CC BY
0
УДК 539.3
DOI: 10.18698/2309-3684-2023-2-3366
Асимптотическая теория тонких многослойных микрополярных упругих пластин
© Ю.И. Димитриенко, С.В. Бойко
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассматривается задача о построении теории расчета напряженно-деформированного состояния тонких многослойных упругих пластин в моментной (микрополярной) теории упругости. Решение данной задачи строится с помощью асимптотического анализа общих уравнений 3-х мерной квазистатической задачи моментной теории упругости. Асимптотический анализ проводится по малому геометрическому параметру, равному отношению толщины пластины к ее характерной длине. Получены рекуррентные формулировки локальных задач моментной теории упругости. Для этих задач получены явные аналитические решения. Представлен вывод осредненной системы уравнений равновесия многослойных пластин. Показано, что асимптотическая теория позволяет получить явное аналитическое выражение для всех 9 (в общем случае) компонент тензоров напряжений и моментных напряжений в пластине. Как частный случай рассмотрена задача о расчете напряженно-деформированного состояния центрально-симметричной шарнирно опертой пластины при изгибе под действием равномерно распределенного давления. Получено полное аналитическое решение этой задачи для всех ненулевых компонент тензоров напряжений и моментных напряжений. Проведен численный анализ решения задачи для тензора напряжений в случае однослойной пластины на основе полученных выражений. Проведен сравнительный анализ полученных результатов с аналогичными расчетами для классической теории, выявлены сходства и различия для всех компонент тензора напряжений.
Ключевые слова: асимптотическая теория, малый параметр, микрополярная теория, тонкие пластины, изгиб, тензор напряжений
Введение. В настоящее время в задачах расчета напряженно-деформируемых состояний конструкций, как правило, используется классическая теория симметричной упругости, в которой отсутствуют моментные напряжения, и тензор напряжений Коши является симметричным [1-7]. Для подавляющего большинства конструкционных материалов эта теория дает результаты, достаточно хорошо совпадающие с экспериментами. Этим объясняется ее широкое использование.
Однако, в некоторых задачах механики возникают эффекты, которые не описываются теорией симметричной упругости [2]. Как известно, впервые теория несимметричной (моментной) упругости была предложена в работах братьев Коссера [8]. Интерес к той теории был проявлен только в середине прошлого столетия [9], а в настоящее время наблюдается повышение активности исследований в области теории несимметричной упругости, называемой также микрополярной теорией упругости [10-13].
В работах [12-15] предложены различные подходы к построению теории тонких микрополярных упругих сред (пластин, стержней, оболочек): основанных на аналогах классической теории тонких тел с допущением о характере распределения перемещений и микро-вращений по толщине [12] или на разложении всех основных функций по ортогональным полиномам [14,15].
В работах [16-27] разработан иной подход к выводу уравнений для механики тонких тел, основанный на асимптотических разложениях по малому геометрическому параметру. В работах [21-26] рассмотрен случай многослойной пластины в классической теории, и с помощью асимптотического метода выведена теоретическая основа для решения задач, позволяющая вычислить все компоненты симметричного тензора напряжений посредством решения рекуррентной последовательности двумерных задач. Аналогичный метод применен для построения асимптотической теории тонких оболочек [27].
Данная работа посвящена применению асимптотической теории для решения задач моментной теории упругости многослойных упругих пластины.
1. Общие уравнения теории несимметричной упругости и основные допущения для тонких пластин. Рассмотрим многослойную пластину постоянной толщины, и, следуя [21-27], введем малый параметр а — Н << 1 как отношение общей толщины пластины Н к характерному размеру всей пластины Ь (например, к ее максимальной
хк Ь
х
длине). Введем также глобальные хк = = 1,2,3 и локальную
С = — координаты, где хк — обычные декартовы координаты, ори-а
вотированные таким образом, что ось Ох3 направлена по нормали к внешней и внутренней плоскостям пластины, а оси Охх, Ох2 принадлежат срединной поверхности пластины. Координата £, по толщине пластины изменяется в диапазоне -0.5 <%< 0.5, внешние поверхности пластины обозначим как Е3+ = {¿; = ±0.5).
Рассмотрим в системе координат Охк трехмерную задачу момент-ной теории упругости [2] для квазистатического случая, записанную в безразмерном виде для многослойных пластин при малых деформациях
(1)
Vj +Pf> = 0,
VjMß+phmi+sijkajk= 0, Gii = CijuYu + Biju^u' Ма=ВыцУы+Ацы^ы-Гц
E3±:crjinj =S±i, Mjifij =m±i, ЪТ : ut = uei, kt = ,
2s - 0, [Mji - 0,
[u,. ] - 0, [кг ] - 0.
Эта задача состоит из уравнений равновесия, уравнения моментов, определяющих соотношений для тензоров напряжений и моментных напряжений, кинематических соотношений для тензоров деформации и изгиба-кручения, граничных условий на внешней, внутренней и торцевой поверхностях пластины, а также граничных условий на поверхности контакта слоев пластины. В системе (1) обозначены компоненты следующих векторов: ut — вектора перемещений, ki — вектора поворота, f — вектора плотности внешних массовых сил, hmi — вектора плотности внешних массовых моментов, — вектора внешних поверхностных сил, заданного на внешних поверхностях пластины Е3+, m+i — вектора внешних поверхностных моментов, uei — вектора перемещений, заданных на торцевой поверхности 2Т пластины, кег — вектора поворота, заданного на 2Т , а также компоненты следующих тензоров 2-го ранга: — несимметричного тензора напряжений, My — тензора моментных напряжений, уы — несимметричного тензора деформации и жы — тензора изгиба-кручения. Упругие свойства слоев задаются компонентами тензоров 4-го ранга: Ст — тензора модулей упругости, Bijkl — тензора смешанных модулей упругости и AiJkl — тензора модулей моментной упругости. Эти тензоры являются функциями координат £. В системе (1) также обозначены: ekß
д
— компоненты тензора Леви-Чивиты и V =- — производные по
дх}.
декартовым координатам. Все компоненты рассматриваются в декартовом базисе, связанном с системой координат Охк, \и. ] — означает скачок функции на поверхностях раздела слоев пластины Ъ8 = {4 = 4,^ = 1,...,N — 1} , где N — число слоев в пластине.
Принимаем далее допущение, подобное тому, которое вводится в асимптотической теории классических упругих тонких пластин [2127]: на внешних поверхностях X, поверхностные силы заданы в
виде давления р+, и их величина имеет третий порядок малости относительно малого параметра а, для внешних поверхностных моментов задаем асимптотическое разложение по малому параметру общего вида:
= ~Р±5гъ > Р± = а'Р- > (2)
т± = ат11}± + а2т{12)± +... (3)
где , т\п\ — безразмерные функции, имеющие порядок 0(1), в общем случае являются функциями глобальных координат. В частном случае и т(п\ могут быть константами (равномерные давление и
моменты, действующее на пластину).
Условие (2), как правило, соответствует условиям нагружения реальных тонких пластин. Внешние поверхностные моменты на внешней и внутренней поверхностях пластины в общей теории рассматриваем в виде разложения по малому параметру, в конкретных задачах часть функций ш(п\ может обнуляться.
2. Асимптотическое решение задачи моментной теории упругости для тонких пластин. Решение задачи (1) будем искать в виде асимптотических разложений по параметру а, подобно (3), в виде функций, зависящих от глобальных и локальной координат
ик = 40) (X) + аг/Ъ (х, 4) + а2п[2) (х,4) + а^ (X, 4) + •••, кк = кк0) (х) + ак{) (х,4) + а2 к(2) (х,4) + а3 к? (X,4) + •••,
^ = + + +..., ^ СТ, = + оса® + а2(Т(2) +..., М, = Му0) + аМ® + а2М™ +...,
У У У У У У У У
(4)
Здесь и далее индексы, обозначенные заглавными буквами I, J, К..., принимают значения 1, 2, а индексы, обозначенные строчными буквами У, у, к... — значения 1, 2, 3.
Будем далее использовать обозначения для производных по локальной координате и по глобальным координатам от функций (4)
/(4,х,)„ , /(4,х,), , (5)
при этом имеет место следующее правило согласования производных
, /В и // I: = а~8,з/1з +Зи/J, где 8 — символ Кронекера. Введем также следующие операции интегрирования по локальной координате:
0.5
< / >= | /(4, X)4 (6)
-0.5
'С
</>í= J J Д|, *,)«/!>,
-0.5 -0.5
Í
{/}* = J(/(l,xí)-</>y|.
