CC BY
44
ISSN 1998-4812
Вестник Башкирского университета. 2013. Т. 18. №2
303
УДК 517.984.5
АСИМПТОТИКА СПЕКТРА ОДНОГО КВАДРАТИЧНОГО ПУЧКА СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
© Р. Ф. Гизатуллин
Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32 Тел./факс: +7 (347) 229 96 32.
E-mail: giz-renat@yandex.ru
В работе исследуется функция распределения собственных значений N(X) пучка вида L(Я)=A+ЯB—Я Е где A, B — дифференциальные операторы в частных производных в L (R ). Причем на коэффициенты B наложены условия, при которых оператор BA'1/2 является компактным и оператор B не влияет на поведение ЩЯ). Мы продолжаем исследования, начатые в работах [1—3]. Отметим, что в этих работах рассматриваются обыкновенные дифференциальные операторы в L2(-rn; +ю).
Ключевые слова: спектр, распределение собственных значений, операторный пучок.
Рассмотрим в пространстве Ь2(Я3)
самосопряженный дифференциальный оператор А=^+ц(х),
где А - оператор Лапласа, а т^) - положительная функция, удовлетворяющая следующим условиям: ТМ^+да при Ы^-да (1)
ІтМ^&Ке т514-^)^-;, (2)
при где г(;^х(;), 0<х<1/4, є>0
с dx
|-_-<то, >1/4 (3)
Із Т и)
Из условия (1) согласно критерию А. М. Молчанова [4] спектр оператора А дискретен и оператор А'1 является компактным.
Пусть В - симметрический оператор в Ь2(Я3), порожденный дифференциальным выражением:
f і \ды і \ du
Pl W^ + P2(x)
Bu =
\
dx1
dxn
+
du
+ P3 (x)T~ + (Pl (x)u )xl + dx3
+ (P2 (x)u)x2 +(P3 (x)u) x3
где функции Р((х), (=1,2,3 удовлетворяют
следующим условиям:
\Р((х)-Р((%)\< с \Р((х)\\х-£, при \х-£т(£)<1, где r(£)=qx(£), 0<Х<1/4,
Ipi(x)I<q14-e(x), є>0
(4)
(5)
Рассмотрим операторный пучок Ц Я)и=Аи+ЯВи -Л2Ей.
Определение. Число Л0 называется
собственным значением пучка Ц(Л), если Ц(Л0)и=0 для некоторого ифд.
Из [5] следует, что если функции РіМ и Т^), і=1,2,3 удовлетворяют перечисленным условиям, то оператор ВА1 - компактен. Тогда по теореме о голоморфной оператор-функции [6] заключаем, что спектр пучка Ц(Л) дискретен и состоит из двух серий вещественных собственных значений,
уходящих в +да и -да. Обозначим Л±1, Л±2, Л+„,...
11
0<Л„ <Я
собственные значения пучка Ь(Л) расположенные в порядке возрастания их абсолютных величин и положим
N (Л) = £1, N (Л)
Л<Лп <0
Нас интересует поведение этих функций при Л-^±х. Легко видеть, что если Ь(Л)у=0, то Ь(-Л)у=0. Это означает, что спектр пучка Ь(Л) симметричен, поэтому функции И-(Л) и И+(Л) в исследуемом случае совпадают.
Найдем асимптотику при Л=чц-^<х>
фундаментального решения уравнения
Л2u+q(x)u=Л2u, равномерную по X € К3 .
Используя метод замороженных коэффициентов, показываем, что при для фундаментального
решения 0(х, £ Л) оператора А справедлива асимптотическая формула, равномерная по х:
0(х,£ Л) ~ О0(х-££, Л), (6)
где
Со(х-£ £ 1М) = —
д(;)+и2
4
4п т(;)+м2 к-;
- фундаментальное решение оператора с «замороженными коэффициентами» А2и+т(£)и.
Если ВА~и2 є ох , то согласно результатам М. В. Келдыша оператор В не влияет на асимптотику спектра пучка Ц(Л). Мы показываем, что ВА~1/2 і=1,2,3, Є>0.
Воспользуемся тем, что [7]
компактен, если Ipi(x)I<q1/4 e(x),
! -
t
Г\ I
dN(t)
Г G( x, x, i^)dx R3 0 t + И
Из формулы (6), получаем, что Г G(x, x, iu)dx-----! dX =
! * 4-Гш
(7)
= F(и) (8)
2
304 МАТЕМАТИКА
По формуле обращения Стилтьеса F(y) представима в виде:
da(t)
f (и)=!
0
t + и
2
(9)
где
а(Я) = !(я2 — q(x))3/4dx
q(x )<Я2
Воспользуемся теперь тауберовой теоремой М. В. Келдыша [8]. Пусть функция а(1) удовлетворяет следующим тауберовым условиям: аа(г)< га'(г) <Ро(г) (10)
Тогда функция И(Л) удовлетворяет следующей асимптотической оценке:
N (Я)
3
2п2
! (Я — q(x)) dx
(11)
q(x )<Я2
Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема. Пусть выполнены условия (1)-(5), (10). Тогда для функции распределения собственных значений пучка Ц(Л) справедлива формула (11).
Замечание. Легко показать, что все условия теоремы выполняются, например, в случае, когда pi(x) и q(x), i=1,2,3 - степенные функции.
ЛИТЕРАТУРА
1. Султанаев Я. Т. Об асимптотике спектра некоторых пучков дифференциальных операторов // Asymptotische methoden in der analysis. Halle, 1988. С. 85-9б.
2. Гайдамак О. Г., Силова Е. В., Султанаев Я. Т., Урманчеев
С. Ф. К оценке распределения собственных значений пучка дифференциальных операторов изгибных колебаний волновода. // Вестник Башкирского
университета. 2005. №2. С. 3-7.
3. Султанаев Я. Т., Силова Е. В. Асимптотика спектра одного квадратичного пучка дифференциальных операторов. // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. №8. С. 10б2-10б7.
4. Молчанов А. М. Об условиях дискретности спектра самосопряженных дифференциальных уравнений второго порядка. // Гр. Моск. Матем. о-ва. 1953. №2. С. 1б9-200.
5. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в Rn. // Труды МИ АН СССР. 1983. CLXI. С. 195-217.
6. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. // М.: Наука, 19б5. 448 с.
7. Костюченко А. Г., Саргсян И. С. Распределение собственных значений. М.: Наука, 1979. 400 с.
8. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. // М.: Наука, 1970. 484 с.
Поступила в редакцию 20.01.2013 г.
