Асимптотическое решение задачи обтекания профиля дозвуковым потоком газа с образованием локальной сверхзвуковой зоны Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том XLII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011

№ 2

УДК 533.6

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ ДОЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА С ОБРАЗОВАНИЕМ ЛОКАЛЬНОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ЗОНЫ

А. В. ЗУБЦОВ, Г. Г. СУДАКОВ

Рассмотрена задача обтекания околозвуковым потоком газа профиля крыла с относительной толщиной т<<1. Построено асимптотическое решение задачи для случая, когда на гладкой поверхности профиля возникает локальная сверхзвуковая зона, относительный продольный размер которой /х<<1. Показано, что в случае, когда кривизна поверхности профиля в окрестности локальной сверхзвуковой зоны непрерывна и имеет порядок О(т), переход сверхзвукового течения в дозвуковое осуществляется непрерывным образом. Показано также, что на гладкой поверхности скачок уплотнения может возникать, если - M™ =

0(т2/3).

Ключевые слова: профиль, околозвуковое течение, сверхзвуковая зона, асимптотическое решение.

Задача околозвукового обтекания профиля крыла потоком идеального газа была и остается предметом исследования многих аэродинамиков. Основной вопрос, на который до настоящего времени не получено ответа, состоит в том, каковы условия существования непрерывного решения при сверхкритическом режиме обтекания профиля. В работе [1] получено лишь необходимое условие существования непрерывного решения: закон монотонного изменения угла наклона вектора скорости вдоль звуковой линии. В этой же работе была доказана теорема несуществования непрерывного решения: если сверхкритическое обтекание выпуклого профиля является непрерывным, то замена сколь угодно малого участка профиля внутри сверхзвуковой зоны прямолинейным отрезком приводит к появлению скачка уплотнения. После [1] появились работы [2—7], авторы которых пришли к выводу, что непрерывные «околозвуковые течения являются исключительными и, следовательно, лишенными физического смысла и что, в общем случае, гладкого околозвукового решения задачи обтекания произвольно заданного профиля ожидать нельзя» [7].

Вместе с тем, известны результаты экспериментальных исследований и численных решений уравнений идеального газа, показывающих, что на сверхкритическом режиме обтекания выпуклого профиля течение может сохранять непрерывный характер [8, 9].

Существенным обстоятельством, влияющим на возможность существования непрерывного течения в сверхзвуковой зоне, является степень гладкости контура профиля. Результаты работы [1] свидетельствуют о том, что задача околозвукового обтекания выпуклого профиля при наличии локального разрыва кривизны его контура является задачей особых

ЗУБЦОВ атолий Васильевич

кандидат физико-атематических наук, чальник сектора ЦАГИ

СУДАКОВ Георгий Григорьевич

доктор технических наук, доцент, начальник отдела ЦАГИ

возмущений. Ее решение, как отмечается в [10], может существенно отличаться от решения задачи, в которой постулируется непрерывная зависимость кривизны от длины дуги контура профиля.

В настоящей работе рассматривается задача о сверхкритическом обтекании тонкого выпуклого профиля, наклон и кривизна контура которого являются непрерывными функциями длины дуги контура. Исследован случай, когда число Маха набегающего потока превышает критическое

2/3

значение на малую величину Мж — Мю кр = О т к (т «с 1 — относительная толщина профиля,

8 «с 1). В постановку задачи входит малый параметр в, что позволяет искать ее решение, используя метод асимптотических разложений. Показано, что при е 1 уравнения движения в окрестности сверхзвуковой зоны вырождаются в уравнения параболического типа, что исключает появ-

2/3

ление скачка уплотнения. Возникновение скачка возможно, когда Мю -Мюкр = О т . Показано также, что скачок уплотнения может возникать и при б «с 1, если на контуре профиля, примыкающего к сверхзвуковой зоне, имеется точка разрыва его кривизны. В этом случае течение в окрестности локальной сверхзвуковой зоны описывается уравнением смешанного типа.

Решение в окрестности локальной сверхзвуковой зоны. Рассматривается дозвуковое обтекание тонкого выпуклого профиля с единичной хордой безвихревым потоком идеального газа со скоростью V,. В качестве искомой величины введем функцию X по формуле

^ = Х = 1 + т2/%

где а* —критическая скорость; V—скорость потока; т<®с1 —толщина профиля; Х = 0 1 . Исследуется течение газа в окрестности локальной сверхзвуковой зоны, возникающей на поверхности профиля, когда X,, отличается от его критического значения X., кр на малую величину 2/3

- к., кр = ст >0, Х,г кр — значение, при котором на поверхности профиля впервые достигается скорость звука X = 1).

