АВТОМАТИЧЕСКОЕ ФОРОМООБРАЗОВАНИЕ КАРКАСНЫХ ОБОЛОЧЕК ПОКРЫТИЙ ОБОБЩЕННЫМИ ЭРМИТОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Естественные и точные науки»

SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 4 I 2023 _ISSN: 2181-1601

Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22257

АВТОМАТИЧЕСКОЕ ФОРОМООБРАЗОВАНИЕ КАРКАСНЫХ ОБОЛОЧЕК ПОКРЫТИЙ ОБОБЩЕННЫМИ ЭРМИТОВЫМИ

ФУНКЦИЯМИ

Муяссар Хикматовна Муродова Шухрат Кудратович Асадов

Старший преподаватель, кафедры «Начертательной геометрии и инженерной графики», Бухарского инженерно-технологического института

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются интерполяция сложных кривых поверхностей сплайн функциями, в частности кубическими сплайнами. На этом основании предложена проектирования поверхностей сложных форм универсальной математическая модель каркасной структуры. Аппарат предлагаемого способа построения сплайнов на разложении функции двух переменных в прямоугольной области по ее значениям и значениям ее производных на границах области. Построение и приложения модели основано на реализации идей, обобщенных эрмитовами сплайнами.

Ключевые слова: Сплайны, поверхности, интерполяция, полиномы, конструирование, дискретность, геометрический модель, структурные сплайны, формообразование, архитектурно-строительный элементы расчет траектории, специальное линии, Гауссовы кривизны, частные производные, САПР, Auto CAD.

AUTOMATIC SHAPING OF FRAMEWORK SHELLS OF COATINGS BY GENERALIZED HERNIATION FUNCTIONS

ABSTRACT

The article discusses the interpolation of complex curved surfaces with spline functions, in particular, cubic splines. On this basis, the design of surfaces of complex shapes of a universal mathematical model of the frame structure is proposed. Apparatus of the proposed method for constructing splines on the expansion of a function of two variables in a rectangular area in terms of its values and the values of its derivatives at the boundaries of the area. The construction and application of the model is based on the implementation of ideas generalized by Hermitian splines.

Keywords: Splines, surfaces, interpolation, polynomials, construction, discreteness, geometric model, structural splines, shaping, architectural construction elements, trajectory calculation, special lines, Gaussian curvatures, partial derivatives, CAD, Auto CAD.

SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 4 I 2023 _ISSN: 2181-1601

Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22257

На всех этапах создания новых изделий - от проектирования до изготовления, приходится решать разнообразные геометрические задачи. Потребности современной техники необычайно расширили диапазон используемых геометрических форм. В последнее десятилетие появились задачи, связанные с автоматической реализацией самого процесса формообразования на станках с числовым программным управлением. Наиболее трудоемкой из этих задач является расчет траектории обработки сложной поверхности с учетом требуемой точности, геометрии режущего инструмента и кинематических особенностей станка.

При создании современных изделий одним из основных требований, предъявляемых к архитектурно-строительных, сооружений корпусам судов, является аналитическое задание поверхности в целом.

На этом основании в разрабатываемом автоматизированным комплексе проектирования поверхностей сложных форм предложена универсальная математическая модель каркасной структуры. Построение и приложения модели основано на реализации идей, обобщенных Эрмитовых сплайнов [1, с. 224], являющихся обобщением идей аппроксимации линий и поверхностей математическими сплайнами, и численного их описания. В связи с этим в рамках автоматизированного проектирования представляется возможным решить нижеследующие основные задачи:

1. Описать математически поверхность, заданную дискретным набором точек и линий.

2. Спроектировать поверхность архитектурно-строительного элемента так, чтобы она удовлетворяла некоторым, наперед заданным условиям:

- решение этих задач обеспечивает решение многих других аналогических, и поверхностей, таких как;

- определений произвольной точки поверхности;

- построение дифференциальных характеристик поверхности в данной точке;

- построение сечений поверхности произвольными плоскостями;

- построение произвольного каркаса поверхности;

- управление формой поверхности;

- создание натуральную архитектурно-строительного элементов удовлетворяющей наперед заданным условиям.

