Асимптотическое описание слабонeлинейных волновых пакетов в среде со слабой дисперсией Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXV 1994 №1-2

УДК 532.526.2

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СЛАБОНЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ В СРЕДЕ СО СЛАБОЙ ДИСПЕРСИЕЙ

В. А. Жаров

Рассмотрено несколько вариантов описания слабонелинейных волновых процессов, соответствующих различным асимптотическим случаям . распространения волновых пакетов в среде с заданной дисперсионной

2 2 1/2

зависимостью типа со = а / ((а + р ) ' ), где аир — компоненты волнового вектора, / = /д + >//, ////к « 1, ' — мнимая единица. Для ряда случаев получены укороченные уравнения, описывающие динамику волновых пакетов.

1. Постановка задачи. В работе [1] получены уравнения, описывающие слабонелинейное развитие волнового пакета в сдвиговых течениях. Однако эти уравнения не охватывают многих важных случаев. Ниже подробно рассмотрены несколько ситуаций (см. рисунок), для которых получены уравнения, описывающие динамику волнового пакета в среде с дисперсионной зависимостью, характерной для течения типа пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Такая дисперсионная зависимость имеет вид со (Хо,к) = а/(Х0,к), к = (<х2 + р2)1/2 [2, 3], где а(Хо,к) = ал(Х(),к) + Ь[(Х<^,к)— комплексная частота, аир —

Область сосредоточения волнового пакета в пространстве волновых векторов

компоненты действительного волнового вектора, =(ЛГо,2о) — координаты «центра масс» волнового пакета, относительно которых предполагается, что они являются медленно меняющимися функциями времени. При этом предполагается, что а/(Х0,к) / (йд(Х0,к) « 1, а также что продольный (Ах) и поперечный (&1) размеры волнового пакета удовлетворяют условиям 8 « Ах ~ Аг « Ь, где 5и1- соответственно толщина пограничного слоя и характерный продольный масштаб, определение которого дается ниже.

Для описания динамики волнового пакета использован подход, рассмотренный в работе [4] ввиду его общности и непосредственной связи с основными понятиями динамики волн. Формальный анализ быстроосциллирующих решений геометрооптического типа приведен, например, в работе [5].

Пусть в системе отсчета, движущейся со скоростью Я0, амплитуды Ак{0 элементарных волн в среде с дисперсией подчиняются динамическому уравнению вида:

^+/(«<*„,*)-%к)А-к -е2 ^] = 1. (1)

В уравнении (1) учтены эффект Доплера и медленное изменение дисперсионных характеристик среды вдоль продольной координаты х, член / содержит в себе эффекты пространственной ограниченности волнового пакета, нелинейные эффекты и т. п.

Рассмотрим волновой пакет, сосредоточенный в окрестности точки ко. Введем амплитуду волнового пакета в соответствии с выражением

ц/(Г,г) = | Аи^ ехр(/5ё • г)сШ, (2)

где к = к$ + аг, сШ = ёгех<^ге1, г = (х,г). Для функции в со-

ответствии с уравнением (1) и приложением, получим

+ &(Х0,Ь + + в М*оу/0 у = 7. (3)

В уравнении (3) е 2х = X - — безразмерная относительная

продольная координата, = (Х0,£о), е 2 = 8/Ь, V = (д/дх, д/<?£),

I = |/ехр(/аё • г)(Ш. Здесь координаты х, £ и время / отнормированы соответственно к 6 и т (т — масштаб времени, соответствует пространственному масштабу 5), Х0, Z0 отнесены к Ь, Ао = ,

/2 = e2t. Выражения типа /’(Лф + V//) в общем случае представляются в виде интегральных операторов. Однако в ряде конкретных случаев в уравнении (3) можно сделать некоторые упрощения, что приводит к более простым уравнениям. Наконец, введем функцию

зз

t

VI/(/,г) = ф(/,г)ехр(-/| ал(Х0,ко)Ш). (4)

о

Для функции ф(/,г) получим уравнение, аналогичное уравнению (3), в котором выражение <в(Хо,Ло + V//) заменено на выражение а>(Х(),ко + V//) - 5д(Хо,&о). В п. 3 будет использовано уравнение (3), преобразованное с помощью выражения (4). При этом для упрощения записи тильда над у и ю будет опущена.

