АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СЕТОК Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 21. Выпуск 3.

УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-3-232-240

Асимптотическая оценка для тригонометрических сумм

алгебраических сеток1

Е. М. Рарова, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва

Елена Михайловна Рарова — старший преподаватель кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: rarova82@mail.ru

Николай Николаевич Добровольский — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет; доцент кафедры общей и теоретической физики, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com

Ирина Юрьевна Реброва — кандидат физико-математических наук, доцент, декан факультета математики, физики и информатики, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: i_rebrova@mail.ru

Аннотация

В работе продолжены исследования авторов по оценке тригонометрических сумм алгебраической сетки с весами с произвольной весовой функцией г +1 порядка.

Для параметра т тригонометрической суммы Sm(t),p(™) выделены три случая. Если т принадлежит алгебраической решётке Л(Ь ■ Т(а)), то справедлива асимптотическая формула

,, / lns-1 detЛ(t) \

SM(i),,(i(rn,..., m)) = 1 + ^ (det^(t))r+i J .

Если m те принадлежит алгебраической решётке Л^ ■ Т(а)), то определены два вектора па(т) = (п1,... ,ns) и кА(то) из условий кА(m) G Л, ™ = (™) + кА(т) и произведение q(nA(А)) = п{ ■ ... ■ n~s минимально. Доказана асимптотическая оценка

I q < R ( 1 - S(kA (т)) + п (д(пА (m))r+1 lns-1 de^(t) Л

(t)Am)l * (,(ПА(т)))г+1 + Ч-(МЛШ+1-))

Ключевые слова: алгебраические решётки, алгебраические сетки, тригонометрические суммы алгебраических сеток с весами, весовые функции.

Библиография: 8 названий. Для цитирования:

Е. М. Рарова, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва. Асимптотическая оценка для тригонометрических сумм алгебраических сеток // Чебышевский сборник. 2020. Т. 21, вып. 3, С. 232-240.

1 Работа подготовлена по гранту РФФИ №19-41-710004_р_а

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 3.

UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-3-232-240

Asymptotic estimation for trigonometric sums of algebraic grids2

E. M. Rarova, N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova

Elena Mikhailovna Rarova — senior lecturer of the Department of algebra, mathematical analysis and geometry of Tula state pedagogical University L. N. Tolstoy (Tula). e-mail: rarova82@mail.ru

Nikolai Nikolaevich Dobrovol'skii — candidate of physical and mathematical sciences, associate Professor of the department of applied mathematics and computer science, Tula State University; associate professor of the department of general and theoretical physics, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University (Tula).

e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com

Irina Yuryevna Rebrova — candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor, dean of the faculty of mathematics, physics and computer science, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: i_rebrova@mail.ru

Abstract

The paper continues the author's research on the evaluation of trigonometric sums of an algebraic net with weights with the arbitrary weight function of the r + 1 order.

For the parameter m of the trigonometric sum SM(t),p(rn), three cases are highlighted. If m belongs to the algebraic lattice Л(£ • T(a)), then the asymptotic formula is valid

u / lns-1 det Л(£) \

Sm(^(t(m>. ., m)) = 1 + 4 (det Л(£))г+1 J .

If m does not belong to the algebraic lattice Л(£ • T(a)), then two vectors are defined nA(m) = (n1,... ,ns) and kA(m) from the conditions кл(m) G Л, m = пл(М) + K\(m) and the product д(П\(гп)) = n{ • ... • n is minimal. Asymptotic estimation is proved

|S (K)| i 1 - *( kA(mm)) +n ( q(nA(m ))-+1 lns-1 det Л^) \\

|SM(i),^(m)l ^ (ч(Па(ГП)))г+1 + 4-(de^(i))-+1-))

Keywords: algebraic lattices, algebraic net, trigonometric sums of algebraic net with weights, weight functions..