Математическая проектно-конструкторская модель призвана автоматизировать решение задач, связанных аэродинамическими и прочностными расчётами (для сердцевины устойчивость, эстетичность и прочностные расчёты). Поэтому математическую модель следует разделить на три части:

I SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 4 I 2023 _ISSN: 2181-1601

Ъ - геометрическую, состоящею из алгоритмов перезадания исходных данных;

- геометрических расчётов элементов моделирования процессов расчёта, управления формой элементов;

- аэродинамическую, состоящею из алгоритмов расчёта нормалей к поверхности элементов, углов между векторами нормалей и скорости набегающего потока, ветра, солнце и т.п.

Математическая модель технологической подготовки формируется на основании технологической модели, путём составления алгоритмов контрольной плазов о -шаблонной увязки наиболее сложных переходных поверхностей, алгоритмов увязки и воспроизведения плоской и объёмной обвода образующей оснастки и отладки всех основных программ, просчета тестов.

Плазов о - шаблонный метод, принимаемый в промышленности при ручном проектировании с сложных поверхностей (элементов), заключается в построении двух наборов взаимно-перпендикулярных сечений (плазов) для увязки некоторых

специальных линий (рис. 1). Все эти линии (рис.2) принадлежат поверхности корпуса самолёта и сложных поверхности архитектурно-строительного объекта.

Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7

Q

г.

рис.1. Плазов о - шаблонный метод для увязки спец элементов.

Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7

N1 = 8; N2 = 8; y (U) = 2; a = 2; K1 = 1; K1 = 3;

Линии, принадлежащие на сложных поверхностях. Рис.2.

Для решения многих задач, возникающих при проектировании, необходимо иметь аналитическое задание этой поверхности, которые в настоящее время возможно получить лишь, владея соответствующим математическим аппаратом и используя компьютера.

Математическое задание формы архитектурно-строительного элементов, сложных поверхности обеспечивает возможность более точных технических расчетов. Появление современных компьютеров и компьютерной графики (КГ) особенно Auto CAD и др. позволило создавать сложные линии, по-своему интересные, кроме юного интересно то, что КГ даёт возможность конструировать, форм, образовать специальные линии, причем выполнять это более быстро за счет автоматизированном от рисовки симметрических элементов, формирования цветовой гаммы, изменения, масштабов и пропорций фрагментов специальных линий. В настоящее время выработаны ряд специальные приём работ с отображениями на экране дисплея в диалоговых режимах, известно большое число специализированных графических редакторов и пакет прикладных программ (111111), которые, используются, например, при выборе рисунков для тканей и обоев. С помощью мощных современных графических компьютерных программ, таких как система автоматизированного проектирования Auto CAD компании Auto Disk пакет для подготовки иллюстраций Corel DRAW фирмы Corel Compaction возможно создание рисунков, чертежей практически любой сложности в многообразних цветових сочетаниях.

Важно, что САПР и Auto CAD в машиностроении, в архитектуре, строительстве тесно связан с технологией, с разработкой программ и подпрограмм для компьютера. Объединение подходов, развитых с одной стороны, в дизайне, а с другой в автоматизированном проектировании в машиностроение, в архитектуре, в разной гауссовой кривизне. Представляет перспективным для

SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 4 I 2023 _ISSN: 2181-1601

Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7

рассматриваемых задач автоматизированного проектирования и написания архитектурных, объектов.

В связи с этим можно рассмотреть описания сложных поверхностей по заданному линейно дискретному каркасу с соблюдением условий гладкости поверхности сплайнами не высокой степени, в частности, параболическими и кубическими, интерполирующими значения функции и ее частных производных не только в узлах, но и на линиях сетки, а особенно применяющие проектирование, создание новых типов строительных объектов. Процесс построения таких сплайнов значительно проще, чем процесс построения сплайнов более высокой степени. Матрица системы уравнения, определяющей параметры сплайна, является трех диагональной с доминирующей с главной диагональю и при решении такой системы может быть использован экономичный метод прогонки в смысле компьютерного времени.

