Аппроксимация огибающей в приложениях "расчета сетей" Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5

АППРОКСИМАЦИЯ ОГИБАЮЩЕЙ В ПРИЛОЖЕНИЯХ «NETWORK CALCULUS»

А.А. Байбулатов, В.Г. Промыслов

Рассмотрены основные положения теории «Network calculus», относящиеся к расчету параметров систем обслуживания. Пояснена роль огибающей входящего потока. Предложен способ расчета линейной огибающей, поставлена и решена соответствующая оптимизационная задача. Приведены примеры расчета одно- и двухкомпонентной линейных огибающих входящего потока, а также соответствующих времен обслуживания (задержек) и очередей для системы обслуживания программного обеспечения АСУ.

Ключевые слова: огибающая, Network calculus, система обслуживания, оптимизация, АСУ.

ВВЕДЕНИЕ

«Network calculus» [1] — это относительно новый, активно развивающийся раздел прикладной математики, возникший в конце прошлого века [2, 3] на основе мини-плюс алгебры [4]. Область применения «Network calculus» — исследование систем с очередью. В основном «Network calculus» применяется для расчета характеристик больших

[1] и малых [5] вычислительных сетей, базирующихся на протоколе TCP/IP. В последнее время были также сделаны попытки применить его и для других, не связанных, с сетями задач, таких как, например, расчет гарантированного времени модификации программного обеспечения [6].

Одна из интересных особенностей аппарата «Network calculus», выделяющая его среди классических теорий расчета систем с очередью (например, приложений теории массового обслуживания), — это представление входящего потока (потока заявок на обслуживание) в виде кумулятивной (с нарастающей суммой) функции. Отсюда следует важное отличие «Network calculus» от методик расчета сетей [7] — использование д етерми-нированных (регулярных), ограничений на поток в виде огибающих потоков, а не их стохастических моделей. Это позволяет работать с более широким классом входящих потоков, делает теорию интуитивно более понятной и доступной в инженерном плане [8].

Как правило, в прикладных задачах «Network calculus» при исследовании сложных систем обслуживания для простоты расчетов используются модели одно- [9] или двухкомпонентных [1] линей-

ных огибающих. Это дает возможность получить аналитические выражения для времен обслуживания (задержек) и очередей (буферов). Обычно каждый из исследователей «проводит» такие огибающие, основываясь на своей интуиции [10]. Однако интуитивный подход ухудшает точность и снижает ценность получаемых результатов. Математически обоснованная методика расчета линейных огибающих не встречается в современных публикациях. В настоящей работе рассматривается оптимизационная задача расчета линейной огибающей. Приводятся результаты решения для одно- и двухкомпонентной моделей линейной огибающей входящего потока. Приведен пример расчета системы обслуживания (модификации) программного обеспечения АСУ разработки Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН.

1. РОЛЬ ОГИБАЮЩЕЙ В «NETWORK CALCULUS»

Рассмотрим некоторую систему обслуживания, например, вычислительную сеть. Пусть A(t) — кумулятивная функция (cumulative function [1]) входящего потока для этой системы, т. е. суммарное количество данных на входе (например, бит), наблюдаемых на интервале [0, t]. A(t) будет неотрицательной, неубывающей функцией времени. Тогда огибающая входящего потока (arrival curve, envelope [1]) E(t) определяется следующим образом:

A(t) - A(s) < E(t - s), Vs < t, t > 0.

Очевидно, таким образом задается целое множество огибающих. Заметим, что понятие огибаю-

щей в «Network calculus» несколько отличается от классического [11].

Особое значение имеет минимальная огибающая входящего потока (minimum arrival curve [1]):

E(t) = sup {A(t + s) - A(s)}.

s > 0

(1)

Запись (1) означает, что огибающая E(t) определяет верхнюю границу потока данных на любом интервале t, начинающемся в произвольный момент времени s. Будем далее называть огибающую, вычисленную по формуле (1), эмпирической.

