Асимптотическая модель свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде при граничных условиях третьего рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2013. № 4 (17)

ТЕПЛОЭНЕРГЕТИКА И ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЕ

УДК 536.252

А.А. Бочарова, И.В. Плаксина, А.А. Обушный

БОЧАРОВА АННА АЛЬБЕРТОВНА - кандидат физико-математических наук, доцент, заведующая кафедрой механики и математического моделирования Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). E-mail: pmm-fentu@mail.ru

ПЛАКСИНА ИРИНА ВЛАДИМИРОВНА - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и математического анализа Школы естественных наук (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). E-mail: irinaplak@rambler.ru

ОБУШНЫЙ АНДРЕЙ АНДРЕЕВИЧ - аспирант кафедры механики и математического моделирования Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). E-mail: andreyobushnyy@gmail.com

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СВОБОДНОКОНВЕКТИВНОГО

ТЕЧЕНИЯ НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ПОРИСТОЙ

СРЕДЕ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ТРЕТЬЕГО РОДА

Дается асимптотический анализ математической модели свободной конвекции около вертикальной поверхности в пористой среде при граничных условиях третьего рода на основе системы уравнений сохранения количества движения и энергии. Определена область применимости модели пограничного слоя, построены разложения для функции тока и температуры. Численно исследована зависимость характеристик потока от значений определяющих критериев. Показано, что учет влияния конвективных и вязкостных членов уравнения в предложенной математической модели существенно увеличивает скорость теплоотдачи на поверхности в пористой среде по сравнению с моделью Дарси.

Ключевые слова: свободная конвекция, асимптотический анализ, пористая среда.

Asymptotic model of free convection flow on a vertical surface in porous media under third kind boundary conditions. Anna A. Bocharova, Irina V. Plaksina, Andrey A. Obushnyy, School of Engineering, Far Eastern Federal University, Vladivostok.

© Бочарова А.А., Плаксина И.В., Обушный А.А., 2013

This article considers the asymptotic analysis of the mathematical model for free convection flow along the vertical surface in porous media under the third kind boundary conditions based on the equations of energy and motion. It determines the field in which the boundary-layer model can be applied and offers the expansions for velocity and temperature. It numericaly studies the dependence of the flow characteristics on the values of the Prandtl and Darcy's numbers. It has been demonstrated that taking into account the effect of the convective and viscous terms of equations in this model considerably increases the convective heat transfer in porous media compared with Darcy's model.

Key words: free convection, asymptotic analysis, porous media.

История вопроса

Математическая модель свободноконвективного пограничного слоя на вертикальной поверхности используется в большинстве случаев для исследования характеристик процесса теплообмена в пористой среде. Широкий обзор полученных решений для различных граничных условий и геометрических конфигураций представлен в обзорах I. Pop [4] и D.A. Nield [7]. Типичными граничными условиями являются условия постоянной температуры или постоянного теплового потока на поверхности.

С точки зрения инженерных приложений наиболее практически значимым является случай граничных условий третьего рода, эти условия задают теплообмен между поверхностью и окружающей средой по закону Ньютона. В частности, в данной работе рассматривается пропорциональность теплового потока на поверхности ее локальной температуре. Этот вид тепловых граничных условий рассмотрен в работе Merkin [6] для свободной конвекции вязкой жидкости на вертикальной поверхности, в которой построено решение уравнений пограничного слоя в виде разложений для функции тока и температуры для малых и больших значений продольной координаты и получено новое автомодельное решение при х —»°° . Для пористой среды исследование свободной конвекции при тех же тепловых граничных условиях третьего рода на вертикальной поверхности проведено в работе Lesnic [5], в которой на основе модели Дарси-Буссинеска также получены разложения для функции тока и температуры около передней кромки пластины и далеко вниз по потоку.

