Атомно-дислокационная механика разрушения применительно к V-вырезам Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 111-118

Механика =

УДК 539.375

Атомно-дислокационная механика разрушения применительно к V-вырезам

Ю. Н. Овчаренко

Аннотация. На основе атомно-дислокационной теории разрушения Черепанова рассмотрены процессы рождения дислокаций и роста трещины в вершине V-выреза при mode

I. Рассматривается кристалл с кубической решеткой атомов при условии плоской деформации. Используются только фундаментальные константы классической теории дислокаций.

Ключевые слова: V-вырез, mode I, эмиссия дислокаций, рост вязкой трещины, фундаментальные константы.

1. Введение. Атомно-дислокационная механика упругопластического разрушения (наномеханика разрушения) была предложена Г.П.Черепановым [1-5] в качестве теоретической альтернативы общепризнанному экспериментально-теоретическому подходу механики и физики разрушения. В рамках предложенной теории ее автор получил решение проблемы инициирования дислокаций и, как следствие, трещин в кристаллической структуре материала. При этом использовались только фундаментальные константы классической теории дислокаций, которые включали межатомное расстояние, упругие константы кристаллического материала, константу трения Шмида и поверхностную энергию кристаллической решетки.

Теория исследует квазихрупкое разрушение mode I. Вначале рассматривается первая пара виртуальных симметричных дислокаций в вершине трещины в некоторых плоскостях скольжения. Расположение плоскостей скольжения определяется свойствами кристалла. Каждая дислокация двигается по своей плоскости скольжения в зависимости от движущей силы Пич-Келера, возникающей из-за внешнего упругого поля, внутренней силы трения Шмида и внутренней упругой силы связи дислокации с ее исходным положением. Если силовое равновесное состояние для этой пары дислокаций существует, то дислокации останавливаются в соответствующих местах и становятся реальными. Иначе виртуальные дислокации возвращаются в вершину трещины за счет своих сил связи. Считается, что первоначальный рост вязкой трещины является результатом появления первой пары симметричных реальных дислокаций в вершине.

Далее считается, что начальная трещина представляет собой полубесконечный разрез (рис. 1) межатомных связей в кубическом изотропном и гомогенном кристалле. Плоскости скольжения (показаны пунктиром) в кристалле образуют угол ±45°. Единственный параметр нагрузки — это коэффициент интенсивности напряжения С1 = ~К= ■ Увеличение С1 сопровождается увеличением концентрации напряжений (или межатомных сил) около вершины трещины. При некотором значении С1 = Сц становится возможным рождение пары симметричных краевых дислокаций, которые занимают новые стабильные положения. Одновременно одна атомная связь перед вершиной исходной трещины разрывается, и трещина «продвигается» на одно межатомное расстояние. С увеличением внешней нагрузки этот процесс может многократно повторяться.

Рис. 1. Атомно-дислокационная модель трещины mode I: p — внешняя нагрузка; 0 — 0, 1 — 1, 2 — 2 — контуры развития трещины

Система N уравнений равновесия действующих сил в комплексном виде для к-й пары дислокации может быть записана как [1]

N

т^ (гк)+ ТР<Р (гк)+ ^ ТРV (Хк,гт) = т0, (1)

т = 1

т = к

где к = 1,N.

Здесь тер^ (гк) — сила, зависимая от С1, которая стремится двигать к-ю пару дислокаций прочь от вершины трещины по плоскости скольжения:

терV (гк) = 1т {е2г<Рк [гкФ (гк) + Фе (гк)]} , (2)

где комплексные потенциалы имеют вид

Фе (гк) = ~<С^; Фе (гк) = ~<С^ ■ (3)

еК к 2^’ 4^хк У >

Член вышеуказанного уравнения т^ (гк) есть сила связи, стремящаяся вернуть к-ю пару дислокаций к вершине трещины, благодаря возникающему ее собственному полю упругости (так называемая «сила самоиндукции»).

N

Сумма ^2 тгРф (гк, гт) характеризует силы взаимодействия к-й пары т=1 т=к

дислокаций с другими уже существующими ^ — 1) парами дислокаций. Правый член уравнения (1) то характеризует силу трения Шмида,

которая тормозит любое движение дислокации. Величина N — число

задействованных пар дислокаций в процессе распространения трещины.

Для одной единственной пары дислокаций, то есть когда N = к = 1, система уравнений равновесия (1) вырождается в одно уравнение [1]:

0.327 с ЦоЪе = т (.)

г~С1 л = т0’ (4)

у/г 4пг

где цо = , Ц — модуль сдвига, V — коэффициент Пуассона; Ье —

абсолютное значение вектора Бюргерса краевой дислокации. Второй член в левой части уравнения (1) характеризует внутреннюю силовую связь между дислокациями и вершиной У-выреза. Минимальное значение С1, при котором существует решение этого уравнения, соответствует коэффициенту

^(1)

интенсивности напряжения С^ , при котором первая пара дислокаций генерируется из вершины трещины и занимает новое положение равновесия. Предполагается, что трещина в тот же момент при вязком механизме разрыва атомной связи распространяется на одно межатомное расстояние. При новом положении равновесия г = имеет место минимальное

значение С1 = 1, 725\/Ц0Ьет0.

