Асимптотическиепредставлениярешений дифференциальныхуравненийвторого порядка около точки вырождения Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

MSC 34E05

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОКОЛО ТОЧКИ ВЫРОЖДЕНИЯ

В.П. Архипов, А.В. Глушак

Старооскольский технологический институт НИТУ МИСиС,

м-н Макаренко, 42, 309516, Старый Оскол, e-mail: [email protected], Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, 308007, г. Белгород, e-mail: [email protected]

Аннотация. В статье исследуется поведение решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка в окрестности точки вырождения старшего коэффициента. Устанавливаются точные двусторонние асимптотические формулы для гладких решений. Приведены условия, обеспечивающие однозначную разрешимость рассматриваемых уравнений.

Ключевые слова: вырождающиеся дифференциальные уравнения, точка вырождения, асимптотические представления, начальные и граничные задачи.

В теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами поведение решений вблизи точек вырождения старшего коэффициента до сегодняшнего дня еще недостаточно исследовано. В настоящей работе рассматриваются вопросы существования, а также асимптотика гладких решений линейного дифференциального уравнения второго порядка, вырождающегося в некоторой точке в уравнение первого порядка. Подобные уравнения изучались Глушко В.П. [1, 2], Розовым Н.Х., Сушко В.Г., Чудовой Д.И. [3] и др. В [1, 2] исследовались вопросы разрешимости двухточечных граничных задач, в [3] — возможности постановки и разрешимости задачи типа Коши, а также применение к нелинейным уравнениям. В работе [4] получены точные асимптотические формулы решений в правой окрестности точки вырождения ¿0 = 0, показано, что при определённых условиях, существуют бесконечно убывающие к нулю и существенно неограниченные решения уравнения. На основе результатов [4] в предлагаемой статье строятся двусторонние асимптотики гладких решений уравнения около точки вырождения и рассматривается возможность правильной постановки начальных (граничных) задач, обеспечивающей их однозначную разрешимость в классах непрерывных функций.

Работа второго автора выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 13-01-00378.

1. Предварительные условия, обозначения и преобразования. Рассмотрим при £ Е [0; линейное дифференциальное уравнение второго порядка

а(£0) = 0, а(£) = 0 при £ = ¿0, Ь(£0) = Ь0 = 0. Для простоты формулировок гладкость заданных коэффициентов и правой части уравнения (1) предполагается достаточной для выполнения необходимых в дальнейшем действий.

Условие 1. Коэффициенты уравнения (1) и / (¿) - бесконечно дифференцируемые на [0; ^] функции а(£), Ь(£), с(£), / (¿) Е Сте[0; ^]), а(£) = 0 при £ Е [0; ¿0) и (¿0; ^] и

0 < ¿0 < ^, а(£0) = 0, Ь(£0) = Ь0 = 0.

В дальнейшем в ряде случаев бесконечная дифференцируемость не требуется, тогда а(£), Ь(£), с(£), /(¿) Е [0; ^].

Для некоторого £ > 0 на отрезке [¿0 — £; ¿0 + £] определим функции

Для любого решения и(£) уравнения (1) будем рассматривать его отдельно на каждом из промежутков [¿0 — £; ¿0) и (¿0; ¿0 + £], т.е.

Как известно, выполнение условия 1, всюду, за исключением возможно точки ¿0; обеспечивает гладкость решения м(£). Основное требование — непрерывность м(£) достигается при выполнении предельного соотношения

(а^и^)) + Ь(£)и/(£) + с^)и^) = /(¿),

(1)

«(¿) = \/Ь2(1) — 4а(1)с(1) > 0 ,

Выбор параметра £ > 0 обусловлен выполнением следующего условия. Условие 2. На отрезке [¿0 — £; ¿0 + £] выполняются неравенства

to+S

¿о—6

и (¿), * е [¿0 — £;¿0), и+^), * Е (¿0; ¿0 + £].

t——¿о —0

Иш и (¿) = Иш u+(¿) = и±^0) = u(¿0).

—^¿о—0 t——¿о+0

Простые замены переменных в теореме 2 из [4] позволяют получить асимптотические представления для функций и±^) на соответствующих промежутках. При этом они несколько отличаются при изменении знака а^).

