Асимптотическая устойчивость и положительная определенность интервальной матрицы со связями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 8, № 5, 2003

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИНТЕРВАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ СО СВЯЗЯМИ

Р. С. Ивлев

Институт проблем информатики и управления МОН РК,

Алматы, Казахстан e-mail: ivlevruslan@newmail.ru

Dependent interval matrices, i.e.interval matrices with the elements, which depend on each other, are considered. The possibility to represent a dependent interval matrix as a matrix polytope is shown. Some algebraic conditions of positive definiteness and asymptotic stability for matrix polytopes are obtained.

Введение

Проблема исследования устойчивости динамических систем в условиях параметрической неопределенности интервального типа является объектом пристального внимания современной теории управления и смежных научных дисциплин. Несмотря на то что наибольших успехов в этом направлении удалось достигнуть в классе линейных стационарных систем с интервальными параметрами, некоторые из вопросов, касающиеся исследования устойчивости заданных в пространстве состояний линейных интервальных динамических систем, остаются открытыми. Так, решение задачи исследования устойчивости интервальных матриц получено для специальных случаев интервальных матриц (например, [1]) либо в виде достаточных условий [2, 3]. В общем случае согласно результатам [4] задача исследования устойчивости интервальной матрицы является МР-трудной. Наряду с указанными сложностями при построении математической модели некоторые параметры модели могут оказаться зависимыми друг от друга и оставаться в пределах заданных интервалов. В результате этого истинные значения параметров могут принимать не произвольные сочетания значений из заданных интервалов, а только те, которые удовлетворяют существующим зависимостям. Для случая линейных динамических систем, заданных в пространстве состояний, значения элементов матрицы состояния будут зависеть друг от друга. Матрицы, значения элементов которых, оставаясь в пределах заданных интервалов, зависят друг от друга, будем называть согласно [5 - 9] интервальными матрицами со связями. Исследование свойств таких интервальных матриц представляет большой научный интерес.

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2003.

1. Обозначения и постановка задачи

Специальной нотации в данной работе будут подчинены интервальные величины, для обозначения которых в дальнейшем будет использован полужирный шрифт. Неинтервальные (точечные) величины будут обозначаться обычным шрифтом. Символами подчеркивания и надчеркивания будут обозначаться нижняя и верхняя границы интервала соответственно. Применительно к интервальным матрицам и векторам символы подчеркивания и надчеркивания будут пониматься в поэлементном смысле.

В данной работе рассматривается линейный характер зависимостей элементов матрицы от неопределенных параметров. Пусть с = [с, с] = ([с^, ])т=1 £ Жт — некоторый интервальный вектор [10, 11] и (¿^ £ — неинтервальные (точечные) векторы, г,^ £ 3 = {1, 2,...,п}; Ж — множество всех вещественных интервалов [10, 11]. Введем матрицы Б £ епхпт и С £ ептхп блочного вида

я=№);=!

(

\

1т ( 11

(т

(21

(

т

п1

(т ( 12 (т ( 22

(т

(п2

(т

(1п

(т

( 2п

(

т

пп

С = В1оск Diag{c, с,..., с}, с £ с.

/

Определение 1. Назовем множество матриц

Ааер = £ Епхп | А = БС, с £ с}

(1)

интервальной матрицей со связями линеиного типа относительно интервального вектора с £ Жт и матричного множителя Б £ Кпхпт.

Для краткости изложения будем использовать термин "интервальная матрица со связями", опуская слова "линейного типа относительно интервального вектора и матричного множителя", при этом будем подразумевать эквивалентное значение. Из определения 1 видно, что в общем случае Ааер £ Жпхп в классическом смысле.

В работе [8] расматриваются зависимые интервальные векторы для случая, когда ] = 1, (¿1 = 1 £ г £ 3, и все значения элементов векторов (¿, кроме одного, равны нулю. В указанной работе интервальные векторы со связями представляются иным образом: пусть (39)^=1 — разбиение множества индексов 3 = {1, 2,... , п}, т. е.

3 с 3,

П = ® для = 92, и 3 = 3.

