CC BY
10
УДК 512.81+514.12 DOI 10.24147/2222-8772.2021.2.29-37
АВТОИЗОМЕТРИИ ЧЕТЫРЁХМЕРНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
IV ТИПА БИАНКИ
М.Н. Подоксёнов
к.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой ГиМА, e-mail: [email protected]
Е.А. Иванова студентка, e-mail: [email protected]
Витебский государственный университет им. П.М. Машерова, Витебск,
Республика Беларусь
Аннотация. Рассматривается четырёхмерная алгебра Ли IV типа Биан-ки. Доказывается, что существует только один способ задания на ней ло-ренцева скалярного произведения, при котором существует нетривиальная однопараметрическая группа изометрий, являющихся автоморфизмами алгебры Ли. Выписаны матрица Грамма скалярного произведения и матрица, описывающая действие однопараметрической группы. Также доказывается, что данная алгебра Ли не допускает однопараметрической группы подобий, являющихся автоморфизмами алгебры Ли, при любом способе задания в ней лоренцева скалярного произведения.
Ключевые слова: алгебра Ли, лоренцево скалярное произведение, одно-параметрическая группа, подобие, изометрия, автоморфизм.
1. Постановка задачи
Пусть в алгебре Ли Q введено евклидово или лоренцево скалярное произведение. Линейное преобразование / : Q ^ Q назовём автоизометрией, если оно является одновременно изометрией относительно скалярного произведения и автоморфизмом алгебры Ли. Преобразование / назовём автоподобием, если оно является одновременно подобием и автоморфизмом. Как показано в работе [1], решение задачи нахождения однопараметрических групп автоподобий данной алгебры Ли позволяет построить самоподобные однородные многообразия соответствующей группы Ли, снабжённой левоинвариантной метрикой. В этой же работе найдены все автоподобия трёхмерной алгебры Ли V.J группы Гейзенбер-га при различных способах задания на ней лоренцева скалярного произведения и найдены соответствующие однопараметрические группы подобий однородного лоренцева многообразия трёхмерной группы Ли Гейзенберга Hs.
Некоммутативная двумерная алгебра Ли Л(1) - это алгебра Ли группы А(1) аффинных преобразований прямой. Компонента связности этой группы Ли, содержащая единичный элемент, - это группа А+(1), состоящая из аффинных преобразований, сохраняющих ориентацию прямой. В работах [2] и [3] были найдены все способы задания лоренцева скалярного произведения
на двумерной и трёхмерной алгебрах Ли Л(1) и Л(1) Ф И., при которых они допускают однопараметрические группы автоподобий и автоизометрий, а также выписаны формулы, по которым действуют эти однопараметрические группы. Это позволило построить самоподобные связные многообразия групп Ли А+(1) и А+(1) х И. Все возможные однопараметрические группы автоподобий и автоизометрий для четырёхмерной алгебры Ли Л(1) Ф И2 найдены в работе [4], а в работе [5] подобная задача решена в случае задания в алгебре Ли евклидова скалярного произведения.
Цель данной работы: найти все способы задания лоренцева скалярного произведения в алгебре Ли 04 = Л(1) Ф Л(1), при которых она допускает однопа-раметрическую группу автоизометрий, выписать матрицу, задающую действие этой группы, и доказать, что она не допускает автоподобий при любом способе задания на ней лоренцева скалярного произведения. Эта четырёхмерная алгебра Ли является единственной, относящейся к IV типу по классификации Бианки.
2. Структура алгебры Ли
В подходящем базисе (Е1,Е2,Е3,Е4) коммутационные соотношения алгебры Ли д4 задаются двумя равенствами: [£3,£^ = £ь [£4, £2] = Е2, а остальные скобки равны нулевому вектору. Будем называть такой базис каноническим. Двумерное подпространство V, являющееся линейной оболочкой векторов Е\ и Е2 является производной алгеброй Ли [<у4, £4]. Это коммутативный идеал. Линейные оболочки векторов £^£3 и Е2,Е4 обозначим соответственно С\ и С2. Эти подпространства являются двумерными некоммутативными идеалами. Кроме того, алгебра Ли содержит бесконечное количество коммутативных двумерных идеалов: УХ е С\,У е С2 линейная оболочка этих векторов является коммутативным идеалом.