Определим при а(£) > 0 на (¿0; ¿0 + £] функции

¿0 +6

и+(і)

1

: ЄХР

Ь(т) + а(т)

¿0+6

I , ^+(£)

: ЄХР

Ь(т) — а(т)

к=0

к=0

к=0 к=0

как решения уравнений

Ф+^) = 1 + K1+Ф+(¿), Ф+^) = 1 + K2+Ф+(¿),

где интегральные операторы

¿0+6 t

^^(¿^ J ^(¿.¿^(¿х)^, К+ ^(¿) = ^ К'+(*,* 1 )^(*1

¿0 ¿0

имеют ядра

х), ¿0 < ¿ х < ¿ < ¿0 + £.

¿1

К+ (М ! )

Л,(£ 1) ехр I —

а(т) а(т)

<іт I , £ < £ 1 < ¿0 + £.

а(т)

К2 {і, і\) = —к(іі) + к(іі) ехр І — J сіт І , іо <іі <і <іо + 5.

3)

у/Щ \{ 2-а(г) у у/Щ 1 уі 2 • а(т)

и функции

^ П ^ П

Ф+С0 = 5^ ^+(£) = ^ ^+(£) + Й(і)’ Ф+С0 = 5^ ^+(і) = 5^ ^+(і) + Й+(і)> (4)

^++ 1 = К+Р+ = (К+)к+1 <^0+, ^++ 1 = К2+^+ = (К2+)к+1 ^+, Р+(І) = 4+(£) = 1.

Как отмечено в [4] ряды в (4) являются асимптотическими при £ ^ ¿0 + 0, абсолютно и равномерно на [¿0; ¿0 + £] сходятся при выполнении (2).

Функции

«+(£) = г;+(і)Ф+(і), «+(£) = г;2+(і)Ф+(і) (5)

представляют фундаментальную систему решений однородного уравнения (1).

Частное решение уравнения (1) на промежутке (¿0; ¿0 + £] определим равенством

¿0 +6

и+С0 = [ С+(£,т)/(т)^т

1

I

а

где С+(£, т) = <

-Ф+(і)Ф+(т)ехр | - /

а(і о + 8)ЦЇ+(і0 + 8)л/аЩа{т)

-Ф+(т)Ф+йехр I /

а(і о + 8)\¥+(і0 + 5)\/а(і)а(т)

¿0 < т <

£ < т < ¿0 + £.

^+(¿0 + £) = и+(£0 + £)(м+) (£0 + £) — (и+) (£0 + £)и+(£0 + £)•

Аналогично, при а(£) < 0 на (¿0; £0 + £] рассмотрим функции

¿0+6

й+(*)

л/аЩ

еХР

Ь(т) — а(т) 2 • а(т)

¿0+6

л/аЩ

еХР

Ъ{т) + а-(г) 2 • а(т)

(7)

и

ф+со = X] ¥?+(£) = X ^+(£) + ^+(£)’ Ф+(£) = X = X ^+(£)+^+(£)

к=0 к=0

как решения уравнений

к=0

к=0

Ф +(£) = 1 + К+Ф +(£), 1Ф+(£) = 1 + К +Ф+(£)

с интегральными операторами

¿0 +6

К+<р(*) = / ІС+(і,І1)^(І1)^І1, К+ї(*) = / ІК+(і,І1)^(І1)^І1

¿0

¿0

и ядрами

К +(¿,¿1) = <

—М^), ¿0 < ¿1 <

¿1

— ^(¿і)ехр І І —у~1сІТ а(т)

і < ¿1 < ¿0 +

К+ (¿, ¿1) = ^(¿1) — ^(¿1) ехр

а(т) а(т)

<іт І , ¿0 < ¿1 < ^ < ¿0 + £,

где ^++1 = К+£+ = (К+)к+Ч+, £+(*) = 1, ї++1 = К+ї+ = (К^1^,^)

Как и выше,

и

и+(*) = г+(^)Ф+(¿) и и+(*) = г+^Ф+(*)

11

(9)

1

1

¿

1

фундаментальные решения уравнения (1), частное решение задается в виде

¿0 +6

и+С0= j с+^г)/(т)^т,

¿0

(10)

где С+^, т) = <

а(£0 + £)Й'Н“(£0 + £)\/а'(£)а'(т)

-Ф+(т)Ф+йехр [ /

а(£0 + ё)\¥+(10 + 5)л/аЩа{т)

¿0 < т < ¿,

¿ < т < ¿0 + £.