9=1

Далее, пусть у9 £ Ж, 9 =1, 2,..., / и в £ кп, тогда согласно ставление интервального вектора со связями:

Ъаер = {Ь £ Еп | 6Г = вг, г = 1, 2,

имеем следующее пред-

, п,

где £ уд при г £ 3д}.

Легко видеть, что приведенные два представления эквивалентны для случая, когда ] = 1,

/ = т, с = (у9 )9=1, и векторы (¿, г £ 3, имеют в качестве 9-й компоненты величину в^ при

г £ 39, 9 =1, 2,...,/, а остальные компоненты равны нулю, т. е.

12

( = (0, 0,...,вг,..., 0)т, г £ , 9 = 1, 2

Для случая, когда т = п2, векторы являются столбцами единичной матрицы порядка

2

n 2, т. е.

ЛТ

cF c12

1 2 n2

(1,0,..., 0),

1 2 (0,1,

n 0),

CT

c1n

CT C21

1 2 (0, 0, 12 (0, 0,

n n+1 n2

, 1, 0 ,..., 0), n n+1 n2

.0, 1 ,..., 0),

Cnn = (0, 0,..., 1),

имеем интервальную матрицу (1), понимаемую в классическом смысле, т.е. Adep = A G irnxn

Введем матрицы C, C G rnmxn блочно-диагонального вида

C = Block Diag{c, c,..., c}, C = Block Diag{c, c,..., c}

и, используя арифметические операции классической интервальной арифметики [10, 11], построим интервальную матрицу А £ Жгахга

A = DC,

(2)

где С = [С, С] £ 1мгатхга. Нетрудно показать [11], что интервальная матрица (2) является интервальной оболочкой для Ааер, т.е.

А = ПАаер; Ааер С А. (3)

Определение 2. Будем говорить, что интервальная матрица со связями Ааер обладает некоторым свойством V, если этим свойством обладает любая матрица А £ Ааер.

В настоящей работе исследуются асимптотическая устойчивость и положительная определенность интервальной матрицы со связями Ааер.

Задача: требуется определить конечное множество специальным образом построенных точечных матриц порядка п таких, что наличие исследуемого свойства у этих матриц влечет наличие этого свойства у матрицы Ааер в смысле определения 2.

Из соотношения (3) можно заключить, что для решения поставленной задачи достаточно воспользоваться, например, результатами работы [1] применительно к интервальной матрице А £ Жгахга. Однако во многих случаях интервальная оболочка матрицы Ааер может оказаться слишком грубой аппроксимацией множества (1), что повлечет за собой большую избыточность полученных условий.

2

2

2. Предварительный результат: геометрические свойства

В данном разделе нами будет установлено, что интервальная матрица со связями Ааер представима в пространстве Кгахга в виде выпуклой комбинации конечного числа точечных

матриц. Для этого выполним сначала некоторые вспомогательные построения и приведем необходимые определения.

Рассмотрим матрицы Бд € мгахга, к € К = {1,2,...,т}, построенные следующим образом: гу-й элемент матрицы Бд определяется равным к-му элементу вектора ^, г, у € 3, т. е.

Бд = (^^ € кпхп,

где ¿¿^ — к-й элемент вектора , г,у € 3. Для любого к € К имеем Бд = 0гахга, поскольку в противном случае ни один элемент матрицы Лаер не зависел бы от Сд и, следовательно, элемент Сд можно было бы исключить из рассмотрения, сделав соответствующие изменения в векторах е и . Множество матриц Бд обозначим через

Рк = {Бд € кпхп | Бд = 0„хп, к € К} С кпхп.

С использованием введенных матриц Бд интервальная матрица со связями Лаер пред-ставима в виде

т

Лаер = {А € кпхп | А = ^ Бдсд, Сд € Сд}. (4)

д=1

Аналогичное представление можно получить для интервальной матрицы Л € Жгахга. Применяя арифметические операции классической интервальной арифметики, имеем

Л = ^ Бд ед.

