CC BY
53
УДК 519.6
АППРОКСИМАЦИЯ ВЕЙВЛЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕГО ГИПЕРКОНЕЧНЫМ АНАЛОГОМ
Марина Юрьевна Здоровенно, к. ф.-м. н., доцент Тел.: 8 953 673 9247, e-mail: [email protected] Вятский государственный университет, г. Киров. http://www. vyatsu.ru
Методом нестандартного анализа изучается проблема табличной аппроксимации вейв-летного оператора его гиперконечным аналогом. В работе показано, что гиперконечный аналог вейвлет-преобразования является ограниченным оператором с единичной нормой и аппроксимирует стандартный непрерывный вейвлетный оператор.
Ключевые слова: вейвлет-преобразование, табличная аппроксимация, гиперконечномерный оператор.
Введение
Нестандартные методы анализа состоят в привлечении двух различных - «стандартной» и «нестандартной» - моделей теории множеств для исследования конкретных
математических объектов и проблем. Такие методы получили существенное развитие во второй половине XX века и сформировались в несколько направлений. Одно из этих направлений, основоположником которого является А. Робинсон, характеризуется широким использованием концепций, связанных с представлением об актуальных бесконечно больших и актуальных бесконечно малых величинах и называется инфи-нитезимальным анализом. Многие важные приложения инфи-нитезимального анализа к исследованию непрерывных и других бесконечных объектов основаны на «дискретном» моделировании последних. Речь идет о поиске конечномерных или конечных объектов, в той или иной форме бесконечно близких к исходным [1]. В частности, в работах [2, 3] изучалась проблема табличной аппроксимации оператора преобразования Фурье и свойства гиперконечного оператора преобразования Фурье. Однако Фурье-анализ оказывается малоэффективным для функций с локальными особенностями, для импульсных и цифровых сигналов и изображений,
С 80-х годов 20-го столетия развивается теория вейвлетного анализа, который является одним из методов интерполяции и аппроксимации функций с локальными особенностями (сигналов). Вейвлетный анализ является сегодня одним из самых перспективных методов анализа данных, В настоящее время происходит бурное развитие в областях техники, основанных на цифровой обработке сигналов. В связи с этим наиболее актуальными стали вопросы применения вейвлетного преобразования в задачах, связанных с обработкой информации, таких как очистка сигнала от помех, сжатие данных, выявление кратковременных и глобальных закономерностей, спектральный анализ составляющих сигнала, статистическая обработка, подавление избыточной информации, криптография, обработка мультимедийной информации - это лишь краткая сводка тех областей, где вейвлеты находят наиболее активное применение [4]. Для применения вычислительных методов в вейвлетном анализе актуальной становится проблема аппроксимации непрерывного оператора его дискретным аналогом. Этой проблеме посвящена данная работа.
Основные понятия и обозначения
В настоящей работе рассматривается вопрос гиперконечномерной аппроксимации вейвлетного преобразования
[ / ](а, Ь) = ■
|1/2
Я
| / (О-V — 1 = 1
1/2
■ I /(') -Vа,Ь ^) Ж
Я
для сигнала
и веивлета
/ (О £ ад
V(Г) £ ¿2(Я) п 4(Я),
обладающего свойством
лизе:
| v(t) ск = 0. Я
В работе используются следующие обозначения, принятые в нестандартном ана-
а «да - «число а бесконечно велико»; а « 0 - «число а бесконечно мало»; а <да - «число а конечно»;
st а - «стандартная часть гипердействительного числа а«,
* *
N, К - нестандартные расширения множеств натуральных и действительных чисел соответственно.
V
Для функции /: Я ^ Я ее нестандартное расширение обозначают через / . Далее в
*
статье вместо / будет использоваться просто / .
Пусть Ф д (/) - это таблица значений функции /^) в узлах сетки (М)М=_М с шагом Д по переменной t на отрезке [_АА], то есть •д (/) = ( / (Д к)
Ф,
к = _ М; М
где Д = А /М . Размер полученной таблицы равен N = 2М + 1. Через Зд (N) обозначается пространство таблиц Р размера N, Р = {р(к)| к = _М;М^ .
