Аппроксимация снизу систем дифференциальных включений некоторого вида с медленными и быстрыми переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК 517.928 Е.В. Соколовская

АППРОКСИМАЦИЯ СНИЗУ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ НЕКОТОРОГО ВИДА С МЕДЛЕННЫМИ И БЫСТРЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Доказана теорема об аппроксимации снизу систем дифференциальных включений некоторого вида с медленными и быстрыми переменными и односторонне липшицевой правой частью. От отображения из правой части усреднённого дифференциального включения не требуется даже условия односторонней лип-шицевости по фазовым переменным.

1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных включений:

х е /л¥(г, х, у, ц), х(0) = х0, у е 0) + ^(г, х, у, ц), у(0) = уо

с медленными (х) и быстрыми (у) переменными. Здесь отображения ¥ и в действуют из К+ хКшх х х [0, а] в Ки(Кш), Ки(Ки) соответственно; Ки(Кр) — совокупность всех непустых выпуклых компактов в евклидовом пространстве с евклидовой нормой || • || и скалярным произведением

•), л е [0, а] (а > 0) — малый параметр; К+ = [0, +гс>); в0 е Ки(Ки).

Наряду с исходной задачей (1) рассмотрим задачу Коши для более простого дифференциального включения (так называемую усреднённую задачу)

и е ц¥0(г, и), и(0) = х0, (2)

в которой отображение ¥0 : К+ х ^ Ки(Кш).

Предполагается, что правые части исходной и усреднённой задач (1) и (2) связаны естественным для задач аппроксимации условием близости средних от отображений ¥ и ¥0. Как и в случае исходной задачи общего вида:

х е ц¥ (г, х, у, л), х (0) = х0,

у е в (г, х, у, л), у (0) = у0 (3)

lim в

Д^оо

это условие близости средних от ¥ и Fo формулируется так [1]:

f to+Д to+Д

Д J ¥o(t, <o) dt, U Д J ¥(t, <0, 0) dt =0 (4)

V to n to J

равномерно по (to, <o, no) на R+ xRm x Rn; здесь в(A, B) = supp(a, B) — полуотклонение по Хаусдорфу

azA

множества A от множества B. Объединение берётся по всем решениям n(t) дифференциального включения из порождающей задачи, получающейся из исходной при ц = o; для задачи (1) порождающая задача имеет следующий вид:

< = o, <(to) = <o,

п е Go, n(to)= no-

Определение ([1, с. 25]). Говорят, что задача (2) аппроксимирует снизу исходную задачу (3), если для любого е > 0 существует Л0 > 0 такое, что при всех л е (0, Л0] для любого решения Цц(г) задачи (2) найдётся решение (х^(г), у^(г)) исходной задачи (3) такое, что для всех г е справедливо неравенство ||хл(г) - ил(г)|| < е.

o. i

Для задач (3) и (2) вопрос об аппроксимации снизу в предположении липшицевости отображений ¥, О и ¥0 по (х, у) и по и соответственно был рассмотрен в работе [1].

В настоящей работе рассматривается вопрос об аппроксимации снизу задачи (1) задачей (2). При этом условие липшицевости по (х, у) отображений ¥ и О из правых частей включений исходной задачи (1) заменяется на более слабое условие односторонней липшицевости (OSL) по х и по у соответственно. При выполнении этого и некоторых других условий на отображения ¥,

О и ¥0 как обычных для задач аппроксимации, так и новых, в работе доказана теорема об аппроксимации снизу исходной задачи (1) усреднённой задачей (2). При этом от отображения ¥0 из правой части дифференциального включения усреднённой задачи не требуется выполнения даже условия односторонней липшицевости. Заметим, что в случае, когда односторонне лип-шицевы по (х, у) отображения ¥ и О из задачи (3) не зависят от малого параметра л, аппроксимация снизу задачи (3) усреднённой задачей (2) следует из результата работы [2], доказанного при некоторых дополнительных ограничениях на правую часть усреднённой задачи.

Условие OSL для многозначных отображений появилось впервые в работе [3]. В случае отображения Е: К+ х Кт ^ К(Кт) условие OSL формулируется так: существует локально интегрируемая по Лебегу на К+ функция Ье : К+ ^ К+ такая, что для любых х1, х2 е Кт, для любого г е К+ и для любого и е Е(г, х1) найдётся элемент ш е Е(г, х2), для которого выполняется неравенство:

х - х2, и - ш) ^ Ье (г) • ||х1 - х2|| .

При доказательстве основного результата настоящей работы существенно используется теорема Деймлинга о существовании решений задачи Коши для дифференциальных включений с полунепрерывной сверху правой частью. В ней идёт речь о задаче Коши

х е Н(г, х), х(0) = х0, (5)

в которой отображение Н, определённое на [0, Т] х Ю (Ю — замкнутое множество в Кт), имеет своими значениями замкнутые выпуклые множества в Кт.

