CC BY
47
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XVI 1 985 М2
УДК 539.3
АВТОМАТИЗАЦИЯ ФОРМИРОВАНИЯ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Н. С. Галкина, Ю. В. Гусак, В. Д. Чубань
Излагается подход к формированию конечно-элементных моделей пространственных конструкций на основе построения так называемой континуальной модели объекта расчета. Рассматриваются и иллюстрируются алгоритмы автоматического разбиения континуальной модели на конечные элементы.
В последнее десятилетие большое распространение получили идеи автоматизации подготовки исходных данных и обработки результатов расчетов для вычислительных программ метода конечных элементов (в дальнейшем МКЭ-программ). Соответствующие программы получили название пре- и пост-процессоров МКЭ-программ. В настоящее время известны уже десятки примеров работающих пре- и пост-процессоров, которые позволяют существенно облегчить ввод, контроль и вывод
Рис. 1
информации для МКЭ-программ. Как правило пре- и пост-процессоры согласуются с основной МКЭ-программой через стандартизованные файлы (рис. 1). Такая схема, ставшая классической, обладает рядом преимуществ:
— пре- и пост-процессоры, не связанные непосредственно с МКЭ-программой, могут эксплуатироваться на мини-ЭВМ, что в ряде случаев весьма удобно;
— пре- и пост-процессоры могут быть относительно легко «перенастроены» на другие форматы стандартизованных файлов, что позволяет их использовать в комбинации с другими МКЭ-программами;
■— одна и та же МКЭ-программа может эксплуатироваться с различными пре- и пост-процессорами, которые могут иметь преимущество при решении задач того или иного класса.
Рис. 2
В то же время эта схемы не лишена и известных недостатков:
— ограниченность объемов стандартизованных файлов приводит при решении реальных задач к многим прогонам, поскольку ошибки в формировании МКЭ-модели становятся известными только после прохождения всей последовательности действий по схеме;
— сама концепция схемы предполагает функционирование основной МКЭ-программы в пакетном режиме, что является типичным для МКЭ-программ второго поколения;
— пре- и пост-процессоры по этой схеме искусственно разделены, что приводит в практической работе к трем различным по уровню представлениям о решаемой задаче:
1) входной язык пре-процессора, базирующийся на геометрических понятиях в терминах «точка», «линия», «поверхность», «объем» (модель конструкции, представленную в этих терминах будем называть континуальной) ;
2) входной язык МКЭ-программы, базирующийся на понятиях конечно-элементной модели в терминах «узел», «топология конечного элемента» (в дальнейшем конечно-элементную модель будем называть дискретной моделью);
3) входной язык пост-процессора, базирующийся на понятиях дискретной модели в терминах «группа узлов», «группа конечных элементов».
В частности, при изменении параметров разбиения для пре-процес-сора будет получена другая дискретная модель с измененной нумерацией узлов и элементов, что приведет к существенному изменению строк входного языка пост-процессора.
Альтернативой изложенному подходу может служить другая схема взаимодействия пре- и пост-процессора с МКЭ-программой (рис. 2). Ее основой является наличие общей базы данных для всех компонент
схемы, причем пре-продессор и пост-процессор опираются на геометрическое описание конструкции, а МКЭ-программа — на традиционное представление дискретной модели конструкции.
Необходимо стремиться к тому, чтобы пользователь опирался только на геометрическое описание конструкции как при вводе исходной информации, так и при выводе результатов. При этом промежуточная конечно-элементная идеализация конструкции должна быть максимально скрыта от пользователя, освобождая его от информационной перегруженности.
К достоинствам рассматриваемой схемы следует отнести:
— максимальную оперативность прохождения информации по всем компонентам схемы;
— максимальную полноту полученной необходимой информации для каждого компонента схемы за счет единой базы данных.
Прогресс в средствах межпроцессорной связи ЭВМ позволяет проводить эксплуатацию математического обеспечения по этой схеме на сети ЭВМ, при этом МКЭ-программа эксплуатируется на большой ЭВМ, а пре- и пост-процессоры — на мини-ЭВМ.
Относительным недостатком этой схемы является ее большая сложность за счет увеличения числа перекрестных связей по общим структурам данных.
Ниже рассмотрена одна конкретная реализация пре-процессора по предложенной схеме. Реализация проведена в рамках системы МАРС, предназначенной для расчета конструкций на прочность на базе метода конечных элементов.