Для таблиц Р и О из Зд (N) определяется скалярное произведение и нор-
мы
11рд
по формулам:
М
(Р, О д = д- IР (к) • О (к),
Л
рд
к=_ М ( М ^Р
д- IР(к)|Р
I к=_М
если 1 < р < да ,
и
Р . = тах Пдад
{ Р(к)
к = _ М; М
В случае, когда число N бесконечно велико, то есть N £ *N \ N, через Ерд (N) обозначается подпространство конечных элементов изЗд(N). Если NeN, тоЕрд(^) -пространство таблиц Зд (N) с нормой Ц-Црд .
Известно, что для функций, интегрируемых по Риману в любом конечном промежутке и обладающих свойством
1
а
а
}
Нш
с^да И^0
И. X f И) + f (-vh)
с
у>— И
= 0
(1)
при А « 0, М е N \ N, АМ « да , имеет место равенство:
( М Л If(х)ах = 81 А. Xf(Аk) . и V к=-М )
Аналогичное равенство имеет место для функций из Ь1 (И), удовлетворяющих
аналогу условия (1). Обозначим множество таких функций через р, а множество
функций, для которых У ер, обозначим через Рр.
Для линейного ограниченного оператора А: Ьр (И) ^ Ьд (И) определим множество
£А таких функций из рр, образ которых А[/] попадает в рд , то есть
Ба = {/ е Ьр (И )||/\е рр ;| А[/]| ерд }.
Определение \:Пустъ положительные числа А, А! из И и число N такие,
что
А « 0, А1 « 0; N е N \ N АN «да, А1N «да. (2)
Аа : ЕрА (N) ^ Еда1 (N) - внутренний гиперконечномерный оператор с конечной нормой; А : Ьр (И) ^ Ьд (И) - линейный ограниченный оператор такой, что множество Б а плотно в пространстве Ьр (И). Говорят, что оператор А а аппроксимирует оператор А, если для любой функции / из Ба
Аа [Фа (У)]-ФА1( А [ У ])
дА1
0.
(3)
Указанное определение означает коммутативность диаграммы:
У
I ФА Фа [У ]
А
Аа
А[/] I ФА1 Аа (ФА [У ])
Гордон Е.И. доказал критерий аппроксимируемости [1]:
Пусть существует такое множество 0 с Ба , что его линейная оболочка Ь (6) плотна в Ьр (И), и для всякой функции / из 6 имеет место соотношение (3) при выполнении условий (4). Тогда оператор А а аппроксимирует оператор А .
1. Гиперконечный оператор вейвлетного преобразования
Пусть - таблица значений исследуемой функции У в точках Ак т. е. ^ = Фа(У) . Рассмотрим конечное вейвлетное преобразование:
WA [ F ](a, b) = Д-
il/2 a\ m=-M
MF ( ) (Дт - b L F (m)-vi
V a
(4)
В качестве дискретизации по переменным (а, Ь) вейвлетного преобразования (4) применяются стандартные представления этих величин в дискретном вейвлетном преобразовании:
а = аг; Ь = краг г, к е Z, а, ре К, а> 1.
Таким образом, рассматривается конечное дискретное вейвлетное преобразование:
1 м
Wд [ Р ](г, к) = д---— • I Р(га) г, к)
где г,к) - элемент таблицы
а
1/2
m=-M
Дт - ¿pa
а
т, г, к = -M ;M > .
Когда д « 0, М « да, такое преобразование называется гиперконечным дискретным вейвлет-преобразованием.
Рассмотрим гиперконечное дискретное вейвлетное преобразование когда числа
д и N = 2М+1 удовлетворяют условиям:
2 (5)
Д « 0; N £ N \ N; ДЫ «ю, Д2N .
