CC BY
25
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 532.685
В.И. Краюхин, Л.И. Могилевич, В.С. Попов МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПРОПИТКИ ПРИ РЕМОНТЕ ЦЕМЕНТНО-БЕТОННЫХ ПОЛОВ
Рассмотрены вопросы математического моделирования пропитки цементно-бетонных полов через ремонтные отверстия. Разработана математическая модель плоскорадиальной фильтрации пропиточного состава при линейном и нелинейном законах сопротивления. Рассмотрены процессы фильтрации пропиточного состава как несжимаемой дилатантной и псевдопластичной жидкости.
Фильтрация, закон Дарси, число Рейнольдса, несжимаемая жидкость, дилатантная жидкость, псевдопластичная жидкость
V.I. Krayukhin, V.S. Popov, L.I. Mogilevich MATHEMATICAL MODELING OF IMPREGNATION PROCESS WHEN REPAIRING CEMENT-CONCRETE FLOORS
The problems of mathematical modeling related with impregnation of cement-concrete floors through repair holes were investigated. The mathematical model of flat radial filtration under the linear and non-linear laws of resistance was created. Investigation of impregnating mortar filtration processes as incompressible dilatant and pseudo-plastic fluid was carried out.
Filtration, Darcy's law, Reynolds number, incompressible liquid, pseudo-plastic fluid, dilatant fluid
В современных условиях широкое распространение получили цементно-бетонные полы, что объясняется их долговечностью и низкой стоимостью. Изготовление этих полов несложно и не требует дефицитных материалов, а в сочетании с некоторыми технологическими приемами придает им ряд других свойств, которые необходимы в условиях различных производств [1]. Одной из основных опасностей для качественных бетонных полов является трещинообразование. Трещины могут быть образованы из-за наличия концентраторов напряжения (таких как микро- и макропоры, микротрещины, заполнителей разной крупности, нарушения технологии ведения строительных работ), обусловленного как природой материала для покрытий, так и технологическими условиями его приготовления. Развитию трещин также способствуют различные виды тепловой энергии, иногда в сочетании с сильными потоками за счет вентиляции, а, кроме того, воздействие грунтовых вод [2].
В настоящее время получили широкое распространение полы с пропиточной гидроизоляцией, получаемой на основе полимеров [1, 2]. В пропиточной гидроизоляции применяются составы на основе низковязкой полимеризующейся композиции метилметакрилата (ММА) с модификаторами. Композиция представляет собой низковязкую жидкость согласно сертификату соответствия ГОСТ Р РИ 9010.1.4.0008, (вязкость 1-2 сантипуаза), которая путем фильтрации может заполнять поры и трещины в бетоне и после полимеризации создает водонепроницаемый слой, при этом прочность этого слоя повышается в 1,5-3 раза, водонепроницаемость - до значений W20, сопротивление замораживанию - до 500 циклов. Работы могут выполняться в широком температурном диапазоне, в том числе и при отрицательных температурах.
В связи с этим ремонтные работы по пропитке полов можно осуществлять пропиточным составом из низковязкой композиции на основе ММА. Для эффективного заполнения тела полов и тре-
7
щин ремонтной композицией необходимо выполнить ремонтные отверстия в поверхности бетона, а затем с помощью тампонирования [3], в просверленные отверстия, создать условия проникновения жидкой фазы ремонтных составов в толщу основания под бетонные покрытия с целью усиления данных конструкционных элементов покрытия. Пропитка бетона мономером с его последующей полимеризацией в теле бетона приводит к резкому увеличению прочности и улучшению других свойств. Прочность бетонополимера при сжатии по сравнению с исходным контрольным образцом повышается в 2-10 раз, вместо М200-300 получают М800-1200 [2].
С учетом сказанного выше можно отметить, что математическое моделирование процесса пропитки представляет собой не только теоретический, но и практический интерес. В данной работе предлагается рассмотрение процесса пропитки в плоскорадиальной постановке при подаче несжимаемой дилатантной и псевдопластичной жидкости (ремонтной пропиточной композиции) в ремонтные отверстия-скважины. При этом предлагается разработка математической модели плоскорадиальной фильтрации при линейном и нелинейном законе сопротивления [4].
1. Уравнение неразрывности в этом случае имеет вид [4, 5]
~^(гир] = 0, (1)
г Эг
здесь V - скорость фильтрации, г - переменная в цилиндрической системе координат, р - постоянная плотность жидкости.
Решение этого уравнения можно записать как
ри = С1/г , (2)
где С1 - произвольная постоянная.