Рассмотрим примеры использования огибающей для расчета характеристик сетей. Обозначим D(t) кумулятивную функцию выходящего потока, которая определяется как суммарное количество данных на выходе. Тогда для систем без потерь время обслуживания или задержка (delay [1]) dl(t) и длина очереди или размер необходимого буфера (backlog [1]) bl(t) определяются как

dl(t) = infjx > 0: A(t) < D(t + т)}, (2) bl(t) = A(t) - D(t). (3)

Один из основных теоретических результатов «Network calculus» заключается в утверждении, что максимальные значения времени обслуживания (задержки) и длины очереди можно вычислять с помощью огибающих, а не реальных кумулятивных функций. В формулах для вычисления времен обслуживания (задержек) и очередей (2) и (3) можно заменить кумулятивную функцию входящего потока ее огибающей, а кумулятивную функцию выходящего потока — функцией обслуживания (service curve [1]), которая определяет минимальное гарантированное обслуживание системы. В этом случае равенства заменяются на неравенства, но ограничения получаются д остаточно жесткими [1]. Обозначив S(t) функцию обслуживания системы, формулы (2), (3) можно переписать в виде:

dl(t) < sup {inf{T > 0: E(s) < S(s + т)}}, Vt, (4)

s>0

bl(t) < sup {E(s) - S(s)}, Vt.

s>0

(5)

Однако использование эмпирической огибающей (1) в формулах (4) и (5) довольно затруднительно. Наиболее простыми и удобными в применении формулы (4) и (5) становятся в случае линейных огибающих входящих потоков и линейных функций обслуживания.

Функции обслуживания реальных устройств компьютерных сетей (серверов, коммутаторов,

шлюзов, и др.) в большинстве случаев, действительно, являются линейными и имеют вид [1]:

о(/) = J R (t - T), t > т, S(t) = 1 о, t < т,

(6)

где Я — скорость обслуживания, Т — задержка обслуживания. Они могут быть взяты из паспортных данных либо получены экспериментально.

Огибающие входящих потоков могут быть аппроксимированы линейными функциями из физических соображений. Для вычисления максимальных значений времени обслуживания (задержки) и длины очереди в соответствии с формулами (4) и (5) необходимо найти прямую (касательную), ограничивающую эмпирическую огибающую (1) сверху. Линейные огибающие входящих потоков имеют вид [1]:

= П + Ь, (7)

где г — скорость потока, Ь — «всплеск». Назовем прямую (7) однокомпонентной огибающей.

Таким образом, в случае функций обслуживания вида (6) и огибающих вида (7) формулы (4) и (5) можно преобразовать к виду [1]:

dl = b/R + T, bl = rT + b.

(8) (9)

Из формулы (8) следует, что при поиске одно-компонентной линейной огибающей (7) для расчета максимального времени обслуживания необходимо искать прямую с максимальным «всплеском» Ь.

В некоторых случаях ограничить эмпирическую огибающую (1) предпочтительнее не одной прямой (7), а двумя:

E(t) = min{rxt + bj, r2t + b2},

(10)

где r1 — пиковая скорость,

b1 — максимальный

размер пакета, r2 — устойчивая скорость, b2 — «всплеск». Назовем кривую (10) двухкомпонент-ной огибающей. Такая огибающая используется, например, в модели «IntServ» [12] качества обслуживания в сетях на основе протокола TCP/IP.

Для двухкомпонентной огибающей формулы для времени обслуживания (задержки) и длины очереди, аналогичные формулам (8) и (9), имеют более сложный вид [1]:

^ ( Г! - R) +

dl = -1

+

R

(Т-Г - т) + ((Г1 - R)+ - Г1 + Г2), (12)

bx +

r1 - r2

+ т,

(11)

bl = r2T + b2 +

где (•) = 0, если (•) < 0.

