CC BY
76
Мандзий Б.А., Волочий Б.Ю., Озирковский Л.Д., Кулык И.В.
Украина, Львов, Национальный университет «Львовская политехника».
АВТОМАТИЗАЦИЯ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМ НЕМАРКОВСКОГО ТИПА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ФАЗ ЭРЛАНГА
Введение
Для построения моделей поведения сложных технических систем в виде дискретно-непрерывной стохастической системы (ДНСС) в [1] предложен метод формирования графа состояний и переходов, степень формализации которого позволила автоматизировать этот процесс. На основе этого метода разработан программный модуль ASNA-1, предназначенный для определения показателей надежности (вероятность безотказной работы и наработка на отказ) отказоустойчивых систем [б] . Программный модуль ASNA-1 осуществляет безошибочное построение графа состояний и переходов для объекта исследования с произвольным числом состояний и особенно эффективен при его многовариантном анализе. С помощью графа, который представляет марковскую ДНСС [2] формируется математическая модель объекта исследования в виде системы дифференциальных уравнений Колмогорова-Чепмена. Такая модель накладывает ограничения на объект исследования, а именно продолжительность всех процессов в нем считается распределенной по экспоненциальному закону. Однако в действительности для части процессов в объекте исследования может быть приемлем такой закон распределения, а для другой- нет. Так для процессов старения и технического обслуживания в отказоустойчивых системах и для процессов поступления и обслуживания заявок в системах массового обслуживания актуальным является использование закона распределения Эрланга.
В практике системного анализа известен метод фаз Эрланга [2-5], который позволяет немарковский дискретно-непрерывный процесс с эрланговским распределением временных интервалов пребывания в определенных состояниях аппроксимировать марковским процессом. Это означает, что ДНСС марковского типа можно заменить стохастическую систему немарковского типа. Для этого необходимо трансформиро-вать граф состояний и переходов введением для соответствующих состояний цепочек фиктивных состояний. Однако использование этого метода без средств автоматизации для объектов исследования с большим числом состояний является весьма трудоемкой задачей.
В работе показано решение задачи усовершенствования известного [1] метода формирования графа состояний для ДНСС немарковского типа при наличии состояний, время пребывания в которых необходимо представлять законом распределения Эрланга.
Методика построения структурно-автоматных моделей объектов исследования
В технологию аналитического моделирования [1] внесено ряд дополнений, касающихся формирования вербальной и построения структурно-автоматной моделей. Внесенные дополнения позволяют получить структурно-автоматную модель, на основе которой программный модуль ASNA-1 осуществляет автоматизированное построение модели поведения стохастической системы в виде трансформированного графа состояний и переходов, с использованием метода фаз Эрланга (ФЭ).
Порядок использования усовершенствованной технологии аналитического моделирования поведения ДНСС следующий:
1) Формирование вербальной модели. Вербальная модель дает описательное представление объекта исследования. При ее формировании необходимо осуществить описание всех событий, которые могут происходить в исследуемой системе и провести их классификацию на базовые и сопутствующие. Для каждого базового события необходимо описать условия и обстоятельства, которые определяют его возникновение.
Исходными данными при построении моделей поведения стохастических систем немарковского типа, кроме представления структуры и поведения этих систем, являются сведения о математических моделях законов распределения вероятности (плотность распределения f(t), математическое ожидание Шо, дисперсия о2) для процессов, протекающих в исследуемых системах. Обычно это процессы: старения аппаратуры, технического обслуживания, поступления и обработки сообщений, действия внешних факторов и т. п. Для использования этих данных при построении моделей поведения стохастической системы с помощью метода ФЭ, заданные законы распределения необходимо аппроксимировать с помощью закона распределения Эрланга или композиции нескольких законов распределения Эрланга, что позволит определить количество дополнительных цепочек и количество фиктивных состояний в этих дополнительных цепочках.
Для использования метода фаз Эрланга, при моделировании систем немарковского типа, с помощью усовершенствованной технологии аналитического моделирования поведения ДНСС среди базовых событий необходимо определить те события, которые вызывают процессы с законом распределения для их продолжительности , отличающимся от экспоненциального закона распределения вероятности.
2) Построение структурно-автоматной модели. Построение структурно-автоматной модели осуществляется на основе вербальной модели, которая задает исходные данные в виде перечня базовых событий, описания ситуаций в виде условий и обстоятельств, при которых эти события происходят. Для обеспечения автоматизированного формирования дополнительных цепочек фиктивных состояний согласно методу ФЭ, необходимо внести некоторые изменения в методику формирования структурно-автоматной модели.
Формирование вектора состояний заключается в выборе компонент, определяющих состояние системы в каждый момент времени. Количество компонент в описании текущего состояния должно соответствовать количеству параметров, изменение которых определяет поведение объекта исследования.
