Аппроксимация вейвлетного преобразования его гиперконечным аналогом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

АППРОКСИМАЦИЯ ВЕЙВЛЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕГО ГИПЕРКОНЕЧНЫМ АНАЛОГОМ

Марина Юрьевна Здоровенно, к. ф.-м. н., доцент Тел.: 8 953 673 9247, e-mail: zdorovenko.s@mail.ru Вятский государственный университет, г. Киров. http://www. vyatsu.ru

Методом нестандартного анализа изучается проблема табличной аппроксимации вейв-летного оператора его гиперконечным аналогом. В работе показано, что гиперконечный аналог вейвлет-преобразования является ограниченным оператором с единичной нормой и аппроксимирует стандартный непрерывный вейвлетный оператор.

Ключевые слова: вейвлет-преобразование, табличная аппроксимация, гиперконечномерный оператор.

Введение

Нестандартные методы анализа состоят в привлечении двух различных - «стандартной» и «нестандартной» - моделей теории множеств для исследования конкретных

математических объектов и проблем. Такие методы получили существенное развитие во второй половине XX века и сформировались в несколько направлений. Одно из этих направлений, основоположником которого является А. Робинсон, характеризуется широким использованием концепций, связанных с представлением об актуальных бесконечно больших и актуальных бесконечно малых величинах и называется инфи-нитезимальным анализом. Многие важные приложения инфи-нитезимального анализа к исследованию непрерывных и других бесконечных объектов основаны на «дискретном» моделировании последних. Речь идет о поиске конечномерных или конечных объектов, в той или иной форме бесконечно близких к исходным [1]. В частности, в работах [2, 3] изучалась проблема табличной аппроксимации оператора преобразования Фурье и свойства гиперконечного оператора преобразования Фурье. Однако Фурье-анализ оказывается малоэффективным для функций с локальными особенностями, для импульсных и цифровых сигналов и изображений,

С 80-х годов 20-го столетия развивается теория вейвлетного анализа, который является одним из методов интерполяции и аппроксимации функций с локальными особенностями (сигналов). Вейвлетный анализ является сегодня одним из самых перспективных методов анализа данных, В настоящее время происходит бурное развитие в областях техники, основанных на цифровой обработке сигналов. В связи с этим наиболее актуальными стали вопросы применения вейвлетного преобразования в задачах, связанных с обработкой информации, таких как очистка сигнала от помех, сжатие данных, выявление кратковременных и глобальных закономерностей, спектральный анализ составляющих сигнала, статистическая обработка, подавление избыточной информации, криптография, обработка мультимедийной информации - это лишь краткая сводка тех областей, где вейвлеты находят наиболее активное применение [4]. Для применения вычислительных методов в вейвлетном анализе актуальной становится проблема аппроксимации непрерывного оператора его дискретным аналогом. Этой проблеме посвящена данная работа.

Основные понятия и обозначения

В настоящей работе рассматривается вопрос гиперконечномерной аппроксимации вейвлетного преобразования

[ / ](а, Ь) = ■

|1/2

Я

| / (О-V — 1 = 1

1/2

■ I /(') -Vа,Ь ^) Ж

Я

для сигнала

и веивлета

/ (О £ ад

V(Г) £ ¿2(Я) п 4(Я),

обладающего свойством

лизе:

| v(t) ск = 0. Я

В работе используются следующие обозначения, принятые в нестандартном ана-

а «да - «число а бесконечно велико»; а « 0 - «число а бесконечно мало»; а <да - «число а конечно»;

st а - «стандартная часть гипердействительного числа а«,

* *

N, К - нестандартные расширения множеств натуральных и действительных чисел соответственно.

V

Для функции /: Я ^ Я ее нестандартное расширение обозначают через / . Далее в

*

статье вместо / будет использоваться просто / .

Пусть Ф д (/) - это таблица значений функции /^) в узлах сетки (М)М=_М с шагом Д по переменной t на отрезке [_АА], то есть •д (/) = ( / (Д к)

Ф,

к = _ М; М

где Д = А /М . Размер полученной таблицы равен N = 2М + 1. Через Зд (N) обозначается пространство таблиц Р размера N, Р = {р(к)| к = _М;М^ .