2. ЗАДАЧА РАСЧЕТА ЛИНЕЙНОЙ ОГИБАЮЩЕЙ

2.1. Расчет однокомпонентной огибающей

Решим задачу расчета однокомпонентной линейной огибающей. Уточним, что задача состоит в аппроксимации эмпирической огибающей (1) линейной огибающей (7), которая должна ограничивать эмпирическую огибающую сверху и иметь максимально возможное значение «всплеска» Ь. Для удобства решения оптимизационной задачи заменим условие максимума «всплеска» на условие минимума скорости потока г (минимума углового коэффициента прямой). Такая замена допустима при поиске линейной огибающей для расчета максимального времени обслуживания (8). Для расчета максимальной длины очереди (9) необходимо максимизировать оба параметра: «всплеск» и скорость.

Отметим, что идея решения данной задачи основана на известном методе опорных векторов [13]. В частности, подобная задача регрессии по опорным векторам уже встречалась в публикациях [14].

Перейдем к переменным х и у и поставим задачу следующим образом. Дана эмпирическая огибающая — неубывающая последовательность точек:

х у^ х > ° у > ° х- + 1 > хР у + 1 > ур I = 1, ..., N.

Необходимо найти оптимальную линейную огибающую (касательную к эмпирической и ограничивающую ее сверху), заданную уравнением:

у = кх + Ь, (13)

с наименьшим углом наклона (к), наиболее близкую к точкам эмпирической огибающей (рис. 1).

За меру близости прямой (13) к точке (х., у.)

примем величину у\ — у1 = кх{ + Ь — у..

Обозначим §. ширину полосы, в которую должна вписаться эта величина. Тогда

кх1 + Ь - у. + е, у1 - кх1 - Ь <е.

Здесь е — параметр, характеризующий размер ошибки, с которой заданы значения эмпирической огибающей. Первое неравенство описывает точки, лежащие ниже прямой, второе неравенство — точки, лежащие выше прямой. Возможность существования точек выше прямой объясняется наличием ошибки е. Отметим, что полоса будет переменной ш ирины, поскольку каждой точке (х., у.) соответствует свое значение

Рис. 1. Расчет однокомпонентной линейной огибающей входящего потока

Тогда оптимизационная задача состоит в минимизации квадратичного функционала:

1 N

1 к2 + С ^ ^ min (14)

2 i = 1 к>5

при выполнении условий:

'kXi + b - yt <5i + e, i = 1, ..., N; yt - kxi - b < e, i = 1, ..., N; ■ к>0; (15)

b > 0;

> 0, i = 1,..., N.

В функционале (14) множитель 1/2 при к и квадратичная степень взяты для удобства, С — управляющий параметр, позволяющий регулировать соотношения между двумя оптимизируемыми величинами (к и 5).

Решение задачи (14), (15) приведено в Приложении.

2.2. Расчет двухкомпонентной огибающей

Решим задачу для д вухкомпонентной л инейной огибающей. Пусть задана та же эмпирическая огибающая:

(XP y¡), xi > ° У > ° xi + 1 > XP yt + ! > yp i = 1, ..., N.

В этом случае необходимо найти не одну прямую (13), а две, такие что огибающая

y(x) = minj^x + bj, k2x + b2}.

В соответствии с м оделью «ШЗегу» на параметры прямых необходимо наложить ограничения: к1 > к2, Ь1 < Ь2, которые задают условия оптимизации: минимизировать к2 и максимизировать к1. Будем считать, что смена компоненты (прямой) происходит в точке (хп, уп).

В этом случае оптимизационная задача, аналогичная задаче (14), (15), имеет вид:

B

1 n

¿ + с Xti

ki

= 1

+

N

с

i = n у

^ min (16)

kV k2'£i'£2

при выполнении условии:

(17)

kiXi + bi - yi <£ii + s, i = 1,..., n; k2x{ + b2 - yi < £2i + s, i = n,..., N; yi - kiXj - bi <s, i = 1,..., n; yt - k2Xj - b2 < s, i = n,..., N; k1 > 0; k2 > 0; k1 > k2; b1 > 0; b2 > 0; b1 < b2; £ii > 0, i = 1,..., n; £2i > 0, i = n,..., N.

