CC BY
8
УДК 681.518.2
Е. М. Потапенко, А. Е. Казурова, Е. В. Душинова, В. И. Левыкина
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ НА МНОГОФАЗНЫХ СИГНАЛАХ
Разработан аппарат для проведения математических операций на многофазных зашумленных сигналах с неизвестной частотой и с постоянными неизвестными смещениями ноля. В частности, аппарат позволяет получить производные и интегралы главных гармоник фазовых сигналов. В качестве примера получены два алгоритма определения потокосцепления асинхронного двигателя по его ЭДС.
ВВЕДЕНИЕ
В науке и технике широко используются однофазные, двухфазные, трехфазные и т. д. сигналы. Однофазные сигналы встречаются практически везде. Двухфазные сигналы появляются, в частности, при рассмотрении плоского вращения вектора относительно какой-либо двумерной системы координат (базиса) с помощью его проекций на оси этого базиса. Трехфазные сигналы имеют место, например, при рассмотрении плоского вращения вектора в проекциях на три оси, лежащие в плоскости вращения. Типичной областью применения двухфазных и трехфазных сигналов является электротехника переменного тока и, в частности, электродвигатели переменного тока. Трехфазную систему можно свести к эквивалентной двухфазной системе следующим образом [1].
Пусть ха, хь, хс - переменные (токи, напряжения, потокосцепления) каждой из фаз статора. Эти переменные можно представить в виде трех векторов с общим результирующим вектором. Результирующий вектор можно разложить на две составляющие ха, Хр вдоль осей ортогональной системы координат (а, Р), жестко связанной со статором двигателя. В трехфазной электротехнической системе оси фаз расположены под углом 120° друг к другу. Если переменные подчиняются зависимости
ха + ХЬ + хс = 0
то имеют место следующие соотношения [1]:
2Ха'
хв
1 л
( ха
2 хь);
= _ /2 (1 +ай
хс V3I2ха+ 2 хв
В каждой фазе могут присутствовать постоянное смещение ноля и высокочастотные шумы. Для качественного управления электротехнической системой требуется выделение главных гармоник фаз и проведение с ними различных математических операций: дифференцирование, интегрирование и т. п. После дифференцирования реального (исходного) сигнала уровень высокочастотных шумов возрастает, что может сделать невозможным дальнейшее использование полученного сигнала. О важности учета этого эффекта говорит существование специального раздела в теории фильтрации «Дифференцирование сигналов» [2]. После интегрирования сигнала уровень шумов снижается, но появляются постоянная ошибка, равная неизвестной постоянной интегрирования, и линейно возрастающая со временем ошибка за счет интегрирования неизвестного смещения ноля. В отличие от однофазного сигнала, многофазные сигналы обладают дополнительной информацией за счет детерминированной взаимосвязи между фазами (одни и те же частота и амплитуда, постоянный сдвиг фазы между сигналами). В работе [3] этот факт был успешно использован для фильтрации двухфазного сигнала.
Целью данной статьи является использование свойств многофазных сигналов для выполнения ряда математических операций с ними, таких как дифференцирование, интегрирование, фильтрация и др.
Поскольку существуют эквивалентные преобразования между трехфазными и двухфазными сигналами, то ниже будут рассматриваться только двухфазные сигналы.
ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ
Рассматривается двухфазная система ха, хр, представляющая собой проекции вектора х на оси ортогонального базиса (а, Р). Пусть главные гармоники фаз описываются уравнениями
3ха' хь а/з( 2ха + 2 хв
10 а
|х^со8тЬ, хор = |х0 зттЬ.
© Потапенко Е. М., Казурова А. Е., Душинова Е. В., Левыкина В. И., 3007
144
1607-3374 «Радюелектрошка. 1нформатика. Управлшня» № 3, 3007
ха =
ха =
Производные и интегралы выражений (1) при условии медленности изменения амплитуды х0 и частоты <в приближенно можно описать уравнениями
10а
= -Ю sin <t = -Ю ^0 р,
Хо р = ю |x^cos ю t = юхоа, (2)
j Xoadt = ю 1sin rot = ю 1^ор, j xopdt = -ю 1 X^cos ю t = -ю 1 Хоа. (3)
Умножим в (2) первое уравнение на х0р, второе уравнение на -я0 а и затем полученные уравнения сложив, найдем
х0ах0В х0ВХ0а
Ю = -22 \ .
X 0 а + X 0 в
(4)
Поскольку погрешности и йр не известны, то вместо точных значений Хоа и Хор будем использовать их оценки хоа, хор по зависимостям
X0а = А (ю)(X* cosф + х* sinф), X0j = A 1(ю)(х* cosф-х*аsinф).
