AUTOMORPHIC ALGEBRAS OF DYNAMICAL SYSTEMS AND GENERALISED IN¨ON¨U-WIGNER CONTRACTIONS

Karabanov A.

CC BY

8

7

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Журнал

Известия Коми научного центра УРО РАН

2022

ВАК

Область наук

Компьютерные и информационные науки

Ключевые слова

AUTOMORPHIC ALGEBRAS / DYNAMICAL SYSTEMS / GENERALISED IN¨ON¨U-WIGNER CONTRACTIONS

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Karabanov A.

Lie algebras a with a complex underlying vector space V are studied that are automorphic with respect to a given linear dynamical system on V , i.e., a 1-parameter subgroup Gt ⊂ Aut(a) ⊂ GL(V ). Each automorphic algebra imparts a Lie algebraic structure to the vector space of trajectories of the group Gt. The basics of the general structure of automorphic algebras a are described in terms of the eigenspace decomposition of the operatorM ∈ der(a) that determines the dynamics. Symmetries encoded by the presence of nonabelian automorphic algebras are pointed out connected to conservation laws, spectral relations and root systems. It is shown that, for a given dynamics Gt, automorphic algebras can be found via a limit transition in the space of Lie algebras on V along the trajectories of the group Gt itself. This procedure generalises the well-known Inönü-Wigner contraction and links adjoint representations of automorphic algebras to isospectral Lax representations on gl(V ). These results can be applied to physically important symmetry groups and their representations, including classical and relativistic mechanics, open quantum dynamics and nonlinear evolution equations. Simple examples are given.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «AUTOMORPHIC ALGEBRAS OF DYNAMICAL SYSTEMS AND GENERALISED IN¨ON¨U-WIGNER CONTRACTIONS»

Atäctaw

АКрйнв

;iK /tirât

kaialBix@^nailci:Lk

Аюаця

¡BîïVKÎpyicHfl

сшрм|ы

Нюмашшз

system Srecfad cEj^jj]E|jjjbflî0Й1щ+

IrtiMri

wviiEiesliaFcnncru °

¡ЗзУкЬ icferiity WctntetherniB-

3ts

[вдплв-

idfcn djet m = о in

ilStErtET

àenaiat

Ma (a) ç 3(a), M [a, a] ç [a, a], (5) Mrad(a) ç rad(a), Mnil(a) ç nil(a),

л + V. = 0 I

nonpropjciai^

lEÍCrTOErtír

(Ja,Ул с.z(a).

îŒEBt

îEiCE^^L^л e шСЫ шлй! rscnen, t e s. ЦтЕмазл Б(жс1

V = S Ул, Ул = {x e V : (л - Mx = 0}. ле£

(6)inftytrefCUcwirgdcïEi(aliEELlt|iciEdin (ЦЕ ?AT^Icnciiti^EtJc^^regccEci

0

ул,п es УV] Ç Ул+п, о s.

H liErïlTllEîCXiEtSai3Si£>CIу

M = а diag (-S, -S + 1, ...,S - 1, S), (í)

dim V, >i . r(3SinBtJc3ICf^i 3

sj sj '3

[v\,vv] = , , vx] = V,vv] = 0.

Hirex,n aer

nrtlrm- cjCfljaisasinttiitimri

tfldim a =

BtrevKttraira a=a°+a'

a° = 0 V\, a = 0 va,

xe£o \e£

BOUUl. . , . , [a„ ] r no [a a] r a [^ a] r a

[a° , a°] c a° , [a , a] c a , [a° , a] c a.

a°.

a —> a —> a°

es,\£,m isactciiBcJEiiHc^ ctfiriBasplitejtErsiintfaj^tresnittelani

y'(t) = ad(x)y(t) = [x,y(t)], x e V°, (9)

VA eS Re A < 0, 3n eS Re n< 0. (i)

Irtri^thesitE isspttirl^Esiiiitstinrt) eS°)

S° = {A eS : Re A = 0}, S = {A eS : Re A< 0}.

a = a° + a, a° = 0 Va, a = 0 V\. ®

Re a=°

Re A<°

(q

/A°, n° e S°,A, n eS either A° + n° £ S or A° + n° e S°, either A + n e S or A + n e S, either A° + AeS or A° + A e S.

RpsimlfteA s ¡ssjtttiincryatm^

g Wffi^^ 5(555, W.

fintas^) с s is vtteJCrt^ccdsEiiESgn = SO(2n +1) afcranJic

!Cr

1 РШТЬ ^CriCJ¡o(3). in

0, ±а\ = £.