Bibliography: 8 titles. For citation:

E. M. Rarova, N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, 2020, "Asymptotic estimation for trigonometric sums of algebraic grids" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 3, pp. 232-240.

Посвящается Николаю Михайловичу Добровольскому по случаю его семидесятилетия

2The work has been prepared by the RFBR grant №19-41-710004_p_a

1. Введение

В дайной работе используются обозначения и определения из работ [2]-[6]. Рассматриваются единичные «—мерные кубы

С3 = (х | 0 < 1, V = 1,2,..., в}, С3 = (х | 0 < 1, V = 1,2,..., в}.

Для произвольного вектора х его дробной частью называется вектор {х} = ({Ж1},..., (х8}). Отсюда следует, что всегда (х} е С3.

Далее везде под произвольной решеткой Л С К5 мы будем понимать только полные решетки, то есть

Л = (ш1А1 + ... + шД, = т -А |т = (т1,..., т5) е Ъ5},

где А1 = ( А11,..., А15),... ,А5 = (А,1,..., А,— система линейно-независимых векторов в К5, а матрица решётки А задана соотношениями

А =

/Ли ... А1я \ / Х| \

\ А,1 ... Лвв / \\3/

Взаимная решетка Л* = (х | Уу е Л (х, у) е Ъ}. Непосредственно из определения следует равенство (оЛ)* = -Л*.

Л

ткой М(Л) называется множество М(Л) = Л* П С3. Сетка М1(Л) = Л* П [—1; 1)5. Обобщенной параллелепипедальной сеткой II рода М'(Л) называется множество

М'(Л) = (х | х = (у},у еМ1(Л)}.

Определение 2. Весовой функцией порядка, г с константой В называется гладкая, функция р(х); удовлетворяющая условиям

У^ р(х + (е 1,..., £,)) = 1 щи х е С,, £1,..., £в = -1

р(х) = 0 при хе (—1;1)5,

1 1

р(х) е2™

11

<В(^1 ...ав

для, любого а € К5

(1) (2) (3)

Если выполнены условия (1) и (2), то говорим просто о весовой функции р(х). Простейшим примером весовой функции является функция р1(х) = Р1(х1) ■ ... ■ р^х,), где

Р1(х) =

1 — |х|, при |х| ^ 1, 0, при |х| > 1.

Пусть а = ( ао, а1,..., а5-1) — целочисленный вектор такой, что многочлен

1

(х) — ^^ ^ а^х I х

(4)

V=0

неприводим над полем рациональных чисел ^ ^ ^те корни ©1/ (и = 1,..., з) многочлена (4) действительные.

Обозначим через Т(а) матрицу степеней алгебраически сопряженных целых алгебраических чисел ©1,... ,03 — корней многочлена Р^(х)'-

Т (а) =

1 ©1

1 ©3

\©1-1 ... ©г1/

(5)

а через © = (©1,..., ©8) — вектор полного набора алгебраически сопряженных чисел — корней многочлена Рз(х).

Для любого Ь > 0 решётка Л(£ ■ Т(а)) называется алгебраической. Она имеет вид

Л(1 ■ Т(£)) = <х= £

= ^ ^ ©\-1ть

Е ©:

V- 1

т

V=1

= £ ■ т ■ Т ( а)

те Ъ

к-1,

.©V-1)

Таким образом, алгебраическая решётка Л(£ ■ Т( а)) имеет базис AV = £ ■ (©1 (и = 1,..., в). Нетрудно видеть, что Л(£ ■ Т ( а)) П Ъ5 = [1(т,... ,т)\т € Ъ}.

Совокупность М С С3 точек = (£1(к),..., к)) (к = 1,..., Ы) называется сеткой М из N узлов, а сами точки — узлами квадратурной формулы. Величины р^ = р(М^) называются весами квадратурной формулы. В этой работе будем везде предполагать, что все веса вещественнозначные и являются значениями специальной весовой функции.

