CC BY
42
_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАТИ______________
Том XXVI 1995 №1-2
УДК 629.735.33.051.83-52
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ БОЛЬШИХ СЛУЧАЙНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ФАЗОВЫХ КООРДИНАТ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ
А. А. Дынников
Рассматриваются динамические системы, находящиеся под действием случайных возмущений, при наличии фазовых ограничений. Метод получения оценки вероятности больших отклонений фазовых координат основан на решении эквивалентной вариационной задачи об определении экстремальной реализации возмущений. Показано, что в пространстве возмущений область, по которой необходимо интегрировать плотность вероятности, может быть аппроксимирована двугранным углом. Приведен пример применения предлагаемого метода к задаче об определении вероятности опасного летного происшествия при автоматической посадке самолета.
1. Постановка задачи. Рассматривается задача определения условной вероятности -Р (Ф (х (7)) > 01 ср (х(/)) > 0) превышения функцией Ф от фазовых переменных х в момент времени Т = const нулевого уровня при условии, что на отрезке t е [0, Т] функция ср неотрицательна. Через х (t) е R* обозначен вектор фазовых переменных динамической системы, возбуждаемой случайным процессом белого шума:
x(t) = f(x(t)) + g(x(t№(*), (1)
где \ (0 — /и-мерный вектор некоррелированных белых шумов с еди-
ничной интенсивностью. Уравнение (1) понимается в смысле Страто-новича [1].
Начальные условия для уравнения (1) задаются в виде
Фо (х (0), С) = 0, Ф0 G Я”, (2)
где Се Rk — вектор случайных независимых гауссовских величин,
имеющих единичную дисперсию и нулевое среднее.
Задачи такого типа возникают при определении вероятности опасного летного происшествия при автоматической посадке самолета, например вероятности перелета Р [# (Lm„ ) £ 0|# (L) > 0], Ze[0, Lmax ].
Малость указанных вероятностей (по требованиям безопасности они не должны превышать величин 10*6 + 10~8) не позволяет применял» для их определения метод статистических испытаний (Монте-Карло), а нелинейности в (1), (2) делают неэффективным применение метода линеаризации.
В работах [2, 3] предложены асимптотические методы оценки указанных вероятностей, основанные на аппроксимации гладкой границы области опасных возмущений поверхностями первого и второго порядков соответственно. Для выполнения указанной аппроксимации решается вариационная задача:
где С и £ рассматриваются в качестве оптимизируемых констант и управления.
Оценки вероятности определяются по формулам
§, С вариационной задачи. Значение коэффициента 2) определяется с учетом кривизны аппроксимирующей поверхности [3]. Найденные таким образом оценки вероятности хорошо согласуются с оценками, найденными другими методами, до тех пор пока о1раничение Ф (х(/)) ^ 0 является пассивным, т. е. решение задачи (3), (4) без учета (5) не нарушает неравенства (5). В случае активного ограничения (5) оценки Р\ и Р-х неприменимы, поскольку аппроксимирующая поверхность становится негладкой. Ниже предлагается асимптотический метод, позволяющий получить оценку вероятности для этого случая.
2. Пространство возмущений. Для дальнейшего рассмотрения удобным оказывается понятие пространства возмущений. Этим термином будем называть декартово произведение пространства ^-мерных векторов Як и пространства Х™ [0> Т] /«-мерных вектор-функций с интегрируемым квадратом, заданных на отрезке [О, Т\ Обозначим его О:
(3)
о
фо (*(°)> О = 0; Ф(х(Г)) = 0;
ф (х(<)) £ о,
(4)
(5)
00 Г‘
.2
(6)
р
где р = -^2 •/, / — значение функционала для найденного решения
Для элементов пространства Q будем использовать обозначение z = = {zr, Zl). где ZrkZl— проекции вектора z на подпространства Я* и 1Л£ [О, Т] соответственно. Скалярное произведение для a,bed определяется соотношением
л
ab= a'RbR + Joi (t)bL(t)dt.
