Априорные оценки решения уравнения типа Монжа - Ампера в метрике Текст научной статьи по специальности «Математика»

14

Вестник ЛмГУ

Выпуск 87; 2019

УДК 519.246.8

Т.В. Труфанова, К.Д. Нещеменко

СПОСОБЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ КУРСА ВАЛЮТ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ И ХОЛЬТА

В статье рассматриваются две модели прогнозирования временных рядов - модель экспоненциального сглаживания, которая является оптимальным вариантом прогноза, когда известен курс за несколько дней, и модель Хольта, используемая при тенденции к росту или падению значений величин временного ряда. Произведены расчеты и простроены графики прогнозирования курса валют.

Ключевые слова: временной ряд, экспоненциальное сглаживание, метод Хольта, курс валют.

В современных условиях развития мировой экономики основной задачей ее ведущих специалистов является прогноз экономических показателей [1]. Анализ этих показателей позволяет спрогнозировать будущие явления экономики в мире.

Слово «прогноз» означает предвидение, предсказание [2]. Под прогнозированием понимают определение будущего с помощью различных методов. Перспективы развития какого-либо процесса могут быть описаны последовательностью значений некоторых величин - временным рядом.

Под временным рядом [3] понимается статистический материал о значении параметров исследуемого процесса, собранный в разное время. Значение показателя ряда и его временная отметка -обязательный элемент во временном ряду. На рис. 1 представлен пример временного ряда курса валют - доллар США по отношению к российскому рублю - с 1 августа по 6 октября 2018 г.

72

60 58

1 3 Б 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 Рис. 1. Временной ряд курса валют доллар США/российский рубль.

Прогнозирование необходимо во всех сферах управления. Модель прогнозирования является адекватным описанием временного ряда. Цель данной модели - получение такого временного ряда, в котором среднее абсолютное отклонение истинного значения от прогнозируемого стремится к минимуму (точность прогноза).

Для повышения точности прогнозов курса валют важно понимать, что для каждой модели существует множество временных рядов с разными характеристиками. Рассмотрим модели прогнозирования курса валют и рассчитаем прогноз на 3 октября 2018 г.

Прогноз по методу экспоненциального сглаживания - оптимальный вариант прогноза, когда известен курс за несколько дней, недель и еще непонятно - имеется ли рост или падение курса [4]. Для расчета прогноза используется выражение (1):

Гм=к.¥1+(\-к).Гп (1)

где У(+1 - прогноз на следующий временной период 1+1; У( - данные для прогноза за текущий период;

У( - значение прогноза за некоторый период; к - коэффициент сглаживания временного ряда, который задается вручную в диапазоне от 0 до 1.

Чем больше к, тем ощутимее влияние последних данных на прогноз. Рассмотрим прогноз курса доллара США по отношению к российскому рублю, используя разные коэффициенты при к = 0.8 и к = 0.1. На рис. 2 можно увидеть, что модель с коэффициентом сглаживания, равным 0,8 (пунктирная линия), соприкасается с фактическим курсом валют (сплошная линия), чего нельзя сказать о прогнозе при к, равным 0,1 (штрихпунктирная линия).

72

70

&3

ьь

54

52

150

53

1 3 5 7 9 11 13 13 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Рис. 2. Сравнение экспоненциальных моделей прогнозирования курса валют при разных коэффициентах сглаживания.

Рассчитав точность прогноза, мы убедимся, что точность первой модели будет выше, чем второй (99,9955%> 99.9757%). Результат расчета прогноза курса на 3 октября составляет 65,58.

С развитием моделей прогнозирования появлялись разные методы его осуществления. Один из методов был разработан Хольтом, который развил модель экспоненциального сглаживания добавлением в нее тренда [5]. Данный метод используется при тенденции к росту или падению значений величин временного ряда. Для расчета прогноза вводятся два коэффициента сглаживания - коэффициент ряда и тренда.

Сначала рассчитывается экспоненциально-сглаженный ряд, для которого используется выражение (2):

=Лг-1;+(1-Лг)-(А_1-7;_1), (2)

где в сравнении с выражением (1) имеется: Ц_х - сглаженная величина за предыдущий период; -значение тренда за предыдущий период.

/V и 1 ^ --Курс ---К-03

---К - 0.2

16

Вестник АмГУ

Выпуск 87, 2019

Как было описано выше, коэффициент сглаживания ряда задается вручную, как и коэффициент сглаживания тренда, который необходим для определения значения тренда (выражение (3)):

Т,=Ъ\Ц-Ц_,) + (\-Ъ)-Т,_х, (3)

где Ъ - коэффициент сглаживания тренда.

Прогноз по методу Хольта описывается в выражении (4). Оно используется для расчета прогноза нар периодов, которое равно:

Г,+р=Ц+р.Т„ (4)

где У - прогноз по методу Хольта на период р.

