CC BY
69
Асимптотика неплоской трещины
A.M. Авдеенко, А.В. Кудря, В.Г. Сухова
Московский государственный институт стали и сплавов (Технологический университет), Москва, 119049, Россия
Установлено наличие устойчивой асимптотики в поведении неплоской трещины в двумерном пространстве — рельеф поверхности разрушения реализуется в виде сглаженной пилообразной траектории. Статистика данных мезогеометрии изломов, полученная методом лазерной профилометрии выявила соответствие предложенной модели для вязкого разрушения высокопрочной стали. Однако для хрупкого разрушения параметры геометрии пилообразного характера рельефа не претерпевают изменений в том же масштабе длин реализации.
Non-planar crack asymptotics
A.M. Avdeenko, A.V. Kudrya, and V.G. Sukhova
Moscow State Institute of Steel and Alloys (Technological University), Moscow, 119049, Russia
We have found the presence of stable asymptotics in the behavior of a non-planar crack in a 2D space, viz. the fracture surface relief is in the form of a smooth serrated trajectory. The statistics of data on fracture mesogeometry obtained by laser profflometry has revealed the validity of the proposed model for viscous fracture of high-strength steel. For brittle fracture, however, parameters of the serrated geometry of the relief do not change in the same range of realization lengths.
1. Введение
Особенность разрушения как быстротекущего процесса — в ограниченности средств наблюдения. Фактически наблюдаем только конечный результат — поверхность излома. Автоматический лазерный бесконтактный профилограф [1] сделал возможным массовые измерения мезорельефа изломов, ограниченные раньше из-за объема и трудоемкости «ручных» измерений. В частности, большой массив измерений мезорельефа вязкого излома разрывного образца позволил прямо наблюдать вырождение фрактальной размерности [2] — от центра шейки к ее периферии, отражая тем самым переход от зоны зарождения к зоне стационарного слияния.
Накопленный массив измерений рельефа в середине излома большого образца позволил описать механизм образования вязкого пилообразного излома как переменного отрыва в полосах скольжения от кромки трещины [3]. При этом, имея большую пластическую зону, трещина сохраняет узкий фронт, где ее раскрытие лишь порядка размеров ямки. Этим снимается известное противоречие между большим радиусом кривизны трещины, выте-
кающим из макроскопических расчетов, и отсутствием наблюдений подобного плавного скругления трещины у вершины.
Случайная (ломаная) лестница также достаточно хорошо аппроксимирует траекторию хрупкой (и смешанной) трещин [4]. Однако удовлетворительного объяснения этому нет, что затрудняет оценку риска (и прогноз) разрушения. Не исключено, что описание напряженного состояния в вершине трещины (в т.ч. с использованием терминов механики разрушения) может с единых позиций объяснить обнаруженный ступенчатый рельеф как цепь равновероятных шагов «вверх» и «вниз» относительно макроплоскости излома.
Поиску ответа на данный вопрос посвящена настоящая работа.
2. Модель эволюции зигзагообразной трещины
В двумерном пространстве рассмотрим плоскую трещину, ориентированную под углом а к оси 0^ (рис. 1, сплошная линия). Пусть внешние напряжения ст22 = ст, = ст21 = 0, = 0. Главные сингулярнос-
© Авдеенко A.M., Кудря A.B., Сухова В.Г, 2006
ти полей напряжений в системе координат а(г, ф), связанной с трещиной, имеют вид [5]:
Gr (r, ф) = K
\lr
cos -2(3 - cos ф)
K2 ^ ^ . ф + —^4(3 cos ф-1) sin—, л/г 2
GФ(r> Ф) = ^T
yjr
Gгф(г> Ф) = K Vr
ф/1 ч
cos^(1 + cos ф)
3K 2
ф
ф
sin ф cos -
K
.— -sin ф cos —, (1) л/г 2
ф
—^4(3 cos ф- 1)cos —. Vr 2
Для нашего случая
/ di 2 di
K1 = gJ cos a1, K2 = gJ sin a1 cos a 1,
где d1 — длина исходной трещины.
Пусть критерий локального разрушения — достижение максимального растягивающего напряжения в окрестности вершины трещины, т.е. gгф (r, ф) = 0. Тогда из (1) следует условие распространения трещины в направлении 1-2:
ctg а1 sin ß1 - 3 cos ß1 +1 = 0.
