CC BY
14
2 CfW 2
"(<-•)=П J \с;,(х,)Р,{ХЖ +
-ЧгЧс) '-VW
2 С, (с) hi
+ £ I Fi(xi)Pi(xi)<bi \р,\х,Рхг
i.j=U*iyj>(c) i,(c)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Radner R. Teams // Decision and Organisation. C.B. McGure and R. Radner Eds. Amsterdam, 1971.
УДК 517.5
В. П. Курдюмов
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ШТУРМ А-ЛИУБИЛЛЯ С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ'
Рассматривается задача нахождения асимптотических формул для собственных функций (с.ф.) и собственных значений (с.зн.) оператора Штурма-Лиувилля
Ь:у"+д(х)у, у(0) = у(1) = 0, хе[ОД],
где ч(х) б ¿[0,1].
В литературе [1, 2] известны асимптотические формулы для с.зн. оператора £ с тем большей степенью точности, чем больше предполагаемая гладкость функции е/(х).
В настоящей статье использованием классических методов спектральной теории выводятся явные асимптотические формулы для нормированных с.ф. и с.зн. оператора без дополнительных предположений о гладкости <?(*)•
Результат, аналогичный полученному в настоящей статье, использованием явного представления решения системы однородных дифференциальных уравнений и операторного подхода В.А. Садовничего получен В.А. Винокуровым и В.А. Садовничим в [3].
Отметим, что метод настоящей статьи может быть применен для нахождения асимптотических формул для с.ф. и с.зн. и для интегро-дифференциапьных операторов, например, вида
У+ф^р^у'т, у(0) = у(1) = 0, х е[0,1], где Ч(х), р(х) е Ь2[0,Ц. о
' Рибота выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 03-01-00169) и гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1).
53
Введём невозмущенный оператор ¿0 :у", >'(0) = у(1) = 0, х е [0,1],
с.ф. и с.зн. которого имеют вид е„(д:) = л/25т/г7и, Хп =-(пп)2, п-1,2.....
Пусть 5 = {р: 1тр>-1}, у„ - круговые контуры единичного радиуса с центрами в точках рп =пк, л = ±1,±2,... и - область, полученная из области 5 удалением кружков, ограниченных контурами у„. Пусть = (/, - ХЕ)~ 1 - резольвента оператора /. и 7?0 ? - резольвента оператора Ь0.
ЛЕММА 1. Для ядра С0(лс,гД) резольвенты /<() Х в области 5! справедлива оценка
1Р|
ЛЕММА 2. В области 5] при |р|>С, || с/1| Кх существует и справедлива формула
= я/ + (I)
¿=1
где «7 - оператор умножения на <?(*), || <71| - норма в /.[0,1) и ряд в (1) сходится равномерно по х е [0,1].
Обозначим через С(д:,гД) ядро \ и через (¡к (х,1,X) - ядро оператора (-1)* (Лолд)* Лод, к = 1,2...
Из леммы 2 следует, что в области при | р |> Сг || д ||
с(*,а)=х;с4( *,а)> (2)
*=0
и ряд (2) сходится равномерно по л:, Г е[0,1].
Обозначим через Г„ образы кон туров у„ при отображении А, = -р2 и через 5[ - область, полученную из X -плоскости удалением окрестностей, ограниченных Г„.
ЛЕММА 3. В области 51 справедливы формулы
С„(*,а,-£М, ела)— £ ^^Г»'
С2(х,1,Х) = - X
£ ем, (*)ем2 Мч.ИэИЕг.Ез]
г=1
Оэ(д:,/,Л) = - --^->
............ да-ч,)
г—1
Ок(х,а) = - I --^-, к = 4,5, ...
.................П
г =1
1
Здесь ] = |еМ( (¿)ец (1)д(/)(/г и все ряды сходятся равномерно по
о '
х,1 е[0,1], А.е5,.
ЛЕММА 4. Пусть ф„ (х) - с.ф. оператора I., соответствующая с. зн. vn, ул(д:) - с.ф. оператора, сопряжённого к соответствующая с.зн. у„,
(Фл.чО 5
1 1
8к (*. и) = тт 1 К (*. (ОЛ. 2» о г.
Тогда при п > п'^лС,2+ С\ +1) и произвольном т = 1,2,... справедливо неравенство
*=1
к=т+\
8
ТЕОРЕМА. Пусть <х(п) = 4 + 1п(л -1) и а = —, тогда при п , удовле-
7Г
тноряющих неравенствам п > 2аа(л) || ц || +1, 1п(л -1) > + лС2 и произвольном т = 1,2,... справедливы оценки
<пт-х 2л/2а"+1ат+1(л)1к1Г+1.
4>п(х)~еп(х) + Т,8к(х,") к=1
\8т{х,п)\<п-т^2атат(п)\\ЧГ,
т
[п,п]~ Х(<7(*)£*(*,л),<?„(*))
у;1+(лп)--
т + 1
1- Ц(8к (*>")>е„(*)) к =2
< л~ 4а а (л)(1+1| ц |
чт 1-1
т СХ,П),
/I
т + 1
I- Е(£*(*>л)>вп(*))
4=2
<л~т 4атат(л)||д
1/Л + 1
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ С11ИСОК
1. Левитин Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука,
1970.
2. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев, 1977.
3. Винокуров В.А., Садовничий В.А. II ДАН. 1998. Т. 358, № 3. С. 298 - 301.
УДК 517.5
А. Л. Лукашов
ОБ ИНФОРМАЦИОННОЙ ЭНТРОПИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ НА НЕСКОЛЬКИХ ОТРЕЗКАХ'
Известно [1], что информационная энтропия Больцмана-Шеннона квантово.механических систем может быть в ряде случаев выражена в терминах информационной энтропии классических ортогональных многочленов. Дадим
Определение. Информационной энтропией многочленов </„(*), ортонормальных по отношению к весу р(*), называется величина
\Чп (*) 1п Чп С*)р(*)<&-
В настоящее время появилось много работ, в которых изучаются асимптотики этих величин на конечном или бесконечном интервале [2,3], но лишь в нескольких случаях (для многочленов Чебышева первого и второго рода [1]) найдены точные значения этих величин. Приведем один такой результат.
ТЕОРЕМА 1. [1]. Если qn(x) — ортогональные многочлены Чебышева первого рода (относительно веса р(лс) = . ^ -), то при п > 1
л! 1-х2
я(1п2-1). (1)
Заметим, что вес —. = совпадает с плотностью равновесной ме-пл11-х2
ры отрезка [-1; 1] [4]. Кроме того, нам не встретилось ни одной работы,
посвященной вычислению информационных энтропий для многочленов, ортонормированных на несвязных множествах.
Цель данной статьи - сообщить о довольно любопытном обобщении теоремы 1 на случай нескольких отрезков. Ортогональным многочленам на нескольких отрезках посвящено большое количество работ (см., напр., об-
" Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1).
