CC BY
124
АВЛ-деревья, выполнение операций над ними.
М. И. Сергеев, А. Г. Янишевская Омский государственный технический университет
Аннотация: Рассматривается проблема невозможности дачи оценки времени выполнения операции поиска данных в информационной системе при использовании классических бинарных деревьев поиска. Предлагается способ решения данной проблемы путем использования АВЛ-деревьев. Обосновываются преимущества и недостатки использования АВЛ-деревьев. Также приводятся алгоритмы выполнения операций над АВЛ-деревьями для работы с данными.
Ключевые слова: АВЛ-дерево, бинарное дерево поиска, балансировка дерева, поиск данных в двоичном дереве по ключу.
Большинство современных информационных систем содержат в себе базы данных объем которых может превышать несколько гигабайт и к поиску данных в таких базах предъявляются особые требования, такие как максимальная скорость, прогнозируемость времени поиска и точность нахождения информации [1]. Простые алгоритмы перебора не способны обеспечить максимальную скорость и предоставить оценку времени выполнения операции поиска ввиду чего повсеместно заменяются на алгоритмы поиска с использованием двоичных деревьев. Доказательством этого служит сравнение скорости поиска в современных СУБД. Именно СУБД, использующие индексацию и двоичные деревья поиска показывают наибольшую производительность при поиске данных по таблице, содержащей большой объем данных [2].
Двоичные деревья поиска в стандартной реализации позволяют увеличить скорость поиска данных в информационных системах и предоставляют точные результаты, однако не способны предоставить оценку среднего времени выполнения операции поиска по базе данных фиксированного объема. В данной статье рассмотрен модифицированный вариант двоичных деревьев поиска - АВЛ-деревья, который позволяет давать
Введение
точную оценку скорости выполнения операции поиска данных, а так же уменьшает время нахождения искомой информации. Так же будут рассмотрены операции вставки и удаление узлов и поддеревьев из АВЛ-дерева и приведены алгоритмы выполнения данных операций.
Для того, чтобы дать понятие АВЛ-дерева нам необходимо дать определение двоичного дерева поиска. Двоичное дерево поиска -иерархическая структура данных в которой каждый узел имеет не более чем два потомка, причем значение ключа любого узла левого поддерева произвольного узла Х меньше, чем значение самого узла Х, а значение любого узла правого поддерева узла Х больше либо равно значению ключа узла Х [3].
Важной характеристикой двоичного дерева поиска, непосредственно влияющей на скорость поиска данных является коэффициент сбалансированности. Коэффициентом сбалансированности называют некоторую константу к, на которую могут отличаться высоты левого и правого поддерева любого произвольного узла X.
Таким образом АВЛ-дерево - это двоичное дерево поиска, для которого определен коэффициент сбалансированности к = 1 [4].
Из определения АВЛ-дерева, следует, что разница высот левого и правого поддерева любого произвольного узла Х лежит в диапозоне {-1, 0, 1}. Исходя из этого свойства было доказанно, что высота h АВЛ-дерева, содержащего п узлов может быть рассчитана по формуле (1) [5].
Таким образом можно сказать, что АВЛ-деревья являются наиболее эффективными в обработке ввиду того, что максимальное количество шагов,
Определение АВЛ-дерева
Свойства АВЛ-дерева
к < [1.45 * 1од2(п + 2)]
(1)
для обнаружения искомого узла равно высоте дерева, которая является минимальной среди всех существующих двоичных деревьев поиска и максимально приближена к высоте идеально сбалансированного дерева. Время Т нахождения произвольного узла X АВЛ-дереве, содержащем п элементов может быть рассчитана по формуле (2) [6].
Время выполнения операций вставки и удаления узлов напрямую зависит от скорости поиска узла по дереву и следовательно является является минимальным по сравнению с другими видами двоичных деревьев поиска, однако в следствии выполнения данных операций коэффициент может произойти разбалансировка дерева, т.е. для некоторого узла X высота левого и правого узла станет отличаться на 2, что приведет к потере свойств АВЛ-дерева. Для того, чтобы не допустить этого над АВЛ-деревом определена операция балансировки. Время выполнения операции балансировки фиксировано и она осуществляется путем поворота узлов и изменению связей в дереве. Выделяют 4 типа поворотов (вращений) [7]:
1. Малое правое вращение;
2. Большое правое вращение;
3. Малое левое вращение;
4. Большое левое вращение.
Оба вида большого вращения представляют собой комбинации малых поворотов.