Простейшей математической моделью пористой среды является приближение Дарси-Буссинеска, которое, однако, не позволяет получить решение, удовлетворяющее условию прилипания на поверхности в пограничном слое. Поэтому предлагается моделировать свободную конвекцию на вертикальной поверхности в пористой среде при граничных условиях третьего рода на основе полных уравнений сохранения количества движений и энергии. В предложенной работе определяется область значений безразмерных критериев, при которых применимо рассматриваемое в большинстве работ приближение пограничного слоя на основе асимптотического анализа общих уравнений сохранения количества движения и энергии. Нами определена область применимости уравнений пограничного слоя для случая граничных условий третьего рода на поверхности, построены асимптотические разложения для функции тока и температуры в пограничном слое и во внешней по отношению к нему области течения, получены результаты численного счета и критериальные зависимости характеристик процесса от чисел Прандтля и Дарси. Рассмотрены собственные решения, которые создают неопределенность в первом

приближении построенных асимптотических разложений. Полученные разложения верны для больших значений продольной координаты, что соответствует автомодельному решению [5, 6], тогда как решения для малых значений х, определяемые постоянным тепловым потоком, получены в работе [1]. Асимптотический анализ показывает, что учет влияния вязких сил существенно повышает значение теплоотдачи в пограничном слое по сравнению с предыдущими исследованиями [5].

Математическая модель

В данной работе рассматривается задача свободной конвекции около полубесконечной вертикальной пластины, помещенной в заполненную жидкостью пористую среду, имеющую температуру Тт . Предполагается, что тепловой поток на поверхности пропорционален ее локальной температуре, что жидкость и пористая матрица находятся в термодинамическом равновесии и что свойства жидкости и матрицы изотропны и постоянны. Пренебрегая эффектом вязкой диссипации, имеем следующую систему уравнений сохранения массы, количества движения и энергии [3]:

УУ = 0,

Рг ^ Мг жт М,

е К е

р/с/У-УТ = ХшУ2Т. дТ

й = V = 0, —= при у = 0, х > 0, и —> 0, Т —^ Т^ при у —> °о, х > 0,

Ъу

г/ = V = 0, Т = ТЖ при х = 0. (2)

Здесь: - вектор скорости, pf ~ плотность жидкости, 8 - пористость,

Р- давление, - динамическая вязкость жидкости, К- проницаемость пористой среды, С - коэффициент инерции, с^- - удельная теплоемкость, 'кпг - коэффициент теплопроводности пористой среды вместе с жидкостью, Т - температура, ^ - постоянный коэффициент теплоотдачи с поверхности, (X, у) - декартовы координаты, определяющие расстояние вдоль и по нормали к поверхности.

В левой части уравнения сохранения количества движения содержатся слагаемые, описывающие конвективный перенос завихренности, в правой - разность первых двух слагаемых соответствует приближению Дарси-Буссинеска, третье учитывает вязкое взаимодействие, четвертое слагаемое - силы инерции пористой матрицы, пропорциональные квадрату скорости, что соответствует квадратичной поправке C.А. Христиановича к закону Дарси.

Вид граничных условий (2) определяет выбор безразмерных переменных:

х = х/1, у - у/1, Ч> = Ч7Р, ио = , Ч»0=и01,1 = ^Щ.,®= С-^Х- (3) С учетом (3) система уравнений (1) и граничные условия (2) приводятся к виду:

ЭУ Э ^ ЭУ э

Эу Эх ^ дх ду ^ Ва

¿У

+ Рг_Гху, 28Рг Сг

Яа2

Ва

3у Э'у Эх Эх

-V2©,

ду дх дх ду Яа£

— = — = 0 , — = -Ра <+ 0 при у = О, х > О, Эх ду ду

— ->0, 0

ду

О при у —> о«, х > О,

(5)

ду дх

= 0, 0 = 0 при х = 0.

Здесь Рг*=8У//а , Ва = КЪ2 , Ог = ^у, Яа = к81 - безразмерные

параметры, определяющие процесс свободноконвективного течения в пористой среде при граничных условиях третьего рода.

Рассмотрим асимптотический анализ системы уравнений (4) при Еа —> , так как

величина Яа 1 является малым параметром при старшей производной в правой части этих уравнений.

Асимптотические разложения

Полагая, что толщины теплового и динамического пограничных слоев являются величинами одного порядка, т.е. что Рг* =ОС , построим внутреннее решение для области пограничного слоя, в котором сосредоточено действие подъемных сил, сил вязкости и инерции, в виде:

х¥^,у,КаУКа~1Ф0 Фг С,7>...,

0 С, у, Ка > 90 (х, 7) + КаА4,У >... где у = Ка~хУ.