Лемма 1. Для любого действительного а выполняется неравенство

(1 - \х\)е2т°х<1х

< Н-2,

(6)

где а = тах(1, \а\).

Доказательство. См. [7]. □

Лемма 2. Пусть функция рг (х) определена равенствами

0,

рг (х) = <

г-1

Г— \ \ /-IV

г-2 °г-

V=0

г-1

1 - (2г - 1 )С2-С^-1 ^а^"

Г + V

1 - (-1)(2г - 1)С2--2 Е С^-1 1

v=0

Г + V

при \х\ ^ 1, при 0 ^ х < 1,

хг+, при - 1 < х < 0

(7)

Тогда, для любого действительного числа а и интеграла

1

выполняется оценка

1Г (а) = У рг (х)е2™х(1х -1

В (г)

\1Г(а)\ <

а

•+1

(8)

1

и функция рг (х) — весовая функция порядка, г + 1 с константой В (г), где

1

(Рг-1(1)е2™ — Рг-1(0)) — I Рг-1,г(х)е^^х

о

(2г — 1)С2--12 ВМ = —— йиР

г(2гГ |ст|> 1

и при 0 ^ V ^ V — 1 имеем:

(((1 — х)х)г-1)(V) = ((1 — х)х)г-1-VРv (х),

где

Ро (х) = 1,

Рv+l(х) = 1/(1 — 2х^(х) + х(1 — х)РV(х) (г/ = 0,..., г — 2),

г-1 г-2

^ ТТ/+

Рг-1(х) = 1)1/СгЧ^ (Г — 1 + г/ — АК,

м при г ^ г/ ^ 2г — 2 имеем,:

-

v=0 к=0

(((1 — х)х)г-1)(V) = Рг-1^ (х), Рг-1,г (х) = Р/-1 (х),

г-1 V-1

Рr-1,V (х)= ^ ( — П (г — 1 + ^ — А)хг-1+м^ =

/u=v+1 —г к=0

= Рг-1^-1(х) = Рг-1 ) (х),

Рг-1,2г-2(х) = ( — 1Г-1(2г — 2)!.

Доказательство. См. [7]. □

Для произвольных целых Ш1,..., т, суммы 5'м,р(т1,..., т5), определённые равенством

N

5м,д(т1,..., т,) = ^ рке^^Н"^««], (9)

к=1

называются тригонометрическими суммами сетки с весам,и.

Пусть матрица Т = Т(а) и £ > 0. Рассмотрим алгебраическую сетку М(¿) = М'(£ ■ Л(Т)) из ■ Л(Т)) узлов хк (А; = 1,..., ■ Л(Т))) с весами

Рк = = ^ ■ Л(Т)))-1 £ р(у)

,уем1(*-Л(т))

и её тригонометрическую сумму с весами

^м) = ^ ■ Л(Т)))-1 £ I £ рЫ е2-(™,х).

хем(4) V{у}=Х, г/€М1(^(Т)) /

Теорема 1. Для алгебраической решётки Л(£ ■ Т(а)) м произвольной весовой функции р(х) справедливо равенство3

1 1

ХеЛ(ЬТ(а)) -1 -1

где

1 1

вм ш(т) = ¿(т) + /..р(у) е2-(ю)

<*(») = / ^ » = 0; ^

\ 0, при т = 0, т е Ъ5.

Здесь и далее символ означает, что из области суммирования исключена нулевая точка.

Доказательство. См. [5]. □

С помощью леммы 1 доказываются следующие теоремы. Теорема 2. При £ ^ те справедлива асимптотическая формула

□

Теорема 3. При £ ^ те для произвольного вектора т = 0 справедлива, асимптотическая формула

ч МЛ п ({ш■■■ш;)2\ (т

БМ^ {ш) = О ^-ЩЩу-) ■ (12)

□

Цель данной работы — уточнить теорему 3.