Теорема([4, с. 58]).. Пусть для Н выполняется:

а) Н(г, х) измеримо по г на [0, Т] для любого х е Ю;

б) Н(г, х) полунепрерывно сверху по х на Ю для любого г е [0, Т];

в) ||Н (г, х)||^ с (г) • (1 + ||х ||) на [0, Т] х Ю с интегрируемой по Лебегу на [0, Т] функцией с (г);

г) Н(г, х)ПТЮ(х) —непустое множество на [0, Т) х Ю, где ТЮ(х) = •<у е Шт : Цш р(х+^у’Д) =0^

I А-+0 >

Ух е Ю.

Тогда задача (5) имеет решение на [0, Т] для любого х0 е Ю.

Среди принятых в работе обозначений отметим два: ЬА(К+) и ше(3); остальные обозначения — общепринятые. ЬА(К+) — класс локально интегрируемых на К+ по Лебегу функций Л: К+ ^ К+, для которых найдутся константы сд и Дд такие, что при всех Д > Дд для каждого

1 г0+Д

г0 е К+ выполняется неравенство д / Л(г)йг ^ сд. ше(3) — модуль непрерывности многозначного

г0

отображения Е: Кт ^ К(Кт); напомним, что модуль непрерывности многозначного отображения

определяется равенством ше (3)= 8ир а(Е (х1), Е (х2)), где а (А, В) = шах{ в( А, В), в(В, А)} —

х1, х2еКт :||х1-х2||«5

отклонение по Хаусдорфу множества А от множества В.

2. Основной результат. Пусть для отображений ¥, О и ¥0 из правых частей задач (1) и (2) выполнены следующие условия:

1) ¥, О и ¥0 измеримы по г на К+ для любых (х, у, л) е Кт х х [0, а] и для любого и е Кт

соответственно;

2) ¥, О и ¥0 интегрально ограничены функциями Л¥(•), Ло(•), Л-¥0(0 е ЬА(К+), т. е.

||¥(г, х, у, л)|| ^ Л¥(г), ||0(г, х, у, л)|| ^ Л0(г) У(г, х, у, л) е К+ х Кт х х [0, а],

||¥0(г, и)||^ Л¥0(г) У(г, и) е К+ х Кт;

3) для ¥ и ¥0 выполняется условие близости средних (4);

4) модуль непрерывности ш¥ ◦ (г, 3) отображения ¥°(г, х, у) = ¥ (г, х, у, 0) по (х, у) и модуль непрерывности Ш¥0(г, 3) отображения ¥0(г, и) по и допускают следующие оценки:

ш¥◦ (г, 3) ^ а¥(г) • п¥(г,3), ш¥0(г, 3) ^ ст¥0(г) • п¥0(г, 3)

с положительными функциями Of (•), О ¥o (•) е LA(R+) и неотрицательными функциями П¥, П ¥o, стремящимися к нулю при S ^ +o равномерно по t на R+;

5) для отображения ¥(t, x, y, i) выполняется оценка

a[¥(t, x, y, i), ¥(t, x, y, o)) ^ o¥(t) • v¥(t, x, y, i) V(t, x, y, i) е R+ x Rm x Rn x [o, a]

с неотрицательной функцией vf, стремящейся к нулю при i ^ o равномерно по (t, x, y) на R+ x

X Rm x Rn;

6) отображение G полунепрерывно сверху по (x, y) на Rm x Rn при каждых фиксированных

i е (o, a] и t е o,1 ;

L № \

7) отображение ¥ при каждых i е (o, a], y е Rn — односторонне липшицево по x, причём существуют положительная функция B(i), стремящаяся к нулю при i ^ o, и константа A > o такие, что V(xi, yi), (x2, y2) е Rm x Rn, Vt е R+, Vv е ¥(t, xi, yi, i) 3 w е ¥(t, x2, y2, i):

2 2 <xi -x2, v - w)^ A• ||xi -x2|| + B(i) • ||yi - y21| ;

8) отображение G при каждых i е (o, a], x е Rm — односторонне липшицево по y, причём существуют константы C > o, D > o такие, что V(xi, yi), (x2, y2) е Rm x Rn, Vt е R+, Vv е G(t, xi, yi,i) 3 w е G(t, x2, y2, i):

22 <yi - y2, v - w)^ C •llxi - x21| + D • ||yi - y2 II -

При этих предположениях доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть для ¥, G и ¥o выполняются условия 1)-8). Тогда усреднённая задача (2) аппроксимирует снизу исходную задачу (1).

Заметим, что выполнение для отображения Fo перечисленных условий 1), 2), 4) обеспечивает, в силу теоремы Деймлинга [4], разрешимость на o, i задачи (2) при каждом i е (o, a]. Пример. В качестве исходной задачи (1) рассмотрим такую задачу:

x е i¥(t, x, y, i), x(o)=o,

(6)

у е [i, 2] + iG(t, x, y, i), y(o) = o,

где отображения ¥, G: R+ x R x R x [o, a] ^ Kv(R) определяются следующими равенствами:

¥(t, x, y, i) = isiny+g(x) • (sin(t + i) + [-2, -i]), G(t, x, y, i) = isinx + g(y) • [-i, o]

с функцией g(x), задаваемой в виде

0, если x ^ o,

g(x) = ^ sfx, если o < x ^ i,

1, если x > i.