Процесс формирования модели МКЭ начинается с построения в базе данных континуальной модели конструкции, которая представляет собой совокупность геометрических объектов (точек, линий, поверхностей и объемов), снабженных соответствующими атрибутами (упругомассовыми характеристиками материалов, сечений, панелей). Например, стрингер крыла описывается линией с атрибутом, характеризующим материал, из которого изготовлен стрингер, форму и размеры его сечения и т. п. Объем исходной информации, необходимый для построения континуальной модели, как правило, невелик, так как каждый геометрический объект обычно описывает достаточно крупную часть конструкции. Количество геометрических объектов и атрибутов зависит от сложности рассматриваемой конструкции и может изменяться при уточнении континуальной модели.
Континуальная модель конструкции прежде всего предназначена для автоматической генерации соответствующей дискретной модели МКЭ, которая формируется в терминах узлов и элементов и представляется в базе данных набором подконструкций. Каждая подконструк-ция — это топологически независимый дискретный образ заданной части континуальной модели. Объединение геометрических объектов в подкон-струкции и назначение параметров разбиения осуществляется пользователем с учетом особенностей решаемой задачи. Изменяя параметры разбиения Отдельных геометрических объектов, можно получать различные дискретные модели, соответствующие одной континуальной модели.
Алгоритм разбиения геометрических объектов на конечные элементы реализован таким образом, что автоматически обеспечивается согласованность дискретной модели не только по границам объектов внутри подконструкции, но и между отдельными подконструкциями, что обеспечивает возможность их объединения и позволяет легко включать мо-
дели местной прочности в расчет общей прочности, если их континуальные модели согласованы.
Геометрические объекты, образующие континуальную модель конструкции, взаимосвязаны, так как линии строятся на точках, поверхности — на линиях, объемы — на поверхностях. Поэтому информация о геометрических объектах хранится в базе данных сетевого типа. Однако континуальная модель конструкции должна быть реализована таким образом, чтобы ее можно было уточнять для получения все более точных дискретных моделей. Обеспечить такую возможность на основе одной сетевой базы данных представляется нецелесообразным, так как это значительно усложняет коллективное потребление данных. Более привлекательной представляется реализация континуальной модели в виде иерархической совокупности сетевых баз данных. Многоуровневый процесс построения континуальной модели может быть проиллюстрирован на примере описания отсека крыла, заключенного между двумя нервюрами. !
Сначала формируется часть континуальной модели, описывающая обшивку крыла (первый уровень). Затем проводится описание продольного силового набора конструкции (стрингеры, лонжероны) и нервюр (второй уровень). Такое двухуровневое разделение континуальной модели может быть оправдано тем, что нагрузки, действующие на отсек, должны быть приложены только к обшивке. На этапе определения нагрузок удобно работать лишь с частью континуальной модели, 'схематизирующей обшивку, не интересуясь продольным и поперечным силовым набором. Кроме того, при необходимости оперативно может быть уточнена схематизация нервюр с учетом имеющихся вырезов и подкреплений.
При построении континуальной модели конструкции каждый геометрический объект или атрибут снабжается именем, которое указывается пользователем при его описании на специальном входном языке. Имеющиеся типы объектов и способы их описания перечислены в таблице. При описании точки указываются ее координаты; при описании линии — точки начала и конца линии, а также некоторая дополнительная информация, зависящая от типа линии. Например, при описании профильной линии, необходимой при описании поверхности крыла, указывается ссылка на библиотеку профилей, в которой содержится детальное описание аэродинамических профилей. Поверхность (объем) описывается путем указания граничных линий (поверхностей). Координаты внутренних точек поверхности (объема) вычисляются с помощью интерполяционных формул Кунса [1]. Имеется также ряд вспомогательных геометрических объектов, называемых пространствами, которые существенно расширяют возможности пользователя и позволяют точно смоделировать плоские, сферические, цилиндрические и конические части конструкции. Каждый геометрический объект имеет собственную систему координат. Это дает возможность описывать новые геометрические объекты на уже имеющихся объектах. Например, можно описать линию, лежащую на поверхности крыла. Такая возможность оказывается полезной при описании различных вырезов и т. п.
Вся информация о геометрических объектах и атрибутах, образующих континуальную модель, хранится в соответствующей базе данных (или в нескольких базах данных). Команды входного языка, с помощью которых пользователь взаимодействует с базой данных, удобно разделить на три класса.
Команды формирования континуальной модели (описать, уничтожить, скопировать, переименовать, назначить) позволяют активно работать с геометрическими объектами и атрибутами.