-0.5
Подставим разложения в (4) для векторов перемещений и поворота в кинематические соотношения в системе (1), тогда получим кинематические соотношения для n-го приближения
п = 0,1,2,... (7)
г(») _ . (n) -F k (n) y(") _ u("+D k(n)
/Ji _ Ui,J bkJikk , /3; _ Ui/3 bk3iKk ,
Подставляя соотношения (7) в определяющие соотношения в системе (1), получаем определяющие соотношения для n -го приближения:
_ С v(") , D
uij ijkUkl ^^ijkl^kl ' ^ , _ /Г1Ч
и = 0,1,2,... (8)
г(и) _ Д л,(и) J ^(п)
Mf = вт№ +
Формулировки локальных задач для микрополярных пластин. Подставляя разложения (4) в уравнения равновесия, уравнения моментов и граничные условия системы (1) и приравнивая в уравнениях равновесия члены при а~х к нулю, а при остальных степенях а к некоторым величинам (к.0\ gг(0)),(hг(1), gг(1)),(hг(2), g(2)),..., не зависящим от 4, получим рекуррентную последовательность локальных задач.
Задача для нулевого приближения имеет вид
(т(0) = 0 М(0) = 0
°3г/3 0, М 31 /3 0, °"зг ) = ^3¡К1УК1 + ^ЗгЗ/^З/ ) + ^3¡К1ЖК1^ + ^ЗгЗ/^З/ ) '
М^ = взшу% + Взшу^ + 4Н< +
^Л ) = ^'лпУк! + ^ЛЗгУз! ) + Влш-^К! + ВЛ31^31 ) >
МТ=Вмпу% + Вт1у(?)
^(0) _ 1.(0) „(0) _ ^ ш > -^з/ — л;/з '
у(0) _ и(0) k(0) Г(0) - и(1) -Р к(0)
У К1 и1 ,К РтК1кт , у 31 _ и1 /3 Рт31кт ,
Хз± :< - 0, М^ - 0,
X, :[<] - 0, [М30'] - 0, [и,(1)] - 0, [к<ч] - 0,
< и ;(1) >- 0, < к« >- 0,
(9)
а для более высоких приближений п > 1 локальные задачи выглядят следующим образом:
+ А/&1 -
м3 п/3 + мп-1+ру^;-1)^ - ^п-1),
°зг) = ^зшУк1 + ^зтУз!) + ^з¡а^а + ^згз/-^з/) >
л4й) ,
^^ = СлаУ(а + Слз1Уз"] + Вла^{а + Дтш-^з/0 > = Вмпу% + + + Лз/^ ,
зг "7/з '
(10)
У(п) - и(п) _ Р k(п) /п) - и(п+1) _ Р k(п) У К1 - и1 ,К РтК1кт , У31 - М1 /3 Рт31кт ,
Е3± - _М3^п3, М<п) -_т(п)±, Е, :[а3гп)] - 0, М)] - 0,
[и(п+1)] - 0, [к(п+1)] - 0, < и(п+1) >- 0, < к(п+1) >- 0.
Уравнения равновесия и уравнения моментов в (1) после введения функций (кп), £г(и-1)) принимают вид
И(0) +ак(1) +а2И(2) +... - 0,
, , , (11)
¿0) + +а2+... - 0. ( )
Решением локальной задачи нулевого приближения (9) являются функции и(1), к®, они зависят от локальной координаты % и входных
данных этой задачи — перемещений и(0)(х) и поворота к<0)(Х). Решением локальных задач (10) являются функции и\п+1\ к\п+1), а и(пк(п' в
этих задачах - входные данные.
Решение локальных задач нулевого приближения. Рассмотрим локальную задачу (9). Решение уравнений равновесия и уравнений моментов с граничными условиями в этой задаче имеет вид
о^ = 0, М(0) = 0, -0.5 < % < 0.5. (12)
Подставляя сюда соотношения для (Г30) и М3(0) из системы (9), получаем
С31К1Г(п> + c3l31yf + + взт.о, Виз гУп + B3myT + Аш^ + Ат< 0.
(13)
(14)
Разрешим эту систему относительно у31 и ж31
v(°) - v(0) - н
/31 w3IKs/Ks Â13IKs/Ks '
^31 n3IKs/Ks r3IKs/Ks '
где введены обозначения для тензоров, которые зависят только от тен-з°р°в модулей упругости Cw, BiJkl и AiJkl
а - Y{n]r - Y{12]R И - Y{n]R - F{12} Â
G3lKs Xlj C3 JKs Xlj B3 JKs , H 3lKs Xlj B3 JKs Xlj A3 JKs , W3lKs = _Xf1>C3JKs + ХГВ3JKs , V3lKs = _X{21>B3JKs + Xf2}A3jKs ,
XlJ f = C3l3 j + C3l3qB3q3pD-mB3m3 j , Xj ' = C3 l3qB3q3pD-j , (15)
xj21} = d- 1k3 c;v, xj22} = d-1,
lj lq 3q3p^3p3 j J Ij Ij ■>
J~\ _ J _ П /1-1 n
Dim = A3i3m B3i3lC3l3 jB3 j3m ,
а C-3l — матрица компонент, обратная к Cm l.
Рассмотрим в системе (9) уравнения, связывающие и ^зг0) и
векторы перемещений и поворота, и присоединим к этим уравнениям условия нормировки из (9)
<^>= 0, < = y^)+sm3lC, <^>=0.
Решим эти дифференциальные уравнения относительно к,(1) и и,(1)
(17)
здесь учтено, что < к((°) > = к^ .
Подставим в (17) вместо у!"' и ж!"' их выражения согласно формулам из (14), тогда получим итоговые соотношения между перемещениями и поворотами 1-го приближения через тензоры деформации и изгиба-искривления 0-го приближения
*,0) =-< Яэк >: ГЁ-< Гж X™.
Подставляя выражения (14) для ;/!'" и л^у"1 в определяющие соотношения (8) при п=0, получим компоненты тензоров напряжений о(0) и моментных напряжений М(°) нулевого приближения через и
.(0) _ Г(0) (0) „(0) (0) I] ^щию ^^ЦЮ^Ю '
где введены обозначения для приведенных модулей упругости
г(0) СЩ1 = С СЩ1 - С G С1] 3 р"3 рК1 — В W В1]3 рП3 рК1
В(0) II - В V В1]3 рУ3 рК1 — с н С1]3рН 3рК1
В(0) - ВЩ1 — В О В1]3 рО3 рК1 — А Ш А 3 рШ3 рК1
А(°) Ацп = 1 — А V А1] 3 рГ3 рК1 В н В1]3рН 3 рК1
(20)
Таким образом, формулы (12)-(20) образуют искомое решение задачи нулевого приближения, так как найдены все компоненты вектора перемещений ии поворота к,(1) первого приближения, а также все
компоненты тензоров напряжений а(0), ст7(0) и моментных напряжений
нулевого приближения в виде функций, зависящих только
от ^ и у!?' , которые, в свою очередь, зависят только от входных
данных задачи и(0) и к(0).
Решение локальных задач высоких приближений. Рассмотрим решение локальных задач (10) более высоких приближений. Решения уравнений равновесия и уравнений моментов в этих задачах вместе с
соответствующими им граничными условиями выглядят следующим образом:
сЗ* = -МАз + \ -Р/А№+^-1)(% + 0.5)
-0.5
% (21)
М3,и) = -тп)- + \ (-М<£>+ я,(п-1)(% + 0.5)
-0.5
п > 1
Условия существования решений (21), удовлетворяющих граничным условиям в системе (10) на внешней поверхности пластины % = 0.5, приводят к следующим уравнениям для вычисления функций
(^-1),-1)):
'Ц""1) = -Ар44^)2 + < 7^ > + <р/г > 4п-1)0
<
^п-1) = -Ат,п) + ег]к < с/р > + < М^ > + < ркщ > 4(п- ' (22)
п > 1
где обозначены: Ар = р+- р_, Ат(п) = т;(п)+ -т(п)_. С учетом (22) уравнения (21) принимают вид:
С =- (р_ +Ар(% + 0.5))51Ъ5пз-{оп%- {р/ }%4(^ц0
^Мз(п) = -(т'"'- +Ат}п)(% + 0.5))-{М^-^ {< 1)}%-{р^И- V
п > 1
(2з)
Уравнения (23) представляют собой частичное решение локальных задач п -го приближения для компонент тензоров напряжений <7(1), М(п), так как они выражены только через входные данные
С-1), М(п-1) соответствующих задач. Для полного решения задач
" (п) Л /г(п)
нужно найти остальные компоненты тензоров < , Му посредством
составления систем из выражений (22) и определяющих и кинематических соотношений в (10).
Рассмотрим в системе (10) группы определяющих соотношений для 7(п) и М3(гп), запишем их по аналогии с (13) в следующей форме
_(и) _ Г* „(») , Г< „(») , ТЗ (и) , п (и) изг ^ъаси а ^^згзиз! ^-"зш^п ^^згзг^зг > (24)
^з(гИ) = + ЯзшГз^ + Лх^ + 4,-з/Лгз/")» " * 1
Выразим из этих соотношений 1 и ж,'"1, тогда получим фор мулы аналогичные (14)
=- - х,гч?+422}м<?
