CC BY
55
Аппроксимация нечетких моделей приведенными полиномами над конечными полями Галуа
Фомичева С. Г. Норильский государственный индустриальный институт Норильск, Россия levikha@rambler.ru
Аннотация. Приведены доказательства утверждений, которые позволяют выполнять изоморфные преобразования классических аддитивных нечетких моделей, функционирующих в поле вещественных чисел, в их аналоги, способные функционировать в конечных полях Галуа. Существование таких изоморфных преобразований обусловливает возможность адекватного квантования баз знаний, представленных в виде аддитивных нечетких и нейро-нечетких систем. Способность функционирования в конечных полях и в их расширениях, в свою очередь, позволяет адекватно применять к ним механизмы защиты информации на базе теории помехоустойчивого кодирования и теории криптографии.
Ключевые слова: аддитивные нечеткие модели, мультиагент-ные телекоммуникационные системы, изоморфизм, квантование, конечные поля Галуа, приведенные полиномы над конечными полями.
Введение
Интенсивное развитие беспроводных и мобильных сетей связи, распределенных информационно-телекоммуникационных систем и, в частности, открытых мультиагентных систем (ОМАС) приводит к формированию новых концептуальных сущностей, например, таких как агенты, которыми необходимо управлять в реальном времени [1]. В январе 1997 г. язык нечеткого управления FCL (fuzzy control language) внесен в Международный стандарт программируемых контроллеров IEC 1131-7.
При росте количества узлов распределенной информационно-телекоммуникационной системы, числа и разновидностей агентов, мигрирующих в ОМАС, возникает комплекс проблем: необходимость обеспечения целостности информации, переносимой агентами, обеспечение непротиворечивого обмена информацией между агентами, а также возможность адекватного пополнения баз данных и знаний агентов на пути их миграции.
В частности, рассматривая в составе ОМАС функционирование управляющих и автономных агентов, реализующих задачи обобщения данных и знаний, выделим этап предварительной обработки информации, предшествующий этапу передачи информации по распределенным каналам связи. Одна из важных на данном этапе задач, которые приходится решать агенту, - оптимизация параметров квантования информации. И если задачам квантования данных при теоретических исследованиях и практических реализациях уделялось достаточное внимание, то вопросы квантования знаний ни в отечественной, ни в зарубежной литературе в должной мере не освещены. Оптимизируемыми параметрами при
квантовании знаний, представленных в виде аддитивных нечетких моделей, могут выступать, например, количество значимых правил базы знаний, термов лингвистических переменных, параметров адаптации каждого лингвистического терма, уровней иерархии аддитивной нечеткой модели, точность обобщения. Выбранные параметры квантования знаний, очевидно, определяют объем транспортируемой мобильными агентами базы знаний, скорость ее адаптации и модификации, возможность применения конкретных механизмов защиты структуры базы знаний и ее содержимого.
Также следует отметить, что уровень защиты знаний должен быть выше уровня защиты данных, на основе которых эти знания сформированы. То есть возникает необходимость в построении иерархических систем защиты как знаний, так и данных. Конструктивные подходы к созданию иерархических систем защиты информации существуют [2, 3] и, как правило, реализуются алгебраическими механизмами в конечных полях Галуа. Следовательно, структура транспортируемой базы знаний и ее содержимое должны быть подготовлены для адекватного применения к ним иерархических механизмов защиты. В частности, база знаний после ее квантования может быть представлена в виде изоморфных концептуальных сущностей, например, таких как полиномы над конечными полями Галуа.
В данной статье докажем основные утверждения, которые обусловливают возможность изоморфных преобразований классических аддитивных нечетких сетей, функционирующих в поле вещественных чисел, в их аналоги, реализованные в конечных полях Галуа. Представление аддитивных нечетких сетей в виде полиномов над конечными полями и их расширениями, в свою очередь, позволяет адекватно применять к ним механизмы защиты информации на базе теории помехоустойчивого кодирования и теории криптографии.