Для неизвестных функций Ф0, 90 получаем систему уравнений, решение которой

зависит от параметров Рг", 1.)а, С г и £ и позволяет учесть влияние конвективных, вязких и инерционных членов уравнения:

эф0 э3ф0 эф0 э3ф0 _ еРг* дГ дхдГ2 дх дУ3 ~ Ба

эф0 эе0 эф0 эе0 _ э2е0

эе0 э2ф0

э7 э72

+ Рг

д4Ф0 2гОгР/ эф0 э2ф0 э74 Ва дУ дУ2

дУ дх дх дУ дУ2 ' с граничными условиями

дФ0

дФ0 _ 0 дв0

Эх дУ д У °

Применяя преобразование [5, 6]

-<+0о ,при 7 = 0,

ЭФо дУ

->о, е0 ->о при у —>оо.

Ф0(*,У) = хРЬ(7),

в0(х,¥) = хН0(¥)

систему уравнений в частных производных сведем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

К+-

. * ^ (И О 1 О ^ ъ ^ О ' о >

Рг и и и " Иа

н:+кн' - /-Х = о,

хгОг Эа

^0 =0,

(6)

Ро С> /'о 0> О, Н'0(0) + Н0(0) = О, /'о О 0, //0Оо. (?)

Система допускает автомодельное решение, если пренебречь влиянием квадратичного члена, учитывающего инерцию пористой матрицы в правой части уравнения. Граничные условия на бесконечности получаются из сращивания продольной скорости и температуры на бесконечности. Система уравнений (6), (7) есть система нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка. Для ее решения используется метод понижения порядка и линеаризация уравнений при помощи итерационной процедуры, путем задания некоторых первоначальных профилей скоростей и температуры, удовлетворяющих граничным условиям. В качестве критерия сходимости принята норма разности значений сеточной функции на двух соседних итерациях. Результаты численного счета представлены на графиках без учета квадратичного члена и с учетом его для различных х.

Применяя метод сращиваемых асимптотических разложений [3], получим для первого приближения внешнего разложения:

Сращивание внешнего и внутреннего разложения определяет граничные условия для внешней задачи, а также первый член внешней асимптотической последовательности.

Система уравнений для определения значений функций 4[,у _ имеет вид:

Рг*

ду дх

эч>0 г)/; эч*0 э/;

дх ду 0,

Иа

■гТ,

ду дх дх ду

откуда 7] 0, У2^ = 0 с граничными условиями Ч^ х >0, Ч/1 0.

х<0.

Система уравнений для первого внутреннего приближения имеет вид:

ЭФ0 д3Ф, +ЭФ! Э3Ф0

ЭФ1 Э3Ф0 ЭФ0 Э3Ф! _ еРг ( дв, ^ . Э4Ф!

дУ дхдУ2 дУ ЭхЭГ2 дх д¥3

дх д¥3

Ва ^ дУ

д¥2

Рг

д¥4

2хеОг Рг

Бо

ЭФ0 Э2Ф! ЭФ! Э2Ф0

д¥ д¥2 д¥ д¥2

ЭФ! Э0О ЭФ0 Э0!

ЭФ0 дв,

ЭФ! дв0

э2а

д¥ Эх Э7 Эх Эх д¥ дх д¥ д¥2

ЭФ, ЭФ, Э01

с граничными условиями на поверхности -=-= 0, -= 01 при У = 0 , 91 —> О

Эх д У д У

при У —> и условиями, полученными из сращивания продольной скорости

ЭФ, . ^ Э^ . ^ „

- 1,°° — . При помощи замены

Э У ду

Ф1(х,У) = Р1(У), е1(х,У) = н1(У)

система сведется к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

/•"+—<■;,/■,-/';;/',">— /,;;/,"=о,

1 р/ 1 о 1 ^ Ва 0 (8)

Н"+ 1\)Н\- 2/'('Я, = /-¡Я,' - 2/',Я,',

/', С> /•','<)> 0, Я1'(0) + Я1(0) = -1, /<;'*> /<0 (9)

численное решение которой проводится аналогично. Неоднородные граничные условия на бесконечности учитывают вытесняющее влияние внешнего течения на пограничный слой около поверхности.