Возникает вопрос и каким образом нанести прямоугольные сети на поверхностях второго порядка и автоматическая аппроксимация элементов кубическими сплайнами. Кроме того, автоматические нанесения элементов на поверхностях имеющей положительной и отрицательной Гауссовой кривизны.

Для нанесения элементов на поверхностях автоматическом режиме, возникает необходимость применение аппроксимации элементов кубическими сплайнами. В связи с этим, ниже рассмотрим аппроксимации сложных объектов кубическими сплайнами как интерполяции кривых кубическими сплайнами.

Рассмотрим описание поверхности з = f (x, y) бикубическими полиномами. Предположим, что линии каркаса поверхности является кубическими полиномами тогда для получения поверхности по заданному линейному каркасе с использованием двумерных сплайнов имеет вид

71-1 171 — 1

Р(х, У) = ^ ^ Рi,j (Xi,yd ( 1 )

¿=0 ;=0

и после некоторых преобразований уравнение поверхности принимает вид.

1

РI (X, У)=2 ( 1, г (у)Р^ + ! (X) ( 2 )

г,с=о

Для доказательства выражения (2) каждую сумму (1) напишем через

базисные полиномы следующих видов:

1

Qhsj(y) = ^ Q1,t (y) ■ 0&J, к = 0,1 (3 )

l,t=о

SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 4 I 2023 _ISSN: 2181-1601

Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7

1 1

Vij(x.y;+t) = X (х) X QI.t (y) ■ afij (4 )

k,s=0 l,t=0

1

+t(x) = X ^ (х) ■ t; * = 0 . 1 ( 5 )

k,s=0

1 1

Vi.;(х.у;+t) = X Qг, t (y) X Pfc,s (х) ■ ( 6)

i,t=0 k,s=0

Действительно, из выражения (3) и (6) видно, уравнение (2) соответствует одному из видов поверхности (1), где Ро . о(х).Ро . i(x).Q о . o(y).Q о . i(y) граничные функции, которые определяют форму граничных кривых. Они выбираются с учетом обеспечения гладкости поверхности.

Докажем, что выражения (2) сохраняет как непрерывность самой поверхности, так и непрерывность производной на ней при переходе через граничные кривые, чем обеспечивается устойчивость гладкости восстанавливаемой поверхности сложных шарошек буровых долот и технических форм.

Формой поверхности можно манипулировать, изменяя расположение, а, следовательно, и форм граничных кривых, кроме того, можно изменять производные в углах каждой ячейки с тем, чтобы изменять форму граничных кривых, а, следовательно, и форму самой поверхности ячейки.

Гладкость всей поверхности определяется порядком гладкости граничных функций и гладкостью стыковки сегментов по смежным границам:

1. Для непрерывной поверхности достаточно на функции ( ) ( ) ( ) ( ) наложить граничные условия

Po.o(*i) = 1 ; Ро.о(х+i) = 0 ; Ро. i(*i+i) = 1 ; Ро i(x) = 0 ; ( 7) Q о . о(У) = 1 ; Q о . о(У+0 = 0 ; Q о . i(yi+0 = 1 ; Q о . i(yi) = 0 ;

(i = 0,1, ... n; j = 0,1,... m).

Фактически форма этих функций совершенно произвольна, пока выполняются эти граничные условия. В простейшем случае граничные функции будут:

ро. о (я i+i) = 1 — ро. i(x i).

При этом граничные кривые тоже непрерывны.