(2)
В точке 2 максимальное растягивающее напряжение ориентировано под углом в 2 к направлению 1-2, трещина совершает поворот и т.д. Из геометрических соображений а2 = 2п - а1 + в1 (рис. 1) и, вообще, для любой точки поворота п (типа 1, 2): ап+1 = 2п -- (а п +вп), где а п и вп связаны соотношением типа (2) с заменой а1 ^ап, в1 ^вп • Последнее соотношение можно переписать в виде:
Рис. 1. Эволюция наклонной трещины во внешнем поле напряжений: 0-1 — исходная трещина (направление роста); 1, 2, 3 — последовательные точки поворота трещины при ее движении; ¿1, ¿2 — длина ступеней; аь а2 — проекции суммарных длин ступеней на ось 0Х (магистральное направление развития трещины); а 1 — угол наклона ступени I к оси 0Х; в/ — угол действия локальных растягивающих напряжений
Мп ап+1 = sin(ап +вп ). (3)
Здесь и далее без ограничения общности положим, что магистральная трещина распространяется в направлении [0; - и для всех п справедливо: п/2 < ап < п, п/2 < вп < п — трещина не распространяется «назад» из-за самоэкранирования.
Разрешая (2) относительно в и после подстановки в (3), получаем:
мп а п+1 = а nf(а п X (4)
2^1 + 8tg2 а п -1 - 3tg2 а п
где / (а п)-
1 + 9tgz а п
Для логистического отображения (4) имеем устойчивую точку: sin а* = 0, а = п. Действительно, обозначим 0п = |ап - п|, тогда для п >> 1 разложение (4) в ряд в окрестности при 0п = 0 дает d0(n)/dn = - 402(п).
Отсюда вытекает принципиальное положение о возможности сглаживания траектории трещины — структурные (по-видимому) флуктуации неизбежно выводят ее в автоколебательный режим (4) с рассмотренной выше асимптотикой.
Рассмотрим далее эволюцию длины dn звеньев (ступеней) магистральной трещины. Пусть K(а п, dn ) — коэффициент интенсивности напряжений для я-звенной ломаной (зигзагообразной) трещины. В общем случае константы интенсивности напряжений могут быть различны для левой и правой вершин трещины. Оценка величины K(а п, dn) как функции параметров зигзагообразной трещины представляет собой достаточно сложную задачу: ее решение основано на использовании конформного отображения (типа Римана-Кристоф-феля) с последующим выделением главных сингуляр-ностей в представлении Колосова-Мусхелишвили двумерной задачи теории упругости [5].
Однако в рассматриваемой системе достаточно ограничиться случаем, когда длина ступени dn много меньше суммарной длины трещины ап, т.е. dn¡an — малый параметр разложения для коэффициента интенсивности напряжений зигзагообразной трещины. Поскольку нет никаких оснований полагать величину K(ап, dn) нерегулярной по dn¡an, представим отно-K (а n,dn)
шение
в виде ряда:
K (а п > dn)
ga/ а
= 1ьк
k=1
(5)
где Ък = Ък (а к) — константа разложения, зависящая лишь от угла а п.
Для первого коэффициента разложения Ъ1 (а п) всегда справедливо условие Ъ1 (а) > 0, звено ломаной под углом ап > п/2 не уменьшает концентрации напряжений перед фронтом неплоской трещины.
+
Поворот n + 1 траектории трещины будет реализован, когда интенсивность напряжений (с учетом ориентации ступени трещины) в направлении в n+i превысит соответствующее значение интенсивности в направлении вn (звено n), т.е. при выполнении условия:
K(an+i,an+i,¿n+i)cos2 an+i sin3(en+i/2)x x (i - 3tga n+itg(e ni 2)) = = K(an, an, dn )cos2 an sin3 (вn¡2) x x (i - 3tga n tg (в ni 2)), (6)
где an, вn и an+i5 вn+i связаны отношениями (2), (3), an+i и an — соотношением (4), an+i = an + + dn cos(п - an). Соотношение (6) было получено подстановкой выражения (2) для углов a n и вn в выражение (1) для компоненты аф (r, ф) тензора напряжений и приравниванием соответствующих величин на n и n + 1 шаге зигзагообразной трещины.