(8)
В выражения (8) входят выходные сигналы фильтров х* , х* , с пониженным содержанием шумов, следовательно, эти выражения можно рассматривать как оценки главных гармоник исходных сигналов ха, Хр. Определим погрешности этих оценок. Будем полагать, что амплитуды сигналов 9а и 9р равны 9й. Тогда погрешности ха = хоа - ха, хр = хор - Хр оценок (8) по сравнению с точными значениями (6) можно оценить выражением
На практике имеют место соотношения
0а
+ »а' хв = X0B + »В,
0рт<тр>
(5)
где »а и »в представляют собой высокочастотные по сравнению с основной частотой ю погрешности входных сигналов Xa, Xb. Для устранения высокочастотных помех сигналы (5) предлагается пропустить через идентичные фильтры низких частот с передаточной функцией Wf(p), имеющей амплитудную А(ю) и фазовую ф(ю) частотные характеристики. Не принимая во внимание сдвиг по фазе помех »а,»j на выходах фильтров, будем иметь
X* = А(ю) |X^cos (ю t + ф) + А(ю»)»а, х* = А(ю) X^sin (юt + ф) + А (ю»)»в
или, что то же самое,
X* = А(ю)X0(cosюtcosф- sin<tsinф) + А(ю»)»а, х* = А(ю) X0 (sin <t cos ф + cos ю t sin ф) + А(ю»)»в , (6)
где ю» - частота погрешностей. Из (6) на основании (2), (5) можно найти точные значения проекций вектора X0 (искомые сигналы) в виде
-1
X0* = |X(,|cos<t = А (ю)(X* cosф + XjB sinф) +
-1
+ А (ю)А(ю»)(»а cos ф + »в sin ф),
X а = X В = А (ю)а(ю»)»й.
(9)
Фильтры выбираются из условия близости Л(ю) к единице, а Л(юа) к нулю.
Пусть собственно фильтры представляют собой инерционные звенья первого порядка
Wf(p) = jP+j-, kf > 0, T > 0,
(Т - постоянная времени) с частотными характеристиками
kf
А(ю) = f , 1еф(ю) = -Тю. (10)
л/( ТЮ)
+ 1
С помощью соотношений
in ф(ю) = tg(P(g) ) , cos ф(ю) = - 1
Я
-tg ф(Ю)
Л-
^g ф(Ю)
и выражений (10) можно записать
-1 -1 sinф = -Тюkf А(ю), cosф = kf А(ю). (11)
Подстановка (10), (11) в (8) дает
-1
X0B = Ы sin<t = А (ю)(X* cosф-X* sinф) + -1
+ А (ю)А (ю»)(»в cos ф-»а sin ф).
(7)
X0а = kf (X* - Тс°X* ), -1
x0в = kf(x* + Тс°xа),
(12)
где с заменена ее оценкой со, которая по аналогии с (4) определяется выражением
Iх0айЬ = (ха + (Тт) 1хр ), 0
Ь
Iх 0*йЬ =(хр-(Тсо)- ха). 0
(13)
ха х в х в х а
Г2 12
ха хв
С использованием (2), (3), (12) запишем хпа = -сок-1(х* + Тсох* ),
0 а г \ в а
х0в = со&-1(х* -Тсох* ), (14)
Ь
I-х0айЬ = (сок^-)- (х*в + Тсох*а ), 0
Ь
Iх0вйЬ = -(сок^-)- (х*а -Тсох*а ) (15)
0
или при к^ = Т
(16)
Выражение скорости (13) содержит производные от сигналов, пропущенных через инерционные звенья первого порядка, то есть со, а следовательно и переменные (12), (14)-(16) фактически будут содержать не отфильтрованные высокочастотные шумы. Для повышения помехозащищенности можно сигнал со пропустить через фильтр низкой частоты. Рассмотрим другой путь.
Вместо фильтров первого порядка применим фильтр второго порядка с передаточной функцией и частотными характеристиками следующего вида:
Подстановка (18), (19) в (8) дает уравнения оценок главных гармоник
-1 2 2 х0а = к! [х*а (1 -Т со )-х* 2йТсо],
х0в = к-1[х* (1 - Т2со3) + х*а 2йТс] (20)
где с заменено на со. С использованием (2), (3), (20) запишем
• ~ -1 3 ~ 2
х0а = -сок^ [х* (1 - Т со ) + х* 2йТсо],
• -1 3 ~ 3
хх 0 * = со кг [х* (1 - Т со ) - х* 2йТсо ]; (21)
I а в
х 0а йЬ
22
(с к г) [ х * (1 - Т с ) + х а 2йТю ]
|хх0*йЬ = -(сок^г) 1[х* (1 - Т3со3) - х** 2йТсо]. (22)
0
В рассмотренном случае выражение скорости (13) содержит производные первого порядка от сигналов, пропущенных через колебательные звенья (второго порядка), то есть со, а следовательно, и переменные (20)-(22) не будут содержать не отфильтрованные высокочастотные шумы.