Q о . о су) = 1 - Q о . i(y+i )

Покажем непрерывность (2) при переходе через линии х = хi+^ Для этого требуется равенство (рис.1)

V i . ;(х. y) = V i + i (х. y) Uzbekistan www.scientificprogress.uz Page 102

SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 4 I 2023 _ISSN: 2181-1601

Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7

Действительно, из граничных условий для поверхности (2) получаем

+!(*) = а Hl j+v( М = 0 ' 1 )

^j+i(*) = a&i j+t'( t = 0 ' 1 )

Таким образом

-L

p i= ^ Çг, t (y) ■ « f+i j+t;

l,t=0

-L

Ç f+ tj(y) = X Ç,t (y) <+ij+t, к = о, 1 (8 )

г,с=о

выражения (8) - уравнения правой стороны ячейки I (рис.1)

р Ь+1 ,;(хЬ+1 ,у) = Р/+ 1 ,;+С(хЬ+1)'

р+1,;' + С(хЬ+1) = + 1,;+С; р + 1,7 + с(х) = + 1,; + с 1

Р ь+1 ,;(хЬ+1 ,У) = ^ С г, с (У) ■ а?Л,;+с = С и 1 ,;(у)

г,с=о

(8) - левой стороны ячейки II (рис.1). Если сравнить (8) и (9) то получим Р ¿,;(х Ь+1. ,У) — Р Ь+1. ,;(х Ь+а. ,У) что требовалось доказать.

Непрерывность поверхности и непрерывность касательной плоскости к ней обеспечивают требования (7) и дополнительные требования:

Р1,0(х) — 1 ; Рь 1(х+1) — 1 ; Р0,1(х+1) — 0 ; Р^х) — 0 ;

С 1 , о(уь) — 1 ; С 1 , 1(уь+0 — 1 ; С 1 , о(Уь+1 ) — о ; с 1 , 1(уь) — о .

Граничные кривые здесь имеет непрерывные первые производные. В этом случае поверхность обладает замечательным свойством: наклон касательных векторов поперек граничной кривой зависит только от наклона касательных векторов в углах ячейки поверхности. На основании этого можно утверждать, что две ячейки будут иметь непрерывный наклон касательных поперек разделяющей границы.

Для доказательства непрерывности производных при переходе через линии х — х I+1 поверхности (2) достаточно показать справедливость следующего равенства (рис.1)

дх

Напишем

д Р ij (х, У) = д p i+i ,Дх,у)

x=xi+1 ~ дх

x~xi+1

SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 4 I 2023 _ISSN: 2181-1601

Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7

9 ¿,Д*,У) _ V n г л 9P6+t(x)

a x x=Xi+1" L я t'(y) 9 x

i,t=0

обеспечивающей граничные условия в виде:

Pi J+t(xi+t) = a1+1 j+t ' Pi j+1(x i+1 ) = a 1+1 j+t

отсюда

9 <P i j(x,y)

dx

= L ^i,t ■ (^)а1Д;

l,t=0

Таким образом,

9 ff ij(x i+1 ,y) _ ^ 1

dx

= #+ 1 ,ду) ( i i )

Аналогичным образом можно записать для правой стороны (10) д р ¿+! -(х+! ,у) х

-^-= #+ и(У) ( 1 2 )

Если сравнивать (11) и (12), то получим равенство (10). Действительно, можно утверждать, что две ячейки р ¿,Дх,у) и р ^+1 ,Дх,у) будут иметь непрерывный наклон касательных вдоль линий х = х^+ъ разделяющих их границы.

Теперь докажем непрерывность вторых производных

д2р 1 ,Дх*+1» у) д2р ^+! ,Дх ^+1;у)

Зх2 Зх2

92р i,y(x£+1,y) V- d2p/+ 1,;(x)

( )

= L ^ i , t(y)

Зх2 ' dx2

i,t=0

Рассмотрим выражение (2) при одинаковых Qг, t(y), например, Q 0 , 0(у ). По условию вторые производные являются непрерывными для полинома

( +t(xi+i))x = ( 1 j(xi+1))х» ( t = 0 ; 1 ) Поэтому можно написать, что

(р6+t(x t+i))x = (p<+ ij(x+1 ))£, ( Z, t = 0 , 1 ) ( 1 4)

Аналогичным образом можно доказывать, что непрерывность поверхности и ее производных при переходе через линии у = уу. В процессе проектирования постоянно возникают задачи о взаимоположение геометрических объектов, например:

1. Определение на поверхности точек, нормами в которых образуют заданный угол с некоторым направлением.