^ +(¿о + £) = u+(¿о + £)(и+) (¿о + £) — (и+) (¿о + £)и+^о + £) = 0-

Для построения двусторонних разложений решений в окрестности точки ¿0, необходимо выписать асимптотические формулы для и—(¿). На [¿0 — £; ¿0) определим при а^) > 0

1

у/аЩ и функции

ехр

Ь(т) — а(т) \ , . 1

~(1т , ь2 (¿) = —/ / ч ехр

¿0 —6

2 ■ а(т)

у/аЩ

¿0 —6

6(т) + а-(г) 2 • а(т)

(11)

к=0

к=0

к=0

к=0

из уравнений

где

Ф—(¿) = 1 + К—Ф—(¿), Ф—(¿) = 1 + К2“Ф—(¿).

¿0 ¿0

У ^(¿.¿^(¿х)^, К—^^У К— (¿^^(¿х)^ ¿0—6 ¿

интегральные операторы с ядрами

х), ¿0 — £ < ¿ < ¿ х < ¿0,

^(¿1) ехр | — I ) , 1о — 5 < < I < 1о,

¿

¿

ti

K2 (t, tі) = — h(tі) + h(tі) exp I —

Q,(i)

a(i)

di I , t0 — £ < t < t і < t0.

Функции

«1 W = Vl W ■ Ф W, «2 W = V2 W ■ Ф W

(13)

представляют фундаментальную систему решений для уравнения (1) на [¿0 — £; ¿0), а частное решение для произвольной функции /(¿) можно записать в виде

to

u-(t) = [ G"(t,i)/(i)di.

to-г

-Ф (і)Ф (і) ехр І І afa)^dtl

(14)

где G (t, i) = <

t < t < t,

0,

a(t0 — £)W (t0 — £)ya(t)a(t)

-ф-(<)ф-(*)ЄХР[-/К2)1(^і)Ді

, і0 — 8 < ї < і,

а(^0 — £)Ж-(^0 — £)у^ а(^)а(^)

Ж (¿0 — £) = и1 (^0 — £)(и2 ) (^0 — £) — (и1 ) (^0 — £)и2 (^0 — £) = °-

Справедливо следующее утверждение (ср. с Теоремой 2 в [4]).

Теорема 1. Пусть в уравнении (1) выполнены условия 1 и 2. Тогда:

а) если а(£) > 0 при £ > ¿0, то общее решение уравнения (1) для любой функции /(¿) представимо на (¿0; ¿0 + £] в виде

u

+ (t) = G+ ■ u+(t) + G+ ■ u+(t) + u+(t)

где u+(t),M+(t),u+(t) определены в (3)-(6); при этом

еслиb(t0) = bo < 0, тоu+2(t) G CN[t0; to+£], u+(t) G CN[t0; t0+£] иu+(t) G CN[t0; t0+£] для любых постоянных C + , C+, где N = maxim : b0 + m■ a;(t0) < 0}, lim (u+)(m)(i) = 0

i^io+0

для всех 0 < m < N ;

если b(t0) = b0 > 0, то u+(t) G C^[t0; t0 + £], lim (u+)(m)(t) = для всех m > 0 и

t^to +0

u+(t) G C^[t0; t0 + £], если C + = 0;

б) если a(t) < 0 при t > t0, то общее решение уравнения (1) для любой функции f (t) представимо на (t0; t0 + £] в виде

u

+ 1

(t) = G+ ■ u+(t) + G+ ■ u+(t) + u+(t)

где w+(t),w+(t),w+(t) определены в (7)-(10); при этом

если b(t0) = b0 > 0, то u+2(t) G CN[t0; t0+£], «+(t) G CN[t0; t0+£] и«+(t) g Cn[t0; t0+£] для любых постоянных C++, C+, где N = maxim : b0 + m-a'(t0) > 0}, lim (w+)(m)(t) = 0

1 2 l t—10+0 2

для всех 0 < m < N;

если b(t0) = b0 < 0, то u+(t) G C^[t0; t0 + £], lim («+)(m)(t) = для всех m > 0 и

t—10+0

«+(t) G C^[t0; t0 + £], если C+ = 0;

в) если a(t) > 0 при t < t0, то общее решение уравнения (1) для любой функции f (t) представимо на [t0 — £; t0) в виде

u- (t) = C- ■ u-(t) + C2“ ■ u-(t) + u- (t),

где u-2t),u-(t) определены в (11)-(14); при этом

если b(t0) = b0 < 0, то lim (u-)(m)(t) = для всех m > 0, u-(t) G C^[t0 — £; t0] и

t—¿0-0

u-(t) G C^[t0 — £; t0], если C- = 0;

если b(t0) = b0 > 0, то u-2(t) G CN[t0—£; t0], u-(t) G CN[t0—£; t0] иu-(t) G CN[t0—£; t0]

для любых постоянных C-, (7-, где N = max{m : b0 + m ■ a'(t0) > 0}, lim (u-)(m)(t) = 0

t—>-¿0 — 0

для всех 0 < m < N.