Рассмотрим в системе (10) дифференциальные уравнения, связывающие у(ъ1 и ^ъ? с векторами перемещений и\п+х) и поворота к\п+1), вместе с условиями нормировки. Интегрируя эти уравнения, получаем формулы аналогичные (17)
=<Гз(;} +ет31 <к(:] >е, кГ' =<^>,,П> 1. (26)
Подставляя в (26) вместо ;/1"1 и лл'"1 их выражения согласно формулам из (25), получаем итоговые соотношения между перемещениями и поворотами (п+1)-го приближения через тензоры деформации у^ и изгиба-искривления п-го приближения
=< >е + < >, + < >, -кГ' =< ЪпгР >, + < >: ~ (27)
п > 1
В эти соотношения входят сдвиговые напряжения а(П) и М(П) , которые вычисляются по рекуррентным формулам (23). Деформации у^ и изгиба-кручения 1 п-го в этих формулах вычисляются через
и(п' и поворота к(п) согласно формулам из (10), и тем самым формулы (27) также становятся рекуррентными.
Подставляя выражения (25) для ;/!"' и 1 в определяющие соотношения системы (10), получим формулы для компонентов тензоров напряжений а(0) и моментных напряжений М7(0) п-го приближения через и < :
< = + -
= +zf;}Mi;\
где обозначены
7{11} _ ^ ^{11} _ R ^{21} 7{12} _ г у{12} _ о F{22}
ZIjp - CIj3/X lp BIj3lX lp , ZIjp - CIj3lX lp BIj3lX Ip ,
7{21} _ л у{21} Я ^{11} 7{22} - Л V{22} R Г^}
ZIjp - AIj3lXlp ~BIj3lXlp , ZIjp - AIj3lXlp ~BIj3lXlp ■
(28)
(29)
Выражения решения первого приближения через нулевое приближение. Запишем формулы (23) для случая п = 1
'<31} = -{<0>}%- р }%,
М™ = -(тг(1)- +Атг(1)(% + 0.5))-{М$}%-£щ{<0)}% -{ркш}%. Подставим выражения (19) в формулы (30), тогда получим
— выражения для сдвиговых напряжений и моментных напряжений 1-го приближения через тензоры деформации и изгиба-кручения 0-го приближения.
Запишем теперь соотношения системы (10) между , у^ и и ,(1), к,(1) для случая п = 1, используя формулы (18)
^(1) = кт = _ < цг > г(о) _<у > со)
г(к! = «а - = - < оЗВЛ у^к - < нзш >( ^ + (32) +5шз£кш!к + < Щль >: Гк? + < Узаь >: В результате получим выражение тензоров деформации у® и изгиба-кручения яг^ 1-го приближения через тензоры 0-го приближения.
Подставляя (32) в соотношения (28) для случая п = 1, получаем выражения для напряжений и моментных напряжений 1 -го приближения через тензоры 0-го приближения
_(1) = _гт „(0) _ д(1) (0) дК1) , (0) Г>(1) (0) 7(1) (0) _ г(1)
д у-0)=_5(1) (0) _ .(1) (0) , дг(1) 1.(0) П(1) (0) 7(1) (0) ™(1)
Здесь учтены формулы (12) и введены обозначения
Г0) _Г(0) г п(0) ш ,7{Щ(Г(0) г _7{12}|П(0) г
^ЦП ^^ЗМя ^ """-"да ^-''зМи /да Цр ^ КрМх)^ 5
о(1) = Г(0) < н > , в(0) < р > ,7{11}{п(0) } - 7{12}{А(0) }
5(1) -Я(0)<Гт > +А(0) > -7^21иг(0) ) + 7{22} г Б(0) |
АО) -5(0) <И > +А(°) > -7{21}(В(0) ) +7{22}(А(0) )
/у/я ^ 1 "да ч'з ^ ^/ур ' ^Цр к-1 ^крМя) % >
МП =рг(0)е =£в(0)£
у /ух»! Ь шЗр ' J у /ух»! Ь вЩр°тЗр>
R(1) - с(0) < W > , Z{12}e {С(0) } (34)
RIjMs cIjKlepKl < W3pMs >S ^ZIjp epKi {cKiMs }S' (34)
Z(1) - С(0) e < V > + Z{12}e {B(0) }
^IjMs ^IjKlcpKl ^ r3pMs S Ijp pKi\ KiMs)
50) _8(o)f > _7f21V (Г(о) \
RHMs IiKl vKl 3vMs 4 lip cvKiV^i
IjMs ^IjKl^pKl 3pMs 4 ^Ijp °pKi l^KiMs > 4 J
\ KiMs) S ,
''IjMs ^IjKl^pKl ^ y 3pMs ^4 ^Ijp cpKil^KiMs >4
rIj) - Z<>fp}s -Z^Php} + 0.5)) ,
rm(1) - z;p i]{Pfp }s-z%4pkp }S-z^m?-+A<(s+0.5)).
Выражения решения второго приближения через нулевое приближение. Запишем формулы (23) случая n - 2, причем ограничимся рассмотрением только напряжений ст3(2) и моментных напряже-
(2)
ний М(1
3, г Л,^5 (35)
[М3(2) = -(^,(2)- + Л«(2) + 0.5)) - ^М^} - ет {*£>} - {аМк} После подстановки в эти выражения формул (31) и (34), получаем
гг(2) = !г(Г> г 1/(0) г -ш(1) г £(0)
ЗУ У^ЦКШ^' Мх,К1 ~T\1JIjKMsЦ'гMs,KI дат/ 4 т,К1 -1/?(1) 1 1/(0) -17(1) г г<(())
Ч2) = + (36)
~^QjKMsУмs,K $~ PjMsУмs ~'^jMsJ^Ms +
"(Ч2)- +А<}(^+0.5)), где введены обозначения
QjKMs ~ ^¡Ъг { {^ЯМ* ~~ {СJгKMs {-^KjMs ) 4 м
^/КМ* ~~ £уЗг { {.^КгШ \ \ ~ 5]Л {^JiKMs \ ~ KjMs }£ > 07)
PjMs Sjip { I pMs } 4 j YjUs GjIp {ZIpMs .
Запишем формулы (38) случая n -1
u
/ -< U31Ks >4 У к* + < лзй& ¿f Ks Xlj аЪ] >4 -
-< M 3 j >S+em3l < km >S '
k(2) =<W > r(r>+<V > ж(Г>-
Л/ ^ rr3IKs f Ks^ ^ У 3!Ks Ks
-<Х™<т$>е+<хГ>М$>е,пЫ.
(38)
Подставим в эти формулы выражения (32) для , у'^ и к)]<, а также выражения (31) для Оу и М3(1).
Осредненные уравнения для микрополярных тонких пластин.
Подставляя выражения (22) для функций (к(п-1\ g¡(n-1)) в уравнения равновесия и уравнения моментов (11), получаем
(< а™ > + <р/г >) + а< оЛ Л > +а2(< > -Ьр8а) +... = 0, (< МЗ0З > 3к < а30) > +еик < Л > + < рЬт1 > -Дт,(1)) + (39) + а(< М% > +евк < ОЦ > +еик < а^ > -Дт,(2)) +... = 0.
Домножим изначальные уравнения движения и моментов в системе (1) на Е,а, подставим в них асимптотические разложения (4) и проинтегрируем по толщине (по локальной координате ^ от -0.5 до 0.5):
а(<О™ >-<а31) > + <Р >) + а2(<О/ >) +... = 0, а(< > - < М31 > > +ет < О > +еик < О > - (40)
-(т,(1)_ + 0.5Дт,(1))+ < ркт >) + +а2(< > - < М3(2) > +
+е,3к < О > +Л < О > -(т,(2)- + 0.5Дт,(2))) +... = 0
Здесь учтено, что, < Оз1/з >= - < О1) >, < ^а3(2)3 >= - < а3(2) > , < ^МзПз >= -(т(п)_ + 0.5Дт(п))- <М3(п) >,п > 1.
Введем обозначения для усилий Тл , моментов и перерезывающих сил QJ, QJ * в пластине (с учетом несимметричности тензора напряжений), а также для моментных усилий Т т , моментов момент-
~ т ~
ных напряжений и перерезывающих моментных напряжений
/ш* . Л , ^ :
Тл =< ал >=< Л >+а< аЗ) >+..., >=< а%) >+а <
^ =< ал3 >=< Л > +а < Л >+...,
QJ * =< а3л >= а < а3(л > +а2 < а3Л} >+...,
М}1=а<>= а <О > +а2 <О) >+..., Л =<Мл, >=<МЛ0 > +а <МЛ > +..., QЛm; =<Мл3 >=<МЛ3) > +а <М(1 > +..., Qm* =<М3/ >= а <М(] > +а2 <М3(2) >+..., Л =< £МЛ >=а< > +а2 < М > +...