2. Волновой пакет, сосредоточенный возле ТОЧКИ &д=0. Рассмотрим ситуацию, изображенную на рисунке а. В этом случае область интегрирования по ж в выражении (2), а также в уравнении (3) состоит из окрестности точки ко = 0, из которой в реальной ситуации необходимо выкинуть малую область вблизи оси р. Это связано с тем, что реальная физическая задача ограничена по длине в продольном направлении, поэтому продольное волновое число становится ограниченным со стороны нуля. Предполагаем, что продольная длина Задачи много больше длины Ь, поэтому можно считать площадь выкидываемой области малой по сравнению с площадью, на которой сосредоточен волновой пакет. В связи с этим можно приближенно считать дисперсионную зависимость продолженной из этой области вплоть до оси. Вклад в полученные таким образом уравнения будет иметь порядок о(е2) ввиду ограниченности подынтегральных функций в интегральной части уравнения (3). Положим со/(Х0,А:) = С1(Хо,к)в2,

I = е2В и введем безразмерные переменные ав! = аё/е, = п., отно-

сящиеся к волновому пакету. Тогда уравнение (3) запишем в виде, в котором малый параметр выделен явным образом:

+ е2В + о(е2); (5)

Ьц/ = -к 41 (аае^ае! + /а(Хо,0))^)О(Оехр(/ж1 • ^)<(6)

где а = /д(0), эг1 = (ае2х +ае2г)^2. Выражение для функции у при этом запишем

Ч/ = в 21 % 0(Оехр(/ж1 • . (7)

Интегрирование в выражениях (6) и (7) распространяется на всю окрестность точки &о = 0 ввиду малости вклада вычитаемой области,

л

имеющей порядок о(е ).

Покажем, что оператор Ь, определяемый формулой (6), представлен в виде интегродифференциального оператора. Действительно, запишем £ц> в виде

Ь\! = -/е4о|^(ае1х •ае2у1^0)ехр(/аё1 -г^уШ1 +

Согласно теореме о фурье-преобразовании свертки двух функций можно написать

^ 1 - ътпж+в2ад,о)У, (8)

где

^ = ^ 1 ^ехР('«'•)<*«» (9)

Т(г) = J гехае2А^0 ехр (Шг)<Ш =

(10)

Вычислим теперь функцию С7(г):

2 я

(?(г) = ^|^ехр(/аег)<йе = 2^^<Лр|й^аеехр(/аегсо8(ф - ф1)),

0 0

где (риф! равны углам соответственно между осью х и направлениями векторов ®иг Вычисляя внутренний интеграл в последнем выражении с помощью определения обобщенной функции 8+ [6], получим

2 п

= А /Лр5+(^С08(ф - Ф1)) = £ = -п^г2}Щ- (И)

В итоге формулу (8) можно записать следующим образом:

-Я

Ьц/ = (-е М + в П(Х0,0))\1/, Мц1 =

(, ч2 с

X

((х1-х1)2+(г1-г1)2)1/2 бх'\

(12)

а уравнение (5) примет вид

^ - е(вд)ч/ = е 2(-м+ед,о))ч/ + в 2я. (13)

Заметим здесь, что оператор Ь содержит член е 2П(Хо,0), обеспечивающий затухание решения. Однако член е В может содержать источники возмущений, что обеспечивает возможность режима с некоторым ненулевым установившимся решением. Выход на это решение можно описать с помощью теории возмущений (например, с помощью метода многих масштабов, применение которого будет рассмотрено в п. 4).

3. Волновой пакет, сосредоточенный возле точки 0. А.