Для таблиц Р и О из Зд (N) определяется скалярное произведение и нор-

мы

11рд

по формулам:

М

(Р, О д = д- IР (к) • О (к),

Л

рд

к=_ М ( М ^Р

д- IР(к)|Р

I к=_М

если 1 < р < да ,

и

Р . = тах Пдад

{ Р(к)

к = _ М; М

В случае, когда число N бесконечно велико, то есть N £ *N \ N, через Ерд (N) обозначается подпространство конечных элементов изЗд(N). Если NeN, тоЕрд(^) -пространство таблиц Зд (N) с нормой Ц-Црд .

Известно, что для функций, интегрируемых по Риману в любом конечном промежутке и обладающих свойством

1

а

а

}

Нш

с^да И^0

И. X f И) + f (-vh)

с

у>— И

= 0

(1)

при А « 0, М е N \ N, АМ « да , имеет место равенство:

( М Л If(х)ах = 81 А. Xf(Аk) . и V к=-М )

Аналогичное равенство имеет место для функций из Ь1 (И), удовлетворяющих

аналогу условия (1). Обозначим множество таких функций через р, а множество

функций, для которых У ер, обозначим через Рр.

Для линейного ограниченного оператора А: Ьр (И) ^ Ьд (И) определим множество

£А таких функций из рр, образ которых А[/] попадает в рд , то есть

Ба = {/ е Ьр (И )||/\е рр ;| А[/]| ерд }.

Определение \:Пустъ положительные числа А, А! из И и число N такие,

что

А « 0, А1 « 0; N е N \ N АN «да, А1N «да. (2)

Аа : ЕрА (N) ^ Еда1 (N) - внутренний гиперконечномерный оператор с конечной нормой; А : Ьр (И) ^ Ьд (И) - линейный ограниченный оператор такой, что множество Б а плотно в пространстве Ьр (И). Говорят, что оператор А а аппроксимирует оператор А, если для любой функции / из Ба

Аа [Фа (У)]-ФА1( А [ У ])

дА1

0.

(3)

Указанное определение означает коммутативность диаграммы:

У

I ФА Фа [У ]

А

Аа

А[/] I ФА1 Аа (ФА [У ])

Гордон Е.И. доказал критерий аппроксимируемости [1]:

Пусть существует такое множество 0 с Ба , что его линейная оболочка Ь (6) плотна в Ьр (И), и для всякой функции / из 6 имеет место соотношение (3) при выполнении условий (4). Тогда оператор А а аппроксимирует оператор А .

1. Гиперконечный оператор вейвлетного преобразования

Пусть - таблица значений исследуемой функции У в точках Ак т. е. ^ = Фа(У) . Рассмотрим конечное вейвлетное преобразование:

WA [ F ](a, b) = Д-

il/2 a\ m=-M

MF ( ) (Дт - b L F (m)-vi

V a

(4)

В качестве дискретизации по переменным (а, Ь) вейвлетного преобразования (4) применяются стандартные представления этих величин в дискретном вейвлетном преобразовании:

а = аг; Ь = краг г, к е Z, а, ре К, а> 1.

Таким образом, рассматривается конечное дискретное вейвлетное преобразование:

1 м

Wд [ Р ](г, к) = д---— • I Р(га) г, к)

где г,к) - элемент таблицы

а

1/2

m=-M

Дт - ¿pa

а

т, г, к = -M ;M > .

Когда д « 0, М « да, такое преобразование называется гиперконечным дискретным вейвлет-преобразованием.

Рассмотрим гиперконечное дискретное вейвлетное преобразование когда числа

д и N = 2М+1 удовлетворяют условиям:

2 (5)

Д « 0; N £ N \ N; ДЫ «ю, Д2N .