(41)
Тогда уравнения (39) и (40) можно записать в следующем виде, близком к традиционному виду записи уравнений равновесия и моментов в классической теории упругости пластин:
+ Ц = 0, Ои + ^ = Ар, Мл, л - ОН + К = ° ТШ, л + е13х (&К - Ок ) + М = АШ,, (42)
ОЛ,л + Ги - Т2Х + М3е =АШз,
л,л - + е13К (Мк3 - Мзх) + МШе = АШШ,
здесь введены следующие обозначения для внешних массовых сил и моментов, действующих на тонкие пластины:
К =<р& >, М1 а < Р >, Ме=< ркм >, МШ =а< >,
Ар = а2Ар, Ат =Аш(1) + аАм(2) +...,
(43)
АШ; = а(т(Р_ + 0.5Аш(1)) + а2(;(2)_ + 0.5А;(2)) +...
Выведем осредненные определяющие соотношения для микрополярных тонких пластин. Подставим выражения (19) и (31) для тензоров напряжений и моментных напряжений 0-го и 1-го приближения ст(0), М<0) и о^, в (41), тогда, сохраняя главные члены асимптотических разложений (до первого порядка), получим следующие соотношения:
Т =Г 1/(0) + Я г-(0)_Г(1) 1/(0) -Я(1) + Л?(1) ¿-(0)
1Л ^ЛМя/Мя """ ВЛМ>-^М> ^ЛКМз/Ми,К вЛКМъ>гМ*,К """ Ж/яЛ'
Г™ = к У(0) + А /'-в^уМ _70) + дУ"11^ А-(0)
±Л "лМв'ЬЛв ^ -"-ЛМв^1 ЬЛв "ЛКМв! Мэ,К ^ЛКМэ^Мэ.К Т"Ж/»%Д'
// = л 1/(0) + к 2^(0) - л(1) 1/(0) - г(1) 2^(0) 4- г-(0)
г1 Л ^ЛШ/Ш^^ЛШ^Ш ^ЛКМя'Мя.К ^ЛКМя^МяЛ ЛКш^тЛ >
т ^т (0) Тли (0) _ (0) _ ™(1) (0) т (0)
Мл ^ЛШ/Ш ^ -^ЛМя^Мя ^ЛКШ/Мх,К ЛКш^тЛ >
(44)
где обозначены осредненные жесткости пластины
с =< с(0) >+а< д(1) > В =< в(0) >+а< г(1) >
слы$ < СЛМ$ > +а < кЛМ$ >, ВЛ1М < ВЛМ$ > +а < гЛМ$ >,
с(Ч =а<с(1) > в(1) =а<В(1) > N(1) =а<Ж(1) > (45)
сЛ1КМъ а < СЛКМ$ > , ВЛ1КМ$ а < ВЛ1КМ$ > , Л1Кт а < Л1Кт > , (45)
5 =< 5(0) > д =< АО)
вЛМя ЛМ$ ' -"-ЛМш АЛМя ■
SO) =а < 5(i) > 7(i) = п < л« > м™т = а< дг(1) >
JIKMs JIKMs ' лJIKMs 01 JIKMs ■> ЛКт 7Жш ^ м
Dj* = a<J >, J = a<J >, DM = «2 > , JM =«2 > , J =«2 <# J >,
K™Ms=a<fBZs>, DjMs=a<^2s>,
¡P™(1) г 5(1) n®0) e,(l) ¿ЦЦ _ ~2 г iy-(l)
R JIKMs Ь JIKMs 'З ЛКМ5 ^b^JIKMs ^ ^JIKm ^blyJIKm ^ '
В осредненную систему уравнений (42) входят также моменты сдвиговых напряжений , подставляя в формулу (41) для этих моментов выражения (12) и (34) для afj и сг^, получаем
thJ = -DjJKs/Z - %JKS^Z ~ Wj , (46)
где введены обозначения для осредненных сдвиговых жесткостей
DIJKs = а2 < ¿{J} >, BIJKs =а2 < } >, ^ ^ (4?)
ßfj =«2 <%{Pfj} > •
Поскольку в систему (42) входит именно разность моментов сдвиговых напряжений Арк = ), образуем с помощью (44) и (46) одно определяющее соотношение для этой разности
Л// =п 1/(0) + Г z^W-fjW V(0) -
^Ик K3Ms' Ms RK3Ms^Ms L^K3IMsl Ms,I
K3IMs MsJ + Q)K3IslisJ + /'/; >
(48)
где введены обозначения
—(1) = -(1) - К(1) = К(1) - В (49)
—К3/М5 —К3IMs —IKMs , КК3IMs КК3М BIKMs , (49)
Также в осредненную систему (42) входят поперечные силы О , О* и поперечные силы моментных напряжений От и о;*. Поперечные силы О , О*, как и в классической теории (для нее О = О*), будем полагать независимыми неизвестными функциями, а для перерезывающих моментных напряжений о; и О7т* сформулируем дополнительные определяющие соотношения. Подставляя в определения (41) поперечных сил , О;* выражения (12), (19), (31) и (34) для моментных напряжений М(0\ Ми М^, М((], получаем
От* =-В у(0)-А яг(0)-Я(1) г(0) -А(1) ж(0) -дн
1JJЗMs/Ms ^LJЗMs^íMs 1JJЗKMs/Ms,K ^LJЗKMs^ъMs,K ^ ' (-'"У
где обозначены
Д/ЗМи =< Ми > +а < Щ1ма > > Д/3Ми =< 4/'ЗЛ& > < ^узАй >'
5(1) = „ < 5(1) > 2(1) = ~ < лО) •> дг(1) = „ <• дг(1) •>
1JJЗKMs ^ 1JJЗKMs ^ЗКМ1 ^ ^ЗКМя ^ ' "'*73Юя " ^ JЗKm ^ '
ВЛ3М 3 < > , Д/3М? 3 < {В/3& > ,
^ = >, Ь=а<А}{ >, (51)
=а< {Рт}, >+«(т;1)_ + т ^) / 2.
В правые части определяющих соотношений (44), (48) и (50) в качестве неизвестных функций входят только тензоры ;/, и вектор к(0), а также их производные. Эти функции зависят только от глобальных координат. Согласно системе (9) эти тензоры выражаются только через 2 вектора - вектор перемещений ы(0) и вектор поворота
к(0} в нулевом приближении с помощью кинематических соотношений
,,(0) _ ..(0) _ „ /Л0) „(0) _ 1,(0)
/Ш - из,М гМ$ г ■> ^Мэ - ■
Таким образом, получена система осредненных уравнений (42), определяющих соотношений (44), (48) и (50) и кинематических соотношений (52). После подстановки уравнений (52) в (44), (48) и (50), а затем в (42) получаем замкнутую систему 10 уравнений относительно 10 неизвестных: 3-х компонент вектора перемещений м(3), 3-х компонент вектора поворота кг(0) и 4-х перерезывающих сил б , б/. Внешние воздействия на пластину: давление Ар, механические моменты р" , массовые внешние моменты М", массовые внешние моменты моментов рт* и внешние поверхностные моменты Ат в этой системе
полагаются заданными.
Напряжения в микрополярной многослойной пластине. Рассмотрим формулы (4) для напряжений а и моментных напряжений М , и следуя, ограничимся в асимптотических разложениях для тангенциальных напряжений аи, Ми и сдвиговых напряжений азъ, М:ъ только первым приближением, для сдвиговых напряжений аъз, М37 — только вторым приближением, а для поперечных напряжений а33, М33 — третьим приближением
О = < + аа(1), М = М^ + аМ/(1), О = аа^ + а, М3/ = аМ3(1 + а 2М(? , (53)
сг33 = аа® + а2 О2;) + а3а:(3), М33 = аМ{£ + а2М(22 + а3М3(3),
здесь учтены формулы (12). Подставляя в эти формулы выражения (31), (36), а также другие рекуррентные формулы (23) и (24), находим явное выражение для напряжений ст. и моментных напряжений М^., в частности
_Л0) (0) 5(0) (0) _„/Г<1) ,.(0) д(1) (0) _ д7-(1) 1,(0)4
°щи К1 """ "-У^-КМв/М$,К ЦКМя М$,к Щткт,К) >
м,
(54)
+ <2 ( {С/1ЖМ? УМц К1 + {Вцкш -^МвМ ~ }£ ^„¡,£7 )>
М3, = -«КЛ + + 0.5) + Жь гй/ + +
-а2(т(2>_ + Дт<2>(# + 0.5) + {Д^}, ^ + {^Л, ^ +
+ £узЛ{аШД
где обозначены
С (о) = С (0) + а (1) в (о) = в (0) + а (1)
2 ЦК/ + а1\/К1, ВЦК1 вЦК/ + а1\/К1,
5(0) _ 5(0) , „50) 2(0) _ АО) , «7(1)
(55)
Непосредственной проверкой асимптотических формул (54) можно показать, что, когда имеет место случай симметричной теории упругости
к = 0, И = 0, В..„ = 0, А, = 0, С..и = С.7,, С..„ = С..„,
т ^ •> ' т ^ •> ук/ ' ук/ > ук/ ^ ук/ /к >
то моментные напряжения являются нулевыми, а тензор напряжений является симметричным для каждого приближения
М{п) = 0, ) = ).