Запишем уравнение (3) с учетом преобразования (4) в виде

|у- - (До • У)у = -1(а>(Х0,к0 + V//) - -

- (14)

-г2хда(Хуро+Ч/‘\ + 1.

Выделим в уравнении (14) малый параметр в явном виде, для чего введем величины а = е2/3, Гу = аг, ^ = ст2*» I = а 2В, со / = ст2П,

получим

ду

= -/[со'л(Хй,к^ + уУг) - (од(Хо,ко) + +ю 2хх аю(Х°’^а^/<) + а2 П(Х0Л + у Vl)]ч/ + с2В.

(15)

Отметим, что зависимость со / от ст может иметь более высокий порядок, чем ст2, т. е. на этой стадии происходит расширение волнового пакета без затухания или усиления. Разложим функции, в аргумент которых входит выражение (ст//)У1 в ряд по ст с таким расчетом, чтобы

итоговая точность оказалась равной о(ст2), получим

•§£ + стшад) - %,= ь2[&&£-иХХ0 ,к0) + +

_ 1 ; (16) +ст2^(-Уо>^о)м/ +ъ2В, V* = Ё(Хо,к) - У*.соЛ(Хо,&)|-_-^.

Уравнение (16) является аналогом обычного волнового уравнения типа нелинейного уравнения Шредингера в движущейся системе отсчета. Это уравнение справедливо в том случае, когда характерный размер пространственного изменения функции ц/(7,г) совпадает по порядку величины с размером волнового пакета (сравни с уравнениями, полу-

О —

ченными в работе [1]). По поводу члена ст П(Х0,ко), ответственного за усиление (затухание) волнового пакета, следует' заметить следующее: приведенная в уравнении (16) форма этого Члена соответствует случаю, когда характерный размер _Дк существенного изменения функции П(к) в окрестности точки к0 в пространстве волновых чисел много больше размера волнового пакета. Если же размеры одного порядка, то демпфирующий член представится интегральным оператором.

Б. Противоположной к рассматриваемой является ситуация (рисунок б), когда фаза функции г) сильно меняется на длинах порядка

размера волнового пакета в физическом пространстве (т. е. функция у(/,г) является сильноосциллирующей), вследствие этого представим у(/,г) в виде

Ц1^,г) = Л(/,г1)ехр</6’(/,г1)/е), (17)

Гу = бг, = е2/, / = г2В, со/ = е2П. В этом случае уравнение (14)

может быть записано с точностью до членов порядка е 2 включительно (Приложение, формулы (5), (6), (7)) в виде:

^(е"^ ~ «*>* + шЛ^О»Ло + ^.У) - (йц(Хо,ко) +

+еХ1 а»д(^Ьу^)^ + м _ е(^1)А + БДл + (18)

+8 г(Ь1А + Вехр(-» ■£) + П(ЛГ0, ко + У^Л).

Далее необходимо заметить, что при определении функции ц/ в виде (17) вводится произвол, связанный с выбором определяющего уравнения для функций А и£ В большинстве случаев для функции £ выделяют уравнение эйконала. Тогда Я удовлетворяет уравнению

7 3/" - (Я<ДО) + юл(*о,Л° + V1.?) -

-сомЛ) + щ = 0> ( }

а амплитуда А — уравнению

- е^^А + еДл + ъ1(ЬгА + Яехр(-/-£) + П(Х0,^ + У^М). (20)

Уравнение (19) можно записать иначе, если ввести вектор р = &о + У^. Применим к уравнению (19) <?перацию У1; получим

}§ + <«№,?> + Ш)р

Шо ,р) = 8а*(2°'к)

дк

к=р

(21)

Уравнения (20) и (21) замыкают описание волнового пакета в рассмотренном случае. _

В. Пусть теперь точка ко лежит на оси а (ко = (ао,0), рис. 1, в). Рассмотрим физическую ситуацию, в которой фаза в направлении х меняется сильно, а в направлении I — медленно. В этом случае функцию у(/, г{) можно искать в виде

