CC BY
43
УДК 519.214
АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА МОНОТОННЫХ ЦЕПОЧЕК В СЛУЧАЙНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СЛОЖНЫМ ПУАССОНОВСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
А. А. Минаков
Рассматривается распределение числа монотонных цепочек в последовательности независимых равномерно распределённых на множестве {0,...,N — 1} случайных величин. С помощью метода Стейна получена оценка расстояния по вариации между распределением числа монотонных цепочек и сложным пуассоновским распределением. На основании оценки доказана предельная теорема для числа монотонных цепочек, где аппроксимирующим распределением является распределение суммы пуассоновского числа независимых случайных величин, имеющих геометрическое распределение.
Ключевые слова: монотонные цепочки, оценка расстояния по вариации сложной пуассоновской аппроксимации, сложное пуассоновское распределение, метод Стейна.
Пусть X = (X1,X2,... , Xn) есть отрезок последовательности, состоящий из независимых случайных величин, каждая из которых имеет равномерное распределение на множестве {0,..., N — 1}.
Определение 1. Монотонной цепочкой длины s (s G N) с началом в t назовём событие Et = {Xt,... , Xt+s-i : Xt ^ Xm ^ ... ^ Xt+s-1} .
n—s+1
Введём случайную величину £n (s) = ^2 Ind {Et}, равную числу монотонных це-
t=i
почек длины s в последовательности X.
J. Wolfowitz [1] сформулировал условия сходимости распределения числа монотонных серий заданной длины в конечной бесповторной последовательности к распределению Пуассона и стандартному нормальному распределению. F. N. David и D. E. Barton [2] сформулировали условия для пуассоновской аппроксимации числа монотонных серий длины больше заданной в конечной бесповторной последовательности. Их результаты обобщил B.G. Pittel [3], который сформулировал теорему о сходимости распределения числа монотонных серий длины больше заданной к распределению Пуассона. O. Chryssaphinou, S Papastavridis и E. Vaggelatou [4] доказали теорему об аппроксимации распределения числа монотонных серий заданной длины в стационарной цепи Маркова пуассоновским распределением. Н. М. Меженная [5] сформулировала и доказала многомерную нормальную теорему для числа монотонных серий заданной длины.
Введём некоторые обозначения. Условимся обозначать d (Ф, Ф) расстояние по вариации между распределениями Ф и Ф. Для распределений Ф и Ф на множестве {0,1,...} справедлива следующая формула (теорема Шеффе):
1 ГО
d (Ф, Ф) = - |Ф {m} — Ф {m}|.
2 m=0
Распределение случайной величины Z будем обозначать L (Z).
Пусть Л = (Л1,Л2,...) —последовательность неотрицательных действительных чи-
ГО
сел, причём сходится ряд £ Лк < ж. Пусть {#1, в2,...} —последовательность незави-
к= 1
симых случайных величин, причём случайная величина #к имеет распределение Пуас-
ГО
сона с параметром Лк, k G N. Распределение случайной величины к#к называется
к=1
сложным распределением Пуассона, которое будем обозначать CP (Л).
На основе метода Стейна и результатов работ [6, 7] получена следующая теорема. Теорема 1. Пусть (X1,X2,... ,Xn) —отрезок последовательности, состоящий из независимых случайных величин, каждая из которых имеет равномерное распределение на множестве {0,..., N — 1} и N ^ 3, тогда
d (L (fn (s)), CP ^N-1 (1 — N-1) , ЛN-2 (1 — N-1) , ЛN-3 (1 — N-1) ,...)) ^
^ (n — s + 1) (6s — 5)
На основании результата теоремы 1 сформулируем предельную теорему для случайной величины fn (s).
Теорема 2. Пусть (X1,X2,... ,Xn) —отрезок последовательности, состоящий из независимых случайных величин, каждая из которых имеет равномерное распределение на множестве {0,..., N — 1} и N ^ 3. Если n, s ^ ж так, что
1) s/n ^ 0,
2) величина n (s + N)N-1 N-s+1 (N!)-1 ^ Л, где N и Л — константы, такие, что N ^ 3 и Л > 0,
то L (fn (s)) ^ CP (ЛN-1 (1 — N-1), ЛN-2 (1 — N-1), ЛN-3 (1 — N-1),...).
Предельным распределением в теореме 2 является распределение суммы пуассо-новского (с параметром Л) числа независимых случайных величин, имеющих геометрическое распределение (с параметром 1/N). Так как N фиксировано, а s ^ ж, то число монотонных цепочек длины s, не содержащих все символы из множества {0,... , N — 1}, стремится к нулю. В пределе количества монотонных цепочек длины s в сериях независимы и имеют геометрическое распределение (с параметром 1/N), а число таких серий распределено по закону Пуассона (с параметром Л).
ЛИТЕРАТУРА
1. Wolfowitz J. Asymptotics distribution of runs up and down // Ann. Math. Statist. 1944. V. 15. P. 163-172.
2. David F. N. and Barton D. E. Combinatorial Chance. Hafner Publishing Co., New York, 1962.
3. Pittel B. G. Limiting behavior of a process of runs // Ann. Probab. 1981. V. 9. No. 1. P. 119-129.
4. Chryssaphinou O., Papastavridis S., and Vaggelatou E. Poisson approximation for the nonoverlapping appearances of several words in Markov chains // Combinatorics, Probability and Computing. 2001. V. 10. No. 4. P. 293-308.
5. Меженная Н. М. Многомерная нормальная теорема для числа монотонных серий заданной длины в равновероятной случайной последовательности // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Т. 14. Вып.3. С. 503-505.
6. Roos V. Stein’s method for compound Poisson approximation: The local approach // Ann. Appl. Probab. 1994. V. 4. No. 4. P. 1177-1187.
7. Barbour A. D., ChenL.H.Y., and LohW.-L. Compound Poisson approximation for nonnegative random variables via Stein’s method // Ann. Appl. Probab. 1992. V. 20. No. 4. P. 1843-1866.
+ Nj (sN-1 + І)-2* ^-2s
N-
s
