CC BY
35
Вестник Челябинского государственного университета. 2015. № 22 (377).
Физика. Вып. 21. С. 68-74.
УДК 537.86
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДЕЛИ ЦИКЛОТРОННОГО ГИРОМАГНИТНОГО АВТОРЕЗОНАНСА
Л. А. Калякин
Институт математики с вычислительным центром РАН, Уфа, Россия
В математическом моделировании задача об авторезонансе состоит в выявлении решения с неограниченно растущей энергией. На уровне формальных конструкций вопрос решается построением асимптотического решения в виде ряда по степеням временной переменной с постоянными коэффициентами. Известно, что такой ряд представляет асимптотику точного решения. Чтобы это решение имело отношение к описанию физического явления, требуется его устойчивость. Это свойство устанавливается вторым методом Ляпунова.
Ключевые слова: нелинейные колебания, асимптотика, авторезонанс, устойчивость.
Введение
Постановка задачи. Объектом исследования является математическая модель для движения заряженной частицы в поле плоской электромагнитной волны, бегущей вдоль медленно растущего магнитного поля. В определённом приближении, которое будет обсуждаться ниже, такая модель описывается системой двух дифференциальных уравнений
у-^ = 7(1 - N2)у2 + 2NYу - (1 + Y2)Ecos у, (1)
у ^ = ) - (1 - N2)у- NY -dt
(1 - N2)у + NY E .
—. E sin у.
V(1 - N2) у2 + 2 NY у- (1 + Y2)
Здесь Q(t) заданная функция времени при t > 0, остальные параметры — постоянные: N, Y, E = const. В физической интерпретации переменная y(t) соответствует энергии частицы, y(t) — разность фаз между вращением частицы и вектора поляризации волны.
Цель работы — исследовать решения, захваченные в резонанс, когда сдвиг фазы y(t) стабилизируется, а энергия у (t) неограниченно растёт при t ^ да. Подобные эффекты в нелинейных осциллирующих системах ассоциируются с явлением авторезонанса или автофазировки [1]. Требуется: 1) выделить такие (резонансные) решения; 2) исследовать их устойчивость.
Пример. Для системы (1) с параметрами N < 1, E > 0, Y = 0 и с растущей функцией
Q (t) = >/(1 - N 2)(1 + m212), m = (1 - N 2)E cos у 0 существует два решения с неограниченно расту-
щей энергией: y(t) = Q(t) / (1 - N2 ) и с разными фазами у = ±у0. В этом примере остаётся не ясным, какое из этих решений устойчиво и есть ли другие решения с растущей энергией.
В общем случае точные решения, конечно, не выписываются в явной форме, тем более, через элементарные функции. Однако если коэффициент Q(?) имеет степенное разложение на бесконечности, например, Q (t ) = Q t + Q 0 - полином, то при условии N2 <1 можно построить асимптотику одного из решений в виде
у (t ) = Q t /(1 - N2) + O (1), t ^ œ.
Тем самым наличие растущего коэффициента Q(?) обеспечивает рост энергии у(?). К сожалению, для такого решения начальное значение, как правило, не определяется. Тем более остаётся открытым вопрос об идентификации других резонансных решений.
Известные результаты. Из структуры подкоренного выражения в (1) видно, что решения с неограниченно растущей компонентой у(?) возможны лишь при условии N < 1. Результаты данной работы относятся к случаю N2 < 1 и состоят в доказательстве существования устойчивого решения, у которого энергия у(?) ^ да, а у(?) стабилизируется при t ^ да. Свойство устойчивости гарантирует существование множества решений с растущей энергией и наблюдаемость соответствующего физического явления.
Надо иметь в виду что в подобных системах наряду с резонансными решениями существует много нерезонансных решений с проскальзыванием фазы, у которых растёт не энергия, а фаза
y(t) [1]. Их присутствие значительно усложняет доказательство устойчивости.