При использовании метода ФЭ необходимо назначить дополнительные компоненты вектора состояний, которые определяют пребывание стохастической системы в фиктивных состояниях дополнительных цепочек.
Определение множества формальных параметров модели. При формировании множества формальных параметров необходимо задать значения интенсивности потоков событий, константы, которые определяют структуру объекта исследования и начальные значения компонент вектора состояний.
Построение дерева правил модификации компонент вектора состояний. Согласно технологии [1], в соответствующей табличной форме, осуществляется формализованное описание поведения системы. В основу дерева правил модификации компонент вектора состояний положены базовые события.
С помощью логических функций и математических операций над компонентами вектора состояний выполняется описание условий и обстоятельств, при которых возникаютустановленные базовые события.
Для базовых событий, которые повлекут появление немарковских процессов в стохастической системе, необходимо сформировать вспомогательные условия и обстоятельства, которые будут описывать пребывание системы в фиктивных состояниях дополнительных цепочек.
Для каждого формализованного описания условий и обстоятельств, необходимо скомпоновать формулы расчета интенсивностей появления базовых событий и формулы расчета вероятностей альтернативных переходов, а также установить правила модификации компонент вектора состояний.
3) Построение трансформированного графа состояний и переходов. Разработанная структурно -автоматная модель вносится в программный модуль ASNA-1. Программный модуль ASNA-1 формирует модель объекта исследования в виде трансформированного графа состояний и переходов,в соответствии с которым составляет систему дифференциальных уравнений Колмогорова-Чепмена и осуществляет ее решение .
то необходимо выполнить кор-состояниями в эквивалентных осуществлять до обеспечения
4) Проверка точности аппроксимации. На основе полученного в результате решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова-Чепмена, распределения вероятностей пребывания системы в состояниях, производится расчет аппроксимирующих эквивалентных интенсивностей, которые должны описывать соответствующий процесс (старение, восстановление и т.п.). Осуществляется сравнение параметров реального закона распределения и рассчитанных параметров аппроксимирующего закона распределения.
Если точность аппроксимации не соответствует заданному критерию, ректировку значения интенсивности переходов между дополнительными цепочках. Коррекцию значений интенсивностей переходов необходимо требуемой точности аппроксимации.
5) Формирование показателей надежности (или эффективности) исследуемой системы. Из полученного распределения пребывания системы в состояниях находят значения необходимых показателей надежности (или эффективности) системы.
Пример применения усовершенствованной технологии аналитическогомоделирования
Вербальная модель.Объектом исследования является система обработки информации, моделью которой является система массового обслуживания (СМО) с ограниченной очередью и одноканальным, однофазным и ненадежным обслуживанием ЕЗ|М|1|2 рисунок 1 [1].
Рисунок 1 - Система массового обслуживания с ограниченной очередью, одноканальным, однофазным и ненадежным обслуживанием
Исследуемая система работает следующим образом: заявка, поступающая в СМО при отсутствии очереди и незанятом работоспособном канале обслуживания попадает на обслуживание. Если канал обслуживания занят или неисправен и в очереди есть свободное место, пришедшая заявка становится в очередь. Если канал обслуживания занят или неисправен и в очереди нет свободного места, пришедшая заявка теряется.
Интервалы времени между поступающими заявками, для рассматриваемой СМО, распределены по закону Эрланга 3-го порядка с интенсивностью aer(t) и функцией плотности распределения fer(t).
aer (t )
(n
a (a ■ t )n 1
n-1
1) !■£
(at) k!
(1)
4(t) = a-e-at (2)
где a - параметр масштаба; n - параметр формы.
Канал обслуживания отказывает, причем потеря работоспособности может произойти когда канал свободен, а может произойти когда канал занят обслуживанием заявки. Заявка, которая обслуживается в момент отказа канала, возвращается в очередь, если в ней есть свободное место. Если свободного места нет, она теряется. Отказ канала обслуживания обнаруживается средствами контроля и после этого начинается ремонт канала обслуживания, который возложен на ремонтный орган. Количество ремонтов канала обслуживания не ограничено, причем ремонт всегда успешен. Функция контроля состояния работоспособности канала обслуживания выполняется безупречно, то есть вероятность обнаружения нарушения работоспособности равна единице.
Описание базовых событий и ситуаций, в которы!х они происходят. Для данной СМО характерными являются следующие базовые события:
Событие 1. «Поступление заявки на обслуживание»
Событие 2. «Завершение обслуживания заявки»
Событие 3. «Потеря работоспособности канала обслуживания»
Событие 4. «Завершение ремонта канала обслуживания»
Среди представленных базовых событий, событие «Поступление заявки на обслуживание» определяет временные интервалы, продолжительность которых описывается законом распределения Эрланга. Таким образом, состояния графа, в которых происходит поступление в систему заявок необходимо заменить дополнительной цепочкой, состоящей из трех фиктивных состояний с интенсивностью переходов между этими состояниями а.