Замечание.

1) Если a'(t0) = 0, то в Теореме 1 N = +то.

2) В точке t = t0 выполнены (в случае a(t) > 0 при t > t0) предельные соотношения

(¿0+^ \

[ Ь(т) + Q'('r) ^ \ > 0 при Ь0 < 0 ,

У -ГфГ^ = I +00 при ¿о > 0;

(¿0+^ \

[ Ь(т) - Q'(r) \ [О при Ь0 < 0,

У 2 • а(т) ^=(^>0 при Ь„ > 0;

+ + 0 при b0 < 0 ,

t_—m+0 (i)= «+ (« = j s+ при ^0 > 0; •

3) В точке t = t0 выполнены (в случае a(t) < 0 при t > t0) предельные соотношения

(¿0+^ \

[ Ь(т) - а(т) \ f +00 при 60 < 0 ,

У ) = 1 К > 0 при ^ > 0;

¿0+^ _

-+П\ 1 Г 6(r)+Q'(rb \ i ^ > 0 при 60 < 0,

4( 0> = 7W 1 I У ^WTiT) = { 0 при 6„ > О.

—и+0 «+(*)=«.+(«={* при £ > 0 •

4) В точке ¿ = ¿0 выполнены (в случае а^) > 0 при ¿ < ¿0) следующие предельные соотношения

¿ t0

: exp

¿0-5

Ь(т ) — а(т)

2 • а(т)

dr

при b0 < 0 ,

0 - > 0 при b0 > 0 ;

¿ t0

и- (t0) = V- (t0)

v2 (t0) =

VW\

exp

exp

b(r) — а(т)

2 • а(т)

dr

¿0-5

6(r) + Q'(t ) 2 • а(т)

dr

¿ ¿0

u- (t0) = v- (t0) =

exp

¿0-5

6(r) + Q'(t )

2 • а(т)

dr

при b0 < 0,

0 - > 0 при b0 > 0 ;

0- > 0 при b0 < 0 , 0 при b0 > 0 ;

02- > 0 при b0 < 0

0

0 " n’ (15)

при b0 > 0

1- -лл _ /. \ Г б* при Ьо < 0 ,

и ¿-11” ои* М = и* при Ьо > 0.

Полученные результаты позволяют построить двусторонние асимптотические формулы гладких решений уравнения (1) в окрестности точки ¿0.

2. Двусторонние асимптотики решений.

I. Рассмотрим вопрос о существовании гладких решений уравнения (1) на всем отрезке [0; при условии сохранения знака функции а^) > 0 на [0; ¿0) и (¿0; ^]. При выполнении условия 1 в этом случае а (¿о) = а^о) = 0 ив Теореме 1 N = +то.

Напомним, что и^) = | \ € . £;, ¿о) и непрерывное на [¿0—£; ¿0+£] решение

[ и (¿)’ ¿ € (Го; ¿о + £]

u(¿) должно удовлетворять условию:

lim u (t) = lim u+(t) = u±(t0) = u(t0).

¿— ¿0 -0

¿— ¿0+0

(16)

а). При b0 < 0 для и (t) = C- ■ и- (t) + C2 ■ и- (t) + U- (t) при t G [t0 — £; t0) C- = 0 (требование непрерывности (ограниченности)), u(t) = и-(t) = C- ■ u-(t) + u-(t) и

lim и-(t) = C2_ ■ u-(to) + и-(t0) = C72“ ■ 0- + 0-;

¿— ¿0 - 0

при t G (t0; t0 + £] для u(t) = u+(t) = C + ■ и+ (t) + C+ ■ и+ (t) + и+ (t) при любых C+

1

1

1

1

lim u+(t) = C+ ■ u+(to) + C2+ ■ u+(to) + u+(to) = C+ ■ 0 +(u+(to) = u+(to) = 0)

и из (16) следует

й- й- л+ й+ 77+• 0+- б1“ (~ + С2 • в2 + 0~ \

Ч • 6>2 + 0* = Cf • 0+ или С2 =--------------—------- I Cf =-------------^------- I . (17)

Таким образом, непрерывное на [io — £; to + £] решение уравнения (1) имеет вид:

( ОТ ■ u-(t) + u-(t) при t G [to — io],

u(t) = ^ ~ (18)

\ 7 + ■ u+ (t) + (7+ ■ u+ (t) + u+ (t) при t G [to; to + £], где постоянные (7—,(7+ произвольны, а (7 + находится из условия (17). При этом u(to) =

C+ ■ в+ = 7- ■ в- + в-.

