CC BY
23
АППРОКСИМИРУЮЩИЕ ПРОФИЛИ ЦИРКУЛЯЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗАКРУЧЕННОГО ТЕЧЕНИЯ
APPROXIMATING PROFILES CIRCULATION CHARACTERISTICS SWIRLING FLOW
А.Л. Зуйков
A.L. Zuykov
ГОУ ВПО МГСУ
В статье рассматриваются радиальные распределения основных характеристик циркуляционного течения в цилиндрической трубе.
The article deals with the radial distribution of the main characteristics of the circulating flow in a cylindrical tube.
Для профиля тангенциальных скоростей (рис. 1) развитого турбулентного циркуляционного течения в цилиндрическом канале характерна радиальная зональность, когда воль радиуса вращение жидкости изменяется столь существенно, что допускает описание разными аппроксимирующими законами.
гЛЙ
dary layer Стй могКя
(palatial vertat)
fiï*xrrwm liji goitiil uflocUi point
fotted та(м (eigidWy roUt^a)
Рис. 1. «Классический» профиль тангенциальной скорости по Trinh C.M. [1]
Эти характерные особенности циркуляционного течения в 19-м веке заметил шотландский физик Уильям Ранкин и предложил модель радиального распределения тангенциальной скорости, известную ныне как составной вихрь Ранкина (Rankine vortex) [2]. В приосевой зоне составного вихря Ранкин предложил считать вращение жидкости твердым с постоянной угловой скоростью Q, при таком вращении распределение окружных скоростей по радиусу можно выразить равенством
u u
— = = Ll = const
для области
0 <r<r
а в периферийной зоне - потенциальным с постоянной циркуляцией Г ru = г и = Г = const для области rm <r <R,
(1)
(2)
здесь и и ит - тангенциальная скорость и ее максимальное значение в створе; г и гт текущий радиус и радиус, на котором и = ит; Я - радиус трубы.
r
m
r
m
Поскольку для периферийной зоны Г = RuR = rmum, то, сращивая решения (1) и (2) по радиусу r = rm, запишем Г = Qf^ . Тогда при нормировании окружных скоростей по
их максимальному значению um, а радиальной координаты - по rm, находим: u/um = r/rm при 0 <r/rm< \ и u/um = rm/r при r¡rm > 1. Вихрь Ранкина с таким радиальным распределением скоростей нанесен пунктиром на рис. 2.a. Надо сказать, что в диапазоне u < 0,8um этот вихрь соответствует экспериментальным данным. Если в качестве характерной принимается окружная скорость у стенки трубы uR, то получим: и/uR = rR¡r^ для области 0 < r/R <rm/R и u/uR = R/r для rm/R < r/R < 1. Этот вихрь показан на
рис. 2.6 сплошной тонкой линией. На рис. 2 точками показаны экспериментальные данные, собранные в работах [2] и [3].
г/г„
» ___ i \ it - - l)
Couet \\ te
bbb Batch V\ elor \
в. R ankine
r/R
0.0 0.2 0.4 О.б 0.8 l.0
l.0 0.8 0 .б 0.4 0.2 0.0
i )
Cou ette
Bur Batc gers hel r
Ran kine
и/и R
0.0
l.2
2.4
З.б
Рис. 2. Профили тангенциальных скоростей по: а - Vatistas G.H., Lin S., Kwok C.K. [2], б - Сабурову Э.Н., Карпову C.B., Осташеву С.И. [3]
В табл. 1 наряду с функцией радиального распределения тангенциальной скорости даны функции распределения других характеристик составного вихря Ранкина, производных от и. Также приведено расчетное значение числа закрутки Хигера-Бэра [4], полученное в результате интегрирования
M I pruv27W ■ dr
Sn = — = -, (3)
RI R\pv22wdr
где M и I - момент и количество движения циркуляционно-продольного течения, v -среднерасходная скорость.