Если N2 = 1, то резонансных решений в общей ситуации не бывает. В этом случае из первого уравнения можно усмотреть ограничение для энергии y(t) < O(1 + t ). Тогда из второго уравнения вытекает, что решения со стабилизирующейся фазой могут существовать лишь при условии Q(t) ^ Y. В частности, если коэффициент Q — постоянный и совпадает с Y, то система интегрируется в элементарных функциях, энергия растёт: y(t) = O(t ) при t ^ да. Этот случай соответствует циклотронному авторезонансу, он хорошо изучен (см. обзоры [2; 3]) и здесь не обсуждается.
При условии постоянства всех коэффициентов Q, N, Y, E = const система имеет первый интеграл Z = (1 - N2)у2 / 2 + (NY-Q)y +
+y¡ (1 - N2) у2 + 2 NY у- (1 + Y2) E sin у.
Поскольку это выражение постоянно на траектории системы, то из него видно, что при N Ф 1 решений с неограниченно растущей энергией не существует.
Для получения неограниченно растущей энергии при N2 < 1 используются коэффициенты, зависящие от времени. В таком случае уравнения не интегрируются. Тем не менее анализ решения возможен с использованием асимптотических методов, также на этом пути можно выяснить условия существования резонансных решений. Впервые это было сделано К. Голованевским [4; 5] для задачи, которая соответствует системе (1) с N = 0. В этом направлении известны и другие результаты, например, [6]; много ссылок можно найти в обзоре [3].
Обычные способы выявления резонансных решений основаны на упрощении уравнений до уровня, когда можно выписать явные формулы через известные функции. Такие подходы базируются на наличии в уравнениях малых параметров, таких как скорость изменения внешнего магнитного поля и амплитуда электромагнитной волны. Понятно, что упрощение уравнений приводит к погрешностям, малость которых на бесконечном временном промежутке не гарантируется. Поэтому рассуждения о неограниченно растущей энергии на основе анализа упрощённой системы выглядят сомнительно. В данной работе предлагается анализировать исходную систему без её упрощения и без каких-либо предположений о наличии малых параметров. В конечном итоге результаты об устойчивости позволяют обосновать и разные приближения по малому параметру.
Конечно, система (1) тоже является упрощением более сложной модели, для которой получаемые здесь результаты напрямую не применимы. Однако предлагаемый способ, основанный на анализе устойчивости методом Ляпунова, мало зависит от сложности исходной модели и представляется перспективным. Более существенный недостаток рассматриваемого подхода состоит в невозможности указать область захвата в резонанс, в частности, начальные данные для резонансного решения. Эта проблема, как известно, решается анализом задачи на начальном этапе [1]; здесь она не обсуждается.
Вывод исходных уравнений
Рассматривается движение частицы с зарядом e и массой (покоя) m в однородном магнитном поле при наличии плоской электромагнитной волны, бегущей в направлении поля. Для описания движения частицы выбирается декартова система координат с осью z, ориентированной вдоль магнитного поля. В таком случае однородное поле задаётся вектором магнитной индукции в виде B0 = (0,0,B0). Компонента В0(Т) может зависеть от времени Т. Плоская электромагнитная волна, бегущая в том же направлении, задаётся парой векторов
E = (Ej cos 8, E2 sin 9,0), B = N(-E2 sin 9, El cos 9,0).
Амплитудный вектор (Ej,E2) считается постоянным. Фаза волны 0 = kz - at определяется волновым числом k и частотой ю. Коэффициент N = kc/ю представляет собой отношение скорости света c к фазовой скорости волны ю/k. Величину N принято называть «показатель преломления». В обычных средах N > 1, что соответствует свойству: фазовая скорость волны не больше световой. Однако встречаются ситуации, где фазовая скорость больше световой, а значения N оказываются меньше единицы. Как раз в такой ситуации возможно авторезонансное ускорение частицы. Так, например, формулы с k = 0, ю ф 0 описывают вращение однородного по z электрического поля при отсутствии магнитной компоненты. В этом случае N = 0. Задача об авторезонансе была исследована в [4; 5].
Компоненты электромагнитного поля согласованы, так что выполняются уравнения Максвелла. Добавка однородного постоянного магнитного поля B0 не меняет эти уравнения. Однако если поле B0(T) меняется со временем, то в соответствии с уравнениями Максвелла появляется дополнительный вклад в электрическом поле. Считается, что эти изменения медленные по сравнению с изменением магнитной компоненты элек-
тромагнитного поля. Тогда дополнительный вклад в электрическое поле будет относительно мал, и он не учитывается в рассматриваемой модели.