Алгебра Ли допускает четырёхмерную группу автоморфизмов, которая состоит из преобразований, задающихся матрицами вида
( а 0 7 0 р 0 0 0 1 000
где а = 0, [3 = 0, a 7 и 5 могут принимать любые значения. Такие автоморфизмы будем называть автоморфизмами первого типа. Одновременная перестановка базисных векторов Е\ и Е2, Е3 и Е4 тоже сохраняет операцию скобки. Она задаётся матрицей вида
0 8
0 1
(1)
/0100 10 0 0 0 0 0 1 \ 0 0 1 0
Поэтому композиция автоморфизмов, задаваемых матрицами (1) и (2), тоже является автоморфизмом. Они задаются матрицей
/ 0 а 0
р 0 5 0 0 0 001
Будем их называть автоморфизмами второго типа. Важно отметить, что определитель матриц (1) и (3) равен а/3, т.е. равен определителю матрицы, задающей ограничение преобразования на V. Однопараметрическая группа автоморфизмов может содержать только автоморфизмы первого типа при а > 0, @ > 0. Линейную оболочку векторов Х,У будем обозначать {Х,У).
3. Основные результаты
Пусть на алгебре Ли <у4 введено лоренцево скалярное произведение.
Теорема 1. 1) Существует только один способ задания лоренцева скалярного произведения в алгебре Ли <34 = Л(1) Ф Л(1) котором она допускает нетривиальную однопараметрическую группу автоизометрий. Действие этой группы в каноническом базисе задаётся матрицей
/ е^ 0 0 0
0 е-* 0 0
0 0 10
\ 0 0 0 1
при этом матрица Грама базиса имеет вид
0100 1000 0 0 10 \ 0 0 0 1 )
2) Автоподобий рассматриваемая алгебра Ли не допускает при любом способе задания в ней лоренцева скалярного произведения.
(2)
т\
0
1 0
,а = 0,£ = 0.
(3)
(4)
(5)
Доказательство. Случай 1. На идеале V индуцируется лоренцево скалярное произведение. Тогда на подпространстве Vх индуцируется евклидово скалярное произведение.
Пусть ^(¿) : <у4 ^ Я4 - однопараметрическая группа автоизометрий или автоподобий. Под её действием должны оставаться инвариантными идеал V, два изотропных направления в нём и одномерные идеалы ИЕ!, ИЕ2. В дальнейшем обозначаем = И(г)(Е^,г = 1, 2, 3,4.
Согласно [6], в подходящем базисе (е!,е2,е3,е4) любая однопараметрическая группа подобий четырёхмерного пространства Минковского, имеющая более одного инвариантного изотропного собственного вектора, задаётся матрицей е^(г),р > 0, где
/ е* 0 0 0 \
0 е-и1 0 0
0 0 * *
V 0 0 * * /
,и > 0Ле И,
(6)
и звёздочками обозначена ортогональная матрица Q(í). При этом матрица Гра-ма имеет вид (5).
В работе [7] были найдены все инвариантные двумерные подпространства группы преобразований, которая задаётся матрицами вида (6).
Согласно доказанной в [7] теореме и следствию из неё, выполнено Н = (е!,е2), и можно сделать вывод, что Q(í) = Е. Но нам важно уточнить: задаётся ли ^(¿) матрицей е^¥!(1) именно в каноническом базисе, а также надо найти матрицу Грама этого базиса.
Определитель матрицы преобразования не зависит от выбора базиса в векторном пространстве. Определитель матрицы е^¥!(1) равен е4^, тогда как матрица ограничения преобразования ^(¿) на V имеет определитель, равный е2^. Следовательно, ^ = 0, и может существовать только однопараметрическая группа автоизометрий.
Если V = 0, то однопараметрическая группа состоит только из тождественных преобразований. Пусть V = 0. Тогда ограничение ^(¿) на V не может иметь более двух инвариантных направлений. Следовательно, Е! и £<2 совпадают с &! или е2, т. е. они являются изотропными (см. рис. 1 а)).
Согласно матрицам (1) и (6) соответственно
Тогда
Е'з(г) = 1Е1 + Ез,Е2 (¿) = е-1 Е:
Е'3(1) • Е'2(1) = 1е-^Е1 • Е2 + е-гДЕз • Е2 = + е-гУ% • Е2.