Решение (6) в порядке малостиdn¡an позволяет описать эволюцию длины звеньев ломаной, описывающей рассматриваемую трещину.
Дальнейшее упрощение описания основано на замене в (6) углов a n, an+i, вn, вn+i их асимптотически устойчивыми значениями a* = п, в* = 0. Теперь после несложных преобразований в первом порядке малости dn/an из (6) имеем
dn+1 dn
1
n+1
an
2b1 (n)
+ O
\2
(7)
соответственно для амплитуды рельефа трещины
К = йп sin ап.
В соответствии с полученным решением длина звеньев ломаной и амплитуда их отклонений от азимута (ось 0Х) в процессе распространения трещины должны убывать с увеличением суммарной длины проекции на ось 0 Х1, при этом углы рельефа стремятся к устойчивым асимптотическим значениям, определяемым критерием разрушения (2). По-видимому, это следствие «геометрической нелинейности» — специфического характера поля кромки трещины. Из этого, в частности, вытекает, что траектория трещины может иметь характер «затухающей» ломаной в любой среде со структурой.
3. Экспериментальная проверка модели и обсуждение результатов
Для проверки модели на дне макрохрупкого квадрата ударных образцов с и-образным надрезом (ГОСТ 9454) из стали 40Х2Н2МА, закаленных с температур 850, 1100, 1200 °С и отпущенных при 570 °С [4], измеряли [1] профили излома в направлении распространения магистральной трещины (азимут). Ударные испытания проводились при комнатной температуре (+20 °С) и при температуре кипения жидкого азота (-196 °С). Увеличение температуры нагрева под закалку обеспечило рост
зерна аустенита с 13.4±0.3 до 54.5±1.6 мкм и сопутствующее снижение ударной вязкости — на 10^15 %.
Профили отстояли от надреза ~ на 1 мм, расстояние между соседними профилями было 10 мкм, длина каждого составляла 3000 мкм, шаг сканирования 10 мкм с разрешением 5 мкм по каждой координате.
Для всех образцов полученные профили изломов представляли собой последовательное чередование выступов и впадин и относились к мезомасштабам, поскольку были на порядок больше микроэлементов излома (ямки, фасетки) и на один-два порядка меньше габаритов образца. Соединив экстремумы получившейся ломаной, по смежным минимуму и максимуму вычислили высоту подъема (или спуска) ступени за один шаг
hn =
n+1
■ zn\, ширину ступени (в проекции на макро-
плоскость излома) Ьп = хп+1 - хп, угол у ступени а п =
= п-аг^(йп/йп) (Рис. 2).
С целью оценки эволюции развития траектории трещины при температурах вязкого и хрупкого разрушения значения параметров мезогеометрии высоты Н и угла а, полученные по 400 профилям, усредняли при последовательном перемещении интервала усреднения (100 мкм) вдоль азимута.
Для изломов образцов с минимальным размером зерна аустенита 13.4 ± 0.3 мкм средняя текущая высота профиля изменялась от 17 ± 0.4 до 12.3 ± 0.4 мкм, угол — от 148.6° ± 0.40° до 154.2° ± 0.31° (рис. 3). При увеличении зерна аустенита до 28.6 ± 1.0 и 54.5 ± 1.6 мкм характер эволюции параметров Н и а существенно не изменялся: амплитуда траектории уменьшалась с 24.5 ± ± 1.1 до 17.4 ± 0.4 мкм, угол а увеличивался от 145.1° ± ±0.50° до 147.78° ± 0.34° и Н — от 25.6 ±1.1 до 19.5 ± ± 0.5 мкм, а — от 143.4° ± 0.52° до 146.5° ± 0.37° соответственно. Таким образом, из прямых измерений рельефа вязкого излома следует, что траектория вязкой трещины представляет собой зигзагообразную ломаную, убывание линейных параметров которой — признак затухания процесса по мере его протекания. Наблюдаемый затухающий характер эволюции вязкой трещи-
Направление распространения трещины
Рис. 2. Параметры мезогеометрии излома
Рис. 3. Изменение средних значений высот и углов профилей изломов ударных образцов (зерно аустенита dg = 13.4±0.3 мкм), испытанных при +20 (а) и -196 °С (б). Усреднение по 400 профилям
ны не противоречит предлагаемой в работе модели ее развития.
