CC BY
17
УДК 621.373.8
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ОБЪЕМНОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ ПЕРЕОХЛАЖДЕННЫХ ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ РАСПЛАВОВ
Ф. X. Мирзоев, Л. А. Шелепин
Предложена модель временной самоорганизации структур при объемной кристаллизации переохлажденных двухкомпонентных расплавов. Показано, что если параметр накачки превышает некоторое критическое значение, определяемое внутренними свойствами среды, стационарный режим кристаллизации теряет свою устойчивость и переходит в режим автоколебаний, характеризующийся периодическими колебаниями плотности частиц новой фазы и скорости их роста, а также температуры дисперсной фазы и концентрации компонентов. Установлено, что физической причиной осцилляций служит конкуренция между источником образования частиц и стоком этих частиц под действием сил плавучести или тяжести.
Формирование структуры вещества в процессе кристаллизации из многокомпонентных расплавов, образующихся при воздействии лазерного излучения на гетерогенные системы, определяется как условиями проведения процесса, так и кинетикой фазового превращения. Рост частиц новой фазы часто происходит в режиме автоколебаний, что является одной из причин периодической слоистости в гетерогенных системах. Эти структуры часто наблюдаются в металлических сплавах при сверхбыстрых скоростях охлаждения и проявляются в виде двух периодически чередующихся фаз, расположенных параллельно фронту кристаллизации. Важность теоретического исследования условий и механизмов возникновения автоколебательных явлений в процессах фазовых превращений в гетерогенных системах обусловлена необходимостью управления процессом синтеза материалов с заданными свойствами и составом [1].
Экспериментальное исследование закономерностей формирования кристаллизационных периодических структур при больших скоростях охлаждения сопряжено с определенными трудностями, а в ряде случаев не представляется возможным. Теоретический анализ тепловых процессов, как правило, проводят на основе математических моделей теплопроводности, известных как задачи Стефана [2]. Однако для удовлетворительны: качественных и количественных оценок характеристик микроструктуры формирующейся фазы необходимо рассматривать кинетику процесса образования и роста частиц новой фазы.
Благодаря наличию существенных нелинейных связей между эволюцией системы частиц новой фазы и процессами тепломассообмена в матрице, в процессе кристаллизации могут развиваться автоволновые (или автоколебательные) неустойчивости, приводящие к возникновению пространственных и временных периодических струн тур. Применительно к процессам массовой кристаллизации из пересыщенных одно-компонентных растворов (или расплавов) в условиях доминирующего флуктуационного кристаллообразования и для случая пространственно однородных систем, модель автоколебательной неустойчивости рассматривалась в работе [3]. Если кристаллизующийся расплав многокомпонентен, то развитие неустойчивости в такой системе может сопровождаться перераспределением компонентов (расслоение на фазы) и, в отличие от одно компонентного случая, необходимо учитывать наряду с уравнениями теплопроводности и кинетики фазовых превращений также уравнение диффузии компонентов и завж и-мость температуры фазового перехода от состава расплава. Возможность расслоенп различных сплавов и композиционных материалов при их обработке мощным лазер ным излучением экспериментально наблюдалась в работе [4]. Линейный анализ устой чивости пространственно однородных распределений частиц новой фазы, проведенный в работе [5], определил области существования пространственно-периодических ре ж и мов кристаллизации и пространственный масштаб кристаллизационных гетерогенны. структур.
Данная работа посвящена моделированию автоколебательной неустойчивости при объемной кристаллизации переохлажденных двухкомпонентных (бинарных) распла вов, определению количественных условий возникновения автоколебаний концентрации кристаллов (а также концентраций компонент и температуры). Модель базируется на системе нелинейных уравнений реакционно-диффузионного типа для функции распре деления частиц новой фазы, температуры и концентрации растворенных компонентов (примесей). Отличительной особенностью данной модели является самосогласованное
поведение системы кристаллов, примесных атомов и температуры, нелинейность функции источника частиц, диффузионные рост и перемещение кристаллов соответственно в пространстве их размеров и в координатном пространстве.