Другой аппроксимирующей функцией является модифицированный вихрь Куэтта (modified Couette vortex)
и = u
r (R 2 + r )
R R(r2m HH Г 2 )'
(4)
5/2011 ВЕСТНИК
_МГСУ
Таблица 1
Характеристика Составной вихрь Ранкина Модифицированный вихрь Куэтта Свободно-вынужденный вихрь Бюргерса-Бэтчелора
Вынужденный вихрь Свободный вихрь
Диапазон 0<r<rm rm <r<R 0 <r < R 0 <r < R
Константы fi = Um/Tm Г rmum k\/k2 = (rm/R)2 a = Vj r2m = 1,25^ rl
Тангенциальная скорость и fir Г r U r(R2+ ^ URR(m+m R uR r 1- exp(- ar2) 1- exp(- aR2)
Максимальная скорость ит fir„ Г r m R uR r m 1 - exp(- rj)
2Rrm _1- exp(- aR2)
Угловая скорость П = и/г fi Г 2 r R2+ r2 u m RR{r2m+r2) R uR — 1_ exp(— ar2) 1 - exp(- aR2)
Циркуляция Г = ги fir2 Г u r2(R2+m R R{r2m+r2) „. л1" exP("ar2) R 1- exp(- aR2)
Вихрь скорости тл ЗГ го№ =- гдг 2fi 0 2u/m^' + £ R (r2m+r2f 2UrR fl-«4K^22) R 1- exp(- aR2)
Напряжения т ЗЛ ц дг 0 - 2 i 2 r2(R2 +r2) -2UrR _ 1- exp(- aR2) - (1 + ar 2)exp(-ar2)]
Центробежное ускорение] = иП. fi2r г2 3 r u2 ri^+rlf 2 R2 uR ~ 1-exp(ar2) 1-expfaR2)
Число * закрутки _ М Ьп =— ш r2 Ro(l--mT) 2R r2 R°d+^ 2 2 rr +-2Т1П( 7m .)] R2 R2+ r2 m RO 2 &" 1-exp(- aR2) 1-exp(-aR2)] aR2 J
здесь Ro = uR/v - число Россби.
Этому вихрю посвящена специальная работа [5], поэтому здесь мы не будем останавливаться на его анализе. Насколько формула (4) отражает реальную структуру циркуляционного течения, можно судить по рис. 2, где выполненные по ней расчетные кривые нанесены штриховыми линиями на экспериментальные точки многочисленных исследований. Как видим, модифицированным профилем Куэтта может быть описан любой вихрь от вынужденного до свободного, включая промежуточные формы. В дополнение формулы (4) в табл. 1 приведены функции других характеристик модифицированного вихря.
Третьей аппроксимацией является так называемый свободно-вынужден-ный вихрь Бюргерса-Бэтчелора (Burgers-Batchelor's vortex) [6, 7]
и — — [1 - ехр(-С2г2)]- (5)
г
Исключим константу С1, приняв на стенках трубы при г = Я скорость, равной и = иЯ, тогда
икЯ
C =
1- exp(- C2R2)
м = м Е1-
R r 1- exp(-C2R2)
Теперь найдем точку максимальной тангенциальной скорости (maximum tangential velocity point - рис. 1). Записывая условия максимума
я u Q 2 и
-= 0 и-_ < 0 , находим 1 + 2 ■q = exp( 77), (6)
8 r 8 r
где г/ = C2r2.
Тогда, принимая r = rm, далее следует, что q согласно (6) может быть только константой, имеющей значение
77 = C2rl = 1,2564312 ..., (7)
отсюда в результате
«=R Е1-) ] = 1 "p^256- 2/;m) ]. (8)
Rr L1-exp(-/7 R2/rm) r 1-exp(-1,256Ä ) W
Таким образом, исходная запись (5) с неизвестными свободно варьируемыми постоянными, приводится к (8) с численной константой г/ = 1,2564312... При этом радиус rm может принимать любое значение, кроме нуля, в том числе виртуальное, лежащее за пределами трубы rm/R > 1.
Найдем максимальное значение окружной скорости при r = rm R r 1- exp(-77) 0,715R
-h-;—= ur
т * г 11-exp(-l1R2|rlУ Ч[1-ехр(-1,256R2|r2m)]' с константой в числителе, равной 1 -ехр(-^) = 2?7/(1 + 2^) = 0,7153319...
На рис. 2 сплошной полужирной линией показаны расчетные кривые, соответствующие вихрю Бюргерса-Бэтчелора. Нам представляется, что имеющийся эмпирический материал не оставляет сомнений в том, что этот вихрь дает практически идеальную аппроксимацию экспериментальных данных.