Собственные решения

Построенное асимптотическое решение внутренней задачи не является единственным. Оно определено с точностью до собственных решений, удовлетворяющих нулевым

граничным условиям [2]. Собственные решения будем искать в виде 4(,у для

функции тока и скРа Хк С, у - для температуры соответственно, где /к С, у У фС У ^ -и у У ф С С„ • Собственные функции (к С _ и ^ С, определяются краевыми

задачами:

/г+ ^ с - /;> <-я* ул-лк= о.

1)а Рг Рг

8к +ро8к ~ Уо8к ~/кно + Укно = 0.

Первое собственное значение = 1 определяет вид уравнений для , :

Рг /',"4-'^ </,' - /.,"> /.;, /.;;'/.,'= т ~ /, /-„'Х

1)а дх дх

.Эф Эф

<51 0 Л

Эх Эх

Из уравнений следует, что ф С 3= 1п х, С, у У 1п х/х С „ и ^ С, У У 1п х^ С Тогда внутреннее асимптотическое разложение перепишется в виде

4*4,у,КаУРа'1 Ф0 С,7>Яа~2 С>ф1 0С,>'^а>ео(х,7) + ^а-1 С>01 где система уравнений для пары собственных функций $ имеет вид:

н"+ я; - /',я0 = х(/.;; ^ - щ ).

7-» * ^ 4 / />/ рГГ г рГГГ

Рг Л+-г— VI - /1 /1/1 - /1/1 -Па

gl+flg[-fígl = 0,

откуда следует, что $ С С ^ определяются как

у, о с,/-;, с:, ^ г > с:

здесь с1 - константа, которая, вообще говоря, не может быть определена в рамках развитой теории [2]. Таким образом, дополнение внутреннего разложения собственными решениями (10) того же порядка, что и первое приближение, приводит к системе уравнений

Т7"А. £ йз _р"~> с 2 _ р р

^ 1 т * * (К 1 7 г, ^ 1 ^ 1 * о о >

Рг Ба Рг

Я"+ /-„Я' — /','// (1 = с, 1','Я (1 -Я0Я0' ^ с соответствующими граничными условиями

О ^'О о, Я1/(0) + Я1(0) = -1, ^о О о.

Существенное отличие задачи для граничных условий третьего рода от случая Ни С, изотермической пластины состоит в том, что собственные решения являются членами первого порядка во внутреннем асимптотическом разложении, и поэтому оно не может быть полностью определено в первом приближении. Таким образом, влияние определяющих параметров существенно в нулевом приближении внутреннего разложения.

Полученные результаты

На графиках 1 и 2 представлены результаты численного решения уравнений (6), (7). Полученные результаты хорошо согласуются с предыдущими работами. На рис. 1(б) показано, что при Оа —> 0 решение соответствует температурному профилю, полученному Lesnic [5].

^'с: 1 0.8

0.6

0.4

0.2

0

Ба=0.1

Ба=0.01

Ба=0.001

н 0 €

0246 а)

8 10

4 3.2 2.4 1.6 0.8 0

0

- Ба=0.1

■ ■ Ба=0.01 — Ба=0.001

■ Ба=0

46 б)

8 10

Рис. 1. Графики функций Р'0(У) (а) и Н0(У) (б), полученные из численного решения системы уравнений (6), (7), при Рг =1, £ = 0,5 и различных значениях Х>а

2

Согласно полученным данным, при увеличении числа Ба теплоотдача на поверхности растет, результаты в таблице. Представлены профили скорости в зависимости от числа Ба и от числа Рг", значения продольной скорости и температуры на стенке существенно зависят от числа Ба, от числа Рг* решение в рассматриваемой области зависит слабо (рис. 2, а). Результаты исследования влияния квадратичного члена показывают, что температура возрастает при удалении по пластине (рис. 2, б).

я0с: 2 1.6 1.2 0.8 0.4 0

0

Рг=0.72

Рг=1

Рг=10

я0с: 2 1.6 1.2 0.8 0.4 0

10

0

а)

1 1

— х=0.2 ■■ х=0.4 ■ ■ х=0.8

1 1

1» г V

\м V?