Построим график зависимости курса валют и прогноза (рис. 3):

60 58

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Рис. 3. Сравнение графика курса валют и прогнозируемых моделей Хольта и Хольта - Винтерса.

Наблюдаем, что прогнозируемая модель (пунктирная линия) близка к курсу валют (сплошная линия). Для сравнения возьмем модель Хольта - Винтерса (штрихпунктирная линия). Данная модель является дополнением метода Хольта. Главная разница двух методов - наличие трех параметров, которые необходимо выбрать для получения прогноза. Помимо расчета экспоненциально-сглаженного ряда и тренда, в модели Хольта - Винтерса используется расчет сезонности. Тогда формула расчета прогноза, описываемая в выражении (5), будет выглядеть так:

(5)

Результат расчета прогноза курса на 3 октября с помощью моделей Хольта и Хольта - Винтерса составляет 65,63 и 65,65 руб. соответственно.

В статье были рассмотрены две модели прогнозирования временных рядов для решения прогноза курса валют. Сравнивая результаты прогнозов и реального курса на 3 октября 2018 г. (65,22 руб.), можно сделать вывод, что данные модели могут спрогнозировать курс валют, но этот прогноз не идеальный, поскольку в большинстве случаев изменения валютных курсов очень сложно предсказать не только из-за нелинейности рядов курса валют, но и в связи с их зависимостью от ситуации в стране и в мире.

1. Федорова, Е.А., Линкова, М.А. Прогнозирование курса валюты с помощью нейронных сетей - Денежная кредитная политика, 11-2013. - 31 с. - Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/v/prognozirovanie-kursa-уа1уи1у-8-рото8сЬуи-пеугоппу]>8е1е

2. Чучуева, И.А., Павлов, Ю.Н. Модель прогнозирования временных рядов по выборке максимального подобия: Дис. ...канд. техн. наук / МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. - 153 с. - Режим доступа: http://www.mbureau.ru/ sites/default/flles/pdf/Chuchueva-Dissertation.pdf.

3. Временной ряд: Википедия. Свободная энциклопедия - Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/ %В0%92%В1 %80%В0%В5%В0%ВС%В0%В5%В0%ВВ%В0%ВВ%В0%ВЕ%В0%В9_%Б 1 %80%В 1 %8Р%В0% В4

4. Метод экспоненциального сглаживания: 4апа1уйс8. Решения для бизнес-анализа. - Режим доступа: https://4analytics.ru/prognozirovanie/rn

5. Прогноз по методу экспоненциального сглаживания Хольта: 4апа1уйс8. Решения для бизнес-анализа. -Режим доступа: https://4analytics.ru/prognozirovanie/prognoz-po-metodu-eksponencialnogo-sglajivaniya-xolta.html

УДК 514.13

Т.А. Юрьева, А.П. Филимонова

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА МОНЖА - АМПЕРА

В МЕТРИКЕ Cm+2'a\S?)

В статье рассматривается доказательство существования априорных оценок решения дифференциального уравнения типа Монжа - Ампера в метрике Cm+2-a'(S?).

Ключевые слова: гиперболическое пространство, уравнение Монжа - Ампера, отрицательная эллиптичность, бельтрамиевы координаты.

В работе [1] мы ввели дифференциальное уравнение вида:

РпР22 ~ Pl2 ~ Pi 1 (20thP ' Pv + SHP ' СНР) + 2PnPuPvCtkP ~ P22 (20thP ' Pi + SHP ' CHP C0S2 V) "

2

~(pl cos2 v + )2 + 2pl+ 2pi cos2 v + sh2pcos2 v = cosv

- Kt{u,v,p) + Pi v + sh2p ■ cos2 v)2 _

COS V

здесь pn, pl2, p21 - вторые ковариантные производные функции p = p(u,v) относительно метрики единичной сферы Sf .

Напомним, что к данному уравнению приводит задача восстановления регулярной выпуклой гомеоморфной сфере (О - центр сферы, радиус равен 1), звездной относительно точки О поверхности F: р = р(и, v) в трехмерном пространстве Нъ постоянной отрицательной кривизны (пространство Лобачевского) по ее функции гауссовой кривизны. ¿Sf рассматривается как двумерное многообразие, атлас на ¿Sf выбран так, что в каждой его карте выполняется неравенство cosv>a>0; и, v — сферические координаты. Уравнение отрицательно эллиптично при условии Kint(u,v,p) = Ki(u,v,p) = Ki>-1 [1].

Исследование дифференциальных уравнений такого типа начинается с получения априорных оценок решения в соответствующей метрике. В работе [2] мы получили оценку решения р — p(u,v)

уравнения в метрике С°(5'12), то есть оценку самого решения.