Событие 1. «Поступление заявки на обслуживание». Данное событие может происходить при следующих обстоятельствах:
Обстоятельство 1.Канал обслуживания является работоспособным и свободным, а очередь заявок является пустой. В этом случае заявка поступает непосредственно в канал обслуживания.
Обстоятельство 2.Канал обслуживания является работоспособным и занят обслуживанием заявки или неисправен. В очереди есть заявки, однако она не заполнена до предела и еще остается место для поступающих заявок. В этом случае вновь прибывшая заявка пополняет очередь заявок.
Обстоятельство 3.Канал обслуживания является работоспособным и занят обслуживанием заявки или неисправен, а в очереди заявок свободных мест нет. В этом случае вновь прибывшая заявка теряется.
Событие 2. «Завершение обслуживания заявки». Событие 2 может происходить при условии, что заявка пребывает в канале обслуживания и при таких обстоятельствах:
Обстоятельство 1.Очередь заявок является пустой. В этом случае освобождается канал обслуживания .
Обстоятельство 2.Очередь заявок не является пустой. По завершении обслуживания заявки она покидает канал обслуживания, а у него сразу же поступает следующая заявка, которая находилась в очереди.
Событие 3. «Потеря работоспособности канала обслуживания». Это событие происходит при условии что канал работоспособен и при следующих обстоятельствах:
Обстоятельство 1.Канал обслуживания и очередь пустые. В этом случае все поступающие заявки будут пополнять очередь.
Обстоятельство 2.Канал обслуживания занят обслуживанием заявки, а очередь является пустой или не заполнена до предела. При потере каналом работоспособности заявка, которая была на обслуживании поступает в очередь.
Обстоятельство 3.Канал обслуживания занят обслуживанием заявки, а очередь полностью заполнена. В этом случае при потере каналом работоспособности заявка, которая была на обслуживании теряется.
Событие 4. «Завершение ремонта канала обслуживания». Это событие может происходить при усло-
вии, что канал обслуживания неисправен и при следующих обстоятельствах:
Обстоятельство 1.Очередь заявок пуста. В этом случае после восстановления работоспособности канала обслуживания он готов принять вновь прибывшую заявку.
Обстоятельство 2.В очереди есть заявки. В этом случае после восстановления работоспособности канала обслуживания он получает на обслуживание заявку, находящуюся в очереди. Вновь прибывшие заявки поступают в очередь.
Построение структурно-автоматной модели. Согласно технологии моделирования дискретнонепрерывных стохастических систем [1] осуществляется выбор необходимых констант и компонент вектора состояний системы, а именно:
KF - количество фаз дополнительного процесса;
А - интенсивность отказов канала обслуживания;
ц - интенсивность восстановлений канала обслуживания;
а - интенсивность поступления заявок;
в - интенсивность обслуживания заявок;
m - максимальное количество заявок в очереди
Вектор состояний имеет следующие компоненты:
V1 - указывает на текущее количество заявок в очереди; в начальный момент времени V1=0, максимальное значение компоненты V1=m;
V2 - указывает на состояние канала обслуживания: 1 - канал исправен и свободен, 2 - канал исправен и занят обслуживанием заявки; 0 - канал неисправен;
V3 - указывает на количество потерянных заявок за время обслуживания одной заявки или за время ремонта канала обслуживания;
V4 - дополнительная компонента, определяющая фазу пребывания системы в фиктивных состояниях; в начальный момент времени V4=KF;
Построено дерево правил модификации компонент вектора состояний, фрагмент которого для исследуемой СМО представлен в табл.1. В таблице использованы сокращения: ФРИБС - формулы расчета
интенсивностей базовых событий; ПМКВС - правило модификации компонент вектора состояния.