у(/,гО = зе(Г,г1)ехр(/'5’(^,х1) / 8). (22)

Операторы а>(Хо,ко + (е/ОУ^ и (д/дХо)а(Хо,А<)+(в//)У1) уравнения (14) теперь, ввиду симметрии а>(Х,к) по Д можно записать так:

а(Х0,к0 +1*0 = соЛ(Х0,а0 + ^4^) +

™2*Х0,«0+^,ф =

.. /у 1г . в д т . 1 д2в> К(Хо,*оЦс/1)д/дхиО) Г Г' д \

сол(^0,ао+ТЖГ’0)+2-------------др2--------+

2 (23)

+к2П(ЛГо,ао + у-^-,0) + <Э(е3),

аи(ЛГо,*о+(е//)У1) _ да>й(Х0,а0+(е/1)д/дХ1,0) + р, ч ^4)

дХ0 дХо

Для того чтобы получить оценку действия полученных операторов на функцию ч/(Г,Г[) вида (22), воспользуемся формулами (8), (9) и (10)

Приложения:

-коя(Х0,а0 +4^-,0)ц/(*,г1) = ехр(£ 5Х'>*1))[-*“>л(*о>Лс>0) +

+е1л(рх) + е212(рх)}ге((,г1) + о(Е2),

^,А) = ехр(1+ 0(1), О<*о.«о + |^|-,0)ч,((,п) = ехр(^ ЗЦ,х1))а(Х1),рх,С1)х(1,г1) + »(1).

Л=“0 + Л'

Используя эти формулы, получим следующие уравнения:

= -с*К(Х0,Рх,0) + а>К(Х0,а0,0) - ^ ; (25)

* - ^ = 8Д(Л)Х + в 2(4(А) - + (26)

+О(Лг0,;>х,0))х + о(е2).

Продифференцируем уравнение (25) по х1; получим

1 дРх , (г , гу у \дРх . г Зсол(-^0>Лс>0) г р7\

ТЖ + ^+ех^дЩ ло)-^ + ^---------------щ-------> &С--&Г- V')

Уравнения (26) и (27) описывают динамику волнового пакета с ^) = (а0,0).

4. Применение теории возмущений для получения укороченных уравнений динамики волнового пакета. Воспользуемся для описания динамики явлений в рассмотренных выше случаях методом многих масштабов. В п. 2 для случая Л0 = 0 было получено уравнение (13), в

котором для упрощения выкладок было положено Д0 =(Х0)0):

- 8*0 Л = е 2(-Л/ + П(Х0,0))У + 8 2 В. (28)

Разложим ц/, 9/9/ и д/дх^ в ряды по е:

О О

V = Ч'О + ^1 + е т2 +---’ = 5/9Г0 + 8 3/9/1 +Е 5/9/2 +--->

■^-->•^- + 8^- + .... Подставляя эти разложения в уравнение (28), получим

(ЗО)

В соответствии с методом многих масштабов решаем уравнения (29), (30) и (31) последовательно в масштабах /0 и исключая при этом секулярные члены, если они появляются. Из уравнения (29) получим у0 = ч,о(^1^2> ••• >х1>*2> •••)• Уравнение (30) дает с учетом предыдущего результата = Ч'1(^1»*2, >х1,х2,...) и (д/д^- Хцд/дх^у0 =

= 0. Если обозначить производную вдоль характеристики X! = -Х<^ + + х10 через (і/^і, последнее соотношение можно записать в виде сіхуо/й^1( т. е. вдоль характеристики у0 не зависит от ^. Используя полученные результаты, можно приступить к решению уравнения (31). Решая уравнение в масштабе /0, получим \у2 = ч/2(^1^2> ••• >х\>хг> Исключение секулярности приводит к уравнению

Решая теперь уравнение (32) в масштабе ^ вдоль характеристики и используя независимость у0 от ^ на характеристике, получим V}/! = = Ч/1(/2,...,х2,...) и

Воспользовавшись выражением (12) для определения оператора М, получим для осредненного по /1 ядра этого оператора выражение