В выражении (16) и — ширина полосы для первой и второй компоненты соответственно; е — размер ошибки; параметр С определен, как в формуле (14); параметр В позволяет регулировать соотношения между двумя компонентами огибающей (выбирается в соответствии с предполагаемой точкой смены компоненты). Аналитическое решение задачи (16), (17) довольно трудоемко. Данная задача решена численно.

3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНОЙ ОГИБАЮЩЕЙ

На основе изложенных в § 2 алгоритмов расчета линейной огибающей и численных методов разработана программа для ЭВМ, которая проверена на тестовых данных с известными параметрами к и Ь. Результаты численных расчетов параметров к и Ь показали хорошее соответствие с заданными значениями.

Изложенные алгоритмы и их численная реализация применялись также для оценки реального входящего потока. Был проведен расчет линейной огибающей для системы обслуживания программного обеспечения АСУ [6]. Под обслуживанием в этом случае понималась модификация программного обеспечения, входящий поток — это поток заданий на модификацию (поток элементов информационной базы).

250

gvl 200 и о

SS

а о 5 к

~ ЕГ О ев

а & ►Я &

и в

150 100 50

/ / / - f»«»

/ / - -il^K

! ♦ / * ♦ cumulative Ф empirical

Ф / --2-linear

Г ♦ * ♦

50 100 150 200 250 Время, рабочие дни

300

Рис. 2. Одно- и двухкомпонентная огибающие:

cumulative — кумулятивная функция входящего потока; empirical — эмпирическая огибающая; 1-linear — однокомпо-нентная линейная огибающая, 2-linear — двухкомпонентная линейная огибающая

Задача была решена для одно- и двухкомпо-нентной моделей. Параметры задачи оптимизации были заданы следующим образом: е = 2 % от среднего значения у, I = 1, ..., N для обеих моделей; С = 2 — для однокомпонентной модели, С = 5 — для двухкомпонентной модели; В = 1.

Численное решение задачи дало следующие значения параметров линейных огибающих:

однокомпонентной: к = 0,58, Ь = 97,2; двухком-понентной: к, = 2,5, Ь = 39,9, к2 = 0,4, Ь2 = 128,9.

На рис. 2 графически представлены результаты численных расчетов однокомпонентной и двух-компонентной огибающих: кумулятивная функция входящего потока, эмпирическая и линейные огибающие. По оси 0Х отложено время в рабочих днях, по оси 0 У — число элементов информационной базы.

На основе полученных огибающих проведен расчет времени обслуживания и очереди. В качестве функции обслуживания использовалась функция у = 52,31(х — 0,12) (получена в работе [6]).

Расчеты проведены по формулам (8), (9) для однокомпонентной огибающей и (11), (12) — для двухкомпонентной. Получены следующие результаты:

— при использовании однокомпонентной огибающей: время обслуживания (I = 1,98 раб. дн.; длина очереди Ь1 = 97,3 элементов;

— при использовании двухкомпонентной огибающей: время обслуживания (I = 0,88 раб. дн.; длина очереди Ь1 = 40,2 элементов.

Если рассматривать полученные результаты как оценку максимальных значений очередей и времен обслуживания, то обе м одели огибающей оказались правильными. Фактические очереди и вре-

мена обслуживания никогда не превосходили вычисленных значений. Однако однокомпонентная огибающая дала сильно завышенный результат. По нашему практическому опыту результат двух-компонентной огибающей оказался более близким к реальным значениям.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математически обоснованный расчет линейной огибающей входящего потока в приложениях «Network calculus» имеет важное значение: он устраняет произвол в выборе огибающей и тем самым повышает точность вычислений и ценность получаемых результатов.