д=1

На множестве Рк матриц Бд, к € К, введем отношение следующим образом. Определение 3. Будем говорить, что две матрицы Бд/ € и Бд// € , к', к" € К, находятся в отношении , и будем записывать Бд/ Бд//, если существует такое число ^ € к, ^ = 0, что имеет место равенство

Бд/ = ^Бд//. (5)

Это отношение является отношением эквивалентности, поскольку свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности очевидным образом выполняются. Введенному отношению соответствует разбиение 1 множества Рк на классы, которое ин-

дуцирует разбиение (К9)^=1 множества индексов К = {1, 2,... , т}:

р

К С К, К91р| К92 = 0, для 91 = Кд = К.

9=1

Из соотношения (5) и определения 3 видно, что класс К9, 9 € {1, 2, ...,р}, содержит номера только тех индексов, которым соответствуют матрицы Бд с пропорциональными элементами.

Матрицы Бд, находящиеся в отношении , обладают следующим свойством: если для

некоторых к', к'' € К имеет место Бд/Бд//, то

|Бд/1 |Бд//1

- (6)

|Бд/ II || Бд//1

п п

где || = /£ Е4, для X = )п.=1 £ Кпхп.

у ¿=1¿=1

Соотношение (6) выполняется для любых двух матриц, принадлежащих одному классу . Это позволяет поставить каждому классу в соответствие матрицу

IDfe |

N = , (7)

где £ однозначно определяет свой класс. Здесь и далее матрицы, принадлежащие классу , обозначаются через , £ К, д £ {1, 2,... ,р}.

Для каждого класса введем в рассмотрение числа , определяемые согласно выражению

^ N = , £ К,.

Из соотношения (7) видно, что | = ||. Также для каждого класса , применяя классическую интервальную арифметику, вычислим интервалы

vq = ^ ckq' q G {1, 2'-- ''ri-

fe q

Используя множество

Zp = {z G rp | z G {-1, 1}, для всех i}

вычислим матрицы

p

Gz = ^^ Nq (mid vq + zqradvq), 9=1

где mid vq = (vq + vq)/2 и radvq = (vq — vq)/2 — середина и радиус интервала vq соответственно.

Теорема 1. Пусть Ааер — интервальная матрица со связями линейного типа относительно интервального вектора с £ Жт и матричного множителя Д £ Кпхпт. Тогда

Ааер = ееЬ } = С,

где ееЬ — выпуклая оболочка.

Доказательство. Используя соотношение (4) для интервальной матрицы со связями

Adep

имеем

Adep = {A G rnxn | A = £ Dfccfc, cfc G cfc}

k=i

p

{A g rn {A g rn {A g rn {A g rn {A g rn {A g rn

A = J2 Y^ Dfcq Cfcq' Cfcq G ckq} =

q=1 kq €Kq p

A = Yl Yl ^q NqCkq , Ckq G Ckq } =

q=1 kq eKq p

A = Yl Nq ^ ^kq Ckq , Ckq G Ckq } =

q=1 kq eKq p

A = Nq Vq, Vq G vq} =

q=i

p

A = ^ Nq (AqVq + (1 — Aq)Vq) , 0 < Aq < 1} =

q=i

p

A = X] (AqVqNq + (1 — Aq)VqNq) , 0 < Aq < 1}.

q=i

Выражение ^ ( AqNq + (1 — Aq)vqNq) представляет собой сумму отрезков в пространстве q=i

rnxn, понимаемую в теоретико-множественном смысле. Покажем по индукции, что получаемое при этом множество матриц порядка n представимо в виде выпуклой комбинации конечного числа матриц того же поряда. Имеем для p =2 (случай p =1 очевиден):

