Асимптотические свойства квантового блуждания на двумерной решетке Текст научной статьи по специальности «Математика»

На основе вышеизложенного можно утверждать, что в газовых скважинах скорость потока, плотность и давление существенно зависят от глубины точки наблюдения.

Список литературы:

1. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. - М.; Л.: ГИТТЛ, 1951. - 224 с.

2. Башта Т.М., Руднев С.С., Некрасов Б.Б. и др. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: учебник. - 2-е изд., перераб. - М.: Машиностроение, 1982. - 423 с.

3. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика: учебное пособие для вузов. - М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. - 544 с.

4. Инструкция по комплексному исследованию газовых и газоконден-сатных пластов и скважин / Под. ред. Г.А. Зотова, З.С. Алиева. - М.: Недра, 1980. - 301 с.

5. Вяхирев Р.И., Коротаев Ю.П., Кабанов Н.И. Теория и опыт добычи газа. - М.: Недра, 1988. - 479 с.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАНТОВОГО БЛУЖДАНИЯ НА ДВУМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ1

© Бондаренко А.Н.*, Дедок В.А.*

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск

Модель квантового случайного блуждания активно изучается в по -следнее десятилетие в связи с возможными применениями результатов в теории квантовых вычислений, ускорении алгоритмов, основанных на случайном блуждании. Более того, указанная модель имеет неожиданные приложения в теории прямых и обратных задач рассеяния [1].

Работа посвящена аналитическому исследованию асимптотических свойств вероятности возвращения в модели квантового случайного блуждания на двумерной решетке с разными эволюционными матрицами. На основе численных экспериментов формулируются гипотезы локализации. Дается аналитическое описание блуждания в частотной области, для частных случаев дается описание асимптотических свойств блуждания.

1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (РФФИ, грант № 08-01-00312).

* Ведущий научный сотрудник, доктор физико-математических наук.

* Кандидат физико-математических наук.

1. Дискретное квантовое блуждание на прямой

Прежде чем определить дискретное квантовое блуждание опишем классический случай [2]. Симметричное классическое блуждание может быть реализовано следующим образом. Частица начинает движение, например, из начала координат, на каждом шагу, подбрасывая монетку, она равновероятно выбирает направление движения. Затем она делает один шаг в выбранном направлении и т.д.

В более общем случае, когда частица выбирает направление не равновероятно, а с вероятностями р и q = 1 -р, вероятность нахождения классической блуждающей частицы в момент времени t + 1 в ячейке с номером п выглядит следующим образом:

Рп а +1) = рРцСО + qPn-l(t) (1)

Тем самым, задав распределение вероятностей нахождения классической блуждающей частицы в начальный момент времени можно вычислить распределение вероятностей для любого наперед заданного момента времени t.

Квантовое обобщение случайного блуждания [5] рассматривает квантовую частицу, обладающей дополнительной степенью свободы и характеризуется двукомпонентной волновой функцией:

¥(п, t) =

(п, t) ¥я (п,t)

амплитуд в ячейке с номером п во время t. Поведение во времени функции Т(п, ^ задается унитарным преобразованием.

Определение. Адамаровское случайное блуждание - случайное блуждание, задающееся правилом:

¥(п, t +1) =

( 0 0 ^

1 -1 ^л/2 42)

¥(п -1,0 + ^ ^ ^ ^(п + 1, t) =

М ¥(п -1, t) + М+¥(п +1, t).

для соответствующих матриц М- и М+. Вероятность нахождения квантовой частицы в узле п в момент t выражается следующей формулой:

Р(п, t) = (п, t )|2 (п, t )|2

Таким образом, квантовое случайное блуждание сводится к решению двумерной системы уравнений в конечных разностях.

В общем случае, характеристики квантового случайного блуждания (унитарного преобразования над волновой функцией) зависят от четырех параметров. Однако, как было отмечено в [5], достаточно рассмотреть зависимость от одного параметра, характеризующего семейства блужданий.

Таким образом, общее случайное блуждание может быть описано следующим преобразованием:

М {в) = Т о (I ® и в)

где ив = е'1<т'

Оператор М (в) описывает эволюцию блуждания: Т(/ +1) = М(в)¥^). Ада-маровское случайное блуждание соответствует значению параметра 6 = л / 2:

h * i1 1 ц/i 0

42U - 1j lo - i

f лЛ

42 42

_ _L _L

v 42 42 у

г ja-u,

где дополнительное вращение может быть нивелировано подходящим переопределением фазы состояния.

В более удобном для использования виде эволюция квантового блуждания может быть записана как:

( 0 0 ^ (cos f sin

Y(n, t +1) = 1 e\¥(n -1, t) + 1 2 2 l^(n +1, t) (2)

^sin f - cos f J ^ 0 0 )

Используя выражение для волновой функции (2) можно вычислить распределение вероятностей нахождения квантовой частицы для различных начальных состояний частицы и различных значениях параметра в.