Нелинейный закон сопротивления записывается в виде [4, 5]
к1/2 .к3/2я, Эр,
------- А~1^ (-р-ЭГ;
т т Эг
эр
)п-1, (3)
Эг
здесь т - динамический коэффициент вязкости; к - проницаемость среды; р - давление в жидкости; А - безразмерная постоянная.
В левой части выражения (3) стоит число Рейнольдса, в правой - число фильтрации, умноженное на безразмерную постоянную величину А . При этом п = 1 соответствует линейному закону фильтрации Дарси с А = 1, п = У2 соответствует квадратному закону фильтрации для дилатантных жидкостей (суспензий с твёрдой фазой), ап > 1, например, п = 32 соответствует закону фильтрации для псевдопластичной жидкости (раствор полимера).
Удобно ввести вместо давления величину:
9 = /р0 рЛр = р(р-р), (4)
здесь р0 - давление в среде до начала фильтрации.
Используя (4), закон фильтрации (3) можно записать в виде
к3/2п-1/2 ( Э9 т2п-1 I Эг,
ри = А—п=Г 1-^ I , (5)
С учётом решения (2) получаем
"с1 т2п-1
Используя (6), найдём
г Ак
1 2-1
3/2п-1/2
, (6)
Эг
Спт п п —
9 = --т-1--------- г п + С2, п Ф 1, (7)
1 3-— п-1
Апк 2 2п
9 = -—х~т 1пг + С2, п = 1. (8)
Ак
Рассмотрим граничные условия на ремонтной скважине и на границе, на которой скорость фильтрации очень мала:
Р = Рс при г = гс,
о (9)
Р = Рт при г = К .
п
2. Пусть имеет место линейный закон фильтрации Дарси (п = 1, А = 1). Из граничных условий (9) имеем с учётом (8), (4):
1п г
Рс - Р0 + (Рс - Рт С. ч . (10)
С = к р(рс- р), С2 =р
1 т 1п(к / гс) 2
1п(К / гс) _
Подставляя (10) и (4) в (7) и (2), найдем
/ ч1п(г / гс )
Рс - Р = (Рс - Рт X , ,
1п(К / гс)
к 11 (11)
к ( \ 1 1 и=—( Рс - Рт У, (и, \ .
т г 1п(к / гс)
Из (11) имеем значение скорости фильтрации на скважине ис (г = гс) ив дальней зоне
V (г = К) :
к / Л 1 к , Л 1
V =—(Рс - Рт И, ч , V =—(Рс - Рт )—
(12)
т ь ‘Ч 1п(к / гс) т К 1п(к / гс)
Из(12)следует:
К V
— =---, ит = еис, е<< 1. (13)
гс V
Находим радиус дальней зоны К = гс/е .
Здесь е - малый параметр, определяющий относительную величину скорости фильтрации в дальней зоне (например, е = е-2 » 0,135 ).
Потери давления в этой зоне определяются в виде:
Рс - Рт =-~исгс 1пе = тигс 1п“"- (14)
к к е
Для е= е-2 имеем
Рс -Рт = 2Тисгс, К = е2гс » 7.39гс. (15)
к
Если обозначить Q объёмный расход пропиточного состава жидкости на скважине радиуса гс и высотой Н , то скорость определяется в виде:
Q
и = ■ (16)
2т„Н
И тогда
т Q ,1 Q
-Рт =——^— 1п-, ит =е^— . (17)
к 2т Н е т 2тН v 7
сс
Обозначим I высоту столба жидкости при его подаче в скважину, Т - время подачи жидкости, тогда I/Т = V - скорость подачи жидкости и с учетом (16) имеем
1г
Q = т2с1 /Т, V =-. (18)
с 2 Н
3. Если жидкость дилатантная, то квадратичный закон сопротивления при п = У2 согласно (7) даёт
С2
9 = Аф-г + С2. (19)
Из граничных условий (9) с учётом (4) получим
/-12 ту р
= р(Рс - Рт ^------, С2 =р(Рс - Р0 )-р(Рс - Рт )~------. (20)
А к К - гс К - гс
Подставляя (20) и (4) в (19) и (2), найдём
К
- Р = ( Рс - Рт )к-(1 - -), и = Ак1/4 Р—— -Т— -1. (21)
К - гс г \ р \К - гс г
Из (21) имеем значение скорости фильтрации на скважине ис (г = гс) и в дальней зоне ит (г = К)
'1/4 Рс РТ К 1 _ л 7,1/4 Рс РТ I гс 1
V = Ак \ ----------Т-\-.-г -, ит = Ак1/4 с -. (22)
с р \(К - гс) гс 1 V р V (К - гс) К
с
с
Из(22)следует:
Полагая
Я V
г V
с т
ит = еис, е << 1.