AiViNi + (1 — Ai)ViNi + A2V2N2 + (1 — A 2)^2 N2 =

= (A2 + (1 — A2)) AiviNi + (A2 + (1 — A2)) (1 — Ai)ViNi +

+ ( Ai + (1 — Ai)) A2V2N2 + ( Ai + (1 — Ai)) (1 — A 2)^2N2 =

= AiA 2ViNi + Ai(1 — A2)viNi + A2(1 — Ai)ViNi + (1 — Ai )(1 — A2)ViNi +

+A i A 2V2 N2 + A2 (1 — Ai)v2N2 + Ai(1 — A 2)^2 N2 + (1 — Ai)(1 — A2)V2N =

= AiA 2(viNi + V2N2) + Ai(1 — A2)(viNi + V2N2) +

+A 2(1 — Ai)(ViNi + v2N2) + (1 — Ai)(1 — A 2)(ViNi + V2N2) =

= Ai ((mid vi — radvi)Ni + (mid v2 — radv2)N2) +

+a2 ((mid vi — radvi)Ni + (mid v2 + radv2)N2) +

+A3 ((mid vi + radvi)Ni + (mid v2 — radv2)N2) +

+a4 ((mid vi + radvi)Ni + (mid v2 + radv2)N2) =

= cch {Gz},

4

где Ai > 0, i G {1, 2, 3, 4}, Y1 A = 1. Далее, пусть 2 < p' < p и

i=i

p'

cch {Zp'} = J] Az Gz = J] (A q Vq Nq + (1 — Aq )Vq Nq) , 0 < Aq < 1, Л* > 0, J] Az

1.

zezp

q=i

zezp

Тогда, выполняя аналогичные действия, можно показать, что

У Аг+ (Ар'+1^р'+1^р'+1 + (1 — = ^

zeZ

p'+i

где Àz > 0, z G Zp'+i, zez ' 1 Àz = 1. Из приведенных соотношений утверждение теоремы следует немедленно. Теорема доказана. □

Заметим, что представление интервальной матрицы со связями Adep в виде выпуклой комбинации конечного числа точечных матриц может быть получено иным способом. Вводя в рассмотрение матрицы

Cvert = Block Diag{c, c,..., c}, c G vert c,

где vert с — множество всех угловых векторов интервального вектора с, имеем

Adep = {A G rnxn | A = DC, c G c} =

= {A G rnxn | A = DC, c G cch vert c} = = {A G rnxn | A = DC, C G cch {Cvert }} = = {A G rnxn | A G cch {DCvert }} = = cch {DCvert }.

При этом

и

cch {Gz} = cch {DC }

{Gz} Ç {DCvert }

Последнее соотношение показывает преимущества представления интервальной матрицы со связями Лаер в виде выпуклой комбинации матриц Сг, поскольку

card {Gz} = 2p < 2m = card {DCvert }

так как p < m.

3. Основной результат

В предыдущем разделе показано, что интервальная матрица со связями Лаер представима в виде выпуклой оболочки С = ссЬ (Сг} конечного числа точечных матриц (матричного политопа). Это позволяет свести задачу исследования свойств интервальной матрицы со связями Лаер к задаче исследования свойств матричных политопов, в отношении которых и будут сформулированы дальнейшие результаты. По аналогии с интервальными матрицами со связями будем говорить, что матричный политоп положительно определен (асимптотически устойчив), если любая матрица, принадлежащая данному политопу, положительно определена (асимптотически устойчива). Некоторые подходы к исследованию устойчивости матричного политопа обсуждаются в работе [12], в которой приведены убедительные контрпримеры, показывающие, что для устойчивости матричного политопа недостаточно устойчивости его ребер, равно как и не является необходимой устойчивость

выпуклой оболочки множества характеристических полиномов, соответствующих всевозможным матрицам исследуемого политопа.

Для того чтобы сформулировать основной результат данного раздела, приведем известное определение из теории выпуклых многогранников [13] применительно к рассматриваемому случаю.

Определение 4. Множество матриц {С*} называется выпукло-независимым, если ни одна из этих матриц С*/ не представима в виде выпуклой комбинации остальных, т. е.

V* € ^ : С* = ^ А*С*, где А* > °>* € ^ А* = 1.

Теорема 2. Для положительной определенности матричного политопа с достаточно, а в случае выпуклой независимости матриц С* и необходимо, чтобы все матрицы С* были положительно определены.

