CC BY
13
УДК 517.9
АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СКАЛЯРНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ИНВОЛЮЦИЕЙ
ASYMPTOTIC OF EIGENVALUES OF SCALAR DIFFERENTIAL OPERATOR
WITH AN INVOLUTION
Н.Б. Ускова N.B. Uskova
Воронежский государственный технический университет, Россия, 394026, г. Воронеж,
Московский пр-т, 14
Voronezh State Technical University, Russia, 394026, Voronezh, Moscow Ave, 14
E-mail: [email protected]
Аннотация
Рассматривается дифференциальный оператор первого порядка, возмущённый обычным потенциалом и потенциалом с инволюцией. Производятся преобразования подобия, позволяющие свести изучение рассматриваемого оператора к оператору, имеющему матрицу блочно-диагонального вида. Получены оценки собственных значений.
Abstract
First-order differential operator which perturbated by simple potential and by potential with an involution is studied. Similarity transformations which allows to study operator with block diagonal matrix instead of initial operator are done. Estimates of eigenvalues are received.
Ключевые слова: метод подобных операторов, спектр, дифференциальный оператор с инволюцией. Keywords: the similar operator method, spectrum, the differential operator with an involution.
Введение
Пусть L2 = L2 [0, ш] - гильбертово пространство измеримых по Лебегу на [0, ш] со
значениями в С суммируемых с квадратом модуля (классов) функций. Скалярное
произведение в Ь2(Ж) задается формулой
1 Гш _
(х, у) = — I x(s)y(s) ds, х, у Е Ь2, ш J0
и норма порождается этим скалярным произведением.
Введенное пространство Ь2 изометрически изоморфно пространству Ь2ш = Ь2,ш (М, С) периодических периода ш определенных на всей оси М и суммируемых с квадратом модуля на [0, ш] комплексных функций. Каждая функция из Ь2 будет отождествляться с ее периодическим периода ш продолжением. Через W2 = [0, ш] обозначим пространство Соболева абсолютно непрерывных функций из Ь2 с производными из Ь2. Далее символом End Ж обозначена банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих в абстрактном гильбертовом пространстве Ж, с нормой ||Х||Ю = sup ||Хх||,х ЕЖ,X Е End Ж. Введем в рассмотрение двусторонний идеал операторов
||х||<1
Гильберта-Шмидта £>2(Ж) с End Ж, ЦХЦ2 - норма оператора Гильберта-Шмидта X Е 62(Ж). т.е. HXh = (tr(XX*))1/2.
В пространстве Ь2 рассматривается линейный дифференциальный оператор Ь первого порядка с инволюцией, задаваемый дифференциальным выражением
(\lyXs) = у'^ - ц(з)у(ш -з) - Цофуф,
5 Е [0, ш] с областью определения
0(Ь)={уЕШ1 у(0)= у(ш)}.
Всюду далее предполагается, что потенциалы ц, ц0 принадлежат пространству Ь2. Дифференциальный оператор Ь рассматривается в [1] в случае ц0 = 0 и гладкой функции q, где с помощью резольвентного метода получены оценки его собственных значений и собственных векторов. Эти оценки в [1] используются для обоснования метода Фурье. В данной работе для изучения оператора Ь используется метод подобных операторов [2], особенно модификация метода подобных операторов из [3]. Отметим, что метод подобных операторов используется в спектральном анализе различных классов дифференциальных [3] и разностных [4-5] операторов.
Оператор Ь преобразовывается следующим образом. Сначала делается преобразование подобия (не относящееся к методу подобных операторов), с помощью которого оператор Ь приводится к оператору с 0(Ьх) = О(Ь), определяемому дифференциальным выражением
(кУ)(я) = у'(я) - ц0(0)у(5) - ц1(з)у(ш - 5),
где ц0(0) = ^"цофйз.
После этого к полученному оператору применяется стандартная модификация метода подобных операторов из [3]. Это позволяет свести изучение оператора Ь к изучению оператора, имеющего числовую матрицу блочно-диагонального вида в стандартном базисе
,2кк Л
е1~Б, к Е Щ, 5 Е [0, ш] пространства Ь2.
Перейдем к более подробному изложению результатов.