Таким образом, в этом случае при t > to происходит «ссраздвоение» гладкого решения уравнения (1). С другой стороны, двухпараметрическое семейство решений уравнения (1) при t < to расщепляется в левой окрестности в точке to на однопараметрические ограниченное и неограниченное семейства решений.

Рассмотрим вопрос о гладкости этих решений в точке to. Для производной

Г с- ■ (u-)/(t) + (u-)/(t) при t G [to — £; to),

u (t) = < „ , (19)

\ 77+ ■ (u+) (t) + (72+ ■ (u+) (t) + (u+) (t) при t G (to; to + £],

кроме того, lim a(t)(u+)//(t) = lim a(t)(u-)w(t) = 0. Тогда i—io+o i—io-o

, (/(i) - b(t)(u+)'(t) - c(t)u+(t)) = 0, (M+)'(i0) = —c(to)u (¿0)^

i—io+o bo

,lim o(f (t) — b(t)(u-)/(t) — c(t)u-(t)) =0, i——io —o

( -\'f+ ^ f (to) ~ c(t0)u~(t0) ( +w ^ л

(u ) (t0) = ----------j--------= (tCj (to) = U (to).

bo

Таким образом, функция u(t), определенная в (18), непрерывно дифференцируема на [to — £; to + £], т.е. u(t) G C1 [to — £; to + £] для любой постоянной C+. Отметим, что для справедливости этих рассуждений вполне достаточно непрерывности функции f (t) на [to — £; to + £] и не требуется бесконечная гладкость коэффициентов уравнения. Несложные стандартные рассуждения позволяют при выполнении условия 1 установить бесконечную дифференцируемость решений уравнения (1), определенных формулами (18)-(19) (см. замечание, п. 1). Действительно, обозначив

. i C2 ' (u-)/(t) + (u-)/(t) t G [to — £; to),

v(t) = u (t) = < „

\ 77+ ■ (u+)/(t) + C+ ■ (u+)/(t) + (u+)/(t), t G (to; to + ¿]

и продифференцировав (1), видим, что функция v(t) является непрерывным на [to — £; to + £] решением вырождающегося дифференциального уравнения

(a(t)V(t))/ + b (t)v/(t) + с (t)v(t) = f(t), t G [0; d], a(to) = 0, b (to) = bo = 0, (20)

где Ъ (t) = b(t) + а'(t), с (t) = c(t) + Ъ'(t) + a''(t), f (t) = f' (t) — c'(t)u(t).

Теперь, согласно утверждению Теоремы 1 (при f (t) G C 1 [to — £; to + £]), применённой к уравнению (20), следует, что v(t) G C 1 [t0 — £; t0 + £] и u(t) G C2[t0 — £; t0 + £]. Далее эти рассуждения неограниченно продолжаются по индукции.

б). При Ъ0 > 0 для u-(t) = C- ■ u-(t) + C- ■ u-(t) + u-(t) при t G [t0 — £; t0)

lim u- (t) = ¿7- ■ u- (to) + C7— ■ u- (to) + u- (to) = C- ■ 9- (u- (to) = u- (to) = 0),

i^iü-0

для u+(t) = C+ ■ u+(t) + C+ ■ u+(t) + u+(t) при t G (to; to + £] ^ C+ = 0 (требование

непрерывности (ограниченности)),

lim u+(t) = C+ ■ u+(to) + u+(to) = ^2+ ■ 9+ + 9+,

i^iü+o

а из (16) следует

С} ■ в+ + е = СГ ■ öf или С+ = С'] 'вУ ~0t I Cf = "2_ ' "• I. (21)

Таким образом, непрерывное на [¿о — £; ¿о + £] решение уравнения (1) имеет вид

( С- ■ и-(¿) + С^2“ ■ и- (¿) + и- (¿) при * С [¿о — ¿о], , Л

«(¿) = < „ (22)

[ (+ ■ и+ (¿) + и+ (¿) при * С [¿о; ¿о + £],

где постоянные (-,(+ произвольны, а константа (7- определяется формулой (21).

При этом, и (¿о) = С7- ' 0 Г = (7+ ' 0+ + 0+. Как и ранее при выполнении условия 1 может быть установлена бесконечная дифференцируемость построенного решения (22). Таким образом, приходим к следующей теореме.