Введем декартову систему координат с осью х, направленной вдоль хорды профиля, и осью у — перпендикулярно к ней, и началом координат в точке X = 1 при е = 0. При т —>0 течение описывается уравнениями Кармана — Гудерлея [11]:

^-0- '■>

с граничными условиями

^Г = Р” х , Л^±0, (2)

дг\

^-00 “^ ^оо кр + 8’ X2 +Ц2 —>00, (3)

1/3

где у = 1.4 — показатель адиабаты, г| = т' у, а у = т1\ х — уравнение поверхности профиля.

Знак плюс относится к верхней поверхности профиля, а знак минус — к нижней поверхности. Далее будем полагать, что локальная сверхзвуковая зона возникает на верхней поверхности профиля у = х!'\ х = т!< х и что в окрестности х — 0 все производные функции /■ х конечны и

непрерывны. Отсюда следует, что кривизна поверхности профиля в окрестности локальной

сверхзвуковой зоны имеет порядок О X .

При е = 0 течение газа является всюду дозвуковым за исключением одной изолированной точки, соответствующей х = г| = 0. При в > 0 в окрестности этой точки возникает локальная

сверхзвуковая зона, линейные размеры которой /х 8 , / 8 стремятся к нулю при 8 —>■ 0.

а

Область, где х ~ г| ~ 1, является областью слабых возмущений относительного малого параметра е. В этой области решение задачи (1) — (3) можно представить в виде:

Х = Х0 х, г| + х, г| ,

(4)

где Х0 х, г| — решение нелинейной задачи (1) — (3) при б = 0, а функция Х1 х, г| удовлетворяет линейному уравнению

1 +у

д2 *0*1 д%

дх?

дц

= 0

(5)

и граничным условиям

— = о, л = О, дц

—> 1, х + т| —> со.

Из (1) — (3) следует, что при х—>0 функция а0 х, г| удовлетворяет уравнению

1 + у д2Ц д\

2 Эх2 дг\2

= 0

(6)

(7)

и граничному условию

дХо

дц

х, 0 =а0+а1х + —а2х2+0 х3 ,

2!

(8)

7 Аг+2 7—>

а і7

О , к = 0, 1, — В силу предположения о выпуклости поверхности профиля

ГДС °к с1хк+2

имеем а0 < 0. Для определения зависимости /,, б . /п в необходимо исследовать асимптотику

поведения функций к() х, г) , к\ х, г) при х2 +г|2 > 0. Как будет показано ниже, существует

область в окрестности начала координат, где оба члена в разложении (4) становятся одного порядка. Это означает, что в этой области линеаризация уравнения движения относительно малого параметра с становится некорректной.

Уравнение (7) и граничное условие (8) (для первого члена в правой части) допускает группу преобразований

(9)

относительно которой они сохраняют инвариантный вид при любых значениях (3. Из (9) следует, что при х2 + г|2 —>0 уравнение и граничное условие для функции а() остаются невырожденными только при х/л3/2 = 0 1. Тогда вместо переменных X, Г|, к() введем новые переменные

. = 7ГТ7-л, 2, = хД3/2, ?, £, .

В этих переменных уравнение (7) перепишется в виде:

а2/2 9 с2 э2/ _ э2/ з е а/ ^ 2 э2/ , а/ п

—^-----1 —тг + Ш— ------Ъ — -2г—^--4ґ—= О,

а^2 2 а^ д'ф 2ъд^ дг2 а? ’

(10)

а граничное условие (8) преобразуется следующим образом:

lim

f-»o, |4|->°°

причем X = ^f3/2 «С 1 при t —> 0, |^|

л/1 + У{+ = ао +а&3/2 +\~а2 ^3/2 +0

2 д% dt

2!

3/2

(11)

При ? —>0 решение задачи (10), (11) будем искать методом разделения переменных в виде суммы двух асимптотических рядов:

Ък

(12)

где пк фЪк/2 — некоторые числа, п0 >0. При таком представлении решения граничные условия (11) принимают вид:

limit

i+f U-fw

г

л/ГТуП’

к = о, 1, ....