Непосредственной проверкой легко убедиться, что имеет место
Теорема 1. Оператор Ь: О(Ь) с Ь2 ^ Ь2 подобен оператору 0(Ь1) с Ь2 ^ Ь2, где
= цф ехр 5(Цо(т) - СО ОД) йт. (1)
Имеет место равенство Ш = и ограниченный обратимый оператор и действует по формуле
(иУ)(з) = ехр(|(до(т) - с[0(0))йт)у(5). (2)
0
Таким образом, оператор Ь подобен оператору ¿ь представимому в виде = Ь0 -
А, где Ь0 = ^ - С0(0) и (АуХя) = ц1(з)у(ш-5). Оператор Ьг с невозмущенным
оператором Ь0 и оператором-возмущением А полностью вписывается в схему метода подобных операторов из [3].
Спектральные свойства невозмущенного оператора Ь0 известны. Его спектр состоит
из простых собственных значений (5п(Ь0) = икЕ1&к, = {^к}, ^к =--Чо(0) ,
соответствующими собственными векторами являются векторы стандартного базиса ек =
,2пк
е ы , к Е Ж+ и они образуют в Ь2 ортонормированный базис. Спектральные проекторы Рк, к Е Щ задаются формулой Ркх = (х, ек)ек. Пусть Р(т) = £щ<тР1 и пусть функция цъ
,2пк
определенная формулой (1), имеет ряд Фурье Ц1(з) = £кЕиЯл(к) е1~Б. Из теоремы 1 и теорем 3.3 и 3.4 из [3] вытекает
Теорема 2. Существует такое целое число т> 0, что оператор Ь подобен оператору I блочно-диагонального вида
L = ^ PiXPi — P(m)XP(m) =
|i|>m
где оператор X из S2(L2) есть решение нелинейного уравнения метода подобных операторов. Имеет место равенство LU(I + W) = U(I + W)(L0 — В), обратимый оператор U определен формулой (2) и оператор W принадлежит S2(L2).
Операторы W, X из теоремы 3 могут быть эффективно вычислены как предел последовательности операторов, возникающих при применении метода простых итераций (см. [2-5]).
Теорема 3. Спектр Q(L) оператора L представим в виде
G(L) = Q(т) U ( У Gn),
|n|>m
где множество Q(т) содержит не более 2т + 1 собственных значений, множества <Зп, |п| > т одноточечны, <5п = {Xn}, Хп = i2^ — q0(0) — у.п. Соответствующие собственные
векторы образуют в Ь2 базис Рисса. При этом:
1) последовательность (^п),^ > т, суммируема с квадратом, т.е. ^п^т^п^ < от-
5
1\ - т \ I ш ^ (Qi(n+k))2 , . . ,
2) И-п = Ч1(2п) +--;-г--+ dn, |п| > т, где последовательность ап
2т тх—к
суммируема.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 16-01-00197.
Список литературы References
1. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. 2014. Смешанная задача для простейшего дифференциального уравнения первого порядка с инволюцией. Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика, 14 (1): 10-20.
Burlutskaya M.Sh., Khromov A.P. 2014. Mixed problem for simplest hyperbolic first order equations with involution. Izv. Sarat. Univ. Ser. Mathematics. Mechanics. Informatics, 11(1): 3-12. (in Russian)
2. Баскаков А.Г. 1983. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов. Сиб. мат. журн., 24(1): 21-39.
Baskakov A.G. 1983. Methods of abstract harmonic analysis in the perturbation of linear operators. Siberian Math. J., 24(1): 21-39.
3. Baskakov A.G., Krishtal I.A., Romanova E.Yu. 2017. Spectral analysis of a differential operator with an involution. J. Evolut. Equat., №17: 669-684.
4. Гаркавенко Г.В., Ускова Н.Б., Зголич А.Р. 2016. Метод подобных операторов и спектральные свойства разностного оператора с чётным потенциалом. Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика, 43 (20): 42-49.
Garkavenko G.V., Uskova N.B., Zgolich A.R. 2016. The similar operator method and spectral properties of the difference operator with order potential. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics. Physics, 43(20): 42-49. (in Russian)
5. Гаркавенко Г.В., Ускова Н.Б. 2016. Спектральный анализ одного класса разностных операторов с растущим потенциалом. Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика, 16(4): 395-402.
Garkavenko G.V., Uskova N.B. 2016. Spectral analysis of a class of difference operators with growing potential. Izvestya Saratovskogo Universiteta. Ser. Mathematics. Physics. Informatics, 16(4): 395402. (in Russian).