Теорема 2. Пусть в уравнении (1), выполнены условия 1, 2 и а(£) > 0 при £ С [¿о — £; ¿о) и (¿о; ¿о + £]. Для любой функции f (¿) € С[¿о — £; ¿о + £] уравнение (1) имеет на [¿о — £; ¿о + £] бесконечное множество ограниченных решений. Любое непрерывное на отрезке [¿о — £; ¿о + £] решение уравнения (1) является бесконечно дифференцируемым на нём и может быть представлено в виде:

а) при Ьо < 0 формулой (18)

( (72_ ■ «-(¿) + «-(¿) при ¿ € [¿о — £; ¿о] ,

«(¿) = < ~

^ ( + ■ и+ (¿) + (7+ ■ и+ (¿) + и^^) при ¿ € [¿о; ¿о + £] ,

(7+0+ 0-

где постоянные (7+, <72+ произвольны, а константа С2 = —-—----------— , функции и^(£)

02

определяются соотношениями (3)-(6), (4)-(14) и

\ Л+Л+ г1-а- I л- 'I /(*о) - с(*о)и(*о)

«(¿о) = ч 0! = 62 в2 + 0* , и (¿0) = ------------;---------;

Ьо

б) при Ь0 > 0 в виде (22)

( с- ■ ИГ(*) + (2"" ■ «-(¿) + «-(*) * е [¿о - 5;¿о],

«(¿) = < „

[ (С+ ■ м; (¿) + м; (¿) * е [¿о; ¿о + 5],

где постоянные С-, (— произвольны, а (7+ определяется из условия (21), при этом

и{1 о) = ¿7 • б1!- = (7+ • 6»+ + 0+, и'(¿о) = —Ф0)и(г0) ^ функцпп и±2(^)5 и±(г)

Ь0

определяются соотношениями (3)-(6), (11)-(14).

II. Рассмотрим теперь вопрос о существовании гладких решений уравнения (1) на отрезке [0; ¿] при условии, что функция а(*) изменяет знак при переходе через точку ¿0: (¿0 — *)а(*) > 0 при * е [¿0 — 5; ¿0) и (¿0; ¿0 + 5]. Такие же рассуждения, как и выше, приводят к следующей теореме.

Теорема 3. Пусть в уравнении (1), выполнены условия 1, 2 и (¿0 — ¿)а(*) > 0 при * е [¿0 — 5; ¿0) и (¿0; ¿0 + 5]. Для любой функции f (¿) е Сте[*0 — 5; ¿0 + 5] уравнение (1) имеет на [¿0 — 5; ¿0 + 5] бесконечное множество ограниченных решений. Любое непрерывное на отрезке [¿0 — 5; ¿0 + 5] решение «(¿) уравнения (1) обладает свойством:

а) при Ь0 < 0 является бесконечно дифференцируемым и может быть представлено в виде

<7— ■ и— (¿) + и— (¿) при £ е [¿0 — 5; ¿0],

«(¿)н 7; : (2з)

(7+ ■ и;(¿) + и;(¿) при ¿ е [¿0; ¿0 + 5],

где постоянная (72 произвольна, а

~+ _ С,2 ■ и2 (¿о) + иш (¿о) — ц+(*0) _ <72 • 02 + 0^ — 0+

2 _ 4(^0) “ Щ~

функции и2 (¿), и (¿), гг;(¿), и^^) определяются соотношениями (7) - (14), при этом

м(¿о) = ¿7 • 02- + в~ = С+ • 0+ + 0+ И'(*0) = /^0)~/С^0)и^°) ;

Ь0

б) при Ь0 > 0 «(¿) е 7м[¿0 — 5; ¿0 + 5] при N = тах{т : Ь0 + т ■ а'(¿0) > 0} и может быть представлено в виде

[(7— ■ «700 + (72- ■ и—С0+ ¿ е ^0 — 5;¿о],

«(¿) = { ~ (24)

\ (7+ ■ м^) + (72+ ■ и;^) + гг;(¿) ¿ е [¿о; ¿о + 5],

где постоянные (7—, (7—, (7+ произвольны, а С; однозначно выражается через (7—: (7+ =

^1[1 ^функцпп 11,7(1), Мо(^), и*(^), й+(£), й+(£), й+(£) определяются

м 1 (¿о) 02

соотношениями (7)-(14), при этом и(1 о) = (77 • 07 = (7Г • 0Г, г//(£о) = ^ ^ ^ ■

ьо

Отметим, что асимптотические ряды в формулах (18), (22)-(24) абсолютно и равномерно сходятся на [¿0 — 5; ¿0 + 5].