у V зу
Задача об изгибе центрально-симметричной многослойной пластины. В качестве примера рассмотрим частный случай — задачу
об изгибе тонкой прямоугольной пластины под действием равномер-
ного давления р+ и поверхностного момента т(+. Слои пластины будем полагать изотропными, с наличием центральной-симметрии [28] микрополярных упругих свойств, так что все компоненты тензора БуЫ =3 и только следующие компоненты тензоров СуЫ и являются ненулевыми [2]
С1111 = С2222 = С3333 = ^+р, СЦ22 С1133 = С2233 =
^1212 — ^1313 — ^2323 — С*1221 — ^1331 — ^2332 — V ■>
~ „ ~ (56) Дш — ^2222 — ^3333 ~ ^ , Д122 — Дш — ^2233 —
Д 212 — Д 313 — Д?323 — № V1 Д221 — Д331 — ^2332 ~
где Л , ц , у/ , А,, р , у/ — независимые константы модели микрополярной изотропной среды (различные для каждого слоя, т.е. зависящие
от 4).
Будем также полагать, что слои пластины расположены симметрично относительно 4 = 3, так что члены вида < 4Г >= 3 равны нулю, где Г — компоненты произвольного тензора, симметричного относительно плоскости 4 = 3, в частности
Й%.=<х< Кш >=< >= 0, = 0 ■■ (57)
Положим также, что все нулевыми являются все функции т(") = 3 за исключением т(+ , а также, что внешних массовых сил и моментов нет: /. = 3, =3. Тогда согласно (43) имеем: Е* = 3, р" = 3 , М* = 3, рте=3.
С учетом сделанных ограничений будем искать решение системы осредненных уравнений (44), (48), (50) и (52) в следующем виде:
и 30), к(0), б , б*// х, (58)
где = х, а остальные компоненты векторов и(3), к^0) и б , б* полагаем равными нулю.
С учетом всех перечисленных допущений, после подстановки (58) в кинематические соотношения (52), получаем
(59)
яг.
(0) _
12
= остальные = 0.
Подставляя (58) в (44), (48) и (50), получаем следующие ненулевые соотношения
Т -Г 1/(3) - г(!) 1/(3) _ г(!) 1/(3) Т - Г 1/(3) - г(!) 1/(3) _ г(!) 1/(3)
Т11 С1111/11 С11111/11,1 С11113/13,1, Т 22 С2211/11 С22111/ 11,1 С22113/ 13,1 ,
тш _ 7 (0) _ 7(1) ^(0) тт -А лг(0) - Л(1) лг(0) 12 1212 12 12112 12,1' ^21 ^2112^12 ^21112^12,1'
.. _ п 1/(3^ л(1) 1/(3) - л(1) 1/(3)
р11 "1111/11 "11111/11,1 "11113/13,1,
// = Л 1/(3^ л(!) 1/(3) _ п(1) Л3) /^ч
р22 "2211/11 "22111/11,1 "22113/13,1, (63)
т _ туп (0) _ Кт( 1) (0) т _ ^т (0) _ 7уя(1) (0) АЧ2 1212 12 12112 12,1 ' р21 "2112^12 "21112^12,1'
Ар = " г(0) - -(1) г(0)
Ар1 "1313/13 "13111/11,1,
(У"-_1т ж(0) Г)т*--Ат ж(0)
Н2 23112 12,1 ' Н2 ^23112^12,1-
Остальные функции Тл , Т£, рл, рт, б™, б™* в данной задаче равны нулю.
В данной задаче
Т^{11} _ (1-1 (-1 _ —С С1-! <-- С -~> —^ п-1 -~>
х 11 =С3131, ^3113 = Х11 С3113 =С3113С3131, < ^3113 >4 С3113С3131 >|,
7{11} = Г Г{11} = Г Г-1 7{11} = Г Г{11} = Г Г-1
7131 С1331 Х11 ^1331^3131, ^113 С1133х 33 С1133^3333 ,
4 ,
С (1) =С(3) < G > +Z {11}{С(0) }
С11113 С1111 < О3113 >4 +^13 {С1313}
С (!) =С(3) < G > + Z {11}{С (0)}
С13111 С1313 < ^^3311 >4 +31 {С1111}4 ,
С(!) = а< С(!) >= о С(1) = С(0) < G > С = а< С(1) >= О
С11113 а< С11113 > 3, 22113 2211 3113 4 , С22113 01 < С22113 > 3,
-(1) = а2 < 4С(0) < G > > -(1) = а2 < 4С(0) < G > >
"11113 а <ЬС1111 < ^^3113 >4> , "22113 а < 4 С2211 < О3113 >4> ,
С(1) =С(3) < G > + Z{11}{С(3) } С6П
С13113 С1313 < О3113 >4 + ^33 {С1313 }4 , (61)
;И11} = с-1 = П П = У{11}Г' =п
х 13 С 3133 111 х13 С3311 3,
С (!) = С(0) < G > =3 Л(1) = а2 < 4С (1) >= 3 С11111 С1111 < О3111 >4 3, "11111 =а <ЬС11ш >= 3,
-М =а<4С(М >= 3, / =а<4А(М >= 3, С (3) =С - СО С =< С(0) > С(1) =а< {С(0) } >
С1313 С1313 С1331О3113 , С1313 < С1313 > , *—13111 " ^ 1^111^4 ^ ,
А(1) = А(0) < V > А(1) = а < А(1) >= 3
12112 1212 3212 4 , А12112 а < А12112 > 3,
лт =Л0) <У > А(1) =ГУ<(А(0)} > 5(1) -ГУ<Л{1) >-п
^23212 2323 3312 ^4' ^23112 " ^1^1212/4 ^23112 ^^23112
Здесь С(1Ш =3 и =3 в силу симметрии пластины относи-
тельно 4 3 .
Из (60) с учетом (61) получаем
Т = £ r(0) T = C г(«) Т11 МшЛ1 , Т22 C 2211/ 11 ,
т7™ _ ~~л Tm — ~A
12 1212 12 ' 21 2112 12 '
Mil — —D11113/13,1, M22 ~ _D:(2113/13,1, (62)
,,m -_nm(1) z^(0) //m -_f)m(1) АЧ2 12112 12,1 ' Mil 21112 12,1 '
Д/, -_n(!) v(°) /Om-n ЛГ(0)
¿Л/^ ^13111/11,15 "ui Й ^23112^12,1-
Подставляя функции (62) в систему (42), находим тождественно ненулевые уравнения этой системы
Тщ = 0, Qu -Ap, = Q*,
Т?д + Q - Q* =A^2, (63)
м12,1 - Q2m* + AM -Am2m •
Остальные уравнения системы (42) удовлетворяются тождественно, т.к. все члены, входящие в эти уравнения обращаются в ноль. Подставляя в систему (63) независимые уравнения из (59) и (62)
Т = £ r(°) и = -D(1) у(0) Am - -D(1) у(0)
T11 C1111/11 , M11 D11113/13,1, АГ1 D13111/11,1,
тт -1 /,m = -¿»О О»1* = _ C644)
12 — ^1212^12 ' И12 12112 12,1 ' H2 ^23112^12,1'
7ll ) - Ul,l 5 fl(3 ) = "зд' + ^2 )' ^12 ) = ^гд' 3
получим систему 5-и уравнений относительно 5-х неизвестных функций (58).
Найдем решение этой системы.
Из первых двух уравнений системы (63) находим
x
Т11 - Т1, Q1 - Q10 +\Apdx, ^ = Т10 /C1111, (65)
о
где Т0, Qj0 — константы интегрирования. Тогда из оставшихся уравнений системы (63) получаем
j»(i) (0) _J0) ж(0)=.
12112 12,11 23112 12,1 id) v(0) _ д- _П ГО)
=а™2 - а - 42i2<i, (66)
Q*=Q, -Ат2+АШ2^,
3 уравнения для определения 3-х функций ж12, у13> и Qx , здесь учтено, что в силу (65) Ац = 0 .
