Автоколебания упругого стержня, нагруженного следящими силой и моментом Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАШИНОСТРОЕНИЕ

УДК 539.313

АВТОКОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ, НАГРУЖЕННОГО СЛЕДЯЩИМИ СИЛОЙ И МОМЕНТОМ

© 2005 г. А.Н. Кабельков, П.В. Калинин

Рассматриваем изгибно-крутильные колебания

Момент сопротивления полагаем пропорциональ-

на окружности радиуса R [2]:

М с

= a J

(ю 0 + A9)R + y sin а

консольно закрепленного стержня, нагруженного ным квадрату касательных скоростей точек, лежащих следящими силой и моментом на конце (рис. 1).

При составлении уравнений движения стержня вводим следующие предположения:

- изгибные колебания являются плоскими;

- постоянными считаем крутильную GJp жесткость стержня, приложенный к стержню момент М и модуль следящей нагрузки N, а также удельную плотность р стержня;

- материал, из которого выполнен стержень, считаем вязкоупругим и соответствующим модели Фойх-та [1], т.е.

(ю 0 + Аф)R - y sin а

d а =

E = E 0(1 + yd);

d

= ап(2ю 0R 2 + 4ю 0R 2А ф+ 2А ф 2 R 2 + у 2). (2)

В формулах (1) и (2) введены обозначения: ю0 -

угловая скорость установившегося вращения; А ф -угловая скорость крутильных колебаний; у - скорость

где d = —, Ео и у - коэффициенты, характеризующие изгибных колебаний.

dt

соответственно упругие и вязкие свойства стержня.

N M

ю0 + Аф

MZ^ рy( *>г)

Рис. 1. Модель стержня

1. Определение следящего момента сопрот ивления

При нахождении следящего момента сопротивления учитываем, что точки сечения стержня участвуют в сложном движении (рис. 2). В частности, касательные скорости точек, лежащих на окружности поперечного сечения стержня, определяются одной из формул

(ю0 +Аф) + yRsinа, 0<а<п, (ю 0 +Аф) R - y sin а, -п<а< 0.

(1)

ю0 + Аф

Рис. 2. К определению величины следящего момента

2. Уравнение изгибных колебаний

Уравнение изгибных колебаний записываем в виде

Ыу"(х, 0 = - Му'(L, 1) + М[ у (L, t) - у (х, 0] -x ..

-/р У( Xl, t)(x1 - х^. (3)

L

Выражению (3) соответствуют граничные условия: у(0,t) = 0; у '(0,Г) = 0; у "(Ь, Г) = 0; у "(Ь,Г) = 0. Преобразуем уравнение (3)

.. х .. ..

Шу"'(х, () = -Му'(х, 1) + р у( х, t) - р / у( х1, 1 - хр у( х, t).

Ь

Шу1У (х, Г) = -ру(х, t) - Му"(х, t). (4)

v т =

3. Уравнение крутильных колебаний

Уравнение крутильных колебаний имеет вид:

О JpДф"(х, г) +1Дф(х, г) = 0.

где I - момент инерции единицы длины стержня. Граничные условия

(5)

Pj fi2( x)dx

-L-q i(t) + Yq i(t)+

Eо Jjffi''(x) ]2 dx

( l 2 А

N j[/i'( x) ]2 dx - Nfi( L) • fi'( L)

1--0-:-

Дф(0, г) = 0 ;

Дф'(Д г )Ш р = -(а 1Д ф(4 г)+ а 2Д ф 2(Ь, г) + а 3 у 2(Ь, г)).

4. Сведение уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям

Учитывая значительные изгибную и крутильную жесткости стержня, описываем перемещение у(х, г) и поворот Дф(х, г) одночленными выражениями

у( х, г) = /;(х) д 1(г), Дф( х, г) = /2( х) д 2(г),

где д1(г) и д2(г) - неизвестные обобщенные координаты; /1(х) и/2(х) - некоторые аппроксимирующие функции, нормированные таким образом, что /1(Ь) = 1 и /(¿) = 1.

пх пх

Принимаем, что /1 (х) = ^п—' /2 (х) = 1 - С08 "2^'

Для приведения дифференциальных уравнений в частных производных (4), (5) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений применяем принцип возможных перемещений.

1. Даем возможное перемещение

8y(x) = | sin-"" i:

оставляя неизменной координату Дф(x, t):

-Ny'(L, t)8y(L) - J py(x, t)8y(x) dx -

0

L L

- EJ J y"(x, t )8y"(x)dx + N J y'(x, t )8y'(x)dx = 0.