В качестве усреднённой задачи (2) возьмём следующую:

U е i¥o(u), u(o)=o (7)

с отображением Fo : R ^ Kv(R), определяемым равенством

Fo(u) = g(u) • [-2, -i].

Отображения ¥ и G не липшицевы по (x, y). Для ¥, G и Fo выполнены все условия сформулированной выше теоремы. Поэтому усреднённая задача (7) аппроксимирует снизу исходную задачу (6).

При доказательстве основного результата работы понадобятся следующие леммы, доказываемые аналогично лемме 1 из [5].

Лемма 1. Выполнение для отображения ¥ условий 4), 5) теоремы равносильно выполнению для него условия:

Ve > o 3 S > oVxi, x2 е Rm, Vyi, y2 е Rn, Vt е R+, Vi е [o, a]: ||xi - x21| < S,

IIyi -y2II < S, o ^i < S ^ a[¥(t, xi, yi, i), ¥(t, x2, y2, o)) < e• OF(t) (8)

с функцией а¥(г) из условия 4) теоремы.

Лемма 2. Выполнение для ¥0 условия 4) теоремы равносильно выполнению для него условия:

Уе > 0 3 3 > 0 Уи1, и2 е Кт, Уг е К+: ||и1 - и2||< 3 ^ а(¥0(г, и1), ¥0(г, и2)) < е • а¥0(г) (9)

с положительной функцией ст¥0(-) е ЬА(К+) из условия 4) теоремы.

3. Доказательство теоремы. Доказательство проводится по определению аппроксимации снизу задачи (1) задачей (2), то есть состоит в проверке условия: Уе > 0 3 ц0 > 0 У л е (0, л0], для любого решения ил (г) задачи (2) найдётся решение (х^ (г), у^ (г)) исходной задачи (1) такое, что

для всех ґ є

справедливо неравенство ||хл(г) - ил(г)|| < е.

Сначала найдём константы к и Д0 так, что для любого Д 5 Д0 и любого г0 е К+ выполняется

г0+Д г0+Д г0+Д г0+Д

д J Л¥(г)^г^ к, Л¥о(г)йг^ к, — ^ о¥(г)йг^ к, д ^ а¥о(г)йг^ к;

г0 г0 г0 г0

такие константы к и Д0 найдутся в силу того, что функции Л¥(•), Л-¥0(0, &¥(•), ^¥0(0 еЬА(К+).

Теперь возьмём произвольное 0 < е < 1. По нему найдем число 3¥(е) > 0 из выполнения для ¥ условия (8) леммы 1. По этому же е найдём число ^1 > 0 (из условия В (л) ^ 0 при л ^ 0). По числу

1 . \3¥ (е)

у =---------Ш1П^---, е)

г (1 + к) 1 2 1

найдём число 3¥0(у) > 0 (из выполнения условия (9) из леммы 2 для отображения ¥0). Возьмём число Nе N настолько большим, чтобы

к ■ г л 3¥(е)

N < ш1п| 3¥0 (уХ 2 , е

По числу у найдём число Д1(у) > Д0 (из выполнения условия 3) о близости средних от ¥0 и ¥). После этого берём число ^0 > 0 настолько малым, чтобы

/л0 < шіп

1

, б¥(є), Ці\.

Это Ц0 — искомое. Для доказательства этого возьмём произвольное л е (0, ^0] и произвольное

решение ил(г) задачи (2). Разобьём 0,1 точками гщ щ (] = 0,1,..., N на N частичных отрезков

длиной Д = ^. Это Д > Д1(у). Значения решения и^(г) в узлах сетки обозначим через ищ. Для решения и^(г) имеем

Ґ

и^(ґ) = х0 + V(з) йз,

где V(з) є ¥0 (з, Ыи(з)) — некоторый селектор.

По теореме об измеримом селекторе, на отрезке [ґу, ґу+^ (] = 0,1,N - 1) найдётся селектор

Vі(ґ) є ¥0(ґ, Ы:) такой, что

V(ґ) - VI(ґ) = р(V(ґ), ¥0(ґ, Ыу)) ^ в[¥0(ґ, и^(ґ)), ¥0(ґ, Ыу)) ^ а(¥0(ґ, и^(ґ)), ¥0(ґ, Ыу)).

Чтобы теперь использовать условие (9) из леммы 2 для ¥0, оценим сначала, насколько и^(ґ) отличается от Ыу на |ґ/, ґу+^ (у = 0,1,N -1). Имеем для каждого ґ є |ґ/, ґу+^:

\и^(ґ) - Ыу || =

ґ Ч

х0 + V(з) йз - х0 - и ^ V(з) йз

0

0

ґ

•/

АЧ || V(з) У йз ^

Г Г ик к

ф IIV (з) | йз ^ ^ Я¥0(з) йз ^ ик А = — = N < ^¥0(у)-

Так как число #¥0(у) выбиралось по числу у из выполнения для ¥0 условия (9) из леммы 2, то а(¥0(ґ, Ыи (ґ)), ¥0(ґ, Ыу)) < у&¥0(ґ) Уґ є [ґу, ґу+^ (] = 0,1,N - 1).