Название Обозначена Тип Изображение Описание
точка рт — ,Р1 )£5;РТ]Р1;< коарЗиноты>
линия “у- Отре^ОК. лолиго/у профильная линия РЗ. Ю рГ * ЪЕ£;Ш;И,Р1,Р2 Р1Р2, <коардииаты ¡рую&> Р1,Р2,РЗ,Р!1)Щ
поЬерхносп. 65 треугольник Четырехугольник ъЕв^&^'И'Ьг^ъ и; ¿,2,13, ¿4
! Объем УЬ треугольная приема Ьетырехугольноя прщма ф Мб^ЦУЩБг, 53, Бн,55 Б])52^31М,55,56
ПРОСТРАНСТВО БР прямая окружность плоскость цилинфическаЯ /юВерхнОсть коншескаЯ по&еряность сферическая поверхность ¿/екарп)оЁо пространстВо цилиндрическое нростронстВо сферическое простронстВо '"ст ЪЕБ^ЗР]^ , Р1,Р2 АС;Р1,Р2'РЗ {рр};И,®Я РС; Р{,Р2,РЗ рс-,р},рг.,рз,рч Рв;Р1Р21РЗ в!)-)Р1,Р2Ро $С;Р{,Р2,РЗ вв ;Р1, Р2> РЗ
А, V7
•рг кз>
Просри ль РЯ цу ^ ЪЕБРЯ) РШ;<иня профиля и$ Библиотеки ПрОриЛеи>
Команды вывода дают возможность пользователю узнать текущее состояние базы данных, имена имеющихся в ней геометрических объектов и атрибутов, общие сведения о них и связи между ними, вывести на терминал или графопостроитель информацию о геометрии континуальной модели или результаты расчета.
Команды описания дискретной модели служат для назначения параметров разбиения геометрическим объектам, которые используются на этапе генерации дискретной модели.
При задании параметров разбиения и генерации дискретных моделей отдельных объектов (объемов, поверхностей, линий) континуальной модели, составляющих подконструкцию, обеспечивается последовательная преемственность дискретных моделей от линий к объему. Сначала задаются параметры разбиения для линий:
Ь — число отрезков дискретной модели (одномерных конечных элементов), на которые линия должна быть разбита;
Т — параметр, характеризующий неравномерность распределения узлов дискретной модели на линии (отношение длины последнего отрезка на линии к первому);
I — число узлов на отдельном отрезке, характеризующее порядок аппроксимации конечно-элементной модели.
Для поверхности параметры разбиения определяются на основе параметров ограничивающих ее линий с добавлением параметра 5, характеризующего тип семейства двумерных конечных элементов (сирен-диповы или лагранжевы). Заметим, что для каждой линии ограничивающей поверхность, параметры разбиения могут быть различными.
Аналогично определяются параметры разбиения для объема.
При генерации дискретной модели объемного объекта проводится предварительная генерация дискретных моделей поверхностей, ограничивающих объем, которые в свою очередь генерируются после построения дискретных моделей линий, ограничивающих каждую поверхность.
Остановимся подробнее, на алгоритме генерации дискретных моделей объемных областей, который включает в себя как составную часть генерацию двумерных и одномерных сетей. Задача генерации конечноэлементных сетей на произвольных объемных телах ставится следующим образом. Произвольную объемную конструкцию требуется представить в виде совокупности объемных конечных элементов типа шестигранников, тетраэдров, пирамид и т. п. При этом считается, что конструкция представлена набором подконструкций (объектов континуальной модели), каждая из которых в некоторой внутренней системе координат |, т], £ является кубом. Процесс разбиения на конечные элементы проводится в связанной с объектом системе координат |, г), £. Полученные в результате генерации координаты т^, £» ¿-го узла преобразуются в глобальную систему координат
где Я — функция преобразования координат, определенная для каждого объекта континуальной модели. Заметим, что выбор функции Я в преобразовании (1) должен обеспечивать геометрическую и топологическую согласованность смежных линий и граней отдельных подконструкций.
(1)
Генерация конечно-элементной сети объемного объекта начинается с разбиения на одномерные конечные элементы ребер куба. Координаты г-го узла на отрезке [а, Ь] определяются следующим образом:
Е, = а + (Ь — а) д„
(2)
где
Яг
— 1‘
I > J
/#■!; 1 _/£ ' J -г '
Затем по известному разбиению ребер проводится генерация конечно-элементных сетей на поверхностях (гранях куба) следующим образом. Поверхность, которая в локальной системе координат г] является квадратом с разбитыми на одномерные конечные элементы границами, делится на две части прямолинейным отрезком, проходящим через средние узлы двух противоположных сторон. Параметры разбиения Ь, Т, I нового отрезка определяются через параметры границ поверхности, и проводится разбиение нового отрезка на конечные элементы. Полученные две новые поверхности имеют разбитые на конечные элементы границы и могут быть опять разделены на две части прямолинейным отрезком. Этот процесс продолжается до тех пор, пока все стороны, ограничивающие поверхности, не будут иметь параметр ¿<1. Эти простейшие поверхности топологически являются треугольными и четырехугольными конечными элементами семейства типа 5 (параметр разбиения для поверхности) с разным порядком аппроксимации по ребрам (сторонам) .