Пусть в начальный момент времени < = 0 расплав, имеющий концентрацию растворенного компонента охлажден до температуры Т(х^) < То (7о - температура кристаллизации для заданной концентрации примеси). Затем в расплаве происходит непрерывное возникновение и рост частиц новой фазы. Пусть /(г, х,£) - функция распределения частиц по их радиусу г, нормированная на полное число частиц в единице
оо
объема (N0 = / /(х, г, ¿)с?г). Кинетическое уравнение, описывающее динамику измене-о
ния во времени /(г, и граничное условие к нему запишем в виде
% = -|Иг)Л»,г,«)1 - ^^ + (1)
У(т) /(х,г, «)ис = ЦАТ), ДТ = ТС- тьп - Т. (2)
Уравнения баланса для температуры и концентрации компонентов имеют вид
дТ В2Т °т
РхС,— = А— + АжрЬ \ г2У(г)/(х,М)Лг, (3)
о
р. о2 °°
^ = + 4тг(1 - к)п I г2У(г)/(х, г, 1)(1г. (4)
о
Здесь р\ и р соответственно плотность смеси и твердого материала (р\ = /)); Ь -удельная теплота плавления; С\ - теплоемкость; к - коэффициент распределения примесей (к < 1); х - пространственная координата; А, В - соответственно коэффициенты теплопроводности и диффузии компонентов; У(г) = ¿г/сИ - скорость роста кристаллов; гс = 27П/рЬАТ - критический радиус; 7 - коэффициент поверхностного натяжения кристалла; АТ - переохлаждение; Тс - температура фазового перехода в отсутствие растворенных атомов; т^ - наклон линии ликвидус.
Первое слагаемое в правой части уравнения (1) характеризует изменение /(г, за счет роста частиц, второе слагаемое определяет потери (г - время жизни частицы) числа частиц радиуса г благодаря действию сил тяжести и плавучести или в результате осаждения на границах объема, занятого расплавом; третий член - пространственную диффузию кристаллов (£)с(г) - коэффициент диффузии частиц). В уравнении (1) не учитываются флуктуации скорости роста частиц, связанные с турбулентными потоками в жидкой матрице. Последние привели бы к появлению диффузионного
слагаемого, описывающего диффузию частиц в пространстве размеров. Для простоты считаем, что пульсации скорости роста кристаллов незначительны и ими можно пренебречь. Граничное условие (2) учитывает возникновение частиц критических размеров со скоростью I, являющейся функцией концентрационного переохлаждения (/ = /0ехр[—_0/(ДТ2/ДТо2)], где Д7о - начальное переохлаждение). Если частицы растут в кинетическом режиме, то имеем
ш-^-тУ <5>
где ¡3 - некоторый кинетический коэффициент. Считаем, что гс насколько мал, что можно положить гс и 0.
Исследуем устойчивость стационарных пространственно однородных (п*,Т', /") решений. Величины /, Т и п представим в виде
/ = /-(г) + 8/{х, г, *), п = п° + 8п{х, ¿), Т = Т" + 8Т{х, *), (б)
где <5/(х,г, £), 6Т(х^) и <5п(г, £) - малые возмущения величин /5, Тв и п*.
Подставляя (б) в уравнения (1)-(5) и удерживая линейные по 8/(х,г, ¿), ¿Г(х,*) и 8п(х,£) члены, получим
I«/ + + у = дет + -^п)^, (7)
Я Т V °°
-¿Г + ДОТ + ть£п) = хА(^Г) + 4тг-^ | г2£/Лг, (8)
о
о °°
—5п + (¿^гпьбп + 8Т) = £>Д<5п + 4тг(1 - к)п0У3 у г2г/с?г, (9)
о
У, ¿/|г=0 = (7п + тпьРПбп + (/г + /?Г)*Т, (10)
со
где С) = 4тг£/3 / г2/^г; = $£(1 - *)п„ = = п, Г. о
Флуктуации 8/(х,г, ¿), 8Т(х, и ¿п(х,£) представим в виде пространственно-периодических волн
¿/(х, г, ¿) = ач(ио, г) ехр(ги1 + iqx), ¿Т(х, ¿) = 6д(и>) ехр(и>£ + гдх), £п(х, ¿) = Л,(го) ехр(г«£ + гдх) (11)
(<7 - волновое число возмущений, ю - инкремент неустойчивости).
Подставляя (11) в систему уравнений (8) - (10), получим
(и; + д2Рс +;)<*, + = р(Ь„ + (12)
Ь °°
{ю + д2Х + Я)ЬЧ + Ятькч = 4тг/ г2ачс1г, (13)
с »/ о
оо
(ы + д2Р + + (1 - к)п^ъч = 4тг(1 - к)п0У3 / г2ач(1г. (14)
о
Решая уравнение (12) в квадратуре, имеем
«,(«;, г)р(г)К = + тьКщ) + Л, (15)
о
где р(г) = ехр(7г), 7 = (и> + -Ос02 + Т_1)/К, Л - постоянная интегрирования. Из граничного условия (10) для А имеем
А = (/„ + РтьГ)6п + (/г +
Подставляя (15) в (13) и (14), приходим к следующему дисперсионному уравнению:
(16)
IV + Рд2 _ 1 - к)[ттьЫ1У, д) + Л(ц>, д)(/п - /'т^)]
и; + хд2 ги + х?2 + д) + М^, ч)(1т ~
где
г2 ¿г } „, , ........ . , ч . £ 7 г2 ¿г
Мя,х0)=4*р- [ " [ Р(т',д,ы)Пг')<1г', «&(«,«,) «4*- [
с J Р(г,д,ю) J с 1 р
о у у о о
Оценивая интегралы в (16), после некоторых преобразований получаем
ц> + Рд2 ^ 4тгпд(1 - ^)Г(3)[т^Г(7/71)((7/71)2 - 7/71 + 1) + /и -
хп + хд2 73(™ + ХЯ2) + (4ТГХГ(3)/С)[^(7/71)((7/71)2 " 7/71 + 1) + ¡т ~ /'/?)'