Следовательно,

V (ґ) - V1 (ґ) < уа ¥0(ґ) Уґ є [ґу, ґу+1 ] (у = 0,1,..., N - 1).

Теперь на первом частичном отрезке 0, ґ1 рассмотрим задачу

< = 0, <(0) = Х0,

П є 60, п(0) = У0.

(10)

Так как

то

ґ1 ґ1

-1 ^ V1 (ґ) йґ є 1 ^¥0 (ґ, Ы0) йґ,

ґ1

р

1 Г V1 (ґ) йґ, У 1 [¥(ґ, Ы0, п(ґ), 0)

^ Г,(^С 7(с\ п,Л А

Д_ 0

Ф)єг(0, Ы0,П0) А 0

йґ

< 7.

У

Здесь 2(0, и0, п0) — множество решений на [0, г^ дифференциального включения из задачи (10). Следовательно, найдётся точка

ґ1

а0 є У — ¥{ґ, ы0, п(ґ), 0 йґ,

г.тег 7Сп Д ■}

n(ґ)єZ(0, Ы0,П0) А 0 ґ1

расстояние от которой до точки и0(г) йг тоже меньше у. Это значит, что найдётся решение

0

(ы0, по(ґ)) задачи (10) на [0, и селектор v^(ґ) є ¥(ґ, ы0, ц0(ґ),0) такой, что

ґ1 ґ1

-1 ^ V1 (ґ)йґ- -1 ^ v0(ґ)йґ

< г.

Функция п0(г), как решение на [0, г^ дифференциального включения из задачи (10), представима в виде

/'

П0(г ) = у0 + I ш0(х) йх,

где Ш0(г) е О0 Уг е [0, г^.

На следующем частичном отрезке [г1, г2] рассматриваем такую задачу:

< = 0, <(г1) = и1,

п е 00, п(г1)= П0(г1).

(11)

< Г.

Аналогично найдём на [ґ1, ґ2] решение (ы1, ц1(ґ)) задачи (11) и селектор V2(ґ) є ¥(ґ, ы1, ^1(ґ),0) такой, что

ґ2 ґ2

а/ V 1(ґ)йґ-1 / v2(

ґ1 ґ1

Функция п1(ґ), как решение на [ґ1, ґ2] дифференциального включения из задачи (11), представима в виде

ґ1

П1(ґ) = п0(ґ1)^У ^1(з) йз = У0 + J^о(з) йз + ^ш1(з) йз,

где Ш1(г) е О0 У г е [гь г^.

Аналогичные рассуждения проводим последовательно для каждого частичного отрезка. А именно, если на отрезке [г]-1, г^\ найдено решение [и]-1, п]-1(г^ порождающей задачи

< = 0, <{г]-1) = и]-1,

п е 00, п[г]-0= п]-2(гщ-1),

то на следующем частичном отрезке [ґу, ґу+1] рассматриваем такую задачу:

< = 0, <(ґу ) = Ыу,

п є Є0, п(ґу) = пЇ-1 (ґу).

(12)

Подобно задачам (10) и (11), для неё на [ґ], ґj+1] найдётся решение (ыу, цу(ґ)) и селектор v2(ґ) є ¥ (ґ, Ыу, пї(ґ), 0 такой, что

4+1 4+1

1 /v 1 (ґ )йґ -1 /v 2(ґ )йґ

< Г.

Заметим, что п](г), как решение дифференциального включения из задачи (13), представима на [г], г]+1] в виде

ґ у -1 ґі+1 ґ

п І (ґ) = п І -1 (ґу ) + ^ ш І (з) йз = У0 + Ё/ ш; (з) йз+^ шу (з) йз,

где шу(ґ) є С0 Уґє [ґу, ^+1].

Теперь введём на 0, 1 функции v2(ґ), ш(ґ), а(ґ) и Ь(ґ) так:

V 2(ґ ) =

если ґ є [ґу, ґу+^ (І = 0,1,..., N -1),

^2(ґ),

4-^1), если ґ =1;

ш(ґ) =

Шу (ґ), если ґ є [ґу, ґ^) (І = 0,1,..., N -1),

(1(,

если ґ = 1;

Н1

ґґ 2

а(ґ)= х0 + ^(з) йз; Ь(ґ) = у0 + ^ш(з) йз.

00

Очевидно, что для этих ґ є [ґу, ґу+1) п ї (ґ) = Ь (ґ) (І = 0,1,..., N - 1).