Результаты расчетов для вероятности возвращения квантовой частицы даже для не очень большого числа шагов, приведенные на рис. 1, позволяют сделать вывод, что распределение вероятностей нахождения квантовой частицы в заданной точке достаточно сильно зависят как от начального состояния частицы, так и от параметра в.

Здесь и далее нас будет интересовать такая характеристика, как вероятность возвращения квантовой блуждающей частицы в исходную точку за t шагов по времени, а так же асимптотические свойства данной характеристики. Интерес к данному показателю обусловлен связью вероятности возвращения и свойства локализации [1].

2. Локализация и возвратность в моделях квантового случайного блуждания В теории классических цепей Маркова большое внимание уделяется возвратным состояниям. Рассмотрим цепь Маркова {Xn }™=0. Если в n-м испытании реализовалось событие Ej, то будем считать, что Xn = j. Введем следующие обозначения:

f(n) = P{Xn = j,* j,...,X1 * j | X0 = j)

Fj =E fj (n)

n=0

Рис. 1. Распределение вероятностей возвращения для блуждающей квантовой частицы

Примечание: Верхние четыре рисунка: в = к/ 13, Y(0,0) = | '' I, число шагов по време-

v 722)

ни 50, 100, 150, 200. Нижние четыре рисунка: в = ж/2, Т(0,0) = , число шагов по времени 50, 100, 150, 200.

Определение. Состояние Ej называется возвратным, если Fj = 1 и невозвратным, если Fj < 1.

Пусть ptj = P(Xk = j | X0 = i). Важным способом проверки возвратности является следующая теорема [2]:

да

Теорема. Состояние Ej возвратно тогда и только тогда, когда ^ pjj = <» .

j=1

В случае классического случайного блуждания имеет место следующая теорема [2]:

Теорема. Описанное случайное блуждание образует возвратную цепь Маркова тогда и только тогда, когда p = q = 1/2.

По аналогии с вышеприведенными рассуждениями и определением локализации в моделях, рассматриваемых в [3], можно определить следующие понятия.

Определение. Квантовое случайное блуждание называется локализованным, если lim pr (n) > 0.

Здесь pr(n) = P(0, n) - вероятность возвращения квантовой частицы в начальную точку за n шагов.

Определение. Квантовое случайное блуждание называется слабо лока-

да

лизованным, если ^ pr (n) = ю.

n=0

Свойство возвратности одномерного квантового блуждания достаточно подробно описано в работе [1] и описывается следующей теоремой:

Теорема. Одномерная квантовая теорема Пойа.

- пусть в = 0, тогда квантовое блуждание на прямой с любым начальным состоянием не возвратно;

- пусть 0 < в < л, тогда квантовое блуждание на прямой с любым начальным состоянием возвратно (слабо локализовано). при этом главный член асимптотики не зависит от начального состояния;

- пусть в = л, тогда квантовое блуждание на прямой с любым начальным состоянием возвратно (слабо локализовано). при этом при |n| > 2 Pdn, t) = 0.

3. Квантовое случайное блуждание на двумерныхрешетках

Одномерное классическое блуждание на прямой описывается эволюционным уравнением для вероятности нахождения в точках с целыми координатами (1). Аналогичное уравнение, но уже зависящее от 4-х параметров имеет место быть для классического блуждания по точкам с целыми координатами на плоскости (а в общем случае и для блуждания по точкам с целыми координатами в пространстве размерности n):

Р У (/ + 1) = рх Р^, у (/) + Р2 у (/) + Рз у+1 (/) + Р4 Р^ у_! (/)

Вероятности р1 соответствуют вероятности классической частицы совершить шаг вправо, влево, вверх и вниз. Для квантового случайного блуждания роль вероятностей играют матрицы Р = М+ и Q = М_:

Соответствующее уравнение для амплитуд вероятностей выглядит следующим образом:

¥(п, / +1) = Р*¥(п +1, /) + Qx¥(n -1, /)

Множество начальных состояний квантовой частицы определяется следующим образом:

Ф = \ср =

■С 2:|а|2 +|^|2 = 1

а

Р.

Матрица преобразования в данном случае может выглядеть (для одномерного Адамаровского блуждания) как:

1 (1 1

И = - /-1 Л -1

Обобщение квантового случайного блуждания на многомерный случай определяется матрицами большей размерности [4]

нА = н ® И <

>И

являющейся тензорным произведении матриц одномерного случайного блуждания. Множество начальных состояний квантовой частицы выглядит как:

Ф(а) = {<р1 ® ср2

: % еФ, I = , а}

Двумерным Адамаровским случайным блужданием называется блуждание, описываемое следующей матрицей:

н

Г1 1 1 11

1 1 -1 1 -1

2 1 1 -1 -1

V1 -1 -1 1,

Вероятность нахождения квантовой частицы в соответствующем узле (п,т) определяется аналогично одномерному случаю:

Р((п, т),/) =|^1((п, т), /)|2 +1 Т2((п, т),/) |2 +1 ¥3((п, т), /)|2 +1 Т4((п, т), /) |2

Другими примерами двумерного квантового блуждания стоит отметить блуждание, описывающееся матрицами Н2 (Гровера) и Н3:

н 2 =-2 2

-1 1 1 1 -1 1 1 1 -1

111 -1

Н 3 = 2

11 -1 1 -1 1 -1 -1

1 1 ^ -1 1 1 -1 11

На следующих рисунках приведены распределения вероятностей квантового блуждания за 20 шагов по времени:

Рис. 2. Распределение вероятностей для блуждания с матрицами Нь Н2 и Н3

Сложность изучения квантового случайного блуждания обуславливается еще большим числом всевозможных конфигураций и степеней свободы по сравнению с блужданием на одномерной решетке, что видно на рис. 2 в сравнении квантового блуждания с различными матрицами преобразования.