где £ = Ло*1» с = 7.1~£{> — константа, не зависящая от Сле-

довательно, для \|/0 в масштабе /2, х2; окончательно получим следующее уравнение:

. дУО Л\ д12

-х0^ = (-м + птчо + (в\о>

(32)

(33)

дЧ'О

(34)

Смысл полученного уравнения весьма прозрачен: оно описывает распространение возмущения от движущегося источника за счет сноса возмущения в сторону, противоположную направлению движения системы отсчета (источника). Продольный масштаб этого возмущения ограничен затуханием возмущения со временем, иначе говоря, уравнение (34) описывает след движущегося со скоростью Хо источника.

Рассмотрим теперь случай А п. 3. Динамика волнового пакета в некоторой системе отсчета, движущейся с произвольной скоростью

Во = (хо^о), описывается уравнением (16), которое можно переписать в виде

Естественно, что описание волнового пакета проще всего в «собственной» системе отсчета. Поэтому положим

Тогда зависимость Во от времени становится определенной из решения системы (36) обыкновенных дифференциальных уравнений. Следовательно, становятся определенными функциями времени коэффициенты уравнения (35). Представив ц/ и 5/5/ в виде ц/ = у0 +

Решая систему (37), (38) и (39) аналогично тому, как это было сделано выше для уравнения из п.2, получим окончательно

Уравнение (40) описывает расплывание волнового пакета при наличии линейных и нелинейных источников возмущений.

Рассмотрим случай Б п. 3. Простейшее решение здесь получается, если положить, что р не зависит от гь т. е. явлется функцией только

^ + а(Ё(Хо,к0)-Во,?1)у = °2Фч> + В), Е = (35)

где

дтя(Хр,к)

дХ0

'к=ко

+ П(Ао, ко).

(36)

+ е\)/1 + е2\|/2 + ••• и 5/5/ = д/Щ + гд/д^ + е25/3*2 + •••> получаем следующую систему уравнений для у0, у1; ц/2 и т. д.:

дУо _ п

5/0 *

(37)

(38)

(39)

(40)

от времени и (Общая ситуация связана с рассмотрением траекторий — характеристик уравнения (27) для р и получением уравнений вдоль этих характеристик, см., например, [5].) Тогда уравнение (21) примет вид

& дтя(Х0 ,Р)_п мп

+---Щ-----е /_Г2- (41)

При этих предположениях уравнение для амплитуды примет вид, при получении которого учтено, что р, а следовательно, и а(Х0,р) не зависят от Гу:

М- + г(ё(Х0,р)-%,У1)А =

- , (42)

= г2[Ь2+Вехр(-^) + П(Х0,р)]А, 8 = ^-

(Определение см. в Приложении.) Перейдем в собственную систему отсчета, т. е.

% =8(Х0,Р). (43)

Система (41) и (43) соответствует тому, что «центр масс» волнового пакета в Масштабе /2 описывается динамикой типа гамильтоновой.

Решение этой системы определяет Яо и р как функции от времени, при этом коэффициенты уравнения (42) становятся известными функциями времени. После этого применение метода многих масштабов становится аналогичным предыдущему случаю, в результате получаем

М = (4+п(лг0,^)М + ((Дехр(-^)) \ . (44)

\ / /1

Снова получается уравнение дисперсии волнового пакета в присутствии источников (в некотором смысле система уравнений (41), (43) и (44) соответствует некоей частице с внутренними степенями свободы, описываемыми уравнением (44), движущейся во внешнем силовом поле).

Случай В п. 3 не будем анализировать подробно, так как он вполне аналогичен только что рассмотренному с той лишь разницей, что система уравнений (41) и (43) записывается только относительно х-со-ставляющих обобщенного импульса и координаты.