Таким образом, получаем в локальной системе координат X, г), £ куб, каждая грань которого покрыта в общем случае произвольной конечно-элементной сетью. Основная цель предлагаемого алгоритма — разделить этот объем на две части аналогичной структуры без изменения сети граней, что необходимо для выполнения условий совместности конечно-элементных сетей при объединении отдельных объектов в единую модель. При таком подходе реализован следующий метод деления объема на две части:
— строится секущая поверхность, граница которой состоит из ребер конечных элементов, покрывающих грани объема;
— построенная поверхность, являющаяся общей гранью двух новых объемов, автоматически разбивается на двумерные конечные элементы по известному разбиению границы;
— формируются два новых объема, все грани которых покрыты конечно-элементной сетью и которые в свою очередь, если это возможно, делятся на два и т. д.
Этот процесс продолжается до тех пор, пока не образуются элементарные объемы, каждая грань которых является двумерным конечным элементом (треугольным или четырехугольным). Эти элементарные объемы описываются как трехмерные конечные элементы соответствующего типа, и топология трехмерных сетей становится определенной.
Осталось определить координаты £, г|, £ внутренних узлов дискретной модели. Координаты узлов, лежащих на ребрах исходного объекта,
определены (2). Координаты г) внутренних узлов, лежащих на гранях, и координаты т], £ внутри объема находятся из уравнения
, К1
1=1> (3)
/=1
/+'
где Кг — число, узлов дискретной модели, связанных с узлом г. В случае грани рассматриваются только узлы, лежащие на грани. Узлы /=1, 2,...,Ки непосредственно связанные с узлом г, определяются из топологии дискретной модели.
Из соотношений (3) легко получить систему уравнений для определения криволинейных координат М внутренних узлов сети вида
АЧ = Р. (4)
Эта система уравнений имеет симметричный положительно определенный оператор А с редко заполненной матрицей и решается попере-менно-треугольным методом по следующей итерационной схеме [2]:
е*+1 С*
+ № = (5)
в которой оператор В определяется следующим образом:
В = (Е + ш/?) (Е + ш/?*), (6)
где Е — единичный оператор; операторам Я и Я* соответствуют нижняя и верхняя треугольные матрицы, такие, что А = Я+Я*; со — итерационный параметр.
Далее, из неравенств
< Та £(<“)» Ъ>0 (7)
находим оптимальное значение итерационного параметра со и границы энергетической эквивалентности операторов А и В. При этом используется либо итерационный метод поиска у! и уг (стр. 400 [2]), либо, если сеть топологически близка к решетке, то
Ъ 2(1+ Уч) ’ Т2 4|Л, ’ ї)' Д ’
8 = 4 (sin2 — + sin2 —) , Д = 4 Í cos2 — + cos2
V 2n 1m) V 2 n 2m j
для двумерной сети M — tiX.m и
o = 4( sin2 — 4- sin2 — -f- sin2 —
\ 2 n 2 m 21
Д
= 4 feos2 — + eos2 — 4- eos2 —
\ 2 n 2m 1 21
y (8) )
(9)
для трехмерной сети М = пХ.тХІ.
Итерационный процесс (5) строится на основе чебышевского набора параметров по модифицированной схеме Ричардсона по заданной точности определения координат е за N итераций
При этом при практических расчетах были получены следующие результаты:
М = 25, N=4, Ж = 2000, N=8 при а = 10-2,
М = 200, ЛГ= 16, М = 2000, N=16 при е = 10-4.
Дополняя ребра конечных элементов, для которых параметр />2, внутренними узлами при применении конечных элементов с улучшенными аппроксимационными свойствами и осуществляя преобразование (1) для определения глобальных координат всех узлов, получаем полностью определенную дискретную модель отдельного объекта. Объединенные дискретные модели ряда объектов образуют подконструкцию, геометрические и топологические данные о которой помещаются в базу данных для использования на следующих этапах расчета конструкции.
У
>
а—континуальная модель пространственной конструкции, б—конечно-элементная модель
Рис. 3
а)
ю
а—континуальная модель объемного узла, б—конечно-элементная модель
Рис. 4
На рис. 3 и 4 представлены примеры применения изложенной методики для генерации конечно-элементных сетей пространственных и объемных конструкций.
В заключение авторы выражают благодарность Ю. А. Шевченко, принявшему активное участие в ряде разработок по реализации методики.
ЛИТЕРАТУРА
1. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики.—М.: Мир, 1980.
2. С а м а р с к и й А. А., Н и к о л а е в Е. С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978.
Рукопись поступила 24/VIII 1983 г.