1. Аппроксимация аддитивных нечетких моделей
полиномиальными функциями над полем вещественных чисел
Доказаны теоремы об универсальной аппроксимации нечетких продукционных моделей полиномами над полями вещественных чисел [4-7]. Доказательства этих теорем опираются на теоремы Вейерштрасса и Вейерштрасса - Стоуна в том смысле, что в основе этой универсальной аппроксимации лежит способность аддитивных нечетких моделей аппроксимировать любую полиномиальную функцию, ко-
торой, в свою очередь, можно аппроксимировать любую непрерывную функцию.
Приведем здесь без доказательства теоремы Вейерштрас-са и Вейерштрасса - Стоуна [8].
Теорема 1.1 (Вейерштрасса). Пусть /(х) - непрерывная функция, определённая на отрезке [а, Ь]. Тогда для любого е > 0 существует такой многочлен р(х) с вещественными коэффициентами, что для любого х е [а, Ь] выполнено условие
|/(х) - Р(х)| <е.
Теорема 1.2 (Вейерштрасса - Стоуна). Пусть С(X) -кольцо непрерывных функций на бикомпакте X с топологией равномерной сходимости, порожденной нормой
\\/(х)|| = шах|/(х)|, /(х) е С(X),
хеХ
и пусть Со £ С(х) есть подкольцо, содержащее все константы и разделяющее все точки из X, т. е. для любых двух различных точек х\ е X и х2 е X существует функция /(х) е Со, для которой /(х1) Ф /(х2). Тогда[С0] = С(х), т. е. всякая непрерывная функция на X есть предел равномерно сходящейся последовательности функций из Со.
А также приведем формулировку и доказательство теоремы Коско [5] (в силу отсутствия такового в русскоязычных изданиях).
Теорема 1.3 (Коско). Аддитивная нечеткая система ¥ универсально аппроксимирует функцию /(X) ^ У, если множество X компактно и функция /(X) непрерывна на этом компакте.
Доказательство
Пусть е > 0 - некоторая малая величина. Требуется доказать, что |¥(х) - /(х)| < е для всех х е X, X - компактное подмножество Я". ¥(х) - центроид выходной лингвистической переменной аддитивной нечеткой системы ¥.
Поскольку непрерывность /(X) на компакте X определяет универсальную непрерывность, существует некоторое фиксированное расстояние d, такое, что для всех х и г в
X,|/(х)-/(г) < 1, если х-г|<d. Построим цепь открытых кубов М1,..., Мт, которые покрывают X таким образом, что это приводит к наложению их в координатах " так, что каждый угол куба находится в центре Cj его соседа М..
Пусть В. - симметричное нечеткое множество, сосредоточенное над /(с.). Тогда /(с.) есть центр (высота) нечеткого множества В .
Пусть и е X. Тогда конструкция и содержит самое большее 2" перекрывающихся открытых куба М..
Пусть w - любой куб в том же множестве. Если и е М. и w е Мк, то для всех V е М. П Мк имеем |и - V < d и |и - w| < d. Универсальная непрерывность подразумевает, что
\/(и) - /И| < |/(и) - /(V) + |/(V) - /И| < 2 .
Тогда для центров кубов с. и ск имеем
\/(с.) - /(ск )| < 2 .
Пусть х е X. Тогда х также находится самое большее в 2" открытых кубах с центрами с. и
/ (с. ) - / (х) <- .
2
По к-й координате ограниченного пространства Яр устанавливается к-я высота (центр) элемента аддитивной системы ¥ (х), которая лежит либо «на», либо «между» к-й высоте (центре) компоненты В ..
е
Так как /(с.)-/(ск) <— для всех/(с.),
¥ (x) - f (cj) <- .
Тогда
|¥(x) - f (x)| < \¥(x) - f (cj)| +1 f (cj) - f (x)| <
e e ■
< — + — = e.
