Асимптотическое разложение преобразования Березина для пространств ранга два Текст научной статьи по специальности «Математика»

где x,y,u,v Є М и х2 + у2 + и2 + у2 = 1, так что С есть единичная сфера в М4. В качестве инвариантной меры на С возьмем евклидову меру йд = \у\-1йх йу йи на этой сфере. Мера всей группы равна 2п2.

Алгебра Ли а группы С изоморфна М3, в качестве базиса в д возьмем следующие матрицы:

і 0 \ / 0 і \ /01

ь ^0 -,)• ь2 = (, , о) • ь ^ -1 0

Экспоненциальное отображение сопоставляет матрице X = х.Ь. + Ж2^2 + ХзЬз из д матрицу

ех = 008 ух II-Е + X

из О, здесь Е - единичная матрица, норма ||Х|| отвечает скалярному произведению (X, У) = Х1^1 + Х2У2 + хэуэ- Это скалярное произведение только множителем отличается от формы Киллинга. Квадратный корень из якобиана экспоненциального отображения есть

7(хл 8™ IIхII

(х л = тхг ■

Неприводимые представления Т группы О нумеруются числами I = 0,1/2,1, 3/2, ■■■, характер XI представления Т есть

х (ехл 81п(21 + 1)НХу

Х‘(е Л = 8Ш |Х| ■

Формула Кириллова в нашем случае есть

У е^хХ(ех) У(х) йХ = 4п2 - 5(т2 - (21 + 1)2),

где 5(£) - дельта-функция Дирака на прямой, йХ = йх.йх2йхз, интеграл берется по М3. В частности, для I = 0 имеем

22

J еі{ї’хЬ(X) йХ = 4п2 • 5(Ш2 - 1)

Дифференцируя это по и принимая во внимание, что матричные элементы представления Т являются линейными функциями от х.,х2,хз, мы получаем

I е^Т (Ху(Х) йХ = -8п2г - Т(У) - 5(||£||2 - 1),

где У = + ^2^2 + ^3^3.

Асимптотическое разложение преобразования Березина для пространств ранга два 1

© С. В. Цыкина

В [2] мы рассматривали полиномиальное квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах О/Н, где О = БОо(р,д), связная компонента единицы Не есть

хРабота поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований: гранты 05-01-00074а, 07-0191209 ЯФ_а, Голландской Организацией Научных Исследований (ЫШО): грант 047-017-015, Научными Программами "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы": проект РНП.2.1.1.351 и Темплан N0. 1.5.07.

SOo(p — 1,q — 1) x SOo(1,1). Размерность этих пространств равна 2n — 4, где n = p + q, ранг равен 2. На G/H имеется два оператора Лапласа, это дифференциальные операторы Д2 и Д4 порядка 2 и 4, соответственно. В настоящей работе мы предлагаем формулу для полного асимптотического разложения преобразования Березина B = Ba, а Е C. Напомним

[2] явное выражение преобразования B через операторы Лапласа. Обозначим m = (n — 4)/2.

Мы имеем

£=Г(а + n — 2 + к)Г(а + 1 — к) Г(а + m + 2 + /)Г(а + m + 1 — l) ^

Г(а + n — 2)Г(а + 1) Г(а + m + 2)Г(а + m + 1)

Здесь к,1 - некоторые переменные. Фактически правая часть (1) зависит от А2 и А4, где А2 = 2(ai + a2), А4 = 16(aia2 — ma1 + m2a2) и a1 = к(к + n — 3), a2 = l(l + 1). Теперь вместо А2 и А4 надо подставить Д2 и Д4, соответственно.

Эта формула равносильна тому, что собственное число оператора B на неприводимом подпространстве со старшим весом (к + 1,к — l), где к,1 Е N, к ^ l, есть

(а + n — 2) И (а + m + 2) 1 к’1 а(к) (а + m)(l) ’

мы используем обозначения: x[r] = x(x + 1)... (x + r — 1), x(r) = x(x — 1) ... (x — r + 1). С

помощью одной формулы из [1] мы находим:

b = ^ Ps Qt

к’1 a(s) “ (а + m)(t) ’

s=0 t=0 v '

где

1 s—1 1 t— 1

ps = s П{ai — j(j + n — 3)^’ Qt = t! П{a2 — j(j +1)}.

’ j=0 ■ j=0

Искомая формула дает B в виде двойного ряда по переменным s,t Е N, s ^ t:

в = V________Mst_____

^ a(s)(a + m)(t) ’ где Mst - многочлен от Д2 и Д4 (Sst - символ Кронекера):

Mst = PsQt(1 — Sst) + Qs ^ (s — r) Prm[t—rl

r=0 Г '

Литература

1. V. F. Molchanov, N. B. Volotova. Polynomial quantization on rank one para-Hermitian symmetric spaces. Acta Appl. Math., 2004, vol. 81, Nos. 1-3, 215-232.

2. S. V. Tsykina. Polynomial quantization on para-hermitian spaces with pseudo-orthogonal group of translations. Int. Workshop "Idempotent and tropical mathematics and problems of mathematical physics", Moscow, Aug. 25-30, 2007, vol. II, 63-71.