Для этих функций почти всюду на отрезке

0, 1

имеют место оценки:

р[а(ґ), и¥(ґ, а(ґ), Ь(ґ), и)) < иєа¥(ґ), р{Ь(ґ), Є0 + цС(ґ, а(ґ), Ь(ґ), и)) < И-Л-с(ґ).

(13)

Действительно, а(г) = ли 2(г) почти всюду на 0,1 . Если г содержится в [г], г]+^ (] = 0,1,..., N -1), то и2(г) = и2(г) и, следовательно, а(г) = ли2(г) е ^¥(г, и], п](г), 0, а тогда

р(а(ґ), и¥(ґ, а(ґ), Ь(ґ), и)) = р (ґ), и¥(ґ, а(ґ), Ь(ґ),и)) ^

^ в(и¥(ґ, Ыу, пї(ґ), 0, и¥(ґ, а(ґ), Ь(ґ), и)) ^ иа (¥(ґ, Ыу, пї(ґ), 0, ¥(ґ, а(ґ), Ь(ґ), и)). (14)

є

Чтобы теперь использовать условие (8) из леммы 1 для ¥, оценим ||и- - а(Ь)|| УЬ е [ь-, Ь-+\\ (j = 0,1,N - 1). Сначала оценим эту норму в узлах tj (j = 0,1,.N сетки. Имеем

Ь Ь у _1 ґі+1 у _1 ґі+1

х0 + ці V (ґ) йґ _ х0 _ ці v2(ґ) йґ = ц^ І V (ґ) йґ _ ц^ І V2

* “ і=0 * і=0 *

0 0 і ґі і ґі

■ (ґ) йґ

; і ґі+1 ; і ґі+1 : і ґі+1

у 1 Г у 1 С У 1 С

<ц! И V (ґ) _ V1 (ґ) И йґ + ц£ ^\(ґ)_ v2i(ґ)) йЛ ^ цГ£ і ар0(ґ) йґ+ці Ду

і=0 ґ і=0 / і=0 ґ

ґі ґі ґі

і=0

І _ 1

Е

і=0

ґі ґі+1

; цукДІ + ціДу = цуДІ(к +1) ^ у(к +1).

После этого имеем У Ь е [tj, Ь-+1] (j = 0,1,.N - 1):

ґґ |иі_а(ґ)|| ^ || иу _ а (ґу) И + || а( ґі) _а(ґ)|| ^ у(к +1) + ц ^ V2 (х) йв ^ у(к + 1) + ц ^ Лр (х)йх

цк к 8р (є) 8р (є)

^у(к + 1)+ цДк = у(к +1) + — = у(к +1) + ^ < —^ + _2Г~ = ^р(є)- (15)

Отметим отдельно оценку

. Если ґ со-

||и;-а(Ь)|| ^ у(—+1) + — УЬ е |Ь/, Ь:+1] (- = 0,1,..., N -1) (16)

м ,/ и N

Используя условие (8) из леммы 1 для ¥, с помощью оценки (15) усилим оценку (14):

р(а(Ь), ц¥(Ь, а(Ь), Ь(Ь), ц)) ^ цест¥(Ь)

для почти всех Ь е [tj, Ь-+1) (j = 0,1,..., N -1).

Докажем теперь вторую из оценок (13). Имеем Ь(Ь) = ш(Ь) почти всюду на держится в [ь- , ^-+1) (у = 0,1,..., N -1), то ш(Ь) = ш- (Ь) и, следовательно,

Ь(Ь) = шу(Ь) е С0.

Теперь почти для всех Ь е [ь-, Ь-+1) имеем следующее:

р [Ь(Ь), С0 + цС(Ь, а(Ь), Ь(Ь), ц)) = р [ш-(Ь), С0 + цС(Ь, а(Ь), Ь(Ь), ц)) ^

^ в (С0, С0 + цС(Ь, а(Ь), Ь(Ь), ц)) ^ а(С0, С0+ цС(Ь, а(Ь), Ь(Ь), ц)) ^

^ а(С0, С0) + а(0,цС(Ь, а(Ь), Ь(Ь), ц^ = ц ||С(ь, а(Ь), Ь(Ь), ц) | ^ цЛС(Ь).

Таким образом, найдены функции а(Ь), Ь(Ь) такие, что

р(<г(Ь), ц¥(Ь, а(Ь), Ь(Ь), ц^ < цеа¥(Ь)

почти всюду на

р( Ь(ґ), С0 + цЄ(ґ, а(ґ), Ь(ґ), ц)) < цЛс(ґ)

почти всюду на Теперь на

0, і

введем следующую задачу:

х(ґ) є рн(ґ, х, у, ц), х(0) = х0,

у(ґ) є Єн(ґ, х, у, ц), у(0) = у0,

12

и

где Рн (г, х, у, ц) = цР (г, х, у, ц)П Ир (г, х, у, ц), 0н (г, х, у, ц) = (00 + цО (г, х, у, ц))П Но (г, х, у, ц), а Ир, н0 задаются такими условиями:

НР (г, х, у, ц) = | ш е : ^а(г) - х, а(г) - ш^ ^ цеаР(г) + |ц а + цеаР( ) | ц а (г) - х ||2 + цВ (ц) ||ь(г) - у ||21,

нО(г, х, у, ц) = | ш е геш: (ь(г) - у, Ь(г) - ш^ ^ ц 0( ) + цС ||а(г) - х||2 + |цД + ц 0( ^ || Ь(г) - у||21.