Доказательство. Необходимость очевидна, поэтому докажем достаточность. Пусть х € кга, тогда для произвольной матрицы С € с квадратичная форма имеет вид

хТСх = хТ £ А*С* х = ^ А*хтС*х > 0, А* > 0, * € 2р, ^ А* = 1,

поскольку хТС*х > 0 для любого * € 2р. Теорема доказана. □

Нетрудно проверить, что данная теорема остается верной и для случая отрицательной определенности матричного политопа. К сожалению, аналогичное утверждение в отношении асимптотической устойчивости матричного политопа в общем случае остается неверным. И тем не менее можно выделить частный случай матричного политопа, когда такое утверждение будет справедливым.

Теорема 3. Пусть С* = для любого * € 2р. Тогда для асимптотической устойчивости матричного политопа с достаточно, а в случае выпуклой независимости матриц С* и необходимо, чтобы все матрицы С* были асимптотически устойчивы.

Доказательство. Необходимость очевидна. Для того чтобы доказать достаточность, заметим, что любая матрица С € с симметрическая, т. е. С = СТ, поскольку

СТ = ( ^ А* С А = ^ А* СТ = ^ А* С* = С, А* > 0, * € ^ А* = 1.

По теореме 2 матрица С является отрицательно-определенной в силу симметричности и асимптотической устойчивости матриц С*. С учетом симметричности матрицы С заключаем, что собственные значения матрицы С вещественны и строго отрицательны. Следовательно, матрица С асимптотически устойчива. Теорема доказана. □ Условия асимптотической устойчивости матричного политопа в общем случае дает следующая теорема.

Теорема 4. Пусть существует симметрическая положительно-определенная матрица Н = НТ € мгахга такая, что матрицы СН + НС* для любого * € 2р асимптотически устойчивы, тогда матричный политоп С асимптотически устойчив.

Доказательство. Асимптотически устойчивые матрицы С^Н + являются симметрическими и, следовательно, отрицательно-определенными. По теореме 3 матричный политоп

ееЬ {СТН + НС} (8)

является отрицательно-определенным. Из построения ееЬ {С^Н + НС} имеем

ееЬ {СТ Н + НС} =

= {Ся е кгахга | Ся = X] (СТН + НС), Лг > 0, г е ^ Лг = 1} =

z € 2 €

= {Ся е кгахга | Сн = (X] ЛхС)ТН + Н ^ ЛхС, Лх > 0, г е ^ Лг = 1} = = {Сн е егахга | Сн = СТН + НС, С е с}.

Из последнего соотношения заключаем, что для произвольной матрицы С е с матрица Сн = СТН + НС отрицательно определена в силу отрицательной определенности (8). Следовательно, матрица С е с асимптотически устойчива. Теорема доказана. □

4. Пример

В качестве примера рассмотрим систему автоматической подстройки частоты гетеродинного приемника, математическая модель которой имеет вид [14]:

1 гг Кд , Кд

: - ^Цд - ^г + Т^с

Тд Ту Ту

- Т" Чу + Т- Uд,

Т д Т д

1 + Кг Ч

— ~ ^г + — Цу

Тг

Тг

или в векторно-матричной форме

( 1 0 1 Кд

- Т г Ту

Тд - гд Кг 0 1

\ 0

Тг - Т г

Чд

Чу

+

( К \

ТУ

0 0

^с

(0 0 1 )

Чд Чу

где Чд, Чу — напряжение на выходе дискриминатора и на выходе усилителя напряжения соответственно; ^сигн и — угловая частота сигнала и на выходе гетеродина соответственно; Ту, Тд и Тг — постоянные времени усилителя промежуточной частоты, усилителя напряжения и гетеродина; Кд и Кг — коэффициенты передачи дискриминатора и гетеродина.