Такой расчет может быть проведен на основе решения задачи оптимизации. В качестве оптимизируемых параметров предложено использовать угловой коэффициент искомой прямой и ширину полосы, в которую должна вписаться прямая. Угловой коэффициент линейной огибающей входящего потока наиболее важен, поскольку именно он определяет максимальное время обслуживания и длину очереди системы обслуживания. Для однокомпонентной модели линейной огибающей (аппроксимация одной прямой) задача сведена к задаче квадратичного программирования относительно д войственных переменных; для д вухкомпо-нентной модели (аппроксимация двумя прямыми) аналитическое решение более трудоемко. Численное решение задачи получено для обеих моделей.

Численный расчет одно- и двухкомпонентной линейных огибающих для системы обслуживания (модификации) программного обеспечения АСУ [6] позволил вычислить максимальные времена обслуживания и очереди при модификации программного обеспечения, которые хорошо согласуются с экспериментальными значениями.

В заключение отметим, что похожая задача возникает и при представлении функции обслуживания в линейном виде по известным эмпирическим данным. Такая задача заслуживает отдельного исследования.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Решение задачи квадратичного программирования для однокомпонентной огибающей. Решим задачу (14), (15). Лагранжиан имеет вид:

L(k, b, а, а*, ß, у, n) =

= 1 k2 + С £ ^ + £ а(kx ( + b - yt - ^ - s) +

2 i = 1 i = 1 N N

+ £а»(у - kxt - b - s) - £ ßД- yk - nb. (18) i=1 i= 1

По теореме Куна — Таккера [15] задача (14), (15) эквивалентна двойственной задаче поиска седловой точки функции Лагранжа:

L(к, b, Ъ, а, а*, ß, у, n) ^ min max ;

k,b,^ а,а*,р,у,г|

к > 0, b > 0, ^ > 0, а,- > 0, а* > 0, ß,- > 0, у > 0, n > 0, i = 1,..., N;

а,- = 0 либо kxt + b - yi - - s = 0, i = 1,..., N; (19) а* = 0 либо yi- kxt- b - s = 0, i = 1,..., N; ßi = 0 либо = 0, i = 1,..., N; у = 0 либо к = 0; Ц = 0 либо b = 0.

В последних пяти строках выражения (19) записаны условия дополняющей нежесткости. Необходимым условием седловой точки является равенство нулю производных лагранжиана, откуда следуют соотношения:

дГ N

— = к + У (а. - а* )х. - у = 0 ^ дк /=1 ' 1 1

N

^ к = У - У (а(. - а* )х,.; (20)

i = 1

dL N

-b = ZK- - а*) - n = 0 ^

(а; - а*) - n = 0; (21)

i = 1

dL = С - а; - ß, = 0 ^ а, + ß; = C. (22)

Решим задачу (19) для точек (x, y ), лежащих на прямой (13), т. е. для которых:

Ъ = 0. (23)

Будем искать прямую (13), не параллельную оси 07 и не проходящую через начало координат, т. е. для которой к ф 0, b ф 0. Тогда из последних двух условий дополняющей нежесткости (19) следует, что у = 0, n = 0. Поэтому из соотношения (20) следует:

к = У (а* - а)х, (24)

i = 1

а из соотношения (21):

У (а, - а*) = 0. (25)

i = 1

Кроме того, учитывая, что ß; > 0, из соотношения (22) можно заключить, что

0 < а(. < С. (26)

Таким образом, подставляя формулы (23) и (24) в выражение (18) и учитывая ограничения (25) и (26), задачу (19) можно свести к задаче квадратичного про-

граммирования относительно двойственных переменных а, и а* :

1 N N

L(a, а*) = -- XX (а* - а,-)(а* - а.)хх-

2 i = 1 j = 1

NN

- s X (а, + а* ) + X У, (а* - а,) ^ max ;

i = 1

i = 1

(27)

N

X (а,- - а*) = 0;

г = 1

0 < аг < С, г = 1, ..., N.

Решив задачу (27), можно найти к по формуле (24). Для нахождения параметра Ь воспользуемся первым условием дополняющей нежесткости (19) (а(. * 0), а также соотношениями (22) и (23):

kxt + b - yt - s = 0; 0 < а, < C, i = 1,..., N.

