оказываются незначительными (по указанной выше выборке прирост составил в среднем порядка 0,5% в связи с применением ставки за период в 5% за пользование кредитом). При этом общая прибыль снизилась лишь примерно на 2% по этой же выборке по сравнению со случаями без использования кредита (с применением собственных финансовых средств).

Аналогичные исследования уместны в связи с максимизацией ожидаемой рента-

бельности как отношения прибыли к полным соответствующим издержкам (при использовании собственных финансовых средств, средств инвесторов [см., напр., 7]). Изменение средней цены для оптимизации рентабельности по сравнению с ценой для максимизации прибыли оказалось по указанной выше выборке продукции значительным (увеличение порядка 30%). Средний прирост рентабельности по сравнению с каждым из предшествующих периодов составил порядка 25% в среднем. Указанные здесь оптимизационные исследования еще раз демонстрируют проверенную практикой важность банковской системы для экономики в целом (при привлечении заемных средств целесообразно максимизировать прибыль, а при использовании собственных финансовых средств актуальна максимизация рентабельности, порождающая повышение цен при оптимальных решениях).

Применимы и обобщения по изменяющейся динамике изменения зависимостей спроса от цены (расходов на рекламу), по отслеживанию детальных связей на предприятии [см., напр., 15]. Таким образом, в микроэкономике видами воздействия на окружающую рыночную среду выступают управление ценами, расходами на рекламу, запасами с течением времени и в пространстве. Соответственно, содержательно и формально обоснованные численные методы поддержки принятия управленческих решений следует связывать с автоматизацией учета, управления в организациях, например, с соответствующим конфигурированием информационных баз «1С: Предприятие 8». Как следствие, эти вопросы актуальны и в рамках современного экономического образования, в частности в магистратуре экономического, экономико-математического профиля [16].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Ефремов Г. А. Социально-экономическая картина мира // Электронный научно-образовательный журнал ВГПУ «Грани познания». 2011. № 3 (13). URL: http://grani.vspu.ru/ files/publics/1325060691.pdf.

2. Попов А.Л. «1С:Предприятие 8» и формирование современной социально-экономической картины мира // Применение технологий «1С» для повышения эффективности деятельности организаций образования: Сб. науч. тр. XIV Международной научно-практической конференции. М.: 1С-Паблишинг, 2014. С. 407-410. URL: http://elibrary.ru/ download/86516702.pdf.

3. Пачоли Л. Трактат о счетах и записях. М.: Финансы и статистика, 1994. 320 с.

4. Блау С.Л., Григорьев С.Г. Финансовая математика. М.: Изд-во «Academia», 2013. 192 с.

5. Кремер Н.Ш. Эконометрика / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. 328 с.

6. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Исследование операций в экономике. М.: Юрайт, 2014. 448 с.

7. Мазуров Вл.Д., Трофимова Е.А., Попов А.Л. Математическая экономика. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2006. 166 с.

8. Попов А.Л. Системы поддержки принятия решений. Екатеринбург: Урал. гос. ун-т, 2008. 80 с. URL: http://elar.usu.ru/bitstream/ 1234.56789/1676/6/1335843_schoolbook.pdf.

9. Попов А.Л. О связи экономики, математики и информатики в современных условиях // Вестник Уральского института экономики, управления и права. 2013. №4 (25). С. 78-80.

10. Попов А.Л., Трофимова Е.А., Крутова Л.И., Гальперин А.Л. Предметно ориентированные информационные системы контроля. Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2005. 248 с.

11. Попов А.Л. Концепция «учет-моделирование-управление» и «1С:Предприятие 8» в экономико-математическом образовании // Повышение эффективности обучения и управления образовательными учреждениями с использованием технологий «1С»: Сб. науч. тр. Х Международ. науч.-практ. конф. М.: 1С-Паблишинг, 2010. С. 324-327.

12. Попов А.Л. Современная экономическая доктрина и автоматизация учета, управления с применением «1С: Предприятие 8» // Формирование новой информационной среды образовательного учреждения с использованием технологий «1С»: Сб. науч. тр. XII Международ. науч.-практ. конф. М.: 1С-Паблишинг, 2012. С. 458-462.

13. Заложнев А.Ю. Внутрифирменное управление. Оптимизация процедур функционирования. М.: ПМСОФТ, 2006. 290 с.

14. Mazurov V.D., Popov A.L. The improvement of recognition algorithms as an ill-formalized optimization problem // Pattern Recognition and Image Analysis. (Advances in Mathematical Theory and Applications). 1997. Т. 7. № 3. Р. 334-337.

15. Попов А.Л., Иванов С.А. Совершенствование управления расходами на рекламу и адекватное дополнительное конфигурирование «1С: Предприятие 8» // Применение технологий «1С» для формирования инновационной среды образования и бизнеса: Сб. науч. тр. XV Международ. науч.-практ. конф. М.: 1С-Паблишинг, 2015. С. 454-457.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

16. Попов А.Л. Численные методы поддержки принятия управленческих решений по ценообразованию, расходам на рекламу, формированию запасов ресурсов в пространстве и во времени с соответствующим конфигурированием «1С:Предприятие 8» в магистерском экономическом образовании // Применение технологий «1С» для формирования инновационной среды образования и бизнеса: Сб. науч. тр. XV Международ. науч.-практ. конф. М.: 1С-Паблишинг, 2015. С. 422-424.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ

ПОПОВ Аркадий Леонидович, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математической экономики ИМКН, Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург.

E-mail: arkady.popov@usu.ru