3. Условия однозначной разрешимости на отрезке [0; ^]. Полученные асимптотические представления решений в формулах (18), (22) - (24) позволяют полностью исследовать вопрос о возможности правильной постановки начальных (граничных) условий для уравнения (1), обеспечивающих однозначную разрешимость уравнения на отрезке [0; ^].

Рассмотрим следующую задачу Коши для уравнения (1): найти функцию «(¿), удовлетворяющую уравнению (1)

(«(¿)м'(¿))' + б^)«'(¿) + с^)«^) = f (¿), ¿ е [0; ^], «(¿о) = 0, ^(¿о) = Ь0 = 0 ,

и начальным условиям при ¿ 1 е [0; ^]

1) = А, м' (¿ 1) = В. (25)

Вопросы разрешимости задачи Коши для уравнения (1) существенно зависят от знаков функции «(¿) на отрезке [0; ^] и Ь0 = 0. Справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Пусть для коэффициентов уравнения (1) и функции f (¿) выполнено условие 1, «(¿) > 0 при ¿ е [0; ¿0) и (¿0; ^]. Тогда справедливы следующие утверждения.

а). При ^(¿о) = Ь0 > 0 для любых произвольных постоянных А, В и любой точки ¿ 1 е [0; ¿0) существует единственное на [0; ^] решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (25). Функция «(¿), доставляющая решение этой задачи, бесконечно дифференцируема на [0; $]. Асимптотика решения в точке ¿0 задаётся формулами (22) при постоянных, однозначно определяемых значениями А, В и ¿ 1.

б). При ^(¿о) = Ь0 < 0 для любых произвольных постоянных А, В и любой точки ¿ 1 е (¿0,^] существует единственное на [0; ^] решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (25). Функция «(¿), доставляющая решение этой задачи, бесконечно дифференцируема на [0; $]. Асимптотика решения в точке ¿0 задаётся формулами (18) при постоянных, однозначно определяемых значениями А, В и ¿ 1.

□ а). Выберем 5 > 0 так, чтобы выполнялось условие 2. Если ¿ 1 е [0; ¿0 — 5] то, следуя классической теореме существования и единственности решения задачи Коши, найдем функцию м-(¿) е (^[0; ¿0), дающую решение задачи Коши на [0; ¿0) для любых заданных А, В. Пусть ^(¿о — 5) = Аг, (м-)'(¿0 — 5) = Вг. Как следует из Теоремы 2 п.б), любое ограниченное решение уравнения (1) может быть представлено в виде (22). Определим для функции

Г (— ■ «—(¿) + Т7— ■ «—(¿)+ «—(¿) при ¿ е [¿о — 5; ¿о],

««(¿) = < ~

I <72; ■ ^(¿) + м; (¿) при ¿ е [¿о; ¿0 + 5],

постоянные (7—, (7— из условий и0 (¿0 — 5) = Аг, ^(¿о — 5) = Вг как решения системы

(¿о — 5) + (72 ■ М (¿о — 5) + U2 (¿о — 5) = Аг,

^ (м—) (¿о — 5) + (72 (м— ) (^¿о — 5) + (м—) ^о — 5) = Вг•

Так как функции 2^) линейно независимы и определитель системы Ш (¿0 — 5) =

«—(¿0 — 5)(м-)'(¿0 — 5) — («—/(¿о — 5)«—^ — 5) = 0 отличен от нуля, то (—, (7— определяются однозначно для каждой пары А, В и произвольной точки ¿ 1 е [0; ¿0), при этом

Г1+ ' @1 ~ 6*

постоянная о2 = -----------тгг------ также определяется однозначно. с?то позволяет постро-

02

ить единственное решение задачи на отрезке [0; ¿0 + 5]. Продолжение решения на весь отрезок [0; й] очевидно. Находим функцию м;(¿) е (^(¿0; й], удовлетворяющую уравнению (1) и условиям Коши «+(¿0 + 5) = ы0 (¿0 + 5), (м;)'(¿0 + 5) = ^(¿о + 5). Итак,

требуемая в теореме функция при выполнении условий (17) и (26) имеет вид

{м-(¿) ¿ е [0; ¿0 — 5],

^о^ ¿ е [¿о — 5; ¿о + 5Ь (27)

м;(¿) ¿ е [¿0 + 5, й].