Проследить асимптотические свойства вероятности возвращения в исходную точку можно на рис. 3, где изображены результаты компьютерного моделирования.

Рис. 3. Вероятность возвращения в исходную точку в логарифмическом масштабе для блужданий с матрицами Нь Н2 и Н3 и асимптотическое приближение на бесконечности вида 1 / ?

Как видно из рис. 3, вероятность возвращения для блуждания с матрицами Нь Н2 и Н3 убывает на бесконечности как 1 / ^ и следовательно

невозвратно. Особенно интересным в качестве объекта численного исследования является случайное блуждание Гровера. Интерес заключается в принципиально ином асимптотическом характере вероятности возвращения в исходную точку (пропорционально '0).

Результаты моделирования позволяют сформулировать следующие гипотезы.

Гипотеза 1. Асимптотика вероятности возвращения квантовой частицы в начало координат не зависит от начальных условий.

Гипотеза 2. Подмножество параметров квантового блуждания, при котором оно обладает свойством возвратности при любых начальных данных, имеет меру нуль.

Эволюция волновой функции двумерного блуждания по аналогии с одномерным случаем выглядит следующим образом:

Т(п, т, '+1) = Р1х¥(п, т -1,')+Р2Т(п -1, т, ')+Р3Т(п+1, да,/) + Р4Т(п, т+1,') (3)

где матрицы Ри I = 1, 2, 3, 4 соответствующим образом определены. Эволюцию по времени выражения (3) удобно изучать, вычисляя преобразование Фурье выражения (3):

да да

Т(и,V) = £ ХТ(п,т)г"

(ип+ут)

п=-ю т=-да

В образе Фурье шаг по времени дается умножением на матрицу М:

¥(и, V, ' +1) = (Р1е" + Р2в'" + Р3е+ Р4 е)*Р(и, V, ') = М~(и, V, ') = М' ¥(и, у,0)

Возведя матрицу М в требуемую степень и вычислив обратное преобразование, получим распределение амплитуд вероятностей для любого наперед заданного момента времени:

л л

¥(п.т,') = {{Ф(и,у)е-'(ип+ут^dudv

Особенно интересным из перечисленных примеров двумерного квантового блуждания оказывается блуждание Гровера. Для него матрица М выглядит следующим образом:

М = 1

1У± Огоует 2

- е" е" е" е"

еш - е'и е и е'и

е е - е е-'и

е е е - е

Два из четырех собственных чисел этой матрицы равны 1 и -1, это означает, что существуют как минимум одна неподвижная конфигурация для амплитуд вероятностей и одна конфигурация, для которой шаг по времени изменяет знак амплитуды вероятностей. На языке вероятностей это означает сохранение распределения вероятностей нахождения блуждающей частицы в узлах двумерной решетки и локализацию.

В качестве заключения стоит отметить, что модель двумерного квантового блуждания оказывается существенно богаче блуждания на одномерной решетке. Численно предсказаны и в дальнейшем аналитически подтверждены свойства возвратности для некоторых частных случаев, однако общего описания возвратных состояний для случая двумерной решетки авторам пока еще не известно.

Список литературы:

1. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Квантовая теорема Пойа // Сибирские электронные математические известия. - 2009. - Т. 6. - С. 199-210.

2. Боровков A.A. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1972.

3. Ishii K. Localization of Eigenstates and Transport Phenomena in the One-Dimensional Disordered System // Prog. Theor. Phys. Suppl. - 1973. - № 53. - P. 77-138.

4. Mackay T.D., Bartlett S.D., Stephanson L.T. and Sanders B.C. Quantum walks in higher dimensions // J. Phys. A: Math. Gen. - 2002. - Vol. 35. - P. 27452753.

5. Nayak A., Vishwanath A. Quantum Walk on the Line (Extended Abstract). - preprint:quant-ph/0010117.

МЕТОДЫ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ В ЗАДАЧЕ НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА ВРЕМЕННОГО РЯДА ВОЛЬФА1

© Бондаренко М.А.*

Представлены резуньтаты компьютерного исследования временного ряда составленного из чисел Вольфа. В соответствии с подходом, основанным на алгоритме Грассберга-Прокаччиа, решалась задача восстановления размерности аттрактора динамической системы описывающей динамику Солнца. Показано, что за последние 3000 лет принципиальных изменений в эволюции Солнца не произошло.

1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (РФФИ, грант

№ 08-01-00312).

* Магистр прикладной математики и информатики.