Элементы матрицы

A

( _1

Tv

V

т 0

Тд

Кг

Тг

Кд \ Ту 0

1

Тг f

системы имеют сложную зависимость от ее конструктивных параметров. Рассмотрим случай, когда постоянные времени Ту, ТД и Тг заданы интервально, т.е. Tv G Tv = [Tv,Tv], Тд G Тд = [ТД,Тд] и Тг G Тг = [Тг,Тг], а остальные параметры известны точно. Тогда n = m = 3,

,т

c1 c2 c3

Т 1 т — 1

v '—v

Т 1 т—1

д ' —д

Т 1 т — 1 Т г , Тг

1

D1 =

Далее, p = m и Z =

-1 0 -Кл

00 00

0 0

D2

000 1 -1 0 000

-1 -1 -1 1

T

111

Аз

T

0 0 0 0 0 0

0 Кг -1

1 1 1

T

1 1 1

T

1 1 )T,( 1 -1 1 )T ,( -1 1 1 )T ,( 1 1 1 f} •

Соответственно,

-1

-1

-1

-1

{Gz} H Тv А + Тд D2 + Тг Аз, Т—1D1 + Тд D2 + Т

v

—— 1

v

д

Т/А1 + Т-1А2 + Тг 'Аз, Т/А + Тд1 А2 + Тг — 1 —1 1 1 —1 Тv А + Тд А + Т-1 Аз, Т-1А + Тд А2 + Т-

Т-1 А1 + Т-1А2 + Т-1 Аз, Т-1А1 + Т-1А2 + Тг

г

1

д

—1

д

77Т—1

/ -Т—1 —v1 Т д 0 1 -К т Кдт v

-Тд1 0 -т——

V 0 КгТ—

/ -Т—1 -v 0 -К Т— Кдт v

-1 тд -1 - тд 0 -т——

V 0 КгТ Г—1

/ -Т—1 -—v1 Т— 0 0 -К Т— Кдт v

-Тд1 КгТ——1 0

V -т— 1

/ -Т —1 -v 0 -К Т— Кдт v

т—1 0 -1 - тд КгТ —1 0

V -т— 1

Т—

—1

0

-Т Тд

0

Т

—v1

Т

—1

д

0

Т

—1 Тд

0

-Т—

КгТ—

-1

0 Т КгТ

-Т—

-1

-1

0

-т— КгТ—

-Т—

КгТ—

Аз,

Аз Аз Аз

-К Т—1 \

Кд Тv 0

-Т—' /

-К Т—1 Кдтv

-Т—1

-КдТ

-1

д—v 0

-Т— 1

-1

КТ К дТv

0

_Т—1

г

1

0

1

1

0

0

Для сравнения {Стей}=

/ ——1 ——1 ——1 0 ——1 0 ——1 0 ——1 0 0 0 \ т

0 0 0 0 ——1 0 ——1 0 ——1

V 0 0 0 0 0 0 /

Т—1 —у ——1 ——1 0 0 ——1 0 ——1 0 0 0 \ т

0 0 0 —1 —у 0 0 ——1 0 ——1

V 0 0 0 0 0 0 —1 —у /

——1 у —1 —д ——1 0 ——1 у 0 0 ——1 0 0 0 \ т

0 0 0 —1 —д 0 ——1 у 0 0 ——1

V 0 0 0 0 0 0 —1 —д /

—1 —у —1 —д ——1 0 0 0 ——1 0 0 0 \ т

0 0 0 —1 —у —1 —д 0 0 0 ——1

V 0 0 0 0 0 0 —1 —у —1 —д /

——1 у ——1 —1 —г 0 ——1 0 ——1 0 0 0 0 \ т

0 0 0 —1 —г 0 ——1 0 ——1 0

V 0 0 0 0 0 0 —1 —г /

—— 1 —у ——1 —— 1 —г 0 0 ——1 0 0 0 0 \ т

0 0 0 —— 1 —у —— 1 —г 0 0 ——1 0

V 0 0 0 0 0 0 —— 1 —у —— 1 —г /

——1 у —1 —д —1 —г 0 ——1 у 0 0 0 0 0 \ т

0 0 0 —1 —д —1 —г 0 ——1 у 0 0

V 0 0 0 0 0 0 —1 —д —1 —г /

( —1 —у 0 —1 —д 0 —1 —г 0 0 0 0 0 0 > т

0 —— 1 —у 0 —— 1 —д 0 —— 1 —г 0 0 0

\ 0 0 0 0 —1 —у —1 —д —1 —г )

= ( -1 0 0) = ( -Кд 0 0) , ^Тх = (0 1 0)= (0 -1 0),

^32 = (0 0 Кг), = (0 0 -1) = 4з = 41 = ( 0 0 0 ). И, наконец, имеем

/ -1 0 0 0 0 0 -Кд 0 0 \

Б =10 1 0 0 -1 0 0 00 .