2. Определение произвольной точки на поверхности.

3. Определение линий пересечения поверхности с плоскостями прямыми:

Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7

а) плоскостями проекции;

в) пучками плоскостей, проходящих через ось проекций;

с) плоскостью общего положения.

4. Определение дифференциальных характеристик поверхности в данной точки.

5. Определение производных по произвольному направлению.

6. Построение произвольного каркаса поверхности.

В дальнейшем при решении перечисленных задач в конкретных примерах берется исходный точечный каркас поверхности, заданной таблицей 1.; значения производных в узлах сетки сведены в таблицах 2,3 и 4 через каркас поверхности производится во всех случаях сплайн-поверхность (2). Пример 1. Пусть в узлах сетки

! CL — Xq ^ Х^ ^ ^ Х72_\ ^ Xji — В

С = Уо < У1 <.....< Уп-1 <Ут = Л

при х0 = уо = 1 ; хп = 2 ; ут = 1 , 5 с шагом

х I+± — х I = к2; уу+! — уу = ку. Значения функции /(х,у) = ех+у2 таблице 1.

Значения аппликат в узлах поверхности И = ех+у2

заданы в

Таблица 1.

%, Xi Уг

1 1,2 1,46 1,6 1,8 2

7,3896 9,02503 11,02311 13,46369 16,4461 20,0855 1

9,11569 11,13389 13,59913 16,60989 20,28711 24,7789 1,1

11,4732 14,01322 17,11569 20,99521 25,5337 31,18689 1,2

14,73162 17,99332 21,99702 26,84279 32,79579 40,04479 1,3

19,29789 23,57052 28,78912 35,16312 42,94843 52,45733 1,4

25,79032 31,50033 38,47763 46,99301 57,39742 70,10542 1,5

Аппликаты обозначены а, у с итогом И = 0,2; И у = 0,1; ¡, ] = 0 —5. Решая системы уравнений (2) и другие определим значения производных в узлах сетки. Результаты сведены в табл.2,3 и 4 соответственно.

Таблица 2.

Значения производных af^ на линиях у = у^, = 0 .. .5

xi Yi

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

7,3159 9,0436 11,0207 13,4533 16,489 19,921 1

Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7

9,0256 11,1571 1 13,5963 16,5973 20,3416 24,5768 1,1

11,3598 14,0423 17,1124 20,8903 25,6019 30,9323 1,2

14,5859 18,0303 21,9723 26,8232 32,8729 39,7172 1,3

19,1209 23,6178 28,7863 35,1384 43,0634 52,0295 1,4

25,5531 31,5654 38,4706 46,9589 57,541 69,5322 1,5

Таблица 3.

Значения производных af^ на линиях x = x¿, ij = 0 .. .5

xi Уг

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

14,3859 20,1473 27,5442 38,1545 54,5861 75,2615 1

17,5656 24,608 33,6425 46,6019 66,6714 91,9244 1,1

21,4546 30,0561 41,0909 56,9195 81,4325 112,2764 1,2

26,2046 36,7105 50,1887 69,5227 99,4516 140,1343 1,3

32,0063 44,8382 61,3001 84,915 146,4682 170,1903 1,4

39,0995 54,7654 74,8720 103,7151 212,8796 219,3166 1,5

Таблица 4.