В этом случае норма образа сигнала / определяется по формуле
|^д[ f ]| ИШХ
г,к
M
Д-
а
1/2
L F (т) - ¥(т, г, к)
m=-M
(6)
Поскольку модуль суммы конечного (и, в силу принципа переноса в нестандартном анализе, гиперконечного) числа слагаемых не превосходит суммы модулей этих слагаемых, то выражение (6) не больше чем величина
maxi
г,к
Д-
1
M
а
1/2
L |F(m) ¥(m, г, к)
m=-M
(7)
Неравенство Гельдера дает верхнюю оценку для выражения (7):
тах
г,к
а
1/2 II 112Д
( M _,
Д L г, к) V m=-M
\1/2
Заметим, что норма || Р ^д таблицы Р не зависит от (г, к) , поэтому справедливо неравенство
W [F1 „
112 Д
■ < max
г ,к
1/2
( M _
Д L ^ (т, г, к) V т=-M
\1 / 2
1
1
1
1
2
г
а
Простые расчеты показывают, что при каждом фиксированном наборе (г, к)
норма таблицы < ¥ > равна
1
с
1/2
, поскольку |
( х-I ¥\-
х - Ь
Щ
а
ах = 8г
V а
М
Лх = а|Щ|2 и
А-Х
т=-М
( Дт - ЬЛ
а
2Л
В результате получаем, что| ^д||< 1. Отсюда справедливо следующее утверждение:
Предложение 1: При выполнении условий (5) гиперконечный оператор дискретного вейвлетного преобразования Wд [¥](г, к) ограничен и его норма не превосходит единицы.
2. Аппроксимация вейвлет-преобразования его конечномерным аналогом.
Сравним таблицу для дискретного преобразования вейвлета с таблицей для гиперконечного преобразования вейвлета:
т = ( Wщ[ У ](г, к)
г = -Я, Я,-к = -К, К) =
Н —ш-I У«-щ
сг и
г - крсг
Ж
__1 М _
Т = ( WА [ ¥ ](г, к) |г = - Я, Я, к = - К, К) = ( А-— - X ¥ (т) ¥ (т, г, к) )
с
т=- М
Для сравнения рассмотрим норму разности этих двух таблиц:
Т - Т
= шах{ Т(г,к)-Т(г,к) г = -Я;Я, к = -К;К}.
Для этого зафиксируем произвольный набор чисел (г,к) и рассмотрим разность соответствующих элементов таблиц:
Т(г, к) - Т(г, к) =
( __Л
1
с
172 -IУ«)-Щ
И
г - крсг
с
Л -д-
1
М
с
1/2
X ¥ (т) -¥(т, г, к)
т=-М
(8)
Поскольку
IУ (г) -щ
И
(г - квсг Л (М+1)А
с
г
Л г Л
V )
М (т+1)д
Л = I У (г) -Щ
-МА
г - крс'
с
Л =
= X I У (г)-щ
т=-М тД
г - крс'
Л:
то разность (8) можно представить в виде суммы интегралов разностей:
с
1/2
М (т+1)Д(
X I
т=-М тА
У (г) -щ
(г - крсгЛ
V с )
- У (Ат) - Щ
Ат - крсг
с
/
Л
Л
) )
Рассматривая подынтегральное выражение для г е [Дт; А(т +1)] заметим, что
г
V ст )
г
с
1
Л Л
/(г) -у
г - кра'
-1 (Ада) -V
Т-^
Гг - краг Л
V а У
V а J
+
+
Л .с Л
г - кра'
-/ (Ат) - V
П
-((г) -1 (Ат)) + / (Ада) -
V а J
V
г - краГ ^ Г Ат - краг
V
V а J
а
Обозначим через 81 и 82 следующие разности:
В1 = (/ (г) -/ (Ат)),
82 =
V
г - кваг Л Г Ат - кра' Л
а
V
а
Пусть ее И, 8 > 0. Заметим, что если сигнал и вейвлет являются непрерывными
функциями, то при А « 0 , величины 81 и 82 не превосходят 8 (81 <е; 8 2 <8 ), а подынтегральное выражение
можно оценить сверху величиной
г - кра'
V
г - кра
V а /
81 + / (Ат) -82
<8
V
V а У
+ 8
\/(Ат)|
Учитывая последнее неравенство, получим верхнюю оценку для интеграла (8) в
виде
а
1/2
М (т+1)А
Е !