Инь

1+пк gk-^g'k

,|2л*/3

(13)

(14)

Функция f удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению

4/о-9^2 /о - 3^-4/' /'=0. Асимптотическое поведение решения уравнения (15) при |i| —»оо имеет вид:

/о ~ сх+ + 3+1^|2/3 + О |С2/3 ,

где знаки ± относятся к значениям коэффициентов а, Р при с —» ±оо.

Выполняя граничное условие (13) при Е, —> -со и к = 0, получим:

(15)

(16)

а_ =

г< 0, Р_<0.

■у

Величина Р_ отрицательна в силу того, что при е = 0 течение всюду дозвуковое. Численно интегрируя уравнение (15) с граничным условием при £, —>• —оо, получим зависимости а+ р ,

Р+ Р_ , которые представлены на рисунке при а0 = -у/ 1 + у.

Из результатов численного интегрирования следует, что граничное условии (13) а+ Р_ = —1 выполняется при с —> +да, когда Р = 0. Величина Р Ф О в том случае, когда в точке, лежащей на профиле, где V = а,,, имеется разрыв кривизны контура а Ф а, . Таким образом, в случае гладкого профиля решением уравнения (15) является:

/о =

а

к

а

о

Функции /к с , Ц/. с удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям:

4а0-9^2 /;+ Ш-3 Щ-Ък Зк + 2 /к=Ф /# , /<*, (17)

4«0 “9^2 &1- + 12"к -3 Ъёк-*пк пк + 1 Як = (; .1'г. §1 , ',./'<*• (18)

Уравнения (17), (18) относятся к классу гипергеометрических уравнений Гаусса [12]. Из свойств решения этих уравнений [13] следует, что /к, удовлетворяющие граничным условиям (13), являются полиномами степени к. Функции gk удовлетворяют уравнениям (14), (18) при

3 к

условии, что пк = — -1 к = 1, 2, ... , и представляют собой полиномы степени к.

После нахождения полиномиальных коэффициентов асимптотическое решение для функции /Ч) I, ц представляется в виде

Х0 =Аъ() +Ь1Ъ>Г’^2 +

2 1 6 12

Р+О

&

3/2

+ АГ

-О

&

3/2

(19)

где Ьк - ! к . А и В — свободные константы. Постоянные А и В определяются в результате

л/ь

■7

численного решения уравнений (1) — (3) при £ = 0.

Уравнение и граничные условия для функции Х1 I, с запишутся в виде

4Ь0-%2 ^А + 12£ДА_15^±_4^2ЁА = о ^2 0

0 ^ д^2 дф ^ д£ дг2 1

з/2 5Я-1

Нш

= 0.

(20)

(21)

з

4

Из выкладок, аналогичных тем, которые были сделаны при анализе решения уравнений (17), (18), следует

где /)0 >0, /)| — свободные константы, определяемые путем численного решения уравнений

(5), (6).

Записав соотношения (19), (22) в переменных х, г), получим асимптотическое представление функции X = Х0 + о/., при х —> 0, г| —> 0

где а0 < 0, А < 0. /)0 > 0. Из (23) следуют масштабы зоны, где линеаризация уравнений относительно малого параметра с становится некорректной

раничивающая зону сверхзвукового течения, в первом приближении симметрична относительно оси у

Необходимо отметить, что в окрестности трансзвуковой зоны исходное уравнение (1) вырождается в уравнение параболического типа (25), решение которого исключает появление скачка уплотнения при 8<®с1. Из уравнения для характеристик, записанного в плоскости годографа [11], следует, что на звуковой линии изменение угла наклона вектора скорости 9 к оси х является монотонной функцией

что согласуется с критерием непрерывного перехода сверхзвукового течения в дозвуковое (см. [1]). Как показано в [1], нарушение условия (28) приводит к возникновению скачка уплотне-

X! =Ц) +£\^3/2 +0 г2 ,

(22)

~ 9 3 9 4

Х = а0г\ + Ах + а1хг\ + Вх +8 /)0+Дх +0 г\х +0 х ,

(23)

Г| ~ 8, X ~ -у/в.

(24)

В соответствии с (24) перейдем к новым переменным

Х = еХ хъ Г|1 , х = -у/ех1, Г| = 8ТЦ.

Уравнение и граничные условия для X х1, г|1 имеют вид

(25)

ах

(26)

— 2 9 9 9

X = Ц| + + Ахх +^г П^+а^+Вх^ х1 +0 е , х1 ч-гц —>°о.