\ 0 0 0 0 0 -Кг 0 -1 )

Легко проверить, что

Б{Стей } = {БСтей } = }.

Исследуем асимптотическую устойчивость рассматриваемой системы для следующих численных значений:

Ту = [0.0032, 0.004] с; Тд = [0.0016, 0.002] с; Тг = [0.0008, 0.001] с; Кд = 2 В • с/рад; Кг = 3 В • с/рад.

Тогда

Т— е [250, 312.5], Т— е [500, 625], Т— е [1000,1250].

Множество матриц С* для указанных численных значений имеет вид

{С } =

-250 0 -500

625 -625 0

0 3000 -1000

-250 0 -500

500 -500 0

0 3000 -1000

-250 0 -500

625 -625 0

0 3750 -1250

-250 0 -500

500 -500 0

0 3750 -1250

312.5 0 -625

625 -625 0

0 3000 -1000

312.5 0 -625

500 -500 0

0 3000 -1000

312.5 0 -625

625 -625 0

0 3750 -1250

312.5 0 -625

500 -500 0

0 3750 1250

Для исследования асимптотической устойчивости системы автоматической подстройки частоты гетеродинного приемника применим теорему 4, где в качестве матрицы Н выберем решение матричного уравнения Ляпунова

СтН + НСт = -^

где Q — некоторая положительно-определенная симметрическая матрица; рический центр матричного политопа, который вычисляется по формуле

(9)

геомет-

1

сагё. {С*}

.

Для рассматриваемого примера имеем

281.25

0

562.5 562.5

-562.5 0

0

3375 -1125

Для числовой матрицы

20 -4 -4 Q = | -4 50 -4 -4 -4 7

(главные диагональные миноры равны соответственно Д1 = 20 > 0, Д2 = 984 > 0, Аз = 5640 > 0) решение уравнения (9) имеет вид

0.07009524 0.01726984 -0.02260317 Н = | 0.01726984 0.16863492 0.02069841 0.02260317 0.02069841 0.01441270

и является симметрической положительно-определенной матрицей (главные диагональные миноры равны соответственно Д1 = 0.07009524 > 0, Д2 = 0.01152226 > 0, Д3 = 0.00003372 > 0).

Для найденной числовой матрицы Н множество матриц С^ Н + НС* имеет вид

{СТ н + НС* }

-13.46031746 22.47619048 6.14285714

-22.22222222 21.39682540 -1.20634921

-17.77777778

3.55555556 3.55555556

-26.53968254 2.47619048 --3.79365079

-13.46031746 5.52380952 11.79365079

-22.22222222 4.44444444 4.44444444

22.47619048 -86.60317460 0.96825397

21.39682540 -86.60317460 -1.19047619

3.55555556 -44.44444444 3.55555556

2.47619048 44.44444444 1.39682540

5.52380952 55.55555556 6.60317460

4.44444444 55.55555556 4.44444444

-17.77777778 -13.39682540 9.20634921

-26.53968254 -14.47619048 1.85714286

-13.39682540 -13.39682540 9.19047619

-14.47619048 -13.39682540 7.03174603

6.14285714 0.96825397 -6.22222222

-1.20634921 -1.19047619 -0.57142857

3.55555556 3.55555556 -6.22222222

-3.79365079

I.39682540 -0.57142857

II.79365079 6.60317460

-13.42857143

4.44444444 4.44444444 -7.77777778

9.20634921 9.19047619 -13.42857143

1.85714286 7.03174603 7.77777778

Все матрицы множества {С^Н + НС*} являются асимптотически устойчивыми, их

собственные числа соответственно равны

А1 = -92.9641653 А2 = -12.8511248 А 00 -0.4704241

А1 = -93.0724164 А2 = -15.9062018 Аз = -0.4182073

А1 = -45.1550120 А2 = -18.5639641 Аз = -4.7254683

А1 = -44.8628846 А2 = -26.6882061 А 00 -0.0044649

А1 = -56.9046334 А2 = -25.2209562 А 00 -0.3188549

А1 = -56.4437650 А2 = -23.2049551 А 00 -5.9068354

А1 = -36.4693516 А2 = -6.3197987 Аз = - 1.8140244

А1 = -36.8824086 А2 = -10.4287075 А 00 -0.4031696

По теореме 4 заключаем, что система автоматической подстройки частоты гетеродинного приемника асимптотически устойчива.