Решая систему (66) относительно и , получаем решение в явной форме, например, для случая Am™ = const, Am2 = const, Ap = const:
^12 — Сое + Ay ÂTVl^ X + r), JÎq — ^23112 ^ "^12112 ' — ^ ^2311 J / л —__3 „2
rÎ30) =
D
ci)
11113
ÈP- + ^(Am, - A1212AiAmm -Q0) - СоAe"0^ 6 2
+Cxx + C2,
где C0 , С , C2, лг() — константы интегрирования.
Из последних 3 -х уравнений в (64) находим u(0), u(0), k20)
U( — xTx о / + UQ
0 '
С г2
kf = ^ + Д Дуя™ — + ж0х + С3,
2
u3(0) — -
Àpx4
24 D
(1)
+
m - Qo
+
С
11113 f
^--(1 + 4^.
D(1) ( D(1)
V D11113 D
-) A km':
V
D(1)
V D11113
X — +
2
С
Л
D(r>
V D11113
- C
11113 f 1
x + C
1212 , 1 D(1) + \
V D11113 J
С
Ao
о eAox
(67)
(68)
где С3 , С4 — константы интегрирования.
Для нахождения 9 констант интегрирования и0, , Т," , , С0 ,..., С4 присоединим к системе (63), (64) следующие граничные условия:
х = 0 : uf = 0,и[0) = 0, juu = 0, £<0) = 0, ^(20) = О, х = \ : м(°) = 0, Zjj = 0, //„ = 0, //„ = 0, ¿f} = О,
(69)
Вычислим теперь напряжения в слоях. Для этого подставим решение (58), (59) в соотношения (54), тогда получим
о =С(0) r(0) -аС(1) r(0)
"11 Mlll/11 "^11113/13,1,
о =С(0) r(0) -аС(1) у(0)
22 2211/ 11 22113/ 13,1 ,
ГТ = Г,(°^/(°) _/уГ(1) 1/(°) -/тГ(1) i/°) Г7ГА
о13 С1313/ 13 аС13113/13,1 аС13111/11,1 ^а ^131113/13,11, (7°)
о31 а\С1111}%/11,1 ^а \С11113}£/13,11,
= -а3 ((p- + Лр(£ + °.5)) + |Cl(32l)ll3} ll),
а
33
где
— ¿■а а --> --> _
С131113 С1313 < ^3311 < ^3113 >4>4 /пл\
~г(°) ^ г{11^(°) г -> +7{11}/г(1) г ( )
с1313 < х33 {С1313/| >4 ^^131 {М1113/|-
6. Пример численных расчетов. Для численных расчетов рассмотрим частный случай, когда Ат2 = 0 и Ат^ = °. В этом случае из выражений (68) с условиями (69) следует, что компонента вектора поворота к20) и перемещение ы(0) равны нулю во всей пластине:
С = = 0, =--А£г (- + х)' = (72)
24 М1113
Моментные напряжения в данном случае отсутствуют мМ = 0, но напряжения < остаются несимметричными из-за несимметрии компонент тензора модулей упругости: С1>н по 1 и 2, а также по 3 и 4 индексам. Для изотропных сред в данной задаче эта несимметрия сводится к существованию 3-х различных модулей сдвига С1313,
С1331 = С3113 и С3131. Сделаем еще одно допущение
С1331 = С3113 %/С1313С3131 • (73)
Тогда имеется только 2 независимых модуля сдвига С1313 и С313 1, а из выражений (60) следует, что
__с-1 П2 —С\ г,(1) — о
С1313 С1313 ^1331^3113 С1313 ^3131^3113 °' С13113
С(2) = 7{11}{С(1) } = С С-1 {С(0) < С С-1 > }
С131113 ^131 {С11113}4 С1331С3131{С1111 < С3113С3131 >4}4' , .
С(1) = С(0) < С С-1 > С(1) = С(°) < С С-1 > ( 4 С11113 С1111 < С3113С3131 >4' С22113 С2211 < С3113С3131 >4'
3(1) =а2 < 4С(0) < С С- > >
Мш3 а < 4С1111 < С3113С3131 >4> •
Выражения (70) с учетом (72) - (74) принимают следующий вид
< =-аС(1) у(°) < =-аС(1) г(0)
<11 аС11113/13,1' <22 аС22113/13,1'
О =а2С(2) т(°) а =а2{С(1) / т(0) и13 а С131113Г13,11, а31 а {СП113 /^(13,11,
О33 =-а3 ((р- +Лр(^0.5))+{С1(23)1Ш}?У1(0)Ш),
у(°) =__^х(х-1) у(°) =__(2х - 1) 7(0) =--АР
^13.1 = о п(1) х(х 1)' ^13.11 = 0 п(1) ( 1)' Г!3'ш = п(1)
(75)
2М1113 2^11113 М1113
Численные расчеты проводились для прогиба и тензора напряжений в случае однослойной пластины из ортотропного материала в виде
модельного стеклопластика при следующих значениях компонент тензора модулей упругости:
^^^ ^ I 30 Г УУа, СС^^зз 3 Г УУа, ^^^ 3 Г ПУа,
Сш = ^з = 4 ГПа, С1313 = 8 ГПа, С3131 = 6 ГПа.
(76)
Различие в последних двух константах появляется из-за влияния моментной теории. Параметр а был принят равным 0,04. Зададим давление на внешнюю поверхность пластины р+ = 105 Па, а внутреннюю поверхность оставим свободной (р_ = 0), тогда
Ар = = 1.562 177а. а
С учетом того, что пластина однослойная, формула для прогиба в (72) упрощается:
и(0) = -
АрСзт (
X
9Г,(0) г 2С1111С3113
(X4 - 2х3 + X ).
(77)
Формула (77) отличается от формулы для прогиба в классической
С
теории наличием члена
^3131
с
. Это отличие моментной теории от клас-
3113
сической появляется вследствие несимметричности тензора модулей упругости в моментной теории. Для классической, симметричной теории упругости этот член равен единице. Графики зависимости прогиба и3(0) от продольной координаты х в моментной и классической теориях
показаны на рис. 1. Графики имеют одну и ту же форму, но значения прогиба в моментной теории меньше по модулю, чем в классической теории, на всей области определения.
,(0)
м 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0
-0,002 -0,004 ■ -0,006 ^ -0,008 -0,010
Рис 1. Графики зависимости прогиба и,0) от продольной координаты х (1 — классическая теория, 2 — моментная теория)
X
<. МПа 40
3°
20
10
-10
-20
-30
-40
-0,4
-0,2
0,0
4
0,2
0,4
<, МПа 40
30
20
10 0
-10 -20 -30 -40
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
б
Рис. 2. Графики зависимости изгибного напряжения < от 4 при различных значениях х (1 — х = 0, 2 — х = 0,125 , 3 — х = 0,25 , 4 — х = 0,375,
5 — х = 0,5, 6 — х = 0,625 , 7 — х = 0,75 , 8 — х = 0,875, 8 — х = 1)
0
а
4
Формулы (73) для изгибных и поперечных напряжений для одно слойной пластины имеют следующий вид:
.Ар
ап = 6-
а
- х - х) И СГ22 = 6
АрС™
' С(
Мш
а
т
■¿;(х'-х).
(78)
Графики этих напряжений в зависимости от толщинной координаты £ при различных значениях продольной координаты х показаны на рис. 2 и рис. 3 соответственно.
Изгибные напряжения имеют линейную зависимость от толщинной координаты, равны нулю на срединной поверхности пластины и достигают свои минимальные и максимальные значения на внутренней и внешней поверхностях соответственно. Эти результаты совпадают с результатами для классической теории, так как отсутствует какая-либо зависимость от констант моментной теории.
Напряжения межслойного сдвига оъх и <г13 согласно формулам (74) для однослойной пластины принимают следующий вид:
сг31 =6 —
Ар а
— .т V2 уч.
£ - г
4 у
°1з - 6
Ар Си
а С
3131 V
1
— X
2
ЛА 1 л
£ - 4
V
(79)
у
Графики зависимости напряжения оъх от толщинной координаты £ при различных значениях продольной координаты показаны на рис. 4. Это напряжение имеет квадратичную зависимость от локальной координаты и линейную от глобальной координаты, равно нулю на внутренней и внешней поверхностях пластины и достигает экстремума на срединной поверхности пластины. Как и в случае изгибных напряжений, эти напряжения совпадают с классической теорией.