В этом случае норма образа сигнала / определяется по формуле

|^д[ f ]| ИШХ

г,к

M

Д-

а

1/2

L F (т) - ¥(т, г, к)

m=-M

(6)

Поскольку модуль суммы конечного (и, в силу принципа переноса в нестандартном анализе, гиперконечного) числа слагаемых не превосходит суммы модулей этих слагаемых, то выражение (6) не больше чем величина

maxi

г,к

Д-

1

M

а

1/2

L |F(m) ¥(m, г, к)

m=-M

(7)

Неравенство Гельдера дает верхнюю оценку для выражения (7):

тах

г,к

а

1/2 II 112Д

( M _,

Д L г, к) V m=-M

\1/2

Заметим, что норма || Р ^д таблицы Р не зависит от (г, к) , поэтому справедливо неравенство

W [F1 „

112 Д

■ < max

г ,к

1/2

( M _

Д L ^ (т, г, к) V т=-M

\1 / 2

1

1

1

1

2

г

а

Простые расчеты показывают, что при каждом фиксированном наборе (г, к)

норма таблицы < ¥ > равна

1

с

1/2

, поскольку |

( х-I ¥\-

х - Ь

Щ

а

ах = 8г

V а

М

Лх = а|Щ|2 и

А-Х

т=-М

( Дт - ЬЛ

а

2Л

В результате получаем, что| ^д||< 1. Отсюда справедливо следующее утверждение:

Предложение 1: При выполнении условий (5) гиперконечный оператор дискретного вейвлетного преобразования Wд [¥](г, к) ограничен и его норма не превосходит единицы.

2. Аппроксимация вейвлет-преобразования его конечномерным аналогом.

Сравним таблицу для дискретного преобразования вейвлета с таблицей для гиперконечного преобразования вейвлета:

т = ( Wщ[ У ](г, к)

г = -Я, Я,-к = -К, К) =

Н —ш-I У«-щ

сг и

г - крсг

Ж

__1 М _

Т = ( WА [ ¥ ](г, к) |г = - Я, Я, к = - К, К) = ( А-— - X ¥ (т) ¥ (т, г, к) )

с

т=- М

Для сравнения рассмотрим норму разности этих двух таблиц:

Т - Т

= шах{ Т(г,к)-Т(г,к) г = -Я;Я, к = -К;К}.

Для этого зафиксируем произвольный набор чисел (г,к) и рассмотрим разность соответствующих элементов таблиц:

Т(г, к) - Т(г, к) =

( __Л

1

с

172 -IУ«)-Щ

И

г - крсг

с

Л -д-

1

М

с

1/2

X ¥ (т) -¥(т, г, к)

т=-М

(8)

Поскольку

IУ (г) -щ

И

(г - квсг Л (М+1)А

с

г

Л г Л

V )

М (т+1)д

Л = I У (г) -Щ

-МА

г - крс'

с

Л =

= X I У (г)-щ

т=-М тД

г - крс'

Л:

то разность (8) можно представить в виде суммы интегралов разностей:

с

1/2

М (т+1)Д(

X I

т=-М тА

У (г) -щ

(г - крсгЛ

V с )

- У (Ат) - Щ

Ат - крсг

с

/

Л

Л

) )

Рассматривая подынтегральное выражение для г е [Дт; А(т +1)] заметим, что

г

V ст )

г

с

1

Л Л

/(г) -у

г - кра'

-1 (Ада) -V

Т-^

Гг - краг Л

V а У

V а J

+

+

Л .с Л

г - кра'

-/ (Ат) - V

П

-((г) -1 (Ат)) + / (Ада) -

V а J

V

г - краГ ^ Г Ат - краг

V

V а J

а

Обозначим через 81 и 82 следующие разности:

В1 = (/ (г) -/ (Ат)),

82 =

V

г - кваг Л Г Ат - кра' Л

а

V

а

Пусть ее И, 8 > 0. Заметим, что если сигнал и вейвлет являются непрерывными

функциями, то при А « 0 , величины 81 и 82 не превосходят 8 (81 <е; 8 2 <8 ), а подынтегральное выражение

можно оценить сверху величиной

г - кра'

V

г - кра

V а /

81 + / (Ат) -82

<8

V

V а У

+ 8

\/(Ат)|

Учитывая последнее неравенство, получим верхнюю оценку для интеграла (8) в

виде

а

1/2

М (т+1)А

Е !