10

Рис. 2. Графики функции Н0(У), полученные из численного решения системы уравнений (6), (7): а) - при Ба = 10"3, г = 0,5 и различных значениях Рг ; б) - при Рг = 1 , Ба = 10"3, Сг = 0,5, £ = 0,5 и различных значениях продольной координаты х

Зависимость характеристик процесса от числа Ба и числа Рг*

2

4

6

8

2

4

6

8

Рг* = 1

Характеристики процесса Ба = 10-1 Ба = 10-2 Ба = 10-3

4,725062 лЯа +... 8,873 ЪсКа +... 19,176032сЯа +...

©4,0, яа1 -3,417842сЯа+... -1,537505сЯа +... - 1,188386с^а +...

Ба = 10-3

Рг *= 0,1 Рг* = 0,72 Рг* = 10

¥4,0 19,464232 хЯа + ... 19,189695 хИа + ... 19,143971 хЯа +...

О'СДЛ'а] -1,214335 хЯа + ... -1,189577 хЯа + ... -1,185604 хЯа + ...

Итак, в данной работе построена модель свободноконвективного течения в пористой среде на вертикальной поверхности при заданной теплоотдаче. На основе асимптотического анализа полной системы уравнений сохранения количества движения и энергии толщина вязкостного пограничного слоя определена как величина порядка Ка ' . В области пограничного слоя построены асимптотические разложения для функции тока и температуры. Мы установили, что учет влияния вязкостных, конвективных и инерционных членов уравнения движения увеличивает значение теплоотдачи и градиента скорости в пограничном слое, причем влияние сил инерции увеличивается при удалении по потоку.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бочарова А.А., Плаксина И.В. Свободная конвекция в пористой среде при тепловых граничных условиях третьего рода на вертикальной поверхности // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. Т. 1, № 4. С. 28-38.

2. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 310 c.

3. Мартыненко О.Г., Березовский А.А., Соковишин Ю.А. Асимптотические методы в теории свободноконвективного теплообмена. Мн.: Наука и техника, 1979. 168 с.

4. Ingham D.B., Pop I., Transport Phenomena in Porous Media. Oxford, Pergamon, 1998, 448 p.

5. Lesnic D., Ingham D.B., Pop I., Free convection boundary-layer flow along a vertical surface in a porous medium with Newtonian heating. Int. J. Heat Mass Transfer, 1999;(42):2621-2627.

6. Merkin J.H., Natural-convection boundary-layer flow on a vertical surface with Newtonian heating. Int. J. Heat and Fluid Flow, 1994;15(5):392-398.

7. Nield D.A., Bejan A., Convection in Porous Media. NY, Springer, 1999, 640 p.

REFERENCES

1. Bocharova A.A., Plaksina I.V., Free convection in a porous medium with Newtonian heating on a vertical surface. Computational continuum mechanics. 2008;(1)4:28-38. [Bocharova A.A., Plaksina I.V. Svobodnaja konvekcija v poristoj srede pri teplovyh granichnyh uslovijah tret'ego roda na vertikal'noj poverhnosti // Vychislitel'naja mehanika sploshnyh sred. 2008. T.1, № 4. S. 28-38].

2. Van Dyke M., Perturbation Methods in Fluid Mechanics. M., Publishing World, 1967, 310 p. [Van-Dajk M. Metody vozmushhenij v mehanike zhidkosti. M.: Mir, 1967. 310 s.].

3. Martynenko O.G., Berezovskij A.A., Sokovishin Ju. A., Asymptotic methods in the theory of free convective heat transfer. Mn., Science and technology, 1979, 168 p. [Martynenko O.G., Berezovskij A.A., Sokovishin Ju.A., Asimptoticheskie metody v teorii svobodnokonvektivnogo teploobmena. Mn.: Nauka i tehnika, 1979. 168 s.].

4. Ingham D. B., Pop I., Transport Phenomena in Porous Media. Oxford, Pergamon, 1998, 448 p.

5. Lesnic D., Ingham D.B., Pop I., Free convection boundary-layer flow along a vertical surface in a porous medium with Newtonian heating. Int. J. Heat Mass Transfer, 1999;(42):2621-2627.

6. Merkin J.H., Natural-convection boundary-layer flow on a vertical surface with Newtonian heating. Int. J. Heat and Fluid Flow, 1994;15(5):392-398.

7. Nield D.A., Bejan A., Convection in Porous Media. NY, Springer, 1999, 640 p.