Аппроксимация плотностей распределения вероятности стационарных случайных процессов ортогональными функциями Лагерра Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прохоров С.А. Дегтярева О.А. АППРОКСИМАЦИЯ ПЛОТНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ЛАГЕРРА

Измерение и анализ случайных процессов получили широкое применение при решении различных инженерных задач. На фоне этого появились вычислительные устройства, способные производить такие расчеты, а также разрабатываются новые идеи в области численного моделирования и интерпретации результатов анализа.

Большинство современных подходов к анализу статистической информации основано на аналитическом описании цифровых массивов с их последующей обработкой. При этом необходимо обеспечить заданную точность описания более простым аналитическим выражением. Аналитическое описание должно быть также унифицировано к особенностям каждого сигнала независимо от его природы. Однако более преимущественным представляется подход, основанный на численном анализе информационных массивов, временных рядов, заключающемся в определении функциональных характеристик с их дальнейшей аналитической обработкой. Таким образом, удается избежать существенных ошибок при выборе модели выражения, метода и алгоритма обработки, получить априорную информацию об исследуемых процессах.

Если результатом числовой обработки данных в этом случае являются функциональные характеристики, аналитическая обработка может производиться с применением аппроксимативных методов. Аппроксимативный подход оказывается эффективным и при обработке результатов имитационного моделирования (вычислительного эксперимента).

Алгоритмы аппроксимации, основанные на использовании функций заданно вида, обладают существенным недостатком, заключающемся в невозможности идентификации большинства законов распределения. Поэтому, преимущественными являются алгоритмы аппроксимации с использованием ортогональных функций, позволяющих избежать сложной процедуры идентификации.

Большинство современных систем математических расчетов обладают в разной степени мощными средствами статистического анализа, позволяют представлять результаты в численной форме и имеют эффективные средства аппроксимации функциональных характеристик. Однако многие системы могут рассматриваться лишь как инструмент для реализации дополнительных алгоритмов и методов, необходимость которых определяется новыми подходами аппроксимативного анализа вероятностных характеристик случайных процессов. В связи с этим на кафедре информационных систем и технологий была спроектирована и реализована автоматизированная система, воплощающая алгоритмы аппроксимативного анализа законов распределения с использованием ортогональных функций Лагерра. Данная система позволяет получить реализацию стационарного случайного процесса методом имитационного моделирования, рассчитать статистические числовые характеристики закона, получить статистические вероятностные характеристики. Также возможна аппроксимация функциями заданного вида с анализом согласования данных по критериям Пирсона и Колмогорова. Система позволяет также обрабатывать практически полученные реализации путем загрузки данных извне. Для некоторых законов случайных процессов процедура идентификации оказывается очень сложной. В этом случае применяется аппроксимация ортогональными функциями Лагерра.

При этом возникает ряд проблем, поскольку в исходной математической постановке не учитывается, что оцениваемая функция является плотностью, и приближения функций частичными суммами ортогональных разложений не всегда являются плотностями - они не удовлетворяют условию положительности. Однако этот недостаток уравновешивается быстрой сходимостью ряда Лагерра, что позволяет ограничиться 12-15 членами.

По теореме Мерсера положительно определенная функция, такая, как плотность вероятности, может быть разложена в равномерно и абсолютно сходящийся ряд вида:

(Х) — 2РкЬк (Х) (1)

'кЬ (

где А - коэффициенты преобразования Фурье; Ьк (х) -ортогональные функции Лагерра, применяющиеся в аппроксимативном анализе и имеющие вид

Ь (Ха)-У______-_____\~аХ) с~т (4)

Ь (^ 2(- -,)! (,!)2 6 • (4)

Функции Лагерра обладают следующим свойством:

с |0, к ^ п;

|Ьк (х,а)Ьп (х,а)dx —-| 1 (5)

к — п.