(8)
Пусть е\, ..., — система из Л^-ортонормированных векторов из
П (^ — произвольное число), а компоненты С и £ вектора ц = (С, £) представляют собой ^-мерный вектор независимых гауссовских величин, имеющих единичную дисперсию и нулевое среднее, и /п-мерный вектор некоррелированных белых шумов с единичной интенсивностью соответственно. Тогда для любого N вероятность Р^ одновременного выполнения неравенств
п<№<п+ Фгь / =1, ..., ЛГ, где Г/ — заданные числа, а, йг{ — бесконечно малые приращения, равна
1
■Jin
•е 2 -drj
(9)
(вообще говоря, ц. не принадлежит П, поскольку белый шум не является функцией с интегрируемым квадратом, однако скалярное произведение ц на элемент С1 определено также соотношением (8), интеграл понимается в том же смысле, что и для (1)).
3. Уточненная оценка вероятности. Для геО из условия Фо (х(0), = 0 находим начальные условия, которые обозначим
х 0). Решение уравнения (1) с начальными условиями х (гя, 0) и % = Ц обозначим х /). Для определения искомой вероятности необходимо проинте1рировать плотность вероятности (9) по области 0 пространства П, в которой Ф (х (г, 7)) £ 0 и пип (<р(х(г, *))) ^ 0.
>е[0,Г]
Поверхности в пространстве П, для которых Ф(х(г, 7)) = 0 и шш (ср(х(г, /))) = 0, обозначим 5,ф и 51 соответственно. Аппроксими-
/е[0 ,Т\
руем эти поверхности плоскостями .Уф и 5^, касающимися 5* и 5, в
точке г. = (С, |). Обозначим 0 область, ограниченную этими плоскостями и аппроксимирующую 0. Нормали к 5”ф и 5^ обозначим я® и /ц, соответственно. Вводя ортонормированный базис ег, е^, ... в П
так, чтобы векторы еь е2, пф и л, были компланарны, получаем соотношение, определяющее оценку вероятности:
-А
60(4 ,е2)
1 -—е 2п
2 2 х1+х2
» 1 “
Пж Iе 2 **
1 = 3 -»
+х|
е 2 сЬсі (іх2 ,
(10)
0^(«1«2)
где 0г1(е1,е2) — сечение аппроксимирующего двугранного угла 0 плоскостью, натянутой на векторы е\ и (рис. 1).
Выражение (10) может быть преобразовано к виду
ОО X
je 2 СІХ +
р+
Рис. 1. Аппроксимация границы области интегрирования
Р+
| е 2 ёх у ‘«ч'ф
ікч'ф
4у,
(П)
где ц/ф и у, — углы между вектором £ и плоскостями *УФ и соответственно (см. рис. 1). Синусы углов \|/ф и \уф определяются по формулам
втуф = -р
_ гп<ъ
г\ • яф
гп„
г\ ■ \па
Нормали »ф и могут быть определены следующим образом: ла1ранжиан задачи (3)—(5) с учетом преобразования Валентайна [5] для фазовых ограничений имеет вид
Ь{г,хь,хи,хл,и) = /(г) + Ц,<ро(*о,гд) + т
+/ К (0 [ф (х (г,0) - и2 (о]л+ кл ф (г),
о
где — вектор множителей Лагранжа на левом конце, ХдеЯ —
множитель Лагранжа на правом конце, ХиеХ — множитель Лагранжа для фазовых ограничений, ие Я — дополнительная оптимизируемая функция. Для оптимальных значений частные Фреше-
дЬ ЗЬ дЬ дЬ 6Ь с
производные —,--------,-----,---- и — должны быть равны нулю.
