Асимптотическое исследование нестационарного уравнения Ландау-Халатникова для определения электрокалорического эффекта в теплоизолированном сегнетоэлектрике Текст научной статьи по специальности «Физика»

УД К 621.317.3

Асимптотическое исследование

нестационарного уравнения Ландау—Халатникова для определения электрокалорического эффекта в теплоизолированном сегнетоэлектрике

Канд. техн. наук А. В. ЗАЙЦЕВ, канд. физ.-мат. наук А. С. СТАРКОВ, канд. техн. наук О. В. ПАХОМОВ

Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий 191002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9

In the article there is considered measurement of the solid electrocaloric cooler temperature under the influence of the alternating electric field. The modified theory of change of fase by Landau-Cinzburg is used as a model. The given approach allows to consider mutual influence of the temperature changes and the polarization in the chilling proces.

Key words: electric field, a ferroelectric material, temperature, polarization.

Ключевые слова: электрическое поле, сегнетоэлектрик, температура, поляризация.

Электрокалорический эффект (ЭКЭ) заключается в изменении температуры вещества при приложении или снятии электрического поля. Наиболее существенным ЭКЭ обладают сегнетоэлектрики, у которых диэлектрическая проницаемость сильно зависит от температуры. Появившиеся в последнее время новые сегнетоэлектри-ческие материалы |1] позволили увеличить охлаждение с 1—2 до 10—12 °С, что дало возможность использовать их в практических целях. Основным уравнением для описания состояния сегнетоэлектрика, связывающим напряженность электрического поля Е и поляризацию Р, является уравнение Ландау—Гинзбурга:

Е = аР + ЬР3, (1)

или его обобщение на нестационарный случай — уравнение Ландау—Халатникова:

дР

Е = аР + ЪР3 + а — , (2)

где а, Ь,а— некоторые феноменологические коэффициенты.

Коэффициент а линейно зависит от температуры: а = ао(Т - Тс), где Тс — температура Кюри сегнетоэлектрика. Коэффициенты ао, Ь, а считаются постоянными. Уравнения (1) и (2) применимы в малой, порядка 10 градусов, окрестности температуры Кюри.

Для описания температурного состояния вещества с учетом ЭКЭ применяем уравнение

Се<1Т = -Т^<1Е, (3)

где Се — теплоемкость сегнетоэлектрика при постоянной напряженности,

Се = сер,

здесь се — удельная теплоемкость; р — плотность сегнетоэлектрика.

Напомним, что в основополагающих работах Л. Д. Ландау температура считается постоянной, что может быть справедливо для стационарного уравнения (1), но при изменяющемся электрическом поле Е будет изменяться и поляризация, и, следовательно, температура. Таким образом, предлагается рассматривать уравнения (2), (3) не

по отдельности, как это делалось ранее, а в системе. Более того, уравнение (3) мы заменим эквивалентным ему уравнением, содержащим теплоемкость при постоянной поляризации Ср.

Выберем свободную энергию в форме Ландау:

Т = Т0(Т)+ао(Т-Тс)^+&^, (4)

где (Г) — функция только температуры, явный вид которой не регламентируется. Отсюда последовательно находим: энтропию

<9Т Р2

3 = -^ = -П(Т)-а0-

и теплоемкости:

СЕ = Т = -ТТ"(Т) - а0ТРРт-

СЕ = СР - а0ТРРт.

} (5)

подтверждается экспериментальными данными [3], которые показывают линейную зависимость Ср от температуры. В результате уравнение адиабаты для сегнето-электрика принимает вид

2Х(Т-Т0) = а0(Т2-Т02); х

Ср Г '

(6)

Заметим, что в уравнение (6) входит только Р2, так как поляризация Р есть векторная величина, и в простейшей изотропной модели в уравнение может входить только зависимость от Р2.

Пусть до момента времени т = 0 электрическое поле Е = 0, температура сегнетоэлектрика поддерживалась равной Т0 < Тс, а поляризация была равна спонтанной Рз = \J-ajb (а < 0 в сегнетофазе при Т < Тс). В момент временит = 0 начинает действовать периодическое электрическое поле по закону Е = Еоътыт, где Е0 — амплитуда; и — частота.

Временная динамика параметров сегнетоэлектрика описывается системой дифференциальных уравнений

Е = аР + ЬР3 +

дР

(7)

СрйТ -Та0Р6Р = 0,

Аналогично работе [2] здесь введено обозначение

Рт = дР/дТ.