2 2
Доказательство теоремы Коско показывает, что нечеткие множества Ai и Bj можно заменить совокупностью конечных векторов(а{,..., an) и(Ь1,..., bJp). Дискретный вариант Bj должен иметь высоту «в» или «близко» к центроиду Bj. Таким образом, всегда можно работать с большемерными гиперкубами, рассматривая нечеткие правила или продукции как картографическую матрицу (или нечеткую реляционную базу знаний) между гиперкубами как точки в еще большем гиперкубе.
Конструктивным результатом доказательства этих теорем является оценка необходимого количества правил модели для заданной точности аппроксимации, которое определяется с помощью минимального расстояния между центроидами двух смежных нечетких множеств, представляющих
заключения правил, обозначаемых как yi и yi+l:
e
\yi - yi+i| < ^, (1)
где e - точность аппроксимации; g -максимальное число перекрытий (overlapping) нечетких множеств входных переменных на компактном множестве Х (для одной входной переменной g = 2 ).
Для одной входной переменной необходимое количество правил определяется выражением
X
n > —.
e
Очевидно, что при стремлении e к нулю количество правил неограниченно, но для заданного значения e количество правил может быть оценено с помощью (i).
Однако данные результаты не дают ответов на вопросы, какую конкретно нечеткую модель необходимо выбрать, сколько должно быть правил для аппроксимации заданной функции, каковы механизмы регулирования точности аппроксимации, также остается нерешенной проблема компактной упаковки аддитивной нечеткой модели в ограниченное адресное пространство.
2. Аппроксимация аддитивных нечетких
моделей приведенными полиномами над конечными полями
В текущем параграфе докажем основные утверждения, позволяющие обосновать и реализовать механизмы
мягкой иерархической консолидации знаний агентов и надежного хранения данных агентов в информационно-телекоммуникационных ОМАС. Для этого следует обосновать возможность создания аналогов нечетких и нейро-нечетких структур, адекватно функционирующих в конечных полях.
Теорема 2.1. Аддитивная нечеткая система F со сколь угодно малой точностью е > 0 аппроксимирует полином с вещественными коэффициентами p(x) ^ Y, если множество X компактно.
Доказательство
В силу верности теоремы Коско имеем, что аддитивная нечеткая система F универсально аппроксимирует непрерывную функцию f (x) ^ Y на компактном множестве X, если эта функция непрерывна на этом компакте, т. е.
F(x) - f (x)| <е1,
где е1 > 0 - сколь угодно малая величина; x е X.
В соответствии с теоремой Вейерштрасса, любая непрерывная функция f (x), определённая на компакте X, может быть аппроксимирована с точностью е2 многочленом p( x) с вещественными коэффициентами, т. е. для Vx е X выполнено условие | f (x) - p(x)| < е2.
Тогда
|F (x) - f (x)| = |F (x) - (p( x) ±е2) = = F(x) - p(x) + е^ <е1; |F(x) - p(x)| <|е1 ±е2|.
Положив е = |е1 - е21, получаем требуемое утверждение
\F(x) - p(x)| < е. ■
Для доказательства иных аппроксимирующих свойств аддитивных нечетких и адаптивных нейро-нечетких систем потребуются ряд известных утверждений (2.1-2.7). Необходимость в этих утверждениях возникает в связи требованием перехода из вещественного поля вычислений в поле вычислений над конечными полями. Отметим, что обычной дискретизацией вещественных чисел в множество целых чисел проблемы масштабирования баз знаний решить нельзя, так как множество целых чисел не является полем (в нем отсутствует мультипликативно обратный элемент). Вычисления в конечных полях повсеместно используются в теории кодирования и в теории криптографии, без которых, в свою очередь, невозможно обосновать параметры надежной передачи информации в каналах связи ОМАС ИТКС.
Конечное поле - поле, число элементов которого конечно. Если число элементов поля является степенью qm - некоторого натурального простого числа q, являющегося характеристикой этого поля, то такое поле называют полем Галуа и обозначают GF (qm).
Известно [9, 10], что для Vq и Vm е N, где N - множество натуральных чисел, существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из qm элементов. Количество элементов поля называют порядком этого поля и обозначают card (GF (qm )).