Фильтры (12), (20) подробно изучены в работе [3]. Дифференциаторы (14), (21) и интеграторы (15), (22) рассмотрены впервые. Следует отметить возможность применения интеграторов для оценки не измеряемых потокосцеплений двигателей переменного тока путем интегрирования ЭДС.
Потокосцепление ротора Т связано с ЭДС двигателя е зависимостями
Ь
(р)
22
Т р +2йТр+ 1
Г-; кг, Т, й > 0, (17)
-1 -1 Та = ЬгЬтеа, = ЬгЬте*,
(23)
Л(с) =
1 - Т2с2)3 + (2йТс)3
ф(с) =
откуда
бШ ф(с) = — соз ф(с) =
2йТсо 1 - Т3!»3'
2 йТ с
л/( 1 - T3m3)3 + (2йТс)3 1 - Т3 с 3
л/( 1 - Т2с2)3 + (2йТс)3
(18)
(19)
где Ьт, Ьт - индуктивность ротора и взаимная индуктивность ротора и статора. По выражениям (23) путем интегрирования можно получить потокосцепление, но с точностью до неизвестных начальных условий и с возрастающими с течением времени ошибками за счет постоянных смещений в фазах ЭДС. Для устранения влияния начальных условий и ограничения ошибок за счет смещения нолей воспользуемся алгоритмом интегрирования (16), синтезированного для инерционного звена первого порядка. Обозначив
= 77-1 =т т-1
ха: ЬтЬтеа, х*: ЬтЬте*,
(24)
146
1607-3374 «Радюелектронжа. 1нформатика. Управлшня» № 3, 3007
с помощью алгоритма (16) получим
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
где
,-1
Та = LrL-m (еа + (Т») е* ),
" -i " -1 ТР = LrLm(е* -(Т») е* ),
Т * Т
Tp + га р Tp + 1 Р'
(25)
(26)
Получены соотношения, позволяющие осуществлять такие операции как различной степени фильтрация, дифференцирование и интегрирование многофазных зашумленных сигналов с неизвестной частотой. Разработанный метод можно распространить и на другие математические операции.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
-е*е а
-2 _2
л- р™ еа I ер
(27)
Выражения (25)-(27) в точности совпадают с выражениями потокосцепления, полученными в работе [4] совершенно другим методом, а именно, с помощью наблюдателя Луэнбергера. Работа [4] содержит результаты численного моделирования, подтверждающие высокую точность интегрирования.
Пусть теперь используются фильтры второго порядка (17) и обозначения (24). Тогда в соответствии с (22)
Та = (»kf)-i[е* (1 - Т2»2) + еа 2dT»], Тр = -(сс kf)-1[е* (1 - Т2сС2) - е*р 2dTco], (28)
где
T2p2 + 2dTp + 1
еа'
2 2 Р-
Т p +2dTp+ 1
(29)
Выражения (27)-(29) составляют алгоритм оценки потокосцепления с фильтрами второго порядка.
1. Чиликин М. Г., Ключев В. И., Сандлер А. С. Теория автоматизированного электропривода. - М.: Энергия, 1979. - 616 с.
2. Емельянов С. В., Коровин С. К. Новые типы обратной связи: Управление при неопределенности. - М.: Наука. Физматлит, 1997. - 352 с.
3. Потапенко Е. Е, Потапенко Е. М. Синтез и анализ компенсационных фильтров многофазных неопределенных сигналов // Вюник Нацюнального техшчного уывер-ситету «ХГН». Зб1рник наукових праць «Проблеми автома-тизованого електропривода. Теор1я i практика». -Харюв: НТУ «ХП1». - 2003. - № 10, т.2. - С. 342-344.
4. Потапенко Е. М., Потапенко Е. Е. Оценка векторов по-токосцеплений и их скоростей в двигателях переменного тока // Вюник Нацюнального техшчного ушвер-ситету «ХП1». Збiрник наукових праць. Тематичний випуск «Проблеми автоматизованого електропривода. Теорiя i практика».- Харюв: НТУ «ХП1». - 2003. - № 10, т. 1. - С. 105-107.
Над1йшла 11.09.07
Розроблено anapam для проведения математичних операцш на багатофазних зашумлених сигналах з не-в{домою частотою та з постшними нев1домими зсувами ноля. Зокрема, апарат дозволяв отримати mxidm та штеграли головних гармотк фазових сигнaлiв. Як приклад отримано два алгоритми визначення потокозчеп-лення асинхронного двигуна за його ЕРС.
ТЬ.е apparatus for теаНгтд та№етаИса1 operations on multiphase noising signals with unknown frequency and with constant unknown displacements of zeros was developed. In particular Ле apparatus permits to find derivatives and integrals of main harmonics of phase signals. As an example two algorithms of induction motor flux estimation by electromotive force are obtaimd.
е- =
е _
ет _