0 1а'

Однако, использование в автоматизированной системе функций Лагерра в виде (4) приводит к значительным временным затратам. Чтобы избежать этого, функции Лагерра представляются рекурсивным соотношением [1]:

у ч 2к — 1 — ах у \ к — 1 у ч

Ь (ах) =------------Ь-\ (ах)---— Ьк_2 (ах) . (6)

При этом в явном виде выделены

—ах —ах

Ь (ах) — е 2 и Ь (ах) — е 2 (1 — ах) .

Для избежания возникновения ошибок переполнения используются переменные с двойной точностью.

Нужно отметить, что система ортогональных функций Лагерра определена на интервале (0,«>), что не всегда соответствует области определения плотности вероятности, распределенной на интервале (хш1п, хтах). Такое несоответствие устраняется линейным сдвигом абсциссы хш1п в точку 0. Недостаток, связанный с пересчетом координат уравновешивается быстрым убыванием коэффициентов бесконечного ряда, что позволяет ограничиться конечным числом элементов ряда разложения. Тогда модель плотности вероятности будет представлена в следующем виде:

т

(Х) — 2 РкЬк (Х — Хт1П=а) • (7

к—0

Коэффициенты разложения, обеспечивающие минимум квадратической погрешности аппроксимации

30

да т

А — | /а (Х) —2Р-Ьк (Х — Хт1П,а)

х тт 1_ к—0 .

определяются формулой:

да

Рк — а| ух (Х — х тт)Ь (х,а) dx •

dx — тт (8)

(9)

0

Погрешность аппроксимации при этом будет равна

да 1т

А— | /2(х)dx—-2Р2 (10)

а ь—о

х тт к—0

При произвольном а и конечном т для аппроксимации функциями Лагерра не выполняется свойство

т

/а (Х т1П) — 2Р . Для устранения этой отрицательной черты метода определяют коэффициенты разложе-к—0

Ъу. плотности вероятности / (х) —2ЬЬ (х — хтт,а) в виде

/а (Х т^П) — 2Рк

Ък — Рк +-------------------

т +1

(11)

В тех случаях, когда плотность вероятности имеет максимум Ат в точке хт ее целесообразно аппроксимировать, разделив на правую и левую ветви. Аппроксимация ветвей в таком случае ведется по отдельности. Модель плотности вероятности представляется в следующем виде:

' тп тл ^

Уа (Х) — Ат Ё/У(Х — Хт ) Ьк (Х — Хш,ап )+2РкА( Хт — Х) Ьк (Хт — Х,ал ) •

0 —0 у

При этом погрешность аппроксимации

(12)

А— I

УХ (Х)— Ат 2/к,п1(Х — Хш )Ьк (Х — Хш ,ап ) +

, к—0

+ 2рк,л1(Хш — Х)Ьк (Хш — Х,ал ) к—0

(13)

dx.

Коэффициенты разложения в данном случае принимают вид:

рк, л —ап I уа (Х — Хш ) Ьк (Х,ап ) * ,

Рк, л — ал | Уа (Хш — Х) Ьк (Х,ал ) ^ 0

(14)

(15)

С учетом выражений для коэффициентов погрешность аппроксимации запишется так:

да (л тп 1 тл \

А—I/2 ( х) dx — -1 2 /2 п +-12 /2 л —да а г—0 а г—0 )

(16)

Для повышения точности и «склеивания» значений аппроксимирующих выражений в точке хт со значением статистической плотности вероятности Ат рекомендуется использовать вместо коэффициентов

р-

к ,п(л)

коэффициенты Ъ

к ,п( л)

[1]

-,п( л) Рк,п(л)

Ат 21 Рк ,п( л)

к—0_____________________

т +1

(17)

Тогда плотность вероятности будет представлена следующим выражением:

' тп тп ^

уа (Х) — Ап 2ЪкА(Х — Хш)Ьк (Х — Хш,ап)+2ЪкААХш - Х)Ьк (Хш — Х,ал ) . (18)

ч — 0 к=0 у

В таком случае выражение для погрешности аппроксимации примет следующий вид:

да

(\ тп Л тж ^

А—I /2(х)dx — ±2Ъ2к,п +-2Ъ1 * а -- ™ --

а

(19)

Подсистема аппроксимации плотностей вероятности в составе системы аппроксимативного анализа законов распределения представлена на рисунке 1.