Значения производных на линиях

xi Уг

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

7,3890 5 9,025 11,0207 13,4532 16,4883 19,9212 1

9,0256 11,1571 13,5963 16,5973 20,3159 24,5768 1,1

11,359 8 14,0423 17,1124 20,8903 25,6019 30,9324 1,2

14,585 9 18,0303 21,9722 26,8231 32,873 39,72 1,3

19,120 9 23,6198 28,786 35,1384 43,0635 52,02946 1,4

25,553 1 31,5664 38,47 46,9589 57,55 69,53 1,5

Таблица 5.

1 1

Значения производных на линиях

Yi

Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

7,389 20,054 32,124 5 38,3023 41,2486 77,3710 1

18,0500 2 24,494 33,631 6 46,783 65,9977 94,501 1,1

22,0464 29,918 41,077 8 54,1404 80,6098 115,423 9 1,2

26,927 36,5418 50,172 5 69,7914 98,457 140,979 1,3

32,889 44,6322 59,174 85,2434 120,255 5 172,192 3 1,4

40,1710 54,514 74,848 7 104,1166 146,880 5 210,316 2 1,5

Аппарат предлагаемого способа построения сплайнов на разложении функции двух переменных в прямоугольной области по ее значениям и значениям ее производных на границах области. Это позволяет интерполировать аппроксимируемую функцию не только в узлах, но и на линиях сетки, что дает возможность аппроксимировать срединную поверхность наиболее близко к ее первоначальной форме. Основным преимуществом предложенною метод, по сравнению с методом Кунца, частичных, расширенных и структурных сплайнов, является поэтапной переход от обобщенных эрмитовых сплайнов к полиномиальным сплайнам, позволяющий сохранить точное задание как самой поверхности, так и ее нормальных производных к линиям сетки.

Список литературы:

1. Ю.С. Завьялов и др. Сплайны в инженерной геометрии. - М.: Машиностроение, 1985. С. 224

2. Асадов Ш.К., Ахмедов Ю.Х. Аппроксимация гиперповерхностей полиэдрами применительно к расчетам несущей способности оболочек покрытий в еn пространстве //Universum: технические науки: электрон. научн.журн.2022.4(97). URL:https://7universum.com/ru/tech/archive/item/13430

3. Ahmedov Yu., Shuhrat Asadov Construction of The Shadows Of Polyhedra. International Journal of Progressive Sciences and Technologies (IJPSAT) vol. 24 NO.2 January 2021. pp. 370-374. http://ijpsat.ijsht-journals.org

4. Асадов Ш.К., Ахмедов Ю.Х. Аппроксимация гиперповерхностей полиэдрами применительно к расчетам несущей способности оболочек покрытий в еn

SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 4 I 2023 _ISSN: 2181-1601

Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7

пространстве // Universum: технические науки: электрон. научн. журн. 2022. 4(97). URL: https://7universum. com/ru/tech/archive/item/13430

5. Асадов Ш. К. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ОПАЛУБОК //Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences. - 2022. - Т. 2. - №. 4. - С. 365-371.

6. Асадов Ш. К., Нарзуллаева Ш. Х. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ ПЛАСТИЧНОСТИ ДЛЯ ЗАДАЧ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИНОК ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ //Universum: технические науки. - 2021. - №. 5-1. -С. 35-38.

7. Тошев И. И., Асадов Ш. К., Ашуров Ш. А. ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ РАЗРЕЗЫ //Интернаука. - 2020. - №. 10-1. - С. 55-58.

8. Асадов Ш. К. ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ РЕЗЪБЫ ПО ГАНЧУ В СРЕДНЕЙ АЗИИ //Интернаука. - 2018. - №. 11-1. - С. 7-8.

9. Akhmedov Y., Asadov S., Azimov B. Two-sided estimation of linear approximation error second-order hypersurfaces //Journal of Physics: Conference Series. - IOP Publishing, 2022. - Т. 2388. - №. 1. - С. 012124.

10. Асадов Ш. К. ЁЕОЧ ЮЗАСИГА НАКШ ТУШИРИШ ТЕХНИКА ВА ТЕХНОЛОГИЯСИ //Интернаука. - 2018. - №. 11-2. - С. 50-52.