Исходные релятивистские уравнения движения частицы выписываются для вектора импульса с учётом силы Лоренца
dP - e - - -
d- = eE + -V x (B + B0).
dT c
Связь импульса с вектором скорости выражается соотношением
P = m yV.
Релятивистский фактор определяется формулой
у = 1/V1-V2/c2. Если в качестве характерного времени использовать период колебаний электромагнитного поля, а в качестве характерной скорости взять скорость света, то переменные следует перенормировать по формулам
ю T = t,P = mcp,E. = Emcrn / e.
При такой нормировке релятивистский фактор выражается формулой
У = V1 + p2.
С точностью до множителя эта величина совпадает с энергией частицы: mc2y. Для краткости будем называть переменную у энергией.
Ввиду выделенного направления магнитного поля рассматриваемую модель удобно анализировать в соответствующих цилиндрических координатах. Для этого вектор импульса представляется в виде p = (q cos 9c, q sin 9c, p).
Здесь q — модуль поперечной компоненты импульса, переменная 0c интерпретируется как фаза при вращении частицы вокруг оси z. Для трёх искомых функций p, q, 0c получается система уравнений (см. например, [2]) dp
у — = Nq[E+ cos у + E- cos ф]; dt
dq
у— = (у- Np)[E+ cos у + E_ cos ф]; dt
d 9
q-у—- = -Qq + (у- Np)[ E+ sin у + E- sin ф]. dt
(2)
Здесь О = еВ0 / теш; Е± = (Е\ ± Е2) / 2; у = 0, - 0е;
Ф = 0, + 0е.
В эти уравнения входит функция, соответствующая фазе электромагнитной волны
е,(0 = (кг - о1* =
Посредством её описывается взаимодействие волны с частицей, находящейся в точке с продольной координатой г = ¿(р). Эта формула для 0,(0 должна быть присоединена к системе уравнений и допол-
нена дифференциальным уравнением для переменной ¿(р). Однако вместо этого удобнее использовать уравнение для 0,(?) в дифференциальной форме, не вводя явно координату частицы. Уравнение получается дифференцированием выражения для 0,(р). При этом в полной производной фазе по времени обнаруживается слагаемое, которое зависит от продольной компоненты импульса р и интерпретируется как эффект Допплера
d9s p
—s- = -1 + N—.
dt у
(3)
Таким образом, получается замкнутая система четырёх дифференциальных уравнений (2), (3), дополненная формулами для у, ф. Уравнения, очевидно, можно переписать в эквивалентной форме для функций p, q, у, ф.
Упрощение уравнений. Если коэффициент преломления N — постоянный, то имеется первый интеграл, который не зависит от других параметров системы Y = Ny - p. При этом число дифференциальных уравнений уменьшается до трёх.
В случае круговой поляризации, E1 = E2, уравнение для ф в полной системе (2), (3) отделяется, поскольку E = 0. Если ещё и N = const, то остаются два уравнения, которые соответствуют исходной системе (1). В случае некруговой поляризации тот же результат можно получить, используя усреднение по ф при дополнительных ограничениях на частоты колебаний.
Уравнения выгодно записывать в форме (1), используя энергию у и сдвиг фазы у. При этом модуль поперечного импульса q выражается через энергию и первый интеграл по формуле
q(у) = V(1 - N2)у2 + 2NYу-(1 + Y2).
Общая структура уравнений. Анализ решений удобно проводить для уравнений в общей, более короткой и обозримой форме
у—= GMcos у, dt
у = A,(t) - у - Q (у) sin у.
(4)
На функции Q(y) и Х(?) накладываются ограничения, которые отражают специфику исходной системы. Принципиальное значение имеет структура разложения на бесконечности с линейно растущим главным членом:
ш=Оу+Za у-и,
n=0
да
X(t) = Xt + ^nt~n, t ^<X>.
n=0
Конкретные уравнения (1) получается при выборе
Q(у) = Ч(у)Е/(1 - N2), X (Г) = [ О (Г) - N1 ]/(1 - N2). с растяжением времени
Г ^ (1 - N2)Г. В случае, когда магнитное поле В0 растёт линейно по времени, коэффициент X в (4) представим в виде полинома X (Г) = X Г + X 0.