В точках склейки функция (27) является решением задачи Коши для уравнения (1), что и обеспечивает её бесконечную дифференцируемость. Заметим, что функция Ио^) при выполнении условий (17) и (26) дает асимптотическое представление решения рассматриваемой задачи вблизи точки ¿0. Пункт а) теоремы доказан, т.к. при ¿ 1 е [¿0 — 5; ¿0) первый шаг доказательства - построение м- (¿) - можно опустить. Для доказательства пункта б) теоремы проводятся аналогичные рассуждения. I

Если функция «(¿) изменяет знак при переходе через точку ¿0: (¿0 — ¿^(¿) > 0 при ¿ е [¿0 — 5; ¿0) и (¿0; ¿0 + 5], то дополнительные условия для однозначной разрешимости уравнения (1) выглядят иначе. Так, например, имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Пусть для коэффициентов уравнения (1) и функции f (¿) выполнено условие 1, (¿0 — ¿^(¿) > 0 при ¿ е [0; ¿0) и (¿0; й]. Справедливы следующие утверждения.

а). Если ^(¿о) = Ь0 < 0, то при некотором 5 > 0 для любой произвольной постоянной

А и любой точки ¿ 1 е [¿0 — 5; ¿0 + 5] существует единственное на [0; й] решение уравнения (1), удовлетворяющее условию 1) = А. Функция «(¿), доставляющая решение этой за-

дачи, бесконечно дифференцируема на [0; й]. Асимптотика решения в точке ¿0 задаётся формулами (23) при постоянных, однозначно определяемых значениями А и ¿ .

б). Если ^(¿о) = Ь0 > 0, то при некотором 5 > 0 для любых произвольных постоянных А, В, ( и любой точки ¿ 1 е [0; ¿0) и (¿0; й] существует единственное на [0; й] решение «(¿) уравнения (1), удовлетворяющее условиям (25) и «(¿0 — 5) = ( (или «(¿0 + 5) = (). Функция «(¿) е [0; й] при N = тах{т : Ь0 + т ■ «(¿0) > 0}, асимптотика решения в точке ¿0 задаётся формулами (24) при постоянных, однозначно определяемых значениями А, В, ( и ¿ .

□ Доказательство Теоремы 5 проводится по той же схеме, что и доказательство Теоремы 4. I

Теоремы 4 и 5 не исчерпывают все возможности постановки начально-краевых задач для уравнения (1). Результаты теорем 1-5 позволяют практически полностью охарактеризовать все решения дифференциального уравнения второго порядка в окрестности

точки вырождения старшего коэффициента. Они показывают существенные отличия в их поведении в зависимости от знака выражения А = Ь0 ■ (¿0 — ¿^(¿) в окрестности точки ¿0. Отметим, что ни в каком случае для существования гладкого решения невозможно задание более одного условия непосредственно в точке вырождения. Полученные точные асимптотические формулы позволяют строить правильные расчетные схемы для численного решения начально-краевых задач для вырождающихся уравнений, так как именно вблизи особой точки возникают существенные изменения в поведении решений уравнения.

Литература

1. Глушко В.П. Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения. II, III // Диф-ференц. уравнения. - 1968. - 4;11; 1969. - 5;3.

2. Глушко В.П. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения / Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, 1972.

3. Розов Н.Х., Сушко В.Г., Чудова Д.И. Дифференциальные уравнения с вырождающимся коэффициентом при старшей производной // Фундаментальная и прикладная математика. - 1998. - 4;3. - С.1063-1095.

4. Архипов В.П. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с вырождающимся коэффициентом при старшей производной // Дифференц. уравнения. - 2011. -47;10. - С.1383-1393.

ASYMPTOTIC REPRESENTATIONS OF SOLUTIONS THE SECOND-ORDER DIFFERENTIAL EQUATION NEAR DEGENERATING POINT

V.P. Arhipov, A.V. Glushak

Stary Oskol technological institute NITU MISiS,

Makarenko dist., 42, Stary Oskol, 309516, Russia, e-mail: [email protected]

Belgorod State University,

Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. Solutions of ordinary linear second-order differential equations are studied. Their behavior in the neighborhood of high-order coefficient degeneracy point is investigated. Exact double-sided asymptotic formulas of smooth solutions are found. Conditions ensuring the singlevalued solvability of equations under consideration are described.

Key words: degenerating differential equations, solutions near the degenerating point, asymptotic representations, initial and boundary value problems.