ді дХ^ дки дХ д ди
Отсюда с точностью до множителя нормали я® и и9 определяются соотношениями
5Ф / Л. дії у Л * Л Аі
Яф =~ (?) =
о? аг
і МО[ф (*(£, 0) - и2 (О] л
Л ЯТ Л А
СгЛ„,й)=- —СгЛь,0Лд,«)-01
В качестве примера применения предлагаемого метода рассмотрим задачу об определении вероятности выхода угла тангажа самолета, совершающего автоматическую посадку за заданное минимальное значение.
4. Динамическая модель автоматической посадки и ветровых возмущений. Упрощенная модель самолета, совершающего автоматическую посадку, описывается системой дифференциальных уравнений:
Х = К0+АК, ДКВ = ДК-Ж* -их;
А V =
АР + пГг, -
V Л уУ
сЬг=М«г
х° У0+АУ Н = Уу-5,
9,81;
+ і + “г + ^ 5в 5 5в = Кя>(й^ + = К, /3; К, = 0,1;
Узад
Ку=иу9,81; пу =
а + *И\п* + 2А!1.
"К0р+ К0
. 9,81
ап +
ко
Алгоритм управления тягой двигателя имеет вид
АР — (-^зад АР)» ^зад — ■'дв
Г*
о, і > £р0
ХР0 = 200 м;
/> =
Кь
АУ +
АР»
Интегральная составляющая в законе управления описывается уравнениями:
= І2> І2 = -2?Лг І2 _пг (Л ~пузглУ> пу •
Параметры рассматриваемой модели: Уо = 70 м/с — номинальная скорость полета,
«*=-0,15, Ту = Юс, Ку=С12п^§-, П.—1-, Т№=2с,
р 9,81’ р 2Тю\у
п.
=0,9, М“*=-2?Пг+9,81-^-,
г А
«.и
Лу
К0 “« ’ “г
Пг = 2,0, $ = 0,8.
К - ~а1 * 9.81І Мг“', . Аф - 1, КПу = ^-, »; = 4,0,
Алгоритм управления вертикальной переірузкой имеет вид И>ЭД =таХКл’Л>’ВЫр)’
где л>выр и пУтя — заданные перегрузки на выравнивании и глиссаде соответственно:
Уу -Уу+4-Увыр у 7^
Явыр -Н
1 +
А У
пУ„ - ^.1 к».. - Уу + Н) |.
П Ггл г т„
Отслеживаемые значения вертикальной скорости и высоты определяются соотношениями:
^“СРо+АЮео^р-; Нт = ье0^ + нц;
Я.
180°
ас0:
а
Куу = 0,9 V 00 = _зв; 0ас =0°; =15м;
“Г0 7Н9„-9.к)^г + Я0вд
Н°выр = -(0ас А)выр +У0 7І(Є0 - 6ас) (! “ е))
180° К, 180°
/кас__________0
"выр 00-Єас
-^выр = — 7І ^0 1п(є)? 7І = 5,5 С, Уую;! = — 0,4 М/с.
Начальные условия для данной модели задаются в виде
Ь = -1000 м, Н-Нт= 0, АУ-\Ух-их=0, Уу - =0, ап = о, Шг = 0,
АР------Пх +0О
180е
-их+0о:^-= О, Р - АР = 0, /1=/2=/3= 0.
п
V
Ветровые возмущения — систематический ветер их и составляющие порывов Щ,— задаются с помощью формирующего фильтра (модель Драйдена):
где Цух = 180 м и Цуу = тах (Н + 5 м, Юм) — масштабы турбулентности, ацгх = 0,18|С/Х|м / с и = 0,09|*7х|м / с — ее средние
квадратические значения, их = аи С\- 2,7 м/с — систематический ветер со средним квадратическим аи = 3,75 м/с, щ и и2 — компоненты вектора белого шума с единичной интенсивностью, С\ — случайная величина, распределенная по нормальному закону с единичной дисперсией и нулевым средним.