Также известны утверждения 2.1-2.7 [9]:
Утверждение 2.1 [10]
Поле GF(qn) содержит подполе GF(qm) в том, и только в том случае, если n | m (m делит n). В частности, в любом GF(qm) содержится GF(q), называемое простым полем.
Утверждение 2.2 [10]
Поле GF(q) изоморфно полю Z | (q) - классов вычетов кольца целых чисел по модулю q.
Любое конечное расширение поля алгебраично [9].
Утверждение 2.3 [10]
Поле вещественных чисел R является алгебраическим замыканием Q поля Галуа, так как всякий отличный от константы многочлен с коэффициентами из GF(q) имеет по крайней мере один корень на поле вещественных чисел R.
Утверждение 2.4 [10]
В любом фиксированном алгебраическом замыкании Q поля GF(q) существует только одно подполе GF(qm) для каждого m. Соответствие m о GF(qm) является изоморфизмом между решеткой натуральных чисел (являющихся подмножеством вещественных чисел) относительно операции делимости и решеткой конечных алгебраических расширений поля GF(q), лежащих в Q относительно включения.
Такова же решетка множества конечных алгебраических расширений любого поля Галуа, лежащего в его фиксированных алгебраическом замыкании.
Утверждение 2.5 [10]
Алгебраическое расширение GF(qm)/ GF(q) является простым, т. е. За е GF(qm) - примитивный элемент, такой, что GF(qm) = GF(q)(a). Таким примитивным элементом а будет любой корень неприводимого многочлена степени m из кольца GF(q)[X].
Утверждение 2.6 [9, 10]
Множество элементов поля GF(qm) в точности совпада-
ат
ет с множеством корней многочленаX¥ -X в Q, т. е. GF(qm) характеризуется как подполе элементов из Q, инвариантных относительно автоморфизма т : х ^ хч , называемым автоморфизмом Фробениуса.
Утверждение 2.7 [9, 10]
Если GF(qn) з GF(qm), то расширение GF(qn) / GF(qm) нормально и его группа Галуа Gal (GF (qn) / GF (qm)) циклическая порядка n | m. В качестве образующей группы Gal (GF (qn) / GF (qm)) может быть взят автоморфизм т.
Теоремы 1.1-1.3 и утверждения 2.1-2.7 позволяют доказать следующую теорему.
Теорема 2.2 [11]
Пусть аддитивная нечеткая система F со сколь угодно малой точностью £1 > 0 аппроксимирует полином p(х) с вещественными коэффициентами на компакте X.
Тогда 3q и З полином g(X) над GF(qm) (X е X = {0,1,..., q-1}, m е N, m > 0), изоморфный p(х), который также аппроксимирует F со сколь угодно малой точностью £2 > 0,
£2 =£1 ± о(£1).
Доказательство
В силу верности утверждений 2.3, 2.4 устанавливается изоморфизм компакта X вещественного поля и GF(qm).
Далее в силу утверждения 2.6 имеем существование лексикографического порядка элементов GF(qm), инвариантного относительно автоморфизма Фробениуса, из которого
lntellectual Technologies on Transport. 2017. ^ 1
следует существование g(X) над О¥(дт), х е {0,1,...,д-1} и изоморфизм р(X) ^ g(X). ■
В теореме 2.2 говорится о существовании полинома g (X) над 0¥ (дт), который с заданной точностью аппроксимирует аддитивную нечеткую систему ¥, но не устанавливается вид этого полинома. Чтобы указать вид этого полинома, введем в рассмотрение ряд обозначений и ограничений.
Пустьх = (х1, х2,...,хт)- вектор нечетких входных переменных х е X; у - нечеткая выходная переменная аддитивной нечеткой системы ¥, у е У.
Пусть д - некоторое априорно заданное простое число.