Из приведенных формул следует, что при отсутствии электрического поля в парафазе при Т > Тс, когда Р = О, теплоемкости Се и Ср совпадают.

Производные по температуре, входящие в соотношения (5), вычисляются из уравнений (2) или (1):

дТ

дТ

а + 3 ЬР2 '

которую необходимо дополнить начальными условиями

Т = Т0;

т=О

Р =Рз,

т=0

(8)

В результате получаем, что для моделей Ландау—Гинзбурга и Ландау—Халатниковатеплоемкость Ср (в отличие от Се) является функцией только температуры, а производная дЕ/дТ — функцией только поляризации, и второе из соотношений (5) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, и нетрудно получить его общий интеграл

Ср(Т)6т ао (р2 ~ ро)

т

где Т0, Т0 — начальная температура и поляризация. В области применимости модели Ландау, т. е. в малой окрестности точки Кюри, функцию ТС"(Т) можно заменить на постоянную Т()'(Т) = х- Правомерность такой замены

причем Т0 и Рз согласованы между собой.

Второе из уравнений (7), как говорилось выше, легко может быть проинтегрировано с учетом начальных условий, и, выразив из полученного соотношения Т и подставив в первое уравнение (7), получаем одно дифференциальное уравнение, связывающее поляризацию и напряженность:

Е0 вігі іот = а0 Т0 - Тс + а0

дР

р - Та

2Х

Т+

+ЪРЛ Л-ОС— от

(9)

Уравнение (9) является нелинейным, не допускает аналитического решения, и в общем случае его решение может быть получено только численно.

Для анализа свойств решения уравнения (9) исследуем его асимптотику при малых амплитудах электрического поля Е0 <§; 1.

Начальные данные для всех находятся при подстановке условий (8) в уравнение (9) и имеют вид:

Т

= Тп

То

г—О

г—О

= Рз\ Рі

Г = 0

= 0, і>0. (10)

При приравнивании слагаемых, не содержащих Е0, получаем Р0 = Рз. Приравнивание коэффициентов при Ео приводит к уравнению

d Р

а—— + К\Р\ = sin ujt, (11)

d г

где

К1 = [J + 2Ь) ps-

При приравнивании слагаемых К(Р2) получаем уравнение

a^+K1P2 + K2Pi = 0, (12)

а т

где

3 а20 + ЬХ к, - -Ps.

Решение уравнения (12) имеет вид:

Р-2 = Р-21 sin 2lot + Р22 cos 2UIT+

+ (Р23 sill LOT + Р24 COS lot) в KlT/a + P25e KlT/a + P20.

Отметим, что, как и положено для нелинейного уравнения, появляются высшие гармоники. Явный вид коэффициентов P2i, i = 1,2,3,4,5 не выписываем ввиду их громоздкости, а Р20 представляем следующим образом:

Следовательно, во втором приближении происходят колебания поляризации и температуры относительно среднего значения, которое незначительно отличается от начального значения, т. е. эффект охлаждения весьма мал [4].

В заключение заметим, что приведенная выше теория позволяет рассмотреть взаимное влияние температуры и поляризации, что необходимо для корректного термодинамического анализа эффективности электро-калорических охладителей. Но, тем не менее, задача не может считаться завершенной, так как не учитываются теплообмен с окружающей средой, конечность размера сегнетоэлектрика и т. д.

Данная работа выполнена в рамках государственной аналитической программы «Развитие потенциала высшей школы 2009—2010», раздел «Проведение фундаментальных исследований в области технических наук», регистрационный номер 2.1.2/5063.

Список литературы

1. Mischenko A. S., Zhang Q., Scott J. F., Whatmore R. W., Marhur N. D. Science 311,1270, 2006.

2. Старков А. С., Пахомов О. В., Старков И. А. Учет тепловых явлений в модели Ландау—Гинзбурга фазового перехода второго рода // Письма в ЖЭТФ. 2010. Т. 91. Вып. 10.

3. Шнайдштейн И. В. Неклассические тепловые явления в реальных сегнетоэлектрических кристаллах: Авто-реф. дис. ...д-ратехн. наук. — М.: МГУ, 2007.

4. Пахомов О. В., Карманенко С. Ф., Семенов А. А., Старков А. С., ЕськовА. В. Термодинамическая оценка эффективности охлаждения посредством электрокалорической твердотельной линии // ЖТФ. 2010. Т. 80. Вып. 8.