5. Сравнение результатов применения различных алгоритмов. Рассмотрим, насколько существенным является учет негладкости границы области опасных возмущений. Для этого сравним оценки, полученные по формулам (6), (7) и (11), для случая посадки со слишком маленьким углом тангажа 9 < при различных значениях 9^яп. Зависимости Р\ (,9зад), Р2 («9зад), -Р(^зад) и оценки Р> (.9зад), полученные методом статистических испытаний (100 000 реализаций), показаны на рис. 2.
Типичные посадочные траектории имеют вид, показанный на рис. 3. При уменьшении заданного порогового угла тангажа 5зад посадка со второго касания для наихудшей реализации возмущений впервые проявляется при >9 зад » 1,95*, при этом 1раница области опасных возмущений становится негладкой. Влияние изменения формы области интегрирования плотности вероятности в пространстве О проявляется уже для 5 зад * 2,2° и становится все более заметным по мере уменьшения Э зад. При этом оценки как первого, так и второго прибли-
^(0) = ^(0) = Жу1(0) = 0,
В
о
□
в
о - Второго ”
а >• с учетом двугранного угла
_1___________________I, — I -
о Монте-Карло. 100000реализаций • оценка пер/ого приближения
Рис. 2. Сравнение оценок вероятности
жения оказываются завышенными, так как предполагают интегрирование плотности вероятности в значительно большей области, чем требуется в данном случае. Следует отметить, что, пока фазовые ограничения не активны, ни один из рассмотренных методов оценки вероятности не устраняет расхождений в оценках. Из рис. 2 видно, что оценка (11) вероятности с учетом двугранного угла при активных фазовых ограничениях (.9^ < 1,95°) позволяет получить в этом случае значение, практически не отличающееся от истинного, в то время как оценка первого приближения (оценка второго приближения в данном случае не имеет смысла) оказывается значительно (почти в десять раз) завышенной.
На рис. 3 представлены конечные участки траекторий, полученных в результате решения вариационной задачи для различных значений 9 зад.
7
234-56783 Дальность,м 10 г
Рис. 3. Конечные участки экстремальных траекторий
Порывы УУу для различных значений угла тангажа
Рис. 4. Профили экстремальных порывов
Рис. 5. Масштабы экстремальных порывов
На рис. 4 показаны наихудшие реализации ветровых возмущений для различных значений .9 зад на последних 1500 метрах посадочной траектории. Масштаб по оси у для каждой траектории выбран таким образом, чтобы обеспечить совпадение на графике максимальных и минимальных значений для всех кривых. При этом графики, соответствующие посадке с первого касания, оказываются практически совпадающими в отличие от кривых, соответствующих посадке со второго касания. Значения максимумов и минимумов для этих кривых, а также зависимость величины от .9зад представлены на рис. 5. Видно, что в области посадок с первого касания величины максимумов и минимумов изменяются практически линейно.
Таким образом, предлагаемый метод, основанный на аппроксимации области интегрирования плотности вероятности двугранным углом, для случая активных фазовых ограничений позволяет получить достаточно точную оценку вероятности в том случае, когда фазовые ограничения становятся активными.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований.
ЛИТЕРАТУРА
1. Стратонович Р. Л. Новая форма записи стохастических интегралов и уравнений // Вестник МГУ. Серия «Математика и механика»,— 1964,
№ 1.
2. Кузьмин В. П., Ярошевский В. А. Оценка предельных отклонений параметров траектории самолета при автоматической посадке // Ученые записки ЦАГИ.— 1984. Т. XV, № 2.
3. Кузьмин В. П., Ярошевский В. А. Асимптотические оценки вероятностей больших случайных отклонений фазовых координат динамических систем от средних значений // Ученые записки ЦАГИ.— 1990. Т. XXI,
№ 3.
4. Вентцель А. Д., Фрейдлин М. И. Флуктуации в динамических системах прд действием малых случайных возмущений.— М.: Наука.— 1979.
5. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления,— М.: Наука,— 1978.
Рукопись поступила 2/Х111993 г.