Рассмотрим интервальную оболочку матричного политопа: С

А = ЯС,

где

С

т 1 т —1 1 У ,тУ 0 0 \

т — 1 т—1 д ,тд 0 0

т — 1 т—1 0 0

0 0 0

т 1 Т — 1 1 У

Т— 1 т—1

д ' тд

Т— 1 т — 1 1 г , Тг

0 0 —— 1 т \ т— т У 'тУ

0 0 ■—— 1 т \ т— д ' —д

0 0 '—— 1 т \ т— -1 г ! —Г

V

Выполняя интервальные арифметические операции, получим

[-312.5, -250] 0 [-625, -500]

А = | [500,625] [-625, -500] 0

0

[3000, 3750] [-1250,-1000]

При этом матрица

-250 0 -625 Л' = | 625 -500 0

0 3750 -1000

е А, Л' £ Ааер

имеет собственные числа, равные

А1 = -1764.6883713, А2,з = 7.34418565 ± 3949.139853202, j = /-!,

т. е. матрица Л' неустойчива!

Список литературы

[1] Röhn J. An algorithm for checking stability of symmetric interval matrices // IEEE Trans. Automat. Contr. 1996. Vol. XX, N V. P. 1-4.

[2] Heinen J.A. Sufficient conditions for stability of interval matrices // Intern. J. Contr. 1984. Vol. 39, N 6. P. 1323-1328.

[3] WANG K., Michel A. On sufficient conditions for the stability of interval matrices // Syst. Control Lett. 1993. Vol. 20. P. 345-351.

[4] KreinöVICH v., Lakeyev A., Röhn J., Kahl P. Computational Complexity and Feasibility af Data Processing and Interval Computations. Dordrecht: Kluwer, 1997.

[5] Alefeld G., KreinöVICH v., Mayer G. Symmetric linear systems with perturbed input data // Numer. Methods and Error Bounds. Berlin: Akad. Verlag, 1996. P. 16-22.

[6] Alefeld G., KreinöVICH v., Mayer G. The shape of the symmetric solution set // Appl. of Interval Computations Kearfott. Dordrecht: Kluwer, 1996. P. 61-79.

[7] Alefeld G., KreinöVICH v., Mayer G. On the shape of symmetric, persymmetric and skew-symmetric solution set // Mat. Nachrichten. 1998. Bd. 192. P. 23-36.

[8] JANSSON C. Interval linear systems with symmetric matrices, skew-symmetric matrices and dependencies in the right hand side // Computing. 1991. Vol. 46. P. 265-274.

[9] ШАРЫй С.П. Метод дробления параметров для интервальных линейных систем со связями // Перспективы систем информатики: Мат. Междунар. сов. по интервальной математике и методам распространения ограничений. Новосибирск, 2003. С. 1-12.

[10] Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир,

1987.

[11] Neumaier A. Interval Methods for Systems of Equations. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990.

[12] Barmish B. Ross, Fu M., Saleh S. Stability of a polytope of matrices: counterexamples // IEEE Trans. Autom. Contr. 1988. Vol. 33, N 6. P. 569-572.

[13] БРЕНСТЕД А. Введение в теорию выпуклых многогранников: Пер. с англ. М.: Мир,

1988.

[14] Афанасьев В.Н., КОЛМАНОВСКИЙ В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления: Учеб. пособие для втузов. М.: Высш. шк., 1989.

Поступила в редакцию 25 апреля 2003 г., в переработанном виде —16 июля 2003 г.