т=-М тА

(

81- V

г - кра'

а

+ /(Ат) -82

йг

(9)

Если учесть, что вейвлет V(г) е ¿2(И) п И), и он вещественнозначный, а также допустить, что сигнал /(г) е ¿2(И) п И), то выражение (9) можно оценить сверху величиной

1

1/2

а

г Гг - кра'] Л

8-1 V йг + 8^1 1а

V К V а У У

1

а

1/2

-М V

111А

1-1 и

(10)

Так как величина (II ш!. +11 — 11, А) постоянна, множитель 1 также постоянен при

|11А 11 "1А/ ,1/2

фиксированном Г, то выражение (10) по абсолютной величине меньше любого наперед заданного положительного стандартного 8 , т.е. выражение (10) является бесконечно малым.

В результате получим, что |т(г, к) - Т(г, к)| « 0 для произвольных (г, к), откуда

II т - ТII « 0.

Приведенные рассуждения доказывают справедливость следующего утверждения:

1

ст

х>

Предложение 2: Если выполнены условия (5), то оператор аппроксимирует

оператор W, в том смысле, что W^[Фд(/)]- Фд(W,[f])

0.

Сформулированное предложение означает коммутативность диаграммы:

/

i фд

Фд [ / ]

W,

f ] i Фд1

^д (Фд [ / ])

Данная теорема показывает, что непрерывное вейвлет-преобразование (1) можно аппроксимировать гиперконечным дискретным преобразованием при указанных выше условиях, налагаемых на сигнал, вейвлет и шаг дискретизации. На стандартном языке

2

это означает, что при выполнении условий: АМ ^ да и А М ограничено.

(

lim

д^о

M ^ю

M

д-

|1/2

a m=-M

X f (Am)

дт - к$а1

а

11 /2

J f (t)— I dt.

R

то есть вместо непрерывного сигнала можно взять таблицу его значений при достаточной мелкой сетке, а непрерывное вейвлетное преобразование заменить его конечномерным аналогом. При этом расхождение в результатах будет невелико.

Интересным является вопрос о восстановлении сигнала У по его образу при конечномерном вейвлетном преобразовании, однако этот вопрос пока не изучен.

Литература

1. Гордон Е.И. Инфинитезимальный анализ. В 2 ч. Ч. 2 / Е.И. Гордон, А.Г. Кусраев, С.С. Кутателадзе. - Новосибирск: изд-во Ин-та математики, 2001. - 247 с.

2 Гордон Е.И. О преобразовании Фурье в нестандартном анализе // Изв. вузов. Математика. 1989. №2. С. 17-25.

3. Здоровенко М.Ю. О гиперконечной аппроксимации преобразования Фурье // Деп. в ВИНИТИ.1994. № 691. В. 94. - 10 с.

4. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике / В.П. Дьяконов. - М.: Солон-Р, 2002. - 448 с.

ю

1

1

a

Approximation of wavelet operator by its hyperfinite analogy

Marina Yur'evna Zdorovenko, Ph.D., associate Professor Vyatka State University, Kirov .

The article deals with the problem of approximation of wavelet operator by its hyperfinite analogy. This problem is studied by the method of the non-standard analysis. It is proved that the hyperfinite wavelet operator is a bounded operator, its norm is less ore equal to 1 and this operator approximates the continuous wavelet operator.

Keywords: wavelet operator, tabular approximation, hyperfinite operator .

УДК 28.17.19

МАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ГРУППЫ КРОВИ У РЕБЁНКА В СИСТЕМЕ АВ0

Виктор Григорьевич Кирий, профессор Тел.:(3952)405107,е-та11:кту@18Ш.еёи Иркутский государственный технический университет, г. Иркутск