Чтобы эта задача имела смысл, нужно, чтобы отображения Рн и Он имели непустые значения Рн (г, х, у, ц), 0н (г, х, у, ц) Уц е (0, цо], У (г, х, у) е 0, ц х X геи. Проверим это.

В точках: г, в которых а(г) или Ь(г) не существуют |а(г) и Ь(г) существуют почти всюду на 0, ц |, отображения Рн и 0н можно доопределить произвольным образом так, чтобы Рн(г, х, у, ц) и 0н(г, х, у, ц) были непустые множества У(х, у, ц) е х х (0, ц0].

Покажем, что Рн (г, х, у, ц), Он (г, х, у, ц) — непустые множества и для тех г е рых а(г), Ь(г) существуют, У(х, у, ц) е х х (0, ц0].

ц

< х (0, ц0].

а) Fh(t, x, у, ц) — непустое множество.

0,1 ’ ц

Пусть x е Rm, у е Rn, ц е (0, ц0] — произвольные. Возьмём v е iF(t, a(t), b(t), ц) такой, что

, для кото-

\\a(t) - vУ = р (a(t), iF(t, a(t), b(t), ц)) < цест_р(t).

По этому v найдём w е цF(t, x, у, ц) из условия 7) для отображения цF. Это значит, что

(a(t) - x, v - w) ^ цА ||a(t) - x||2 + цВ(ц) ||b(t) - у ||2.

Теперь для этого w имеем:

(a(t) - x, a(t) - w) = (a(t) - x, a(t) - v) + (a(t) - x, v - w) ^ ||a(t) - x| • ||a(t) - v| +

+ цA ||a(t) - x ||2 + цВ(ц) || b(t) - у ||2 < цeaF(t) ||a(t) - x || + цA ||a(t) - x||2 + цВ(ц) ||b(t) - у ||2 ^

2 2

J ) - x ^ + ( У^Мй) + ц A || a( t) - x |2 + цВ (ц) |b (t) - у |2 =

= ц£Ор(tj + |(Г) + цaJ ||a(t) - x||2 + цВ(ц) ||b(r) - у||2.

Последнее неравенство означает, что w, принадлежащее цF(t, x, у, ц), принадлежит HF(t, x, у, ц), то есть Fh(t, x, у, ц) непусто .

б) GH(t, x, у, ц) — непустое множество.

Пусть x е Rm, у е Rn, ц е (0, ц0] — произвольные. Возьмём v е G0 + ц^Г, a(t), b(t), ц) такой, что

|b(t) - v| = p[b(t), G0 + цG(t, a(t), b(t), ц)) < цЛс(t).

По этому v найдём w е G0 + цG(t, x, у, ц) из условия 8) для отображения G0 + цG(t, x, у, ц). Это значит, что

(b(t) - у, v - w) ^ цС |a(t) - x|2 + цБ |b(t) - у|2.

Теперь для этого w имеем:

(b(t) - у, b(t) - w) = (b(t) - у, b(t) - v) + (b(t) - у, v - w) ^ | b(t) - у | • |b(t) - v| +

+ цС ||a(t) - x|2 + цБ |b(t) - у|2 < цЛс(t) |b(t) - у| + цС |a(t) - x|2 + цБ |b(t) - у|2 ^

2 2

g(IbQ) - у+ (v'Pp)) + цС h{t) - x|2 + цБ |b(t) - у|2 =

іЛо(^ + іС |a(t) - x||2 + |іЛс^1'' + !dJ ||«t) - y||2

Это означает, что ш, принадлежащий 00 + цО (г, х, у, ц), принадлежит н0 (г, х, у, ц), то есть 0н(г, х, у, ц) непусто.

Итак, правые части дифференциальных включений системы (17) имеют непустые значения. Непосредственно проверяется также, что эти значения — выпуклые, замкнутые, а, следовательно (в силу их ограниченности) и компактные множества в Кт и Кп соответственно.

Таким образом, правые части Рн и Он дифференциальных включений системы (17) при

каждом ц е (0, ц0] — отображения из

0,ц

х х в Ку(Кт), Ку(Кп) соответственно.

Задача Коши (17) для системы дифференциальных включений эквивалентна задаче Коши для одного дифференциального включения в пространстве Шт+п:

ш(г) е Е(г, ш, ц), ш(0) = ш0 (ш0 = (х0, у0)), (18)

где отображение Е со значениями в Ку(Шт+п) определяется равенством

Е(г, ш, ц) = Рн(г, ш, ц) х он(г, ш, ц) (ш = (х, у)).