(27)

2 2

Очевидно, что соотношение (27), определяющее поведение решения при х1 +Г|1 —> 00, является решением системы (25) — (27). С точностью до членов порядка О я линия X = 0, ог-

ёх

(28)

2/3

НИЯ. Это ВОЗМОЖНО ТОЛЬКО при 8 = 0 1 , Т. е. при Мда — Мда кр = О X ' .

Все эти выводы относятся к случаю, когда контур профиля является достаточно гладким. Однако на основании вышеизложенного можно сделать заключение и для случая, когда в точке, где впервые достигается скорость звука, имеется разрыв кривизны поверхности профиля. Из соотношений (16), (22) следует, что в этом случае масштабы сверхзвуковой зоны суть 1Х ~ г;3 2. /^—6, а Я. ~ в. Легко проверить, что в новых переменных .г, = xs 3 2. л | = г] s 1. X = Xs-1 уравнение (7) сохраняет свой вид, и поэтому возникновение скачка уплотнения становится возможным и при s <sc 1. Опуская выкладки, отметим, что при сохранении условия непрерывного изменения кривизны профиля разрыв старших производных F к х , к > 3 не приводит к появлению

скачка уплотнения при s <§с 1.

Заключение. Из проведенного выше анализа задачи околозвукового обтекания гладкого профиля следует следующий сценарий развития течения с ростом числа Мда. При достижении критического значения Мх = Мда кр на поверхности профиля появляется точка, в которой

2/3

М = 1. При превышении Мда этого критического значения на величину Мда — Мда кр = О х ' s

(т — относительная толщина профиля, в <к 1) в окрестности этой точки возникает локальная

сверхзвуковая зона с масштабами 1Х ~ г:1 2. I ~ ях 1 \ при этом число М внутри зоны имеет по-2/3

рядок М — 1 ~ sx . Показано, что при в <§С 1 течение внутри сверхзвуковой зоны является непрерывным и описывается уравнением параболического типа. При выводе этого результата были сделаны следующие предположения: кривизна поверхности профиля в окрестности локальной сверхзвуковой зоны непрерывна и имеет порядок О х . Эти условия являются существенными,

так как теоремы несуществования непрерывного решения (см. [1, 6]) предполагают нарушение хотя бы одного из этих условий. Таким образом, в настоящей работе показано, что при сделанных предположениях относительно поверхности профиля непрерывное решение существует в некотором диапазоне чисел Мж. Для возникновения скачка уплотнения необходимо, чтобы

2/3

к = О 1 , т. е. М , -Ммкр = О т . Если же в окрестности локальной сверхзвуковой зоны имеется разрыв кривизны поверхности профиля, то скачок уплотнения может возникнуть при S <SC 1. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-01-00516).

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский А. А., Таганов Г. И. Движение газа в местной сверхзвуковой зоне и некоторые условия разрушения потенциального течения // ПММ. 1946. Т. 10, вып. 4, с. 481 — 502.

2. Франкль Ф. И. К образованию скачков уплотнения в дозвуковых течениях с местными сверхзвуковыми скоростями // ПММ. 1947. № 11, с. 199—202.

3. Busemann A. The non-existence of transonic potential flow // Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. 1953. N 4, p. 29 —40.

4. Guderley G. On the presence of shocks in mixed subsonic-supersonic flow patterns //

Advanced in Applied Mechanics. 1953. N 3, p. 145 —184.

5. B ers L. Results and conjectures in the mathematical theory of subsonic and transonic gaz flows // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1954. N 7, p. 79—104.

6. Morawetz C. S. On the non-existence of continuous transonic flows past profiles I // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1956. N 9, p. 45—68.

7. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. — М.: Изд. иностр. лит. 1961, 208 с.

8. Michel R., Marchaud F., Le Gallo J. Etude des ecoulements transsoniques au-tour des profils lecticulaires, a incidence nulle // Office National d’Etudes et de Recherches Aero-nautiques, Publication N 65, 1953.

9. Sears W. R. Transonic potential flow of a compressible fluid // Applied Physics. 1951.

V. 21, p. 771 —778.

10. Шифрин Э. Г. Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа. — М.: Физматлит, 2001, 320 с.

11. Коул Д., Кук Л. Трансзвуковая аэродинамика. — М.: Мир, 1989, 360 с.

12. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, Физматлит, 1965, 703 с.

13. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. — М.: Наука, Физматлит, 1979, 830 с.

Рукопись поступила 14/У 2010 г.