0 0

2. Даем возможное перемещение 8Дф = ( 1 - cos — 18а 2,

I 2L J 2

оставляя неизменной координату у(х, t)

-[а 1Дср(L, t) + а2Дер2(L, t) + а3y2(L, t)]8ф(L)-

L L

-ю 22 J Дер (x, t)8Дф(x)dx - J Дф'(x, t)8Дф(x)dx = 0.

E о J j[/i"( x) ]2 dx

q i( ) = о.

Поскольку:

. nx n nx

f,(x) = sin—; f,'(x) = — cos — 1 2L 1 2L 2L

fi''( x) =--- sin —; fi'( L) = 0; fx{L) = i,

4L2 2 L

(

■qi(t) + Y q i (t) +

E о J-

32L

i--

n 2 А N ^ 8L

E о J

32L

qi(t) = о.

Перейдем к безразмерным координате и времени:

qi(t) :=

.= qi(t). t..

L

тогда

32 pL4

л 4 E о J

ю 2 qi(t) + Y ю 2 qi +

t :=ю2t;

( 4 NL2

i---

n E 0J

(

GJr

qi (t) = о.

A

a 1Aф(L, t) + a2Аф (L, t) + a3 y (L, t)

8Аф +

+iJAф(x, t)8Aф(x)dr + GJ JAф"(x, t) 8Aф(x)dr = о.

Имеем:

L

i j f 2 (x)dx

j[f2 '(x)]2 dx

GJ-7Г7Г, q 2(t)+q 2(t)+*--2—

GJ p a if2 (L) a f (x)

= -a 2 f 2 (L) q 2 a 3fi2(L) ,

'q2 „ ,qi .

-q 2 (t) =

ai

a if2 (L)

3n-8 , i-L

GJP ai

■q 2 (t) + q 2 (t) +

n 2 /8L2

a

= q22(t) --qi (t).

a

a,

32

q 2 (t) =

a,

a,

i 3n-8 ■■ ■ n2

GJ—2— q 2(t)+ai q 2(t) +777 q 2(t) =

GJ p 2n 8L

Имеем

= -a2 q2(t)-a^ q2(t).

L

P

2

Переходим к безразмерным координате и времени:

q 2 (t)

q 2 (t) :=■

L

t :=ю2t,

ю 2 =

iL2

GJP

_iL2 3л-8 L2 GJp 2пю2

■q 2 (t) +

а,

L ю2

q 2 (t)+—г q 2 (t) =

8 L

а2 q2(t) а2 qi2(t)

ю 2

'2 Ю 2

В результате получаем систему нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка:

3п-8 " а 1 ■ п2 _ ч Ох2 а2

-9 2(t) +— 92« +— ?2(0 = —2 922(0 —2 9Г(0;

2п

ю2

ю2

ю 2

32 pL42 ■ ■

ю 2 q1(t) + ую 2 q1 +

п 4 E 0 J

1 —

4 NL

2 Л

п E 0 J

qi(t) = 0:

где (51 = а 1Ь ; а 2 = а 2 Ь ; а 3 = а 3 Ь .

Полученные уравнения могут быть использованы для исследования устойчивости основных (нулевых) состояний и периодических режимов, ответвляющихся от этих состояний.

5. Исследование устойчивости основных состояний

Введем обозначения

PL4

E 0 J

■ = ю1

ю2

ю1

= П;

NL2

= в , тогда уравнение примет вид

32 ■■ ... Y „2 ■ , ^ 4.

■ q i (t) +—n2 q i(t) + n 2(i ß)q i (t) = 0.

ю 2

n

Критический случай-у = 0; статическая потеря

Ю 2

4 4В

устойчивости 1 —В > 0; неустойчивость 1--< 0 .

п п

Поскольку ß =

NL2 E 0 J

условие статической неустойчи-

вости принимает вид

NL2 E 0 J

п > —. 4

Из рис. 3 видно, что, соответственно:

- область неустойчивости возрастает с увеличением значения следящей нагрузки и уменьшается с увеличением момента инерции;

- область неустойчивости возрастает с увеличением значения следящей нагрузки и уменьшается с увеличением коэффициента, характеризующего упругие свойства стержня;

- область неустойчивости возрастает с уменьшением значения следящей нагрузки и уменьшается с увеличением длины стержня.

jA

E0 К

L А

а)

н/у

б)

н/у

N

"> N

> N

в)

Рис. 3. Области статической потери устойчивости

2

а - J <

4L

nE 0

N ; б - E 0 <

NL nE 0 J i

-N; в - L >. -0--;=

nJ V 4 VN

Литература

1. Работное Ю.И. Элементы исследований механики твердых тел. М., 1997.

2. Эльясберг М.Е. Абсолютная виброустойчивость металлорежущих станков по скорости резания // Станки и инструменты. 1966. № 4. С. 12-16.

Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)

7 июля 2004 г.

0

0

4

п

2

у

0