Если N = 2, то имеет место первая пара дислокаций (k = 1) и затем вторая (k = 2). Уравнение равновесия (1) дает систему следующих двух уравнений:

0-327 _ црЪе

/Л 4п

0-327 ei _ ßobe y/r2 4п

где f — некоторая функция, зависящая от координат т\ и Т2. Так же, как и для (4), здесь минимальное значение Ci, при котором существует решение системы, соответствует коэффициенту интенсивности напряжения /-<(2)

Cij , при котором вторая пара дислокаций генерируется из вершины трещины и занимает новое положение равновесия. Трещина в тот же момент при вязком механизме разрыва атомной связи распространяется еще на одно межатомное расстояние. Первая пара дислокаций снова придет в движение и тоже изменит свое положение равновесия. Вторые члены в левой части уравнений равновесия (5) характеризуют не только силы взаимодействия между дислокациями и очагами их рождения, но и силы взаимодействия двух пар дислокаций между собой. Минимальное значение Ci = 2, 467то получается при п = 11, 23 ^ и Т2 = 3, 37.

Дальнейшее увеличение N, то есть числа задействованных в процессе разрушения пар дислокаций, приводит к росту Ci. При N = 104 ^ 105 этот коэффициент должен приблизиться к вязкости разрушения Ирвина Cic. Такова теория Г.П. Черепанова. Численные расчеты, выполненные автором теории, блестяще подтверждают ее выводы. Однако автора данной статьи больше интересуют острые V-вырезы и их разрушение с позиции атомнодислокационной теории. Насколько возможно это, будет представлено далее в качестве развития вышеуказанной теории.

2. Атомно-дислокационный подход к V-вырезам. Атомнодислокационная модель V-выреза представлена на рис. 2.

Инициирование трещины из вершины V-выреза и дальнейшее ее распространение в mode I будем описывать следующим образом. Рассмотрим первоначальную виртуальную пару дислокаций в их собственных плоскостях скольжения. Если стабильное равновесное состояние для этой пары дислокаций существует, то дислокации размещаются в соответствующих локальных местах. Иначе дислокации за счет сил связи возвращаются в вершину V-выреза. Предполагается, что первоначальная реальная пара дислокаций рождается в устойчивом состоянии при наименьшей внешней нагрузке. С рождением реальной пары дислокаций происходит разрыв одной атомной связи в вершине V-выреза. Применим вышеуказанный подход в условиях плоской деформации к кристаллической кубической решетке. Плоскости скольжения в кристалле образуют ±45° к оси Ox (на рис. 2 показаны пунктирными линиями). Фундаментальные константы

— _ f (Т1,Т2) Т1

— _ f (т2, Т1) Т2

то,

то,

(5)

Рис. 2. Атомно-дислокационная модель острого У-выреза: р — внешняя нагрузка; 0 — 0, 1 — 1, 2 — 2 — контуры развития трещины

кристаллической решетки, которые потребуются — это межатомное расстояние а и постоянная трения Шмида то в плоскости скольжения кристалла. Пусть кромки V-выреза не нагружены. Будем рассматривать квазихрупкое разрушение. Единственный параметр внешней нагрузки — это коэффициент интенсивности напряжений V-выреза Cia. Для упрощения дальнейших расчетов предположим, что кристалл изотропный и гомогенный. Это предположение близко к реальности для кубической решетки [1].

Увеличение внешней нагрузки Cia сопровождается увеличением концентрации напряжений или межатомных сил у вершины V-выреза. При некотором значении Cia происходит испускание первой пары симметричных виртуальных дислокаций, а при некотором большем Cia = C^i эти две виртуальные дислокации займут локальные и стабильные положения в плоскостях скольжения y = ±х и станут реальными дислокациями. Одновременно одна атомная связь впереди вершины V-выреза разрывается и таким образом по оси Ох имеет место трещина длиной в одно межатомное расстояние. При дальнейшем увеличении параметра нагружения Cia следующая пара симметричных виртуальных дислокаций начинает движение от вершины только что образованной трещины по своим плоскостям скольжения. Движение идет до тех пор, пока не находятся

локальные и стабильные позиции для них. Нагруженное состояние теперь характеризуется значением С1а = оЦ2^. Одновременно следующая атомная связь разрывается и недавно образованная трещина продвигается далее на одно межатомное расстояние. Вторая пара дислокаций двигалась по плоскости скольжения у = ± (х — а), в то время как первая пара продолжила движение по плоскости у = ±х до некоторого опять стабильного положения. Картина распространения трещины после образования третьей и последующих пар дислокаций качественно схожа с предыдущими этапами. При количестве пар дислокаций N = 104 ^ 105 возможен выход С1а на критическое значение С/ас, при котором рост трещины от вершины У-выреза становится нестабильным. Это качественно соответствует критерию квазихрупкого разрушения Ирвина в механике трещин.