Резонансные решения со степенной асимптотикой
Для неавтономных уравнений решения в явном виде, как правило, не выписывается. Но если коэффициенты имеют степенную асимптотику на бесконечности, то довольно просто строится асимптотика решения в виде степенных рядов с постоянными коэффициентами. В данном случае
7(0 = ХГ + у 0 +Ёуиги, у(0 = ^0 . (6)
п=1 п=1
Коэффициенты определяются из рекуррентной системы алгебраических уравнений, которая получается после подстановки этих рядов в (4) и приравнивания выражений при одинаковых степенях Г. Например, на первом шаге получаются уравнения
X = 2 cos у0.
Условие разрешимости этого тригонометрического уравнения накладывает ограничение на исходные данные
IX / е\< 1,
при которых предлагаемая конструкция реализуема. В исходной системе это соответствует ограничениям на скорость роста продольного магнитного поля и амплитуду электромагнитной волны, при которых существуют резонансные решения.
На первом шаге обнаруживаются два корня у0 (по модулю 2п), различающиеся знаком. При выборе одного из них на следующих шагах алгебраические уравнения разрешимы однозначно. Таким способом находятся две серии коэффициентов уп (п = 0, 1, ...) и строятся два асимптотических решения в виде (6). Ряды обычно расходятся. Тем не менее существуют точные решения, гладкие на полуоси Г > 0, для которых эти ряды представляют асимптотику при Г ^ да. Ниже доказывается устойчивость одного из этих решений.
Заметим, что ряды для решений не обрываются независимо от того, обрывается ли ряд для исходной функции Х(Г). Однако если, исходя из структуры данных (5), уравнения упростить:
d у у d w у ~ .
— = Qcosw, у—- = Xt + "Y"Qsinw, (7) dt dt
то для решения упрощённой системы ряды обрываются, можно выписать точное решение в явной форме
у(t) = Xt + у0, w = W0 = arccos(X / Q),
Y 0 = X0 " Q sin Wo-
Устойчивость резонансного решения
Задача об устойчивости заданного решения обычно сводится к вопросу об устойчивости равновесия. Для этого общее решение ищется в виде суммы
у (t) = у (t) + х( х), w (t) = w (t) + y (x), x = tQ.
Растяжение времени
x = tQ
удобно для более короткой записи формул. Для остатка х(т), у(т)получается система уравнений, в которой точка х = 0, y = 0 является равновесием. (В этом контексте переменные х, y не имеют отношения к координатам частицы.) Далее можно применять теоремы Ляпунова.
В рассматриваемой ситуации для решений полной системы (4) имеется лишь асимптотика на бесконечности. Явные формулы для точных решений отсутствуют, а ссылки на общие теоремы обоснования асимптотики могут показаться неубедительными. Поэтому предлагается вопрос устойчивости решить сначала для упрощённой системы (7), используя наличие в ней простых формул для точного решения. Основной результат здесь состоит в построении функции Ляпунова. После этого исходные уравнения (4) рассматривается как возмущение упрощённой системы. Вопрос устойчивости для полных уравнений решается теоремой Малкина [7] об устойчивости относительно постоянно действующего возмущения. Преимущество такого подхода состоит в том, что вместе с устойчивостью здесь доказывается теорема существования решения с заданной асимптотикой. Попутно решается вопрос устойчивости такого решения относительно постоянно действующих возмущений.
Теорема. Для системы уравнений (4) при условии X / Q |< 1 существует резонансное решение с асимптотикой (6), которое при выборе w0 = arccos(X / Q) < 0 асимптотически устойчиво по Ляпунову и устойчиво относительно постоянно действующих возмущений.