Всего существует 2 типа разбалансированности дерева. Для исправления первого случая используется тип порота 1 и 3, а для второго 2 и
Т = 0(1од2(п))
(2)
Балансировка АВЛ-дерева
4 [8-10].
Рассмотрим первый случай. На рисунке 1 изображено сбалансированное поддерево, где х и у - узлы, а А, В, С - поддеревья. Добавления к поддереву А узла v приведет к нарушению баланса поддерева. Выполним балансировку при помощи правого малого поворота узла у (рисунок 2). Операция выполнения левого малого поворота осуществляется семерично малому правому.
Рис 1. - Сбалансированное поддерево
Рис 2. - Правый малый поворот узла у Второй случай нарушения баланса дерева исправляется путем выполнения большого правого или большого левого поворота. Рассмотрим дерево изображенное на рисунке 3.
Рис. 3 - Сбалансированное дерево. Случай 2
Рис. 4 - Большой правый поворот. Вывод
Рассмотрев АВЛ-деревья и изучив их свойства мы можем сделать вывод, что их использование вместо простых двоичных деревьев поиска приведет к уменьшению времени операции поиска, вставки и удаления данных при одинаковом количестве элементов в дереве, однако это приведет к усложнению алгоритма взаимодействия с деревом ввиду того, что после выполнения каждой операции вставки и удаления придется выполнять
операцию проверки дерева на сбалансированность, и при обнаружении разбалансировки выполнять операции поворота узлов дерева.
Несмотря на это мы все равно получаем преимущества в виде повышения скорости выполнения операций, возможности более точно предсказывать время выполнения операций и снижения нагрузки на оборудование благодаря минимизации высоты дерева.
Литература
1. Радчук В. А. Закономерности развития рынка информационных услуг на современном этапе (обзор) // Инженерный вестник Дона, 2011, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2011/494.
2. Шаякбаров Н.Ф., Зорин Д.С. Анализ производительности систем управления базами данных при работе с большим объемом информации. // Инженерный вестник Дона, 2015, №2 ч.2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/2974.
3. Вирт Н., Алгоритмы и структуры данных. СПб.: Невский Диалект, 2008. 352 с. ISBN 978-5-7940-0065-8.
4. Адельсон-Вельский Г. М., Ландис Е. М. Один алгоритм организации информации // Доклады АН СССР, 1962. Т. 146, № 2. с. 263—266.
5. Lewis H.R., Denenberg L. Data Structures and Their Algorithms. Addison-Wesley. 1991. 509p.
6. Paul E. Dictionary of Algorithms and Data Structures. NIST // URL: xlinux.nist.gov/dads.
7. Кнут Д., Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск 2-е изд. М.:Издательский дом «Вильямс», 2007. 824 с. ISBN 0-201-89685-0.
8. Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ / Под ред. И. В. Красикова. 2-е изд. М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. 1296 с. ISBN 5-8459-0857-4.
9. Tarjan R. E. Data structures and networks algorithms. SIAM. 1983. 125 p.
10. Bfaff P. Performance analysis of BSTs in system software SIGMETRICS Perform. Eval. vol. 32, 2004. pp. 410-411.
References
1. Radchuk V.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2011, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2011/494.
2. Shayakbarov N.F., Zorin D.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/2974.
3. Virt N., Algoritmy i struktury dannykh. [Algorithms and data structures] SPb.: Nevskiy Dialekt, 2008. 352 p. ISBN 978-5-7940-0065-8
4. Adel'son-Vel'skiy G. M., Landis E. M. Doklady AN SSSR, 1962. V. 146, № 2. pp. 263—266.
5. Lewis H.R., Denenberg L. Data structures and their algorithms. addison-Wesley. 1991. 509 p.
6. Paul E. Dictionary of algorithms and data structures. NIST. URL: xlinux.nist.gov/dads.
7. Knut D., Iskusstvo programmirovaniya, tom 3. Sortirovka i poisk 2e izd. [The art of programming] M.: Izdatel'skiy dom «Vil'yams», 2007. 824 p. ISBN 0201-89685-0.
8. Kormen, T., Leyzerson, Ch., Rivest, R., Shtayn, K. Algoritmy: postroenie i analiz [Introduction to algorithms]. Pod red. I. V. Krasikova. 2e izd. M.: Izdatel'skiy dom «Vil'yams», 2005. 1296 p. ISBN 5-8459-0857-4.
9. Tarjan R. E. Data structures and networks algorithms. SIAM. 1983. 125 p.
10. Bfaff P. Performance analysis of BSTs in system software. SIGMETRICS Perform. Eval. vol. 32, 2004. pp. 410-411.