2. Новые оценки тригонометрических сумм алгебраических сеток

Теорему 3 можно уточнить. Сначала мы это сделаем для векторов т специального вида: т = ¿(т, ■ ■ ■ ,т), где т € Ъ,т = 0.

Теорема 4. Для любого целого т = 0 и натура,льного £ справедливо равенство

Л1п"-1 detЛ{í) Ч Ям шг {Кт, ■■■,т)) = 1 + ^ {¿^А{г))г+1 ) ■ (13)

Доказательство. Действительно, если т = т, ■ ■ ■ ,т), и т € Ъ,т = 0, то по теореме 1 имеем:

1 1

ЯмШг {Цт, ■ ■ ■, т)) = £ [■■■[ рг{у)е2т(^<1у,

хеЛЦ-Т(а))\Ц(т,...,т)} —1 —1

где {^т, ■ ■ ■, т)} — одноэлементное множество, состоящее из вектора т = ¿(т, ■ ■ ■ ,т). Так

как при х = 0 имеем:

1 1

рг {у)е2т(^йу = 1,

-1 -1

то

1 1

Ям Шг {Чт, ■■■,т)) = 1+ [■■■[ Рг

хеЛЦ-Т(а))\Ц(т,...,т)} —1 —1

Поэтому по лемме 2 получим

(^№, ■■■,т)) - 1| < В{г)(нт • Т{а))1г + 1) = ,

□

Теперь рассмотрим случай, когда т € \ А{Ь • Т{а)) и, следовательно, т = Ь{т, ■ ■ ■ ,т) для любого т € Z.

Для решётки Л = {а)) определим два вектора пл{ш) = {п,1, ■ ■ ■, п3)ж кл{ш) из условий кл{ш) € Л, ™ = пл{ш) + кл{ш) и произведение д{пл{т)) = Щ • ■ ■ ■ • Щ минимально. Ясно, что существует константа С {Л) ^ 1 такая, что для любого вектора т имеем д{пл{ш)) ^ С {Л).

х

2Х, при п — х ^ 2х,

1 ^ I Х, при 2х > п — х ^ х,

М 2 ___х -- ^ (14)

п — х I х, ПРи 2 < п — х < х |т, п — х < §.

Доказательство. Первые три неравенства в (14) очевидны.

Перейдем к доказательству четвертого неравенства. Неравенство < 2т эквивалентно

неравенству х < 2п ■ п — х. При |х| < 1 это очевидно. Пусть |х| > 1, тогда ^ < |п| < Отсюда следует, что 2п ^ |х| и лемма полностью до казана. □

Теорема 5. При Ь ^ ж для, произвольного вектора т = 0 и т е Л справедлива, асимптотическая формула

1

+о(чп^г'40) , )=00,

«? (т) < ^Л^))^1 ^е^))^1 у- .......

I ° ( (ае1Л(^))^+1--) , Ал(т) = 0.

Доказательство. Действительно, согласно теореме 1 и лемме 2 имеем:

1

(т) <В(г) V -==- - +г

1 у''' 1 (т1 — х1 ...т5 — х5)г+1

жеЛ^Т(а)) У 1 1 5 SJ

Если Ал(т) = 0, то

у' 1 = у' 1

хел^Т(а)) (т1 — х1... — х5)Г+1 хел^Т(а)) (п1 — х1-'п — ^П1

Если Ал(т) = 0, то

у^' _1_= 1 + у^' 1

-< ( т.1 —х т_— ) Г+1 (п~ пГ) Г+1 -<

(»1 — х1 ...»5 — х5) Г+1 (п1 . Г+1 ^ ^ (п1 — х1 ...п — х5) г+г

§еЛ(^Т(а)) ХеЛ(^Т(а))\{-кл (т)}

Для простоты изложения воспользуемся неравенством (14) в наиболее слабой форме

1 < получим го-х х ' "

^ 1 — ¿(Ал(т )) , 2 ^+1)(ш ...тг+1

|вм(,)А(т)| <Вм I л(т))г+1 + Е (хг...х7)г-и

" хеЛ^Т (а)) У 1

= В(° + 25(г+1)(<?(пл(»т)))^+1 С(Л(< ■ Т(а))|г + 1) ^ .