Последнее выражение должно быть тождественно равно Е3 • Е2. Отсюда получаем тождество
7е
+ (е-1 - 1)Е3 • Е2 = 0.
Это выполняется, только если одновременно 7 = 0 и Ез • Е2 = 0. Аналогично получим 8 = 0 и Е4 • Ех = 0.
Поскольку скалярные квадраты векторов Ех и Е2 равны нулю, то
К(¿) • Е[(¿) = № + Ез) • (еУ'Ег)
еУ1Е3 • Еъ
Это выражение должно быть равно Е3 • Е1. Следовательно, Е3 • Ех = 0, и аналогично получаем Е4 • Е2 = 0. Это значит, что Нх = (Ез,Е4). В итоге матрица Грама канонического базиса имеет вид
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 дзз дз^
\ 0 0 дз4 ди )
дзз дз^
934 944
> 0, дзз > 0.
(7)
Поскольку 7 = 8 = 0, мы приходим к выводу, что в рассматриваемом случае может существовать только однопараметрическая группа автоизометрий, действие которой в каноническом базисе задаётся матрицей (4).
Cлучай 2. На идеале V индуцируется евклидово скалярное произведение. Тогда на подпространстве Н± индуцируется лоренцево скалярное произведение, и заведомо скалярные квадраты векторов Ех и Е2 не равны нулю. Заменим базисный вектор Ез на ^Ех + Ез. Тогда
('■уЕх + Ез) • Е1 = 7^1 • Е1 + Ез • Еъ
Мы выберем 7 так, чтобы это выражение стало равным нулю. Точно также выберем 8 так, чтобы вектор 8Е2 + Е4 был ортогонален Е2, и мы заменим базисные векторы Ез и Е4 на ^Ех + Ез и 8Е2 + Е4 соответственно. Сохраним прежнее обозначение для нового базиса, который тоже будет каноническим. Также, не меняя операции скобки, можем сделать векторы Ех и Е2 единичными.
Пусть ^(¿) : <у4 ^ <у4 - однопараметрическая группа автоизометрий или автоподобий. Изотропные направления подпространства Vх должны быть инвариантны относительно Н(Ь). Следовательно, Н(Ь) относительно некоторого базиса (е 1, е 2, ез, е4) задаётся матрицей е ^Ех(£). Согласно [7], выполнено (е з, е4) = V, и тем самым, ( ез, е4) = Vх (см. рис. 1 б)). Из условия на определитель матрицы автоморфизма мы опять делаем вывод, что ^ = 0 и может существовать только однопараметрическая группа автоизометрий. При этом ограничение ^(¿) на V имеет два инвариантных направления. Это возможно, только если матрица Q(í) в (6) равна тождественно Е. Нам необходимо ещё доказать, что и = 0.
Предположим, что Е1 • Е2 = 0. Имеем
Е'2 (г) = Е2,Е'з (¿) = 7^1 + Ез.
Е3(*) • Е'2(I) = 7Ех •Е2 + Ез • Е2. Это выражение должно быть тождественно равно Ез • Е2. Получим
7Ех • Е2 = 0.
Отсюда 7 = 0, и аналогичным образом получим 8 = 0, если Ег • Е2 = 0. Это означает, что однопараметрическая подгруппа состоит только из тождественных преобразований. Поэтому рассматриваем далее только случай Е\ • Е2 — 0. Мы уже доказали, что можно выбрать базис так, что Е3 • Е\ = 0. Поэтому
K(t) • E'i(t) = lEi • Ei + E3 • Ei = lEi • Ei-
Это выражение должно быть тождественно равно нулю. Следовательно, 7 = 0, и аналогичным образом получим 8 = 0. Итак, в рассматриваемом случае не существует нетривиальной однопараметрической группы автоизометрий и автоподобий.