<г22, МПа 8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
4
V
3
2
1
-0,4
-0,2
0,0
£
0,2
0,4
а
ъ
б
Рис. 3. Графики зависимости изгибного напряжения а22 от 4 при различных значениях х (1 — х = 0, 2 — % = 0,125, 3 — х = 0,25, 4 — х = 0,375, 5 — х = 0,5, 6 — х = 0,625, 7 — х = 0,75, 8 — х = 0,875, 9 — х = 1)
Для напряжения аи подобно прогибу и3(0) наблюдается отличие моментной теории от классической теории, которое обусловлено несимметрией модулей упругости, поскольку С3131 ^ С1331. Для классической теории симметричной упругости С3131 = С1331 и из (78) следует, что напряжения межслойного сдвига совпадают: а31 = а13
Графики зависимости напряжения межслойного сдвига <г13 от толщинной координаты 4 при различных значениях продольной изображены на рис. 5, а различия для данной компоненты тензора напряжений с классической теорией наглядно показаны на рис. 6 (в виде сравнения графиков этой компоненты в классической и моментной теориях при одном и том же значении продольной координаты х = 0,125). Эти графики в целом повторяют очертания таковых для классической теории и совпадают в точках 4 = _0.5 и 4 = 0.5, но экстремум компоненты в моментной теории больше по модулю, чем в классической.
а31, МПа
0
-0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,2 -1,4 -1,6 -1,8
-0,4
-0 2 0 0
0,2 0,4
а31, МПа
1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0
/ 9
/ / 8
/ / у/ 6
/ / ^^^
'-1-1-1--- 5 -^-
-0,4
-0,2
0,0
£
0,2
б
0,4
Рис. 4. Совместные графики зависимости напряжений межслойного сдвига сг31 от £ при различных значениях х (1 — х = 0, 2 — х = 0,125 , 3 — х = 0,25 , 4 — х = 0,375, 5 — х = 0,5, 6 — х = 0,625, 7 — х = 0,75, 8 — х = 0,875, 9 — х = 1)
£
а
а13, МПа 0
-0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,2 -1,4 -1,6 -1,8 -2,0
-0,4
-0 2
£ 0,0
0,2
0,4
2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0
9
8 ---- "7 \ \
/ 6 6
5
* 1 1 !-' --.-,—д
-0,4
-0,2
0,0
£
0,2
0,4
б
Рис. 5. Совместные графики зависимости напряжений межслойного сдвига ст13 от £ при различных значениях х (1 — х = 0, 2 — х = 0,125 , 3 — х = 0,25 , 4 — х = 0,375, 5 — х = 0,5, 6 — х = 0,625, 7 — х = 0,75,
а
13
с, МПа
0
-0,4
8— X = 0,875, 9— х = 1) £
-0,2
0,0
0,2
0,4
-0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,2 -1,4 -1,6
Рис. 6. Совместные графики зависимости напряжений межслойного сдвига С от £ для классической и моментной теорий при х = 0,125 (1 — классическая теория, 2 — моментная теория)
С, МПа
-0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
-0,10
Рис. 7. Совместные графики зависимости напряжений межслойного сдвига
£
0
<г33 от £ для классической и моментной теорий при х = 0,125 (1 — классическая теория, 2 — моментная теория)
Поперечное напряжение ст33 (последняя формула в (70)) не зависит от продольной координаты и имеет кубическую зависимость от толщинной координаты £. Оно также отличается от соответствующего напряжения в классической теории, так как в выражение для а33 входят разные модули сдвига С1313 и С3131. Графики напряжения а33 для моментной и классической теориях показаны на рис. 7. Графики совпадают при £ = -0.5, £ = 0 и £ = 0.5, но при этом при £е(-0.5;0) значения ст33 в моментной теории меньше по модулю, чем в классической, а при £е (0; 0.5) - наоборот.
Заключение.
1. Разработана асимптотическая теория микрополярных упругих многослойных тонких пластин, построенная из общих уравнений трехмерной моментной теории несимметричной упругости путем введения асимптотических разложений по малому параметру - отношению толщины пластины к ее характерной длине.
2. На основе этой теории сформулированы и решены в явном виде локальные задачи моментной теории упругости, получены рекуррентные соотношения для всех компонент тензоров напряжений, момент-ных напряжений, деформаций, перемещений и поворотов.
Сформулирована замкнутая система осредненных уравнений для теории тонких микрополярных упругих пластин.
Получены явные аналитические выражения для всех 9 компонент тензора напряжений и 9 компонент тензора моментных напряжений в пластине, включая напряжения межслойного сдвига и поперечное напряжение.
3. Рассмотрена задача об изгибе центрально-симметричной шар-нирно опертой пластины из изотропных микрополярных материалов под действием равномерно распределенного давления и внешних моментов, получено точное аналитическое решение этой задачи.
4. Проведено численное моделирование для случая однослойной микрополярной пластины при изгибе только внешним давлением. Показано, что из-за несимметрии тензора модулей упругости в данной задаче существуют 2 модуля межслойного сдвига, это приводит к несимметрии касательных напряжений оъх и а13 для моментной теории. Следует отметить, что такое различие часто наблюдается экспериментально для слоистых анизотропных материалов.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ляв А. Математическая теория упругости. Москва, ОНТИ, 1935, 674 с.
[2] Новацкий В. Теория упругости. Москва, Мир, 1975, 872 с.
[3] Лурье А.И. Теория упругости. Москва, Наука, 1970, 940 с.
[4] Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. Москва, Наука, 1979, 560 с.
[5] Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. Москва, Изд-во МГУ, 1995, 366 с.
[6] Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В. Теория упругости и пластичности. Москва, Физматлит, 2002, 416 с.
[7] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 4. Основы механики твердых сред. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013, 624 с.
[8] Cosserat Е., Cosserat F. Th 'eorie des corps d'eformables. Herman et Fils, Paris, 1909, 226 p.
[9] Truesdell C.A., Toupin R.A. The Classical Field Theories. Encyclopedia of Physics, vol. 3, no. 1, 1960, pp. 226-858.
[10] Eringen A.C. Microcontinuum Field Theory. Vol. 1. Foundations and Solids. New York, Springer, 1999, 325 p.
[11] Lakes R.S. Experimental methods for study of Cosserat elastic solids and other generalized continua. Continuum models for materials with micro-structure, vol. 1, 1995, p. 1-22.
[12] Eremeyev V.A., Lebedev L.P., Altenbach H. Foundations of Microplar Mechanics. Springer Briefs in Applied Sciences and Technology, 2012, pp. 1-10. DOI: 10.1007/978-3-642-28353-6.
[13] Altenbach H., Eremeyev V.A. Generalized Continua from the Theory to Engineering Applications. CISM International Centre for Mechanicsl Sciences, vol. 541, 2013, 388 p.
[14] Nikabadze M., Ulukhanyan A., Sakhvadze G. To the mathematical modeling of deformation of micropolar thin bodies with two small sizes. Journal of Physics: Conference Series, 2019, art. no. 012040.
[15] Никабадзе М.У. Некоторые варианты уравнений микрополярных теорий оболочек. Прикладная математика и математическая физика, 2015, т. 1, № 1, c. 101-118.
[16] Kohn R.V., Vogelius M. A new model of thin plates with rapidly varying thickness. International Journal Solids and Struct, 1984, vol. 20, no. 4, pp. 333-350.
[17] Шешенин С.В. Асимптотический анализ периодических в плане пластин.
Известия РАН. Механика твердого тела, 2006, № 6, с. 71-79.
[18] Levinski T., Telega J.J. Plates, laminates and shells. Asymptotic analysis and ho-mogenization. Singapore, London, World Scintific Publishing, 2000, 739 p.
[19] Kolpakov A.G. Stressed composite structures: Homogenized models for thin-walled nonhomogeneous structures with initial stresses. Berlin, Springer Verlag, 2004, 228 p.
[20] Назаров С.А., Свирс Г.Х., Слуцкий А.С. Осреднение тонкой пластины, усиленной периодическими семействами жестких стержней. Математический сборник, 2011, т. 202, № 8, с. 41-80.
[21] Димитриенко Ю.И. Асимптотическая теория многослойных пластин. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2012, № 3, с. 86-99.
[22] Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Асимптотическая теория термоупругости многослойных композитных пластин. Механика композиционных материалов и конструкций, 2014, т. 20, № 2, с. 260-282.
[23] Димитриенко Ю.И., Юрин Ю.В., Губарева Е.А. Асимптотическая теория термоползучести многослойных тонких пластин. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 4, с. 18-36.
[24] Димитриенко Ю. И., Губарева Е. А., Сборщиков С. В. Асимптотическая теория конструктивно -ортотропных пластин с двухпериодической структурой. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 1, с. 36-56.
[25] Dimitrienko Yu.I., Dimitrienko I. D., Sborschikov S.V. Multiscale Hierarchical Modeling of Fiber Reinforced Composites by Asymptotic Homogenization Method. Applied Mathematical Sciences, 2015, vol. 9, iss. 145-148, рр. 72117220.