Таким образом, показано, что имеется несколько возможностей (режимов) для описания волновых пакетов. В реальном случае все указанные возможности могут реализоваться одновременно. Из приведенного анализа видно, что рассмотренные возможности, кроме случая А п.З, отличны от имеющихся в литературе случаев нелинейного волнового уравнения в параболическом приближении и геометро-оптичес-кого приближения [1], [5]. Случай, рассмотренный в п. 2, описывает распространение следа от движущегося источника возмущений. Случаи

Б и В п. 3 аналогичны движению частицы с внутренними степенями свободы в силовом поле. Внутренние степени свободы при этом описываются нелинейным волновым уравнением в параболическом приближении с переменными во времени коэффициентами.

/ — мнимая единица. Предположим, что в окрестности точки А0 функция ср(Аг) является аналитической. Тогда функцию Ф(/,г) можно выразить через функцию у(/,г), которая определяется выражением

Для доказательства этого нужно, с одной стороны, разложить функцию Ф(к) в ряд Тейлора в окрестности точки Л0 в выражении (1). С другой

стороны, дифференцируя выражение (2) по х и £ соответствующее число раз, умножая при этом на частные производные по а и р от функции ф(к), можно обнаружить, что выражение (1) является некоторой линейной комбинацией таким образом получаемых членов. Это обстоятельство можно выразить с помощью соотношения

которое надо понимать следующим образом: записать в развернутом виде каждый член (е//)"(^ • V,.)", все д/да и 5/Эр собрать слева, все д/дх и д/дг — справа, тогда произведение степеней операторов д/да и З/Зр действует только на ф(Л), а произведение степеней операторов д/дх и д/дг — только на у(/,г).

Пусть теперь \у(/,г) = Л(/,г)ехр((//е)5(/,г)), т. е. у(7,г) — быстро-осциллирующая функция. Тогда для Ф(/,г) получим после несложных, но громоздких выкладок

Ф(/,г) = |ф(к)Ащ ехр(/Дк ■ г)сШЛ = |ф(^) + гэг)Ащ ехр(/аггх)(1эг, (1)

Ф = е2ф,

где к=ко + &к, Ак = (да,др), г = (х,г), г1=ег, эё = Д/с/е = (аех,аег),

(2)

Ф(/,г) = Х[ф(^)(7)”~'1П~'~1у(/,р) = Ф(/со +7Уг)^(^>^), (3)

л=0*-

Ф(/,г) = ехр ((//Б)5')(10л + еЦА + е24л +...), (4)

где Д), Д и Д ПРИ ф(^) = -/(и (Л) - соя(коУ) имеют следующий вид:

LqA = -/(to(J) - юл(Ао))Л,

(5)

(6)

I^A = +i[V[^LgA + ±(GV)A\ --£<y • v*)(vf) - ^-(V • V*)f ].

(7)

В формулах (5), (6), (7) введены обозначения:

ji = *0 + vi, V-(£,£)-(*»*!>), v,.(£,£)

2

В одномерном случае, т. е. когда V -> V*. -> формулы (5),

(6), (7) перепишем в виде

1. Зельман М. Б. О нелинейном развитии возмущений в плоскопараллельных потоках //Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. — 1974. Т. 3. Вып. 13.

2. Михайлов В. В. Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя // Изв. АН СССР, МЖГ. — 1981, № 5.

3. S m i t h F. Т., S t u w a r t P. A. The iesonant-triad nonlinear interaction in boundary layer transition // J. Fluid Mech. — 1987. Vol. 179.

4. Филипс О. Взаимодействие волн — эволюция и идеи // В кн.: Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. — М.: Мир, 1984.

5. Федорюк М. В. Уравнения с быстроосциллирующими решениями. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 34 (Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР).» — М.: 1988.

6. Маделунг Э. Математический аппарат физики. — М.: Физматгиз,

1961.

v=l

LqA = - g>r(cl0))A,

(8)

(9)

dx 6 dxda. 2 da. dx

A cPg(Px) _ 1 8A S2g(px) 24 cPxda. 6 dx dxda ’

(10)

где px = ot0 + g =

да>х(Х0,рх,О)

da

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 27/IV1992 г.