т=-М тА
(
81- V
г - кра'
а
+ /(Ат) -82
йг
(9)
Если учесть, что вейвлет V(г) е ¿2(И) п И), и он вещественнозначный, а также допустить, что сигнал /(г) е ¿2(И) п И), то выражение (9) можно оценить сверху величиной
1
1/2
а
г Гг - кра'] Л
8-1 V йг + 8^1 1а
V К V а У У
1
а
1/2
-М V
111А
1-1 и
(10)
Так как величина (II ш!. +11 — 11, А) постоянна, множитель 1 также постоянен при
|11А 11 "1А/ ,1/2
фиксированном Г, то выражение (10) по абсолютной величине меньше любого наперед заданного положительного стандартного 8 , т.е. выражение (10) является бесконечно малым.
В результате получим, что |т(г, к) - Т(г, к)| « 0 для произвольных (г, к), откуда
II т - ТII « 0.
Приведенные рассуждения доказывают справедливость следующего утверждения:
1
ст
х>
Предложение 2: Если выполнены условия (5), то оператор аппроксимирует
оператор W, в том смысле, что W^[Фд(/)]- Фд(W,[f])
0.
Сформулированное предложение означает коммутативность диаграммы:
/
i фд
Фд [ / ]
W,
f ] i Фд1
^д (Фд [ / ])
Данная теорема показывает, что непрерывное вейвлет-преобразование (1) можно аппроксимировать гиперконечным дискретным преобразованием при указанных выше условиях, налагаемых на сигнал, вейвлет и шаг дискретизации. На стандартном языке
2
это означает, что при выполнении условий: АМ ^ да и А М ограничено.
(
lim
д^о
M ^ю
M
д-
|1/2
a m=-M
X f (Am)
дт - к$а1
а
11 /2
J f (t)— I dt.
R
то есть вместо непрерывного сигнала можно взять таблицу его значений при достаточной мелкой сетке, а непрерывное вейвлетное преобразование заменить его конечномерным аналогом. При этом расхождение в результатах будет невелико.
Интересным является вопрос о восстановлении сигнала У по его образу при конечномерном вейвлетном преобразовании, однако этот вопрос пока не изучен.
Литература
1. Гордон Е.И. Инфинитезимальный анализ. В 2 ч. Ч. 2 / Е.И. Гордон, А.Г. Кусраев, С.С. Кутателадзе. - Новосибирск: изд-во Ин-та математики, 2001. - 247 с.
2 Гордон Е.И. О преобразовании Фурье в нестандартном анализе // Изв. вузов. Математика. 1989. №2. С. 17-25.
3. Здоровенко М.Ю. О гиперконечной аппроксимации преобразования Фурье // Деп. в ВИНИТИ.1994. № 691. В. 94. - 10 с.
4. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике / В.П. Дьяконов. - М.: Солон-Р, 2002. - 448 с.
ю
1
1
a
Approximation of wavelet operator by its hyperfinite analogy
Marina Yur'evna Zdorovenko, Ph.D., associate Professor Vyatka State University, Kirov .
The article deals with the problem of approximation of wavelet operator by its hyperfinite analogy. This problem is studied by the method of the non-standard analysis. It is proved that the hyperfinite wavelet operator is a bounded operator, its norm is less ore equal to 1 and this operator approximates the continuous wavelet operator.
Keywords: wavelet operator, tabular approximation, hyperfinite operator .
УДК 28.17.19
МАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ГРУППЫ КРОВИ У РЕБЁНКА В СИСТЕМЕ АВ0
Виктор Григорьевич Кирий, профессор Тел.:(3952)405107,е-та11:кту@18Ш.еёи Иркутский государственный технический университет, г. Иркутск