Для задачи (18) выполняются все условия теоремы из [4]. Поэтому при каждом ц е (0, ц0] эта задача имеет на 0, ц решение шц(г) = (хц(г), уц(г)). Но задача (18) эквивалентна задаче Коши для системы дифференциальных включений (18). Следовательно, задача Коши (17) также имеет 0, ц решение (хц(г), уц (г)). Это решение тем более будет являться решением задачи (1).

на

При этом для него почти всюду на

выполняются неравенства

(а(г) - хц(г), а(г) - Хц(г)) * <ь(г) -уц(г), Ь(г) -уц(г)) ■■

цеаР (г) (цеаР (г)

2

цЛо (г)

2

цА Ца(г) -хц(г)|2+цВ(ц) \ Ь(г) -yц(г)||

+

цС \а(г) - хц(г)

+

(цЛо (г)

Введём на всюду на 0, ц

22

II2 II ^ 7/^||2

цЩ \Ь(г) -уц(г)||2

0, ц функции т(г) = ||хц(г) - а(г)|| и п(г) = ||уц(г) - ь(г)|| . Для них имеем

(19)

(20)

почти

йт й , ) , )

— = йг^а (г) - хц(г), а (г) - хц(г)) = 2( а(г) - хц(г), а(г) - хц(г)) ■■

\цеаР(г) + {цеаР(г) + 2цА) ||а(г) -хц(г)||2 + 2цВ(ц) ||Ь(г) -уц(г)||2

Аналогично,

= йг ^Ь(г) - уц(г), Ь(г) - уц(г)) = 2 <Ь(г) - уц(г), Ь(г) - уц (г))

: цЛ о (г)+2цС || а( г) - хц(г) ||2 + (цЛ о (г)+2цЩ || Ь( г) - уц (г) ||2

для почти всех г е 0, ц

ц

Таким образом, для почти всех г е

выполняется

т(г) ^ цеаР(г) + [цеаР(г) + 2цА)т(г) + 2цВ(ц)п(г), т(0) = 0, п(г) ^цЛО(г) + 2цСт(г) + (цЛО(г)+2цЩп(г), п(0) = 0.

(21)

Пусть функция т!(г) — решение на

задачи Коши

т:(г) = цеаР (г) + (цеаР (г) + 2цА)т1(г) +2цВ (ц)п(г), т1(0) = 0.

Здесь функция п(г) — та же, что и в системе (21).

Покажем, что т(г) ^ т1(г) на

0, 1

ц

(22)

. Отсюда и из (22) будет следовать, что тп1(г) > 0 на

0, 1

ц

+

t

Из первого неравенства системы (21) и уравнения задачи (22) находим для почти всех

0,ц

m(t) - rn1(t) ^ {ієaF(t) + 2іA)(m(t) - m1(t^.

(23)

Для функции

m2(t) = (m(t) - m1(t^ exp

t

-іє aF(т) dт - 2іAt

О

в силу (23) почти всюду на 0, - имеем, что т2(г) ^ 0. Учитывая, что т2(0) = 0, делаем следую

I. ц \

щий вывод: т2(г) ^ 0 на отрезке 0, ц . Значит, т(г) ^ т1(г) на этом отрезке.

Таким образом, на отрезке 0, ц найдены функции т1(г) и п(г) такие, что

a) ||а(г) -хц(г)||2 ^ т]_(г), ||Ь(г) -уц(г)||2 = п(г) на 0, ц

b) гП]_(г) > 0 на 0, -ц

ц

c) гп1(г) = цеаР(г) + т1(0) = 0, п(0) = 0.

Для функции

|то есть ті(ґ) возрастает на 0, ц

цєар(ґ)+ 2цЛ)т1(ґ)+ 2цБ(ц)п(ґ), п(ґ) ^ цЛс(ґ) + 2^Cm1(^) + [цЛо(ґ)+2цД)п(ґ),

n1(t) = n(t) exp в силу неравенства из условия c) имеем

t

-і J Л0 (т) dт - 2іDt

О

(24)

fb1 (t) ^ (іЛ0(t) +2іСm1(t)) exp

откуда находим

t

n1(t) (іЛ0(r)+ 2іСm1(r)) exp

О

В таком случае, из (24) получим

! t Л t

t

-і Л0 (т)d т - 2іDt

О

r

-і Л0 (r)d т - 2іDr

О

dr.

і І Л0(r)dт + 2іDt

О

і (іЛ0(r)+2іСm1(r))exp О

У

-і І Л0Mdт -2іDr

О

dr.

У

Используя условие Ь) и неотрицательность функции Ло(г), усиливаем полученную оценку:

( 1/ц \ /" 1/ц 1/ц

і І Л0(т)dт + 2іD/і • і І Л0(r)dr + 2іС m1(t)dr

V 0 і I 0 0 ;

(k + 2Cm1(t)) exp(k+2D)

0,і

на отрезке

Используя эту оценку, из уравнения условия с) находим

т1(ґ) ^ цєар(ґ) + [цєоР(ґ) + 2цЛ т1(ґ) + 2цБ(ц) ехр(к+ 2Б)(к + 2Ст1(ґ)).