Случай 3. На подпространстве Н индуцируется вырожденное скалярное произведение. Пусть h(t) : Q4 ^ Q4 - однопараметрическая группа автоизометрий или автоподобий. Тогда единственное изотропное направление в Н должно быть инвариантным относительно действия группы. Предположим сначала, что оно является единственным инвариантным изотропным направлением. Тогда, согласно [6], относительно некоторого базиса (е1,е2,е3,е4) группа h(t) задаётся матрицей е^F2(t),^ ^ 0, где
F2 (t) =
(1 0
0 0
t2/2
При этом матрица Грама базиса имеет вид
(
\
0 0 -1 0
0 1 0 0
-1 0 0 0
t 1 0
0 \
0
0 1
0 0
0 1
Расположение базисных векторов относительно конуса изотропных векторов схематично показано на рисунке 2 а).
В работе [8] доказано, что в этом случае все инвариантные двумерные подпространства содержат вектор е\. Учитывая структуру рассматриваемой алгебры Ли, мы приходим к выводу, что ^(¿) не может задаваться матрицей е^¥2(Ь). Следовательно, существует ещё одно инвариантное изотропное направление и в подходящем базисе (еь е2, е3, е4) группа ^(¿) задаётся матрицей е^*¥1(1). Подпространство % может быть инвариантным, только если Q(í) = Е.
Предположим, что V = 0. В этом случае, согласно [7], двумерные идеалы %, С\ и С2 содержатся в трёхмерных подпространствах У и У2, которые задаются соответственно уравнениями х\ = 0 и х2 = 0. Эти подпространства являются ортогональными дополнениями к и 2 соответственно и имеют общее пересечение ( е3, е4), поэтому идеал % может содержаться только в одном из них. Пусть это будет У (см. рис. 2 б)). Тогда и С2 тоже содержатся в У, поскольку они имеют ненулевое пересечение с %. Это значит, что линейная оболочка С\ и С2 является трёхмерной. Мы получили противоречие, поскольку линейная оболочка С\ и С2 должна быть четырёхмерной. Следовательно, однопараметри-ческая группа Н(Ь) состоит только из тождественных преобразований.
4. Заключение
В данной работе мы доказали, что четырёхмерная алгебра Ли 04 = Л(1) Ф Л(1) не допускает однопараметрической группы автоподобий при любом способе задания в ней лоренцева скалярного произведения. Это означает, что соответствующая ей связная группа Ли А+(1) хА+(1), снабжённая лево-инвариантной лоренцевой метрикой, не может быть однородным самоподобным лоренцевым многообразием. Существующая однопараметрическая группа авто-изометрий для алгебры <у4 позволит в дальнейшем построить однопараметриче-скую группу движений группы Ли А+(1) х А+(1), оставляющую неподвижной единицу группы. ■
Литература
1. Подоксёнов М.Н. Подобия и изометрии однородного многообразия группы Гейзен-берга, снабжённой левоинвариантной лоренцевой метрикой // Вестник Витебского государственного университета им. П.М. Машерова. 2011. № 5. С. 10-15.
2. Подоксёнов М.Н. Самоподобные однородные двумерное и трёхмерное лоренцевы многообразия // Вестник Витебского государственного университета им. П.М. Ма-шерова, 2018. № 2(99). С. 14-19.
3. Подоксёнов М.Н., Кабанов А.Н. Самоподобное однородное лоренцево многообразие трёхмерной группы Ли // Наука — образованию, производству, экономике: Материалы XXIV(71) Региональной научно-практической конференции преподавателей, научных сотрудников и аспирантов, Витебск, 14 февраля 2019 г. Витеб. гос. ун-т. Витебск : ВГУ имени П.М. Машерова, 2019. Т. 1. С. 18-20.
4. Подоксёнов М.Н., Черных В.В. Автоизометрии и автоподобия алгебры Ли Д(1)©И,2 // Математические структуры и моделирование. 2020. № 1(53). С. 25-30.
5. Подоксёнов М.Н., Гуц А.К. Автоизометрии алгебры Ли Д(1) ® R2 // Наука — образованию, производству, экономике: материалы 72-й Региональной научно-практической конференции преподавателей, научных сотрудников и аспирантов, Витебск, 20 февраля 2020 г. Витебск : ВГУ им. П.М. Машерова, 2020. С. 27-29.