к

ния

к—0

т

т

к

т

т

Рисунок 1. Подсистема аппроксимации плотностей вероятности ортогональными функциями Лагерра

На панели выбора алгоритма аппроксимации возможна установка следующих флажков: «Ье^а/Ь» - коэффициенты разложения рассчитываются с учетом условия «склеивания» правой и левой ветви в точке максимума плотности; «нормировать» - коэффициенты разложения рассчитываются из условия, что площадь , ограниченная аппроксимирующей функцией, равна 1; «тах в ш1п» - для плотностей с явно выраженным минимумом предусмотрена возможность обращения по оси !!(х) (то есть преобразование минимального значения плотности в максимальное).

На панели расчета параметров аппроксимации правой ветви рассчитываются оптимальные параметры а и к - число членов разложения - нажатием кнопок «Оптим» для каждого из параметров соответственно. Также параметры а и к можно задать вручную. Оптимальный параметр а ищется из диапазона [ат1п; атах]. Число членов разложения ряда к из диапазона [кт1п; ктах]. Диапазоны задаются вручную. Аналогично рассчитываются параметры аппроксимации левой ветви. Возможно также построение графика зависимости погрешности аппроксимации от числа к членов разложения в сумме ряда. Такие графики строятся для каждой ветви отдельно.

Согласованность рассчитанной характеристики и исходного набора данных оценивается по критериям Пирсона и Колмогорова. Рассчитывается также погрешность аппроксимации.

Установка флажков «Яе», «1т», «Модуль» или «Фаза» рассчитывает действительную или мнимую ча-

сти, модуль или фазу характеристической функции, соответствующей полученному аппроксимирующему плотность вероятностей ряду Лагерра.

Так как оценка плотности вероятности ортогональным рядом, вообще говоря, относится к классу некорректно поставленных задач, то возникает необходимость исследования устойчивости погрешности аппроксимации по отношению к изменению исходной статистической плотности распределения. Такого вида анализ реализуется методом имитационного моделирования, то есть исходные данные, описывающие статистическую характеристику, отличаются неустойчивостью и меняются от выборки к выборке. Погрешность аппроксимации оценивается по формуле (12) и зависит от коэффициентов разложения. Следует проанализировать поведение коэффициентов и их зависимость от объема выборки и от значений выборки. Коэффициенты являются случайными величинами, поэтому их можно оценить методом математической статистики. Для получения доверительной вероятности 0,95 проведено 3 0 реализаций для каждого закона, и результаты для закона Релея приведены на рисунке 2.

Рисунок 2. Характеристики коэффициентов разложения закона Релея

Как видно из рисунка, математическое ожидание коэффициентов слабо зависит от объема выборки, по которой проводится расчет статистической плотности (отличие составляет <0.02). При этом выборка коэффициентов имеет малый разброс (СКО=0.036^0.067), который уменьшается с увеличением объемом выборки значений реализации процесса. Такой разброс говорит о том, что реализуемый метод аппроксимации обладает устойчивостью относительно номера реализации. Аналогичная картина имеет место и для других непрерывных законов распределения.

Данная система внедрена в учебный процесс кафедры информационных систем и технологий Самарского Государственного Университета. Она позволяет студентам на практике изучить основные положения математической статистики, получить реализацию процесса с заданными параметрами, провести аппроксимацию закона функциями заданного вида, оценив качество аппроксимации по критериям согласия, аппроксимировать закон ортогональными функциями Лагерра и провести сравнительный анализ качества аппроксимации данными двумя алгоритмами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Прохоров С.А., Иващенко А.В., Графкин А.В., Автоматизированная система корреляционно спектрального анализа случайных процессов. Уральск: «Экспо», 2003г. - 287с.

2. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебное пособие. - М: Гардарика, 1998г. - 323с.