Находим, как и ранее, радиус дальней зоны К :
г
К=—.
е
Потери давления в этой зоне определяются в виде
(
Р
Рс - Рт
Здесь, как и ранее:
V =-
гс\ 1 -^
ч I Я
Л2 к1/2
2 _1 гс
—=е << 1. Я
V, V = і/ г .
(23)
(24)
(25)
(26) (27)
2ргсН 2 И
С учётом того, что і - высота столба жидкости при подаче в систему за время Т.
4. Если жидкость псевдопластичная (п > 1), то из формулы (6) с учётом граничных условий (8) получим закон изменения давления и скорость:
Рс - Р = (Рс - Рт )—п-1
п -1 п -1
пп
Я п — г п
IV ! с
V = ■
Лк
3/2п-1/2
т2п-1рг
Р(Рс - Рт )■
п-1 1
... п-1 п-1
Я п - гс п
(28)
Тогда значение скорости фильтрации на скважине ис и в дальней зоне ит имеет вид
Лк
3/2п-1/2
т2п~Рс
Р(Рс - Рт )
п-1 1
п
п -1 п -1
пп с
ит =-
Лк
3/2п-1/2
т2п-1ря
Из (29) имеем
Р(Рс - РТ )
Я V
г V
ст
Я п - г, п-1 1
п
п -1 п -1
Я п -гсп
(29)
Полагая, как и ранее:
ит = еис, е << 1. Определяем радиус дальней зоны:
г
Я = -
е
и потери давления в этой зоне:
Рс - Рт =
1-п 1 2-1
р п (ис )п ц п п -1 ( п-1
1 3 _ X
Лпк2 2п
п -1 п
1
Я п -г п
В частности:
3/ М4,3и2с,3гс 1 ( 1 ,
при п = Р - р, =р,,з Л,,3к 4,3 3 [ ез -1
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
п -1
п
п
п
п
при п = 2: p -р, = fli„aJ2t °4 ^(_—- 1J . (35)
Как и ранее:
1 r
U =-V, V = e/T . (36)
2 H
Заключение. Проведенное исследование, построенная математическая модель и найденные решения позволяют находить потери давления пропитываемой массы жидкости, регулировать её расход и скорость подачи. Кроме того, полученные результаты позволяют определять оптимальные расстояния между ремонтными отверстиями-скважинами, что в конечном итоге способствует повышению эффективности восстановления физико-механических характеристик пропитываемой основы, а также позволяет повысить долговечность конструкций после проведения ремонтных мероприятий.
Предлагаемая математическая модель может использоваться для исследования процессов фильтрации жидкостей, ремонтных растворов, пропиток через отверстия в тело различных изделий из бетонов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Положение о проведении планово-предупредительных ремонтов зданий и сооружений. М.: Госстрой РФ, 2000. С. 3-8.
2. Защитные покрытия полов. Метод глубокой пропитки и инъектирования // СтройПрофиль, 2008, № 7 (69). С. 60-62.
3. Краюхин В.И. Динамика сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости при пропитке изделий из специальных бетонов / В.И. Краюхин, Л.И. Могилевич, В.С. Попов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2013. Т. 2. № 1 (70). С. 37-42.
4. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде / Л.С. Лейбен-зон. М.-Л., 1947; Собрание трудов. Т. 1-4. М., 1951. 55 с.
5. Могилевич Л.И. О плоскорадиальной фильтрации сжимаемой жидкости при наличии двух зон с нелинейными и линейными законами сопротивления / Л.И. Могилевич // Аэродинамика: межвуз. науч. сб. Саратов: СГУ, 1974. Т. 1. С. 131-138.
Краюхин Валентин Иванович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Теплогазоснабжение, вентиляция, водообеспечение и прикладная гидрогазодинамика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Valentin I. Krauchin -
Ph. D., Associate Professor
Department of Heat, Gas Water Supply, Ventilation,
and Applied Hydrogasdynamics
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Могилевич Лев Ильич -
доктор технических наук, профессор кафедры «Теплогазоснабжение, вентиляция, водообеспечение и прикладная гидрогазодинамика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Lev I. Mogilevich -
Dr. Sc., Professor
Department of Heat, Gas Water Supply, Ventilation,
and Applied Hydrogasdynamics
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Попов Виктор Сергеевич -
доктор технических наук, заведующий кафедрой «Теплогазоснабжение, вентиляция, водообеспечение и прикладная гидрогазодинамика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Victor S. Popov -
Dr. Sc., Professor
Department of Heat, Gas Water Supply, Ventilation,
and Applied Hydrogasdynamics
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 21.12.13, принята к опубликованию 11.03.14