(28)

Решив систему (28) и найдя несколько значений параметра Ь для различных точек (хг, уг), результирующее значение Ь выберем как среднее арифметическое [16].

Таким образом, уравнение прямой (13) найдено, и поставленная задача решена.

ЛИТЕРАТУРА

1. Le Boundec J.-Y, Thiran P. Network Calculus: A Theory of Deterministic Queuing Systems for the Internet. Online Version of the Book Springer Verlag. — LNCS 2050. Version April 26, 2012. — 263 p.

2. Cruz R..L. A Calculus for Network Delay. Part I: Network Elements in Isolation // IEEE Trans. on Information Theory. — Jan. 1991. — Vol. 37. — Р. 114—131.

3. Cruz R..L. A Calculus for Network Delay. Part II: Network Analysis Information Theory // IEEE Trans. on Information Theory. — Jan. 1991. — Vol. 37. — P. 132—141.

4. Louis Baccelli, et al. Synchronization and Linearity An Algebra for Discrete Event Systems (Wiley Series in Probability and Statistics). — N.-Y.: John Wiley & Sons, 1992. — 514 p.

5. Масолкин С.И., Промыслов В.Г. Расчет некоторых параметров промышленной вычислительной сети объектов повышенного риска эксплуатации на примере АСУТП АЭС // Проблемы управления. — 2010. — № 1. — С. 47—52.

6. Байбулатов А.А. Метод расчета гарантированного времени модификации программного обеспечения // Проблемы управления. — 2016. — № 1. — С. 58—64.

7. Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. — М.: Техносфера, 2003. — 512 с.

8. Syski R. A personal view of queueing theory / In: Frontiers in Queueing. — Boca Raton. — N.-Y. — London — Tokyo: CRC, 1997. — P. 3—18.

9. ISS4E Seminar Series — Network Calculus: An Inconvenient Truth and New Perspectives. — URL: http://wise.uwaterloo. ca/calendar/iss4e_seminar_series_network_calculus_an_ inconvenient_truth_and_new_ (дата обращения: 19.05.2016).

10. Ciucu F., Fidler M, Liebeherr J., Schmitt J. Report from Dagstuhl Seminar 15112 Network Calculus. — March 8—11, 2015. — P. 63—83.

11. Залгаллер В.А. Теория огибающих. — М.: Наука, 1975. — 104 с.

12. Braden R., Clark D., Shenker S. Network Working Group Request for Comments: 1633, Integrated Services in the Internet Architecture: an Overview. July 1994.

13. Vapnik V.N. Statistical Learning Theory. — N.-Y.: John Wiley, 1998. — 768 p.

14. Smola A, Scholkopf B. A Tutorial on Support Vector Regression. — NeuroCOLT2 Technical Report Series. NC2-TR-1998-030, October, 1998. — 71 p.

15. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. — М.: Наука, 1983. — 384 с.

16. Burges C.J. C. A Tutorial on Support Vector Machines for Pattern Recognition / In: Data Mining and Knowledge Discovery 2. — Boston: Kluwer Academic Publishers, 1998. — P. 121—167.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

А. С. Манделем.

Байбулатов Артур Арсенович — науч. сотрудник,

Н bajbulatov@mail.ru,

Промыслов Виталий Георгиевич — канд. физ.-мат. наук,

вед. науч. сотрудник, Н v1925@mail.ru,

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН,

г. Москва.

Читайте в следующем номере

S Белов М.В. Модели управления численностью сотрудников предприятия

S Корноушенко Е.К. Простой алгоритм номинальной классификации по качественным признакам

S Сапожников В.В., Сапожников Вл.В., Ефанов Д.В. Построение самопроверяемых структур систем функционального контроля на основе равновесного кода «2 из 4»

S Стенников В.А., Пеньковский А.В., Хамисов О.В. Поиск равновесия Курно на рынке тепловой энергии в условиях конкурентного поведения источников тепла