Доказательство устойчивости по Ляпунову (то есть устойчивости по начальным данным [8])
проводится для упрощённой системы (7). Уравнения для остатка имеют вид
^ = соэ(Уо + У) - соэ(Уо), ат
1 _ (8) [х / б + яп(Уо +У) -яп(уо)].
dy
ат у+х
Они рассматриваются в окрестности бесконечности т > :0 при достаточно большом :0. Именно там полные уравнения (4) можно рассматривать как возмущение упрощённой системы (7). На конечном промежутке 0 < т < ?0 устойчивость относительно возмущений начальных данных как в полной, так и в упрощённой системах не вызывает сомнения ввиду простой структуры уравнений, [9].
Один из способов исследования устойчивости состоит в анализе уравнений, линеаризованных вблизи равновесия (первый метод Ляпунова). В данном случае собственные значения матрицы линеаризованной системы имеют отрицательную действительную часть. Однако она быстро убывает по времени как 0(т ) при т ^ да. Из-за этого первый метод Ляпунова здесь не применим, утверждение об устойчивости на основе анализа линеаризованной системы сделать нельзя. Легко строятся примеры с неустойчивым равновесием для систем с такими собственными значениями.
Поэтому для анализа устойчивости здесь применяется второй метод с построением функции Ляпунова. В качестве неё берётся положительно определённая вблизи равновесия функция, квадратичная в главном члене асимптотики: V (х, у, т) =
= X
У
- + У [ %t) + x] + vxy.
с^Оо + У)- с^Оо)
Здесь у(:) = тА / б + у0 — компонента решения упрощённой системы.
Дальнейшая конструкция сводится к выбору такой константы V, при которой полная производная функции и(х, у, т) в силу системы (8) будет отрицательно определённой. В малой окрестности равновесия получается неравенство
аи (х, у, т) 2т ^
---V (х, у, т)
а т т
с положительной константой т. Эта оценка представляет собой основной математический результат данной работы. Из неё вытекает оцен-
ка для функции Ляпунова вдоль траектории системы:
U(x,у, т) < U0т-2т, U0 = const.
С учётом структуры этой функции получаются оценки для координат на траектории
|х(т)|< M0т"m, | у(т)|< M0т"m-1/2, M0 = const,
из которых вытекает асимптотическая устойчивость равновесия. Обратим внимание, что устойчивость носит степенной характер, а не экспоненциальный. Этот факт подтверждается в численных экспериментах.
На втором этапе доказательства рассматривается полная система (4) как возмущение упрощённых уравнений (7) в окрестности бесконечности. Эти системы отличаются слагаемыми, которые стремятся к нулю на бесконечности, при у, t ^ да. Небольшая модификация теоремы Малкина позволяет доказать, что упрощённая система устойчива относительно постоянно действующих возмущений. Тем самым траектории полной системы остаются вблизи упрощённого решения, если были близки к нему в начальный момент t0. В частности, для системы (4) существует решение с растущей энергией
у (t) = Xt + O (1)
при t ^ да и оно устойчиво. Из тех же результатов следует и устойчивость системы (4) относительно постоянно действующих возмущений. Теорема доказана.
Замечание. Второе резонансное решение, у которого выбирается
у0 = arccos(A, / Q) > 0,
будет неустойчиво. Это следует из анализа линеаризованной системы, в которой матрица имеет положительное собственное значение.
Заключение
Для уравнений (1) с линейно растущим коэффициентом
Q(t) = Qt + O(1), t ^ да при 0 < N < 1
доказано существование устойчивого резонансного решения с неограниченно растущей компонентой
у(t) = tQ /(1 - N2) + O(1). Это решение описывает движение захваченной в резонанс частицы в плоской электромагнитной волне при наличии медленно растущего магнитного поля.
Список литературы
1. Калякин, Л. А. Асимптотический анализ моделей авторезонанса / Л. А. Калякин // Успехи мат. наук. -2008. - Т. 63, вып. 5 (363). - С. 3-72.
2. Милантьев, В. П. Явление циклотронного авторезонанса и его применения / В. П. Милантьев // Успехи физ. наук. - 1997. - Т. 167, № 1. - С. 3-16.
3. Милантьев, В. П. Циклотронный авторезонанс (к 50-летию открытия явления) / В. П. Милантьев // Успехи физ. наук. - 2013. - Т. 180, № 8. - С. 875-884.