Для хрупкого излома (Т = -196 °С) значимого изменения текущих значений угла и высоты рельефа в процессе эволюции магистральной трещины (в пределах точности эксперимента) не наблюдалось. При этом диапазон изменения высот (для всех размеров зерна) был в пределах от 12.1 ± 0.37 до 23.1 ± 0.88 мкм, а углов — от 149.5° ± 0.47° до 153.7° ± 0.36°.
Такой результат, по-видимому, объясняется тем, что хрупкое разрушение — это автокаталитический процесс, когда для распространения трещины не требуется подвода энергии извне [6]. Из этого следует, что условия механики разрушения справедливы только для момента, соответствующего старту хрупкой трещины. В таком случае последующая эволюция трещины в большом образце является следствием эффектов, связанных с автоколебаниями рельефа трещины, имеющих универсальный характер (определяется симметрией задачи и граничными условиями), и эффектов, связанных со структурными аспектами разрушения.
Существенная роль структуры в формировании хрупкого рельефа излома не вызывает сомнений, например, размер зернограничной фасетки в изломе высокопрочной стали соответствует размеру зерна аустенита на шлифе [7], излом «звездочкой», или продольный рас-
слой, — результат вытяжки охрупченных границ в шейке образца при растяжении [8]. Однако разделение указанных выше эффектов — тема отдельной публикации. В рамках же проблем, решаемых в настоящей статье, существенно то, что траектория трещины в мезомасшта-бе имеет характер случайной ломаной. Рельеф излома формируют два фактора: микроструктура материала и самоорганизация соединения «структурных» элементов излома в односвязную поверхность. Мезоскопический рельеф излома (в масштабах, много больших фасетки хрупкого излома, но много меньше размера образца) отражает и то, и другое. Очевидно, что для окончательного ответа о механизме протекания хрупкого и смешанного разрушения необходимо дальнейшее накопление статистики измерений геометрии изломов на разных масштабных уровнях измерений (в сопоставлении со статистикой геометрии разномасштабной структурной неоднородности).
4. Выводы
В рамках простейшей модели эволюции двумерной трещины установлена возможность возникновения затухающего зигзагообразного рельефа вязкого излома, наблюдаемого на длине реализации от 100 мкм и выше. Прямыми измерениями рельефа в мезомасштабе пока-
зано, что траектория хрупкой трещины в большом образце при той же геометрии профиля (ломаная лестница) не склонна к затуханию на длине реализации того же масштаба.
Литература
1. Кузько Е.И., Кудря A.B., Стариков С.В. Бесконтактный автоматический лазерный профилограф для изучения макрогеометрии образцов // Заводская лаборатория. - 1992. - Т. 58. - № 9. - C. 6365.
2. Штремель M.A., Авдеенко A.M., Кузько Е.И. О развитии вязкого разрушения как самоорганизации с вырождением размерности // ФТТ. - 1995. - № 12. - C. 3751-3755.
3. Штремель М.А., Кудря A.B., Бочарова М.А., Пантелеев Г.В. К происхождению пилообразного мезорельефа вязких изломов // ФММ. - 2000. - T. 90. - № 3. - C. 102-112.
4. Кудря A.B., Бочарова М.А., Сухова В.Г. Ранжировка изломов на основе структурно-лингвистического анализа их мезостроения // Вопросы материаловедения. - 2002. - № 1. - C. 428-435.
5. Разрушение. Математические основы теории разрушения. Т. 2. / Под ред. Г. Либовица. - М.: Мир, 1975. - 763 с.
6. Штремель М.А. Проблемы металлургического качества стали (неметаллические включения) // МиТОМ. - 1980. - 8. - С. 2-6.
7. Штремель М.А. Зернограничное разрушение стали // МиТОМ. -1988. - № 10. - С. 2-14.
8. Никулин С.А., Штремель М.А., Ханжин В.Г. О вязком разрушении
высокомарганцевой стали при растяжении // Изв. АН СССР. Металлы. - 1990. - № 1. - С. 145-151.