Яки

IIHII^^kci

c£

ao = Vo ф 0 Ул, лер(в)

Мл

o so(3)= sl(2)

h3

e(2)

[v°,v± ] = ±v±, [v+,v-] = vo, [v°,v± ] = 0, [v+,v-]= vo, [vo, v±] = ±v±, [v+, v-] = 0.

HCl

_ S M (DTEE

штавае

Vo = 0 vok) ç Vo, Ул = 0ç Ул,

k=1

q=1

g

ЩЬ

d(v) Cl

(л - ad(M))^лad(v) = 0. ([)

f Intel irrtErnscft^iBâlaGad(x) = [x, ],

ad(Mx) - [M, ad(x)] = ad(Mx) - ad(M)ad(x) = 0.

et = UnCÎMÎ^ ,VEmnffiHfflS{ vu...,v^} in

k1

Mvk = Лvk + ^ Cksvs, k = 1, ..., рл

s=1

ftr^^cr^plkxarS^lfec ks. Ifeinfüs

k— 1

ad(Mvk) = л ad(vk) + ^ cksad(vs)

s=1

^tlïtt^^cJQSad(vk) cUSíÜSiy

(л - ad(M))kad(vk) = 0, k = 1, ..., рл. □

=0

so(N . гШГЕВДШГС SO(2n) crcM = 0

рщ

0

(л - M)vk = 0, (л - ad(M))ad(vk) = 0. ([4)

с VEStößM, advfc)e det(a) с ^cCV^^^^CJCÍÍSS^^

^rc^Lf^JC^I.l}-

2?/llcnflitHcâatiîBi^ctr0cIisïri

WH^M^M^H IWVIMlWW WBWBIM ШШ VH4MV1

I^LÍVlC^CI^ltnB^

[x,y]t = G-t[Gtx,Gty], t E R, x, y E V. (f)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Rrät.tte

cpEV = Cnf G' : a' ^ a, ker G' = a, fix G' = ao_ |2Q

[x,y]' = lim [x,y]t.

t^+œ

H^ G i ri ' w _ w wi ■ ^wif iiiu ^Yî^J^nlfïw^Ll^ "l ^Í^lí^^^

^^H^^^cr^cf Eïq I[E) vl^i^p^^ ,ve vií^(Шc(]|(л(I||^^яDlnв(а^

[jîHrcli.t, x, y Mx = G, My = Лу, Re Л < G,

|jEnlMnità|0ja' [, ]' fj^^n^ intteaici 0

— [x,y]t = -M [x,y]t + [Mx,y]t + [x,My]t.

fTÎj Gtx = x, Gty = еЛ1у, x E ao, y E h,

yt .. vteea aír a ¡saabkdsa h

0

] C0 Vç, i = Л + n or Re i > Re Л + Re n ■

ШПШгаЖ

Ю

-fvofv+

Mvç = iЛvi, i = -, G, +, Re Л > G,

[v-,vo ] = 2v- + avo + ßv+, Ç3)

[v+,v-] = vo + av+, [vo ,v+]=2v+,

[x, y]'_ = lim [x,y]t.

t^-œ

[v-,vo]' = 2v-, [v+,v-]' = vo, [vo, v+]' = 2v+

G. II

^ Wte^ ЗД, 202

g .l^s^eier 0.

whlnii^^

ad0(vл) ^ ad^v^, t ^

ICTBin

^Ifecpäcr

Lл(t) = e—•^adtv) e fl[(V)

SctiS^5trE)ÍSK3}EljlclLc^^lE!EIÍctÍCri

-ItLл(t) = [Lл(t),M ].

AkiWeCpsts

ЗОБ ^

bIf Rfeens

dx

x = Mx = {F, Vx) = Fk —.

k=i

l-NWIlk

(îc^^—SircfjLl^ V^^SSiE^

ytfc-

iV&lfiôïII^ w-rrvrm

гаутшядоаииШИЕ

^ Wte^ ЗД, 202

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

AUTOMORPHIC ALGEBRAS OF DYNAMICAL SYSTEMS AND GENERALISED IN¨ON¨U-WIGNER CONTRACTIONS Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Karabanov A.

Похожие темы научных работ по компьютерным и информационным наукам , автор научной работы — Karabanov A.

Текст научной работы на тему «AUTOMORPHIC ALGEBRAS OF DYNAMICAL SYSTEMS AND GENERALISED IN¨ON¨U-WIGNER CONTRACTIONS»