Замечание. При N = 104 + 105 длина распространения трещины из вершины У-выреза для металлов с кубической кристаллической решеткой согласно рассматриваемой теории будет весьма и весьма незначительной с точки зрения макромира. В частности, для алюминиевых сплавов она будет находиться в пределах от 0,00285 мм до 0,0285 мм. Поэтому, несмотря на то, что речь идет о растущей трещине, внешняя нагрузка будет характеризоваться коэффициентом интенсивности напряжений С1а — характеристикой напряженно-деформированного состояния У-выреза.

3. Некоторые теоретические анализы для У-выреза. В развитие механики наноразрушения трещин будем предполагать, что момент начала роста трещины в вершине У-выреза совпадает с рождением первой пары дислокаций, исходящих из этой вершины. Определим соответствующее критическое значение как С1а = С(1^. Используем систему уравнений равновесия (1), где движущая сила для краевой дислокации (2) будет иметь следующий вид комплексных потенциалов [6]:

Фе (як) — А Сіа^к 1; Фе (як) — —А (А — 1) С1а^Х

X-1

(6)

В результате для N = к = 1 будем иметь следующее уравнение равновесия:

— л/2С1аА (А — 1) гх 1 сов —

ЦоЪе 4п г

то.

(7)

Здесь А — собственное число, полученное из трансцендентного уравнения

А віп (2п — а) — — віп А (2п — а).

(8

а.

Ниже в таблице показано, как меняется А в зависимости от угла У-выреза

Значения А в зависимости от угла У-выреза а

а, ° 0 30 60 90 120 150 180

А 0,500 0,501 0,512 0,544 0,616 0,752 1,000

Минимум функции С1а = 1, 72Ь^оЪТо уравнения (7) расположен на следующем расстоянии от вершины У-выреза:

r =

Л f^0be

(1 — Л) 4пт0

При этом рождается трещина длиной в одно межатомное расстояние a (по

оси Ox). Если V-вырез имеет угол а = 0 (то есть рассматривается трещина),

то Л = 0, 5 и представленное уравнение равновесия (7) переходит в уравнение

(4) со всеми вытекающими последствиями.

Пусть идет дальнейшее увеличение нагрузочного параметра Cia. Вслед

за первой парой дислокаций возникает вторая пара дислокаций при Cia = ( 2)

= Cjai- Это значит, что для N = 2, ki = 1, k2 = 2 имеем следующую систему уравнений равновесия (получена из (1)):

V2ClaЛ (1 — Л) ri cos —---

Лп ¡lobe

4

Лп

V2Cla Л (1 — Л) r2 cos —---

4

4п

l0be

4п

— — f (Гі,Г2)

ri

Г" — f (r2 , r1)

r2

= То, = То.

Система позволяет определить значения Т\ и Г 2, при которых С1а является минимальной величиной. Если У-вырез имеет угол а = 0 (то есть, рассматривается трещина), то А = 0, 5 и представленная система уравнений равновесия переходит в известную систему (5), тоже со всеми вытекающими последствиями.

Дальнейшее увеличение N, то есть числа задействованных в процессе разрушения пар дислокаций, приводит к росту С1а. При существенном значении N этот коэффициент должен приблизиться к критическому значению С1ас. Точные анализы N-го шага монотонного нагружения У-выреза требуют решения системы N нелинейных уравнений (1). Это означает, что для нахождения требуемого минимума С1а, надо уметь минимизировать системы, содержащих до нескольких тысяч уравнений.

Список литературы

1. Dislocation and crack growth under monotonie loading / G.P.Cherepanov [et al.]. // J. Appl. Phys. 1995. V. 78, N 10. P. 6249-6264.

2. Черепанов Г.П. Квантовая механика разрушения // Пробл. прочности. 1990. № 2. С. 3-9.

3. Черепанов Г.П. Инициирование микротрещин и дислокаций // Прикл. механика. 1987. Т. 23, № 12. С. 67-81.

4. Черепанов Г.П. Рост микротрещин при монотонном нагружении // Прикл. механика. 1988. Т. 24, № 4. С. 86-99.

5. Черепанов Г.П. Закрытие микротрещины при разгрузке и образование реверсивных дислокаций // Прикл. механика. 1988. Т. 24, № 7. С. 3-18.

6. Овчаренко Ю.Н. Теория и практика У-вырезов в механике разрушения. Тула: ТулГУ, 2003. 168 с.

Овчаренко Юрий Николаевич ([email protected]), к.т.н., доцент, кафедра сварки, литья и технологии конструкционных материалов, Тульский государственный университет.

Atomic-dislocation mechanics of fracture with reference to

V-notches

Yu. N. Ovcharenko

Abstract. The processes of crack growth and dislocation emission induced by V-notches tip on the basis of the Cherepanov’s theory are investigated. A crystal with cubic lattice of atoms under plane strain conditions is considered. Only the fundamental constants of the classical theory of dislocations are used.

Keywords : V-notch, mode I, dislocation emission, crack growth, fundamental constant.

Ovcharenko Yury ([email protected]), candidate of technical sciences, associate professor, department of welding, casting and construction materials technology, Tula State University.

Поступила 02.05.2011