6. Alekseevski D. Self-similar Lorentzian manifolds // Ann.of Global Anal.Geom. 1985. V. 3, No. 1. P. 59-84.
7. Подоксёнов М.Н., Иванова Е.А. Инвариантные подпространства однопараметриче-ской группы подобий пространства Минковского // Математические структуры и моделирование. 2021. № 1(57). С. 25-28.
8. Черных В.В. Инвариантные подпространства одного специального класса преобразований // «Молодость. Интеллект. Инициатива». Материалы VIII Международной научно-практической конференции студентов и магистрантов. Витебск, ВГУ имени П.М. Машерова. 2020. С. 36-38.
AUTOISOMETRIES OF FOUR-DIMENSIONAL LIE ALGEBRA
OF IV BIANCI TYPE
M.N. Podoksenov
Ph.D. (Phys.-Math.), Associate Professor, Head of the Department "Geometry & Analysis", e-mail: [email protected]
E.A. Ivanova Student, e-mail: [email protected]
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk, Belarus'
Abstract. We consider four-dimensional Lie algebra of IV Bianchi type. It is proved that there is only one way of defining Lorentz scalar product on it, for which there exists nontrivial one-parameter group of isometries that are automorphisms of the Lie algebra. Gram matrix of the scalar product and the matrix describing the action of the one-parameter group are written out. It is also proved that the given Lie algebra does not admit one-parameter group of similarities, which are automorphisms of the Lie algebra, for any way of defining the Lorentz scalar product in it.
Keywords: Lie algebra, Lorentz scalar product, one-parameter group, similarity, isometry, automorphism.
References
1. Podoksenov M.N. Podobiya i izometrii odnorodnogo mnogoobraziya gruppy Geizen-berga, snabzhennoi levoinvariantnoi lorentsevoi metrikoi. Vestnik Vitebskogo gosu-darstvennogo universiteta im. P.M. Masherova, 2011, no. 5, pp. 10-15. (in Russian)
2. Podoksenov M.N. Samopodobnye odnorodnye dvumernoe i trekhmernoe lorent-sevy mnogoobraziya. Vestnik Vitebskogo gosudarstvennogo universiteta im. P.M. Masherova, 2018, no. 2(99), pp. 14-19. (in Russian)
3. Podoksenov M.N. and Kabanov A.N. Camopodobnoe odnorodnoe lorentsevo mnogoo-brazie trekhmernoi gruppy Li. Nauka — obrazovaniyu, proizvodstvu, ekonomike, Mate-rialy XXIV(71) Regional'noi nauchno-prakticheskoi konferentsii prepodavatelei, nauch-nykh sotrudnikov i aspirantov, Vitebsk, 14 fevralya 2019 g., Viteb. gos. un-t. Vitebsk, VGU imeni P.M. Masherova, 2019, vol. 1, pp. 18-20. (in Russian)
4. Podoksenov M.N. and Chernykh V.V. Avtoizometrii i avtopodobiya algebry Li ^.(1) © R2. Matematicheskie struktury i modelirovanie, 2020, no. 1(53), pp. 25-30. (in Russian)
5. Podoksenov M.N. and Guts A.K. Avtoizometrii algebry Li ^.(1) © R2. Nauka — obrazovaniyu, proizvodstvu, ekonomike, materialy 72-i Regional'noi nauchno-prakticheskoi konferentsii prepodavatelei, nauchnykh sotrudnikov i aspirantov, Vitebsk, 20 fevralya 2020 g., Vitebsk, VGU im. P.M. Masherova, 2020, pp. 27-29. (in Russian)
6. Alekseevski D. Self-similar Lorentzian manifolds. Ann.of Global Anal.Geom., 1985, vol. 3, no. 1, pp. 59-84.
7. Podoksenov M.N. and Ivanova E.A. Invariantnye podprostranstva odnoparametricheskoi gruppy podobii prostranstva Minkovskogo. Matematicheskie struktury i modelirovanie, 2021, no. 1(57), pp. 25-28. (in Russian)
8. Chernykh V.V. Invariantnye podprostranstva odnogo spetsial'nogo klassa preobrazo-vanii. "Molodost'. Intellekt. Initsiativa", Materialy VIII Mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii studentov i magistrantov, Vitebsk, VGU imeni P.M. Masherova, 2020. pp. 36-38. (in Russian)
Дата поступления в редакцию: 14.03.2021