Дерево правил модификации компонент вектора состояний Таблица 1
Базовые события Условия и обстоятельства ФРИБС ПМКВС
1 2 3 5
Поступление заявки на обслуживание (V1=0) AND (V2=1) AND (V3=0) AND (V4>=2) а V4 : =V4-1;
(V1=0) AND (V2=1) AND (V3=0) AND (V4=1) а V4:=KF; V2:=2;
(V1<m) AND ((V2=2) OR (V2=0)) AND (V3=0) AND (V4>=2) а V4:=V4-1;
(V1<m) AND ((V2=2) OR (V2=0)) AND (V3=0) AND (V4=1) а V4 : =KF; V1:=V1+1;
(V1=m) AND ((V2=2) OR (V2=0)) AND (V3=0) AND (V4>=2) а V4:=V4-1;
(V1=m) AND ((V2=2) OR (V2=0)) AND (V3=0) AND (V4=1) а V4 : =KF; V3:=V3+1
Окончание обслуживания заявки (V1=0) AND (V2=2) AND (V3=0) AND (V4=KF) в V2 : =1
((V1>0) AND (V1<m)) AND (V2=2) AND (V3=0) AND (V4=KF) в V1:=V1-1
(V1=m) AND (V2=2) AND (V3=0) AND (V4=KF) в V1:=V1-1
(V1=m) AND (V2=2) AND (V3=1) AND (V4=KF) в V1:=V1-1; V3 : = 0
Построение графа состояний и переходов.Созданная структурно-автоматная модель СМОвводится в программный модуль ASNA-1, использование которого дает возможность автоматически формировать граф состояний и переходов системы и получать решение системы дифференциальных уравнений Колмогорова-Чепмена. Граф состояний и переходов выдается в виде матрицы, в которой указаны состояния СМО и интенсивности переходов между ними. Графическое представление графа состояний и переходов СМО изображено на рисунке2.
Рисунок1 - Граф состояний и переходов марковской модели СМО
Рисунок 2 - Граф состояний и переходов эквивалентной марковской модели СМО, построенной с использованием метода ФЭ
Формирование показателей эффективности исследуемой системы. Результатом решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова-Чепмена являетсяраспределение вероятностей нахождения системы в состояниях в произвольный момент времени. Имея значения этих вероятностей осуществляется расчет необходимых показателей эффективности.
Вероятность потери заявки для марковской и немарковской моделей СМО, определяется выражениями (3) и (4), а соответствующие зависимости вероятности потерь заявки от времени работы СМО показаны на рисунке4.
Pnom (t ) = P5 (t)+ P9 (t)
Pnom (t) = P22 (t) + P23 (t)
(3)
(4)
03
0.2
InoT©
01
г \ не марковская СМО
^—
// \_ марковска [СМО
10
t,4ac
Id
20
РисунокЗ - Зависимость вероятности потери заявки от времени работы СМО
Вероятностьпребывания заявки в канале обслуживания для марковской и немарковской моделей СМО, определяется выражениями (5) и (6), а соответствующие зависимости вероятности пребывания заявки в канале обслуживания от времени работы СМО показаны на рисунке5.
Pass (t ) = P2 (t) + P3 (t)+ P4 (t)+ P5 (t) (5)
7
Pass (t) = I P (t) + P11 (t) + P12 (t) + P17 (t) + P20 (t) + P21 (t) + P23 (t) (6)
І =4
Рисунок4
Зависимость вероятности пребывания заявки в канале обслуживания от времени работы
СМО
Заключение
Усовершенствована технология аналитического моделирования ДНСС [1], что позволило осуществлять автоматизированное построение трансформированного графа состояний и переходов для систем немарковского типа с использованием метода фаз Эрланга. В отличие от существующей, усовершенствованная технология позволяет адекватно представлять процессы, которые протекают в ДНСС и описываются с помощью закона распределения Эрланга.
Осуществлено сравнение показателей эффективности системы обработки информации полученные с помощью ее марковской и немарковской моделей. Различия между результатами подтверждают актуальность учета реального закона распределения при моделировании поведения системы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Волочий Б.Ю. Технология моделирования алгоритмов поведенияинформационных систем/ Волочий Б.Ю. - Львов: НУ"ЛП", 2004. - 220с.
2. Кочегаров В. А. Проектирование систем распределения информации. Марковские и немарковские модели / Кочегаров В.А., Фролов Г.А. - М.: Радио и связь, 1991. - 216 с.
3. Иыуду К.А., Математические модели отказоустойчивых вычислительных систем / Иыуду К.А., Кри-вощеков С.А. - М.: МАИ, 1989. - 144 с.
4. Кениг Д. Методы теории массового обслуживания / Кениг Д., Штоян Д. / Пер. с нем. / Под
ред. Климова Г.П. - М.: Радио и связь, 1981. - 128 с.
5. Райншке К. Оценка надежности систем с использованием графов / Райншке К., Ушаков И.А. / Под ред. Ушакова И.А. - М.: Радио и связь, 1988. - 208 с.
6. Мандзий Б.А. Определение параметров стратегии аварийного восстановления для отказоустойчивых систем на основе мажоритарной структуры(укр.)/ Б.А. Мандзий, Б.Ю. Волочий, Л.Д. Озирковский, М.М. Змысный, І.В. Кулык // Вестник НУ «Львовская политехника». Радиотехника и телекоммуникации. - 2011. -№705. - С. 216-224.