Учитывая, что по выбору Цо, Б(ц) < є < 1, усиливаем оценку :

т1(ґ) ^ ц(ор(ґ) +2Л + 4Сехр(к + 2Б))т1(ґ) + цє(ор(ґ) +2кехр(к + 2Д)).

Если обозначить стр(ґ)+2Л+4Сехр(к+2Д) через р(ґ), а стр(ґ) + 2кехр(к+2В) — через д(ґ) ^заметим, что р(ґ) > 0, д(ґ) > 0 на 0, Ц |, то последнее неравенство примет вид

гіг1(ґ) ^ цр(ґ)т1(ґ) + цєд(ґ). (25)

r

Если обозначить через m2{t) решение задачи Коши

m2(t) = VP (t) m2 (t) + veq (t), m2(0) = 0,

(26)

то ml(t) ^ m2(t) на

0,1 і

. В самом деле, из (25) и (26) следует

(mi(t) - m2(t)' ^ VP(t)(mi(t) - m2(t)).

Поэтому для функции

m3(t) = (ml(t) - m2(t) exp

t

~і J p(т)dт

V 0

выполняется т3(г) ^ 0 почти всюду на 0, ц . Так как тз(0) = 0, отсюда следует, что тз(г) ^ 0 на

I. ц \

0,і

, то есть ml(t) ^ m2(t) на Решая уравнение (26), находим вид m2(t):

0,і

t t r

m2(t) = exp і I pMdт ■ ієq (r )exp т )d т() p( ~"з" - dr.

У

Учитывая вид функций р(г) и д(г), найденное выражение для т2(г) позволяет получить следу-

ющую оценку для m2(t), а, значит и для m1(t), на отрезке

0, і

t

ml(t) ^ m2(t) = exp

і/^°F(т)+2A + 4Cexp(k + 2D))dт ■ Jіє[аі;(r)+2kexp(k + 2D))x

V 0

t r

О

: exp

t

-і / p(т)dт dr ^ exp і I aF(т)dт + 2Aіt+4Ctіexp(k+2D) ОО

t

іє

; exp [k + 2A + 4Cexp(k + 2D)) ■ є(k + 2kexp(k + 2D)) = єM,

I ст_р(r)dr + 2ktexp(k+ 2D)

.0 У

где константа M = k(l + 2exp(k + 2D)) • exp (k+2A+4Cexp(k+2D)).

Как отмечалось выше, ||a(t) -Xv(t)||2 ^ m1(t) на 0, V . Поэтому ||a(t) -Xv(t)||2 ^ eM на 0, V

Таким образом, на 0, ц найдено решение (хц(г), уц(г)) задачи (1), для медленных перемен-

ных x„(t) которого выполняется оценка

|a (t) - X! (t) I ^VeM

на

1

0, -і

Чтобы теперь оценить ||хц(г) - глц(г)|| на 0, ц , оценим сначала ||^ц(г) - а(г)|| на 0, ц . Эту оценку

"■V'-'u — v

нетрудно получить, если использовать (16):

k

I Uj - a (t) I ^ j(k + 1) + — Vt є\tj, ti+A (j = 0,1,..., N - 1).

N

Тогда для любого t e

o, і

имеем

t

k

I U^t) - a(t) I ^ I U^t) - Uj I + I Uj - a(t) | ^ і J У v(s) У ds+y(k +1) + n ^

tj

tj +A

Г k k k k

^ і I Af0(s)ds+Y(k + 1) + n ^ іkA + j(k + 1) + n = n + Y(k + 1) + n < Зє.

І6

x

После этого находим интересующую нас оценку:

Ix^t) - U^t) I ; Ix^t) - a(t)| + |a(t) - U^t) | ; y/eM+3є Vt є

1

0,-

і

В силу произвольности є это означает, что задача (2) аппроксимирует снизу задачу (1). Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Филатов, О. П. Усреднение систем дифференциальных включений [Текст] I О. П. Филатов, М. М. Ханаев. — М.: Изд-во МГУ, І998. — І60 с.

2. Филатов, О. П. Разностная аппроксимация и теорема усреднения для дифференциальных включений [Текст] I О. П Филатов II Сиб. ж. индустр. мат. — 2006. — Т. IX, № 2(26). — С. І37-І52.

3. Donchev, T. Stability and Euler approximation of one-sided Lipschitz differential inclusions [Text] I T. Donchev, E. Farkhi II SIAM J. Control OPTIM. — І998. — Vol. 36, No. 2. — P. 780-796.

4. Deimling, K. Multivalued differential equations [Text] I K. Deimling. — Berlin.: De Gruyter, І992. — 260 p.

5. Соколовская, Е.В. Об аппроксимации снизу дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью [Текст] I Е. В. Соколовская II Вестн. Сам. госуд. ун-та. — 2004. — Снец. вып. — С. 50-63.

Самарский государственный университет, г. Самара [email protected]

Поступила 23.ІІ.2006