Радиальное распределение других основных структурных характеристик циркуляционного течения, описываемого вихрем Бюргерса-Бэтчелора, а также вычисляемое при этом значение числа закрутки Бп приведены в табл. 1.
Поскольку рассмотренные составной вихрь Ранкина, модифицированный вихрь Куэтта и свободно-вынужденный вихрь Бюргерса-Бэтчелора (с приоритетом последнего) в целом верно отражают основные особенности циркуляционного течения, представляется целесообразным дать некоторые сопоставительные графики, полученные на основе этих трех моделей (рис. 3). На рис. 3.а графики представлены в наиболее обобщенном формате, когда нормирование окружной скорости производится по ее максимальному значению и/ит, а нормирование радиуса по его значению в точке максимума г/гт.
Sn/Ro
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Т—■—Г
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
m/R
Рис. 3. Сопоставительные характеристики аппроксимирующих профилей
Из рис. 3 видно, что все три аппроксимации в расчетах дают достаточно близкие результаты, причем вихрь Бюргерса-Бэтчелора, наиболее точно соответствующий экспериментальным данным, занимает некое среднее положение в отношении к двум другим моделям. Важно отметить, что по соотношению числа закрутки Хигера-Бэра Бп к числу Россби Яв можно судить о радиальном профиле циркуляционного течения. Так, вне зависимости от модели аппроксимации, в случае свободного (потенциального) вихря получаем: Бп/Яв = 1, а при профиле, соответствующем вынужденному (твердому) вихрю это соотношение снижается до Бп/Яв = 1/2. Таким образом, идентификация циркуляционного течения, позволяющая судить о его структуре, возможна, исходя из знания двух параметров Бп и Яв .
Литература
1. Trinh C.M. Turbulence modeling of confined swirling flows // Roskilde, Riso National Laboratory, 1998, Riso-R-647(EN).
2. Vatistas G.H., Lin S., Kwok C.K. An analytical and experimental study on the core-size and pressure drop across a vortex camber//AIAA Pap., 1984, 1548.
3. Сабуров Э.Н., Карпов C.B., Осташев С.И. Теплообмен и аэродинамика закрученного потока в циклонных устройствах. Л., Изд-во ЛГУ, 1989.
4. Зуйков А.Л. Критерии динамического подобия циркуляционных течений // Вестник МГСУ, 2010, №3, с. 106-112.
5. Зуйков АЛ. Модифицированный вихрь Куэтта // Вестник МГСУ, 2010, №4, с. 66-71.
6. Batchelor G.K. Axial flow in trailing line vortices // J. Fluid Mech., 1964, Vol. 20, №4, p. 645-658.
7. Burgers J.M. A mathematical model illustrating theory of turbulence // Adv. in Appl. Mech., 1948, №1, p. 171-199.
The literature
1. Trinh C.M. Turbulence modeling of confined swirling flows // Roskilde, Riso National Laboratory, 1998, Riso-R-647(EN).
2. Vatistas G.H., Lin S., Kwok C.K. An analytical and experimental study on the core-size and pressure drop across a vortex camber//AIAA Pap., 1984, 1548.
3. Saburov E.N., Karpov S.V., Ostashev S.I. Heat transfer and aerodynamics of swirling flow in
cyclone devices. Leningrad, Publishing House of Leningrad State University, 1989.
4. Zuykov A.L. Criteria of dynamic similarity of circulating currents // Bulletin MSUSE, 2010, №3, p. 106-112.
5. Zuykov A.L. Modified Couette vortex // Bulletin MSUSE, 2010, №4, p. 66-71.
6. Batchelor G.K. Axial flow in trailing line vortices // J. Fluid Mech., 1964, Vol. 20, №4, p. 645-658.
7. Burgers J.M. A mathematical model illustrating theory of turbulence // Adv. in Appl. Mech., 1948, №1, p. 171-199.
Ключевые слова: тангенциальные скорости, циркуляция, составной вихрь Ранкана, модифицированный вихрь Куэтта, свободно-вынужденный вихрь Бюргерса-Бэтчелора, число закрутки.
Key words: tangential velocity, circulation, composite Rankine vortex, modified Couette vortex, free-forced Burgers-Batchelor's vortex, swirl number.
e-mail автора: [email protected]
Рецензент: д.т.н., начальник отдела численных гидравлических исследований ЦГИ
ОАО «НИИЭС» В.В.Беликов