(17)
где Г(3) - гамма-функция; 71 = 1 /Увт.
В случае однокомпонентного расплава, из (17) получаем следующую систему уравнений для определения кривой нейтральной устойчивости /г(<7, /5,Т3):
хд^Зф = ~(Рсд2 + т-^ф,
х?2(£>с<?2 + г"1)3 = ~^Г(3)К3(/т - Р/,)соБ3фсозЗф,
где ф = аг^Л, П = 1т(ги).
Области автоколебательной неустойчивости соответствует неравенство
г г зг ХчЧРсЯ2 + т-*ГС
Т АтгЬУ33Г(3)соз3фсо53ф' 1
При выполнении условия (18) неустойчивость возникает по отношению к возмущениям с частотами П = tgф(q,I,Ts). Очевидно, что появлению неустойчивости способствует увеличение производной 1т, то есть усиление зависимости скорости генерации частиц от температуры. Критическое значение I£ определяется температуропроводно стью, теплотой кристаллизации, скоростью образования частиц, диффузией частиц и коэффициентом их рекомбинации.
В случае двухкомпонентного расплава, из (17) имеем следующее условие неустойчивости:
^(/Т - РГ) + - к)п,(1п - тьРП + 47гГХ(з)Уз(^2 + т_1)3 >
Отсюда видно, что при кристаллизации бинарного расплава на возникновение автоколебаний, кроме нелинейной температурной зависимости скорости образования частиц (/г), значительное влияние оказывает также ее концентрационная зависимость (/п).
Таким образом, из проведенного анализа следует, что аналитическая модель временной самоорганизации частиц твердой фазы должна включать в себя взаимосвязанную кинетику частиц, полей температуры и концентрации растворенных компонентов. Данная модель учитывает все основные процессы, происходящие в процессе объемной крн сталлизации переохлажденных двухкомпонентных расплавов: нелинейную зависимое I скорости образования частиц от концентрации компонентов и температуры, диффузи онный рост, диффузию частиц и растворенных компонентов, "рекомбинацию'' частиц. Физической причиной возникновения временных осцилляций в такой системе служит конкуренция между образованием частиц новой фазы, зависящим от концентрационного преохлаждения, и стремлением этих частиц рекомбинироваться. Автоколебания температуры и концентрации компонентов вызывают периодические изменения среднего радиуса растущих кристаллов и их концентраций. По-видимому, такими колебаниями можно объяснить причину возникновения слоистых периодических структур растворенных компонентов в различных гетерогенных системах при их обработке л а зерным облучением [1].
Предложенная модель неравновесной кристаллизации двухкомпонентных расплавов позволяет исследовать нелинейные эффекты, связанные с кинетикой процесса, а также прогнозировать формирование структуры гетерогенных конденсированных систем, управлять процессом получения веществ с заданными свойствами и составом. Развитие данной теории для более сложных систем, учитывающих зависимости скорости роста частиц и скорости их рекомбинации от размеров, стохастичность роста частиц и т.п. не представляет принципиальных трудностей. Ее также можно легко обобщить и на случай двухкомпонентной системы, состоящей из точечных дефектов и их кластеров, генерирующихся при лазерном воздействии на твердые тела.
Авторы признательны В. С. Голубеву за обсуждение результатов работы. Один из авторов (Ф.Х.М.) благодарит РФФИ за финансовую поддержку (проект 00-02-17664).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Laser and Electron-beam Processing of Materials / Eds. by C. W. White and P. S. Peercy. N.Y.: Acad. Press, 1980, 769 p.
[2] M u 1 1 i n s W. W. and S e k e r k a R. F. J. Appl. Phys., 35, 444 (1964).
[3] Б у e в и ч Ю. А., Мансуров В. В., Наталуха И. А. ИФЖ, 49, N 2, 233 (1985).
[4] Ш и г а н о в И. Н. Вестник МГТУ, N 3, 25 (1998).
[5] М и р з о е в Ф. X., Шелепин Л. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 10, 32 (2000).
Поступила в редакцию 29 декабря 2000 г.