Повторяя рассуждения из доказательства теоремы 11, получим доказываемое утверждение. □

3. Заключение

Лемма 3 содержит определенный потенциал, чтобы усилить теорему 5, но это потребует дополнительного исследования. Кроме этого возникает вопрос о возможности переноса методов работы [1] на получение усиленных асимптотических оценок рассматриваемых тригонометрических сумм алгебраических сеток.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Н. Н. Добровольский. О двух асимптотических формулах в теории гиперболической дзета-функции решёток // Чебышевский сборник. 2018. Т. 21, вып. 3, С. 109-134.

2. Рарова Е. М. Разложение тригонометрической суммы сетки с весами в ряд по точкам решетки // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч. 1. С. 37-49.

3. Рарова Е. М. Тригонометрические суммы сетки с весами для целочисленной решётки // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. № 3. С. 34-39.

4. Рарова Е. М. Тригонометрические суммы алгебраических сеток //В сборнике: Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения Материалы XIII Международной конференции, посвященной восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова. Тульский государственный педагогичекий университет им. Л. И. Толстого. 2015. С. 356-359.

5. Рарова Е. М. О взвешенном числе точек алгебраической сетки // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 1, с. 200-219.

6. Е. М. Рарова. Тригонометрические суммы сеток алгебраических решеток // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 2, с. 399-405.

7. Ребров Е. Д. Квадратурные формулы с модифицированными алгебраическими сетками // Чебышевский сборник 2012 Т. 13, вып. 3(43). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. И. Толстого. С. 53-90.

8. Реброва И. Ю., Добровольский И. \!.. Добровольский И. И., Балаба И. И., Есаян А. Р., Басалов Ю. А. Теоретико-числовой метод в приближённом анализе и его реализация в ПОИВС «ТМК»: Моногр. В 2 ч. Под. ред. И. М. Добровольского. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2016. - Ч. I. - 232 с.

REFERENCES

1. N. N. Dobrovol'skii, 2018, "On two asymptotic formulas in the theory of hyperbolic Zeta function of lattices", Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 3, pp. 109-134.

2. Rarova E. M., 2014, "Decomposition of the trigonometric sum of a grid with weights in a series by lattice points" , Proceedings of Tula state University. Natural science, vol. 1, part 1, pp. 37-49.

3. Rarova E. M., 2014, "Trigonometric grid sums with weights for integer lattice" , Proceedings of Tula state University. Natural science, № 3, pp. 34-39.

4. Rarova E. M., 2015, "Trigonometric sums of algebraic nets" , In the collection: Algebra, number theory and discrete geometry: modern problems and applications Proceedings of the XIII International conference dedicated to the eighty-fifth anniversary of the birth of Professor Sergei Sergeevich Ryshkov. Tula state pedagogical University. L. N. Tolstoy, pp. 356-359.

5. Rarova E. M., 2018, "Weighted number of points of algebraic net" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 200-219.

6. E. M. Rarova, 2019, "Trigonometric sums of nets of algebraic lattices" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 2, pp. 399-405.

7. Rebrov Е. D. 2012, "Quadrature formulas with modified algebraic grids" , Chebyshevskii sbornik, vol. 13, no. 3(43), pp. 53 — 90.

8. Rebrova I. Yu., Dobrovolskv N. M., Dobrovolskv N. N., Balaba I. N., Yesavan A. R., Basalov Yu. A. numerical Theoretic method in approximate analysis and its implementation in POIVS "TMK": Monogr. In Under 2 hours, ed. — Tula: Publishing house of Tula, state PED. UN-TA im. L. N. Tolstoy, 2016. - Part I. - 232 p.

Получено 28.05.2020 г.

Принято в печать 22.10.2020 г.