4. Golovanivsky, K. S. Autoresonant Acceleration of Electrons at Nonlinear ECR in a Magnetic Field which is Smoothly Growing in Time / K. S. Golovanivsky // Physica Scripta. - 1980. - Vol. 22. - P. 126-133.
5. Golovanivsky, K. S. The Gyromagnetic Autoresonance // IEEE Transactions on plasma science. - 1983. -Vol. 11, iss. 1. - P. 28-35.
6. Friedland, L. Spatial autoresonance cyclotron accelerator / L. Friedland // Phys. Plasmas. - 1994. - Vol. 1, iss. 2. - P. 421-428.
7. Малкин, И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. - М. ; Ленинград : ГИТТЛ, 1952. - 432 с.
8. Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. - М. : Физма-тгиз, 1959. - 211 с.
9. Калякин, Л. А. Теоремы существования и оценки решений для уравнений главного резонанса / Л. А. Калякин // Современ. математика и её приложения. - 2012. - Т. 85. - С. 73-83.
Поступила в редакцию 10 августа 2015
Сведения об авторе
Калякин Леонид Анатольевич — доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института математики с вычислительным центром РАН, Уфа, Россия. [email protected].
Bulletin of Chelyabinsk State University. 2015. № 22 (377). Physics. Issue 21. P. 68-74.
ASYMPTOTIC ANALYSIS OF A MODEL OF CYCLOTRON GYROMAGNETIC AUTORESONANCE
L. A. Kalyakin
Institute of Mathematics with Computer Center of RAN. Ufa, Russia, [email protected]
In mathematical modeling the autoresonance problem is to find out a solution with unbounded growing energy. In formal approach the problem is solving by construction an asymptotic solution in the form of a power series in time with constant coefficients. It is known that the series represents an asymptotics of the exact solution. In order to such solution refers to physical phenomenon, the stability is need. This property is proved by the second Lyapunov's method.
Keywords: Nonlinear oscillations, asymptotics, autoresonance, stability.
References
1. Kalyakin L.A. Asimptoticheskiy analiz modeley avtorezonansa [The asymptotic analysis models autoresonant]. Uspekhi Matematicheskikh Nauk [Russian Mathematical Surveys], 2008, vol. 63, iss. 5 (383), pp. 3-72 (In Russ.).
2. Milant'ev V.P. Yavlenie tsiklotronnogo avtorezonansa i ego primeneniya [The phenomenon of cyclotron resonance of car and its applications]. Uspekhi Fizicheskikh Nauk [Advances in Physical Sciences], 1997, vol. 167, no. 1, pp. 3-16. (In Russ.).
3. Milant'ev V.P. Tsiklotronnyy avtorezonans (k 50-letiyu otkrytiya yavleniya) [Cyclotron autoresonance (to the 50th anniversary of the discovery of the phenomenon)]. Uspekhi Fizicheskikh Nauk [Advances in Physical Sciences], 2013, vol. 180, no. 8, pp. 875-884. (In Russ.).
4. Golovanivsky K.S. Autoresonant Acceleration of Electrons at Nonlinear ECR in a Magnetic Field which is Smoothly Growing in Time. Physica Scripta, 1980, vol. 22, pp. 126-133.
5. Golovanivsky K.S. The Gyromagnetic Autoresonance. IEEE Transactions on plasma science, 1983, vol. 11, iss. 1, pp. 28-35.
6. Friedland L. Spatial autoresonance cyclotron accelerator. Physics of Plasmas, 1994, vol. 1, iss. 2, pp. 421-428.
7. Malkin I.G. Teoriya ustoychivosti dvizheniya [The theory of stability of motion]. Moscow, Leningrad, GITTL Publ., 1952. 432 p. (In Russ.).
8. Krasovskiy N.N. Nekotorye zadachi teorii ustoychivosti dvizheniya [Some problems in the theory of stability of motion]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1959. 211 p. (In Russ.).
9. Kalyakin L.A. Teoremy sushchestvovaniya i otsenki resheniy dlya uravneniy glavnogo rezonansa [Theorems on the existence and evaluation of solutions for the principal resonance equations]. Sovremennaya matematika i ee prilozheniya [Modern mathematics and its applications], 2012, vol. 85, pp. 73-83. (In Russ.).
Submitted 20 August 2015.