[26] Dimitrienko Yu.I., Dimitrienko I. D. Modeling of the thin composite laminates with general anisotropy under harmonic vibrations by the asymptotic homogenization method. Journal for Multiscale Computational Engineering, 2017, vol. 15, iss. 3, pp. 219-237.
[27] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Пичугина А.Е., Белькова К.В., Борин Д.М. Моделирование термонапряжений в композитных оболочках на основе асимптотической теории. Часть 2. Расчет цилиндрических оболочек.
Математическое моделирование и численные методы, 2022, № 4, с. 3-30.
[28] Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. Москва, Высшая школа, 2001, 576 с.
[29] Димитриенко Ю.И. Тензорный анализ. Т.1. Механика сплошной среды. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011, 367 с.
Статья поступила в редакцию 12.05.2023
Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Димитриенко Ю.И., Бойко С.В. Асимптотическая теория многослойных тонких микрополярных упругих пластин. Математическое моделирование и численные методы, 2023, № 2, с. 34-66.
Димитриенко Юрий Иванович — д-р физ.-мат. наук, заведующий кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана, директор Научно-образовательного центра «Суперкомпьютерное инженерное моделирование и разработка программных комплексов» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: dimit.bmstu@gmail.com
Бойко Сергей Владимирович — магистр кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: sboiko1997@gmail.com
Asymptotic theory of thin multilayer micropolar elastic plates
© Yu.I. Dimitrienko, S.V. Boyko Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia
The problem of development of a theory for calculating the stress-strain state of thin multilayer elastic plates in the moment (micropolar) theory, is considered. The solution of this problem is built using an asymptotic analysis of the general equations for a 3-dimensional quasi-static problem of the moment theory of elasticity. The asymptotic analysis is carried out with respect to a small parameter representing the ratio of the plate thickness to its characteristic length. Recurrent formulations of local problems of the moment theory of elasticity are obtained. Explicit analytical solutions are obtained for these problems. The derivation of the averaged system of equations for multilayer plates is presented. It is
shown that the asymptotic theory makes it possible to obtain an explicit analytical expression for all 9 components of the stress tensor and the moment stress tensor (in general) in the plate. As a special case, the problem of calculating the stress-strain state of a centrally symmetrical hingedly fixed plate when bending under the action of a uniformly distributed pressure. A complete analytical solution of this problem for all non-zero components of the stress tensor and the moment stress tensor is obtained. A numerical analysis of the solution of the problem for a single layer plate for the stress tensor is carried out, basing on the obtained expressions. A comparative analysis of the obtained results with similar calculations for the classical theory of elasticity is carried out, with revealing of similarities and differences for all components of the stress tensor.
Keywords: asymptotic theory, small parameter, multilayer thin plates, micropolar theory, bending, stress tensor
REFERENCES
[1] Lyav A. Matematicheskaya teoriya uprugosti [Mathematical theory of elasticity], Moscow, ONTI Publ., 1935, 674 p.
[2] Novatsky V. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity], Moscow, Mir Publ., 1975, 872 p.
[3] Lurie A.I. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1970, 940 p.
[4] Timoshenko S. P., Goodyear J. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1979, 560 p.
[5] Pobedrya B.E. CHislennye metody v teorii uprugosti i plastichnosti [Numerical methods in the theory of elasticity and plasticity]. Moscow, Lomonosov Moscow State University Publ., 1995, 366 p.
[6] Gorshkov A.G., Starovoitov E.I., Tarlakovsky D.V. Teoriya uprugosti iplastichnosti [Theory of elasticity and plasticity]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2002, 416 p.
[7] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoy sredy. Tom 4. Osnovy mekhaniki tverdogo tela [Continuum Mechanics. Vol. 4. Fundamentals of solid mechanics]. Moscow, BMSTU Publ., 2013, 624 p.
[8] Cosserat E., Cosserat F. Th 'eorie des corps d'eformables. Herman et Fils, Paris, 1909, 226 p.
[9] Truesdell C.A., Toupin R.A. The Classical Field Theories. Encyclopedia of Physics, vol. 3, no. 1, 1960, pp. 226-858.
[10] Eringen A.C. Microcontinuum Field Theory. Vol. 1. Foundations and Solids. New York, Springer, 1999, 325 p.
[11] Lakes R.S. Experimental methods for study of Cosserat elastic solids and other generalized continua. Continuum models for materials with micro-structure, vol. 1, 1995, p. 1-22.
[12] Eremeyev V.A., Lebedev L.P., Altenbach H. Foundations of Microplar Mechanics. Springer Briefs in Applied Sciences and Technology, 2012, pp. 1-10. DOI: 10.1007/978-3-642-28353-6.
[13] Altenbach H., Eremeyev V.A. Generalized Continua from the Theory to Engineering Applications. CISM International Centre for Mechanicsl Sciences, vol. 541, 2013, 388 p.
[14] Nikabadze M., Ulukhanyan A., Sakhvadze G. To the mathematical modeling of deformation of micropolar thin bodies with two small sizes. Journal of Physics: Conference Series, 2019, art. no. 012040.
[15] Nikabadze M.U. Nekotorye varianty uravnenij mikropolyarnyh teorij obolochek [Some versions of the equations of micropolar shell theories]. Prikladnaya ma-tematika i matematicheskaya fizika [Applied Mathematics and Mathematical Physics], 2015, vol. 1, no. 1, pp. 101-118.
W.M. ffuMumpueuKO, C.B. EOUKO
[16] Kohn R.V., Vogelius M. A new model of thin plates with rapidly varying thickness. International Journal Solids and Struct, 1984, vol. 20, no. 4, pp. 333-350.
[17] Shenin S.V. Asymptotic analysis of plates with periodic cross-sections. Mechanics, 2006, vol. 6, iss. 6, pp. 71-79.
[18] Levinski T., Telega J.J. Plates, laminates and shells. Asymptotic analysis and ho-mogenization. Singapore, London, World Scintific Publishing, 2000, 739 p.
[19] Kolpakov A.G. Stressed composite structures: Homogenized models for thin-walled nonhomogeneous structures with initial stresses. Berlin, Springer Verlag, 2004, 228 p.
[20] Nazarov S.A., Sweers G.H., Slutskij A.S. omogenization of a thin plate reinforced with periodic families of rigid rods. Sbornik: Mathematics, 2011, vol. 202, iss. 8, pp. 1127-1168.
[21] Dimitrienko Yu.I. Asymptotic theory of multilayer thin plates. Herald of the Bau-man Moscow State Technical University, Series Natural Sciences, 2012, no. 3, pp. 86-99.
[22] Dimitrienko Yu.I., Yakovlev D.O. The asymptotic theory of thermoelasticity of multilayer composite plates. Composites: Mechanics, Computations, Applications, 2015, vol. 6, iss. 1, pp. 13-51.
[23] Dimitrienko Y.I., Gubareva E.A., Yurin Y.V. Asymptotic theory of thermocreep for multilayer thin plates. Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, no. 4, pp. 18-36.
[24] Dimitrienko Y.I., Gubareva E.A., Sborschikov S.V. Asymptotic theory of con-structive-orthotropic plates with two-periodic structures. Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, no. 1, pp. 36-56.
[25] Dimitrienko Yu.I., Dimitrienko I. D., Sborschikov S.V. Multiscale Hierarchical Modeling of Fiber Reinforced Composites by Asymptotic Homogenization Method. Applied Mathematical Sciences, 2015, vol. 9, iss. 145-148, pp. 72117220.
[26] Dimitrienko Yu.I., Dimitrienko I. D. Modeling of the thin composite laminates with general anisotropy under harmonic vibrations by the asymptotic homogeni-zation method. Journal for Multiscale Computational Engineering, 2017, vol. 15, iss. 3, pp. 219-237.
[27] Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A., Pichugina A.E., Bel'kova K.V., Borin D.M. Modeling of thermal stresses in composite shells based on asymptotic theory. Part 2. Calculation of cylindrical shells. Mathematical Modeling and Computational Methods, 2022, no. 4, pp. 3-30.
[28] Dimitrienko Yu.I. Tenzornoe ischislenie [Tensor calculus]. Moscow, Higher School Publ., 2001, 576 p.
[29] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoj sredy. T. 1. Tenzornyj analiz [Continuum Mechanics. Vol. 1. Tensor analysis. Moscow, BMSTU Publ., 2011, 367 p.
Dimitrienko Yu. I., Dr. Sci. (Phys. — Math.), Professor, Head of Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Bauman Moscow State Technical University, Director of Research and Education Center Scientific and Educational Centre of Supercomputer Engineering Modeling and Software Packages (Simplex), Bauman Moscow State Technical University. e-mail: dimit.bmtstu@gmail.com
Boyko S.V., Student of the Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Bauman Moscow State Technical University. e-mail: sboiko1997@gmail.com