Ограничение 2.1
ПустьА(') = {А(\ А«, ..., Адг)}-множество лингвистических термов нечеткой входной переменной х{, заданных на X соответствующими нечеткими множествами с функциями принадлежности ц^ (х1) е [0,1] для I = 1, д. А - множество лингвистических термов векторах = (х1, х2,..., хт): А = А(' х Л(2) х ...х Л( т).
Ограничение 2.2
Пусть В = {В1,В2,...,Вд} - множество лингвистических термов, заданных на У соответствующими нечеткими множествами с функциями принадлежности цв (у) е [0,1] для г = 1, д.
Ограничение 2.3
Пусть каждая функция принадлежности цлг (х,) е [0,1] для I = 1, д и Цв (у) е [0,1] для г = 1, д является симметричной и имеет центроиды х(1) с вершинами в точках с абсцис-I-1
сами
и основаниями
д
, 2д
при I = 1;
1
2д'
при I = д; при I Ф 1 и I Ф д.
I-1 -/-1 + д 2д' д 2д
То есть ограничения 2.1 и 2.3 указывают, что характеристика поля полностью определяет расположение и количество термов.
Тогда можно доказать следующее утверждение.
Теорема 2.3
Аддитивная нечеткая система ¥ при ограничениях 2.12.3 может быть аппроксимирована со сколь угодно малой точностью е > 0 приведенным полиномом с коэффициентами над О¥ (д).
Доказательство
Множество всех возможных паттернов (х, у) = (х1, х2, ..., хт, у) полностью определяют состояние и выход аддитивной нечеткой системы ¥, причем в силу ограничения 2.1 количество различных векторов х = (х1, х2,..., хт) ограничено и составляе^! Л|| = дт.
Введение ограничений 2.3 на положение центроидов и размах оснований функций принадлежности обеспечивает непрерывное покрытие компакта Хупорядоченными лингвистическими термами, что дает возможность применять теорему Коско и, следовательно, теоремы 2.1 и 2.2.
Тогда векторы х = (х1,х2,...,хт) аддитивной нечеткой системы ¥ могут быть изоморфно отображены в конечное
поле 0¥(дт), а сама ¥ с использованием ограничения 2.2 полностью задана ее таблицей истинности для многозначной логики.
Число строк в таблице истинности равно саЫ (0¥ (дт)) и однозначно связано с мощностью базы правил для заданной точности аппроксимации, которое определяется с помощью минимального расстояния между центроидами двух смежных нечетких множеств, представляющих заключения правил.
Известно, что булевская функция, заданная ее таблицей истинности, может быть представлена полиномом Жегалки-на, а для д-значной логики функция, заданная таблицей ее значений, - приведенным полиномом с коэффициентами в 0¥(д) тогда и только тогда, когда д - простое [12, 13].
Следовательно,
|¥(х) - р(х)| = |¥(х) - д(х) < е,
где ¥(х) - изоморфное отображение ¥ в 0¥(дт) для априорно заданного д, определяющего количество термов в ее
нечетких переменных,
а'х'
g = а0 1
'... © а12...тх1х2...хт , (2)
где g(х)- приведенный многочлен над 0¥(д), а1,а., ..., а12...т е С¥(д), х е 0¥(д),' = 1, т{. ■
Алгоритмы формирования приведенных полиномов аналогичны алгоритмам построения полиномов Жегалкина, среди последних наиболее эффективные приведены в [13, 14], что уже само по себе приближает решение задачи автоматического формирования полной базы знаний агента.
Число слагаемых приведенного полинома (2) определяется количеством различных мономов (элементарных конъюнкций при д = 2), которые в свою очередь являются элементарными правилами. Приведем нижние и верхние оценки сложности формирования функций в классе приведенных полиномов и приближенных приведенных полиномов.
3. Оценки сложности формирования
функций в классе приведенных полиномов над конечными полями
Введем ряд обозначений для оценки сложности функций в классе полиномов [13].
Множество всех функций многозначной логики с основанием д обозначим Р . Пусть I(О) обозначает количество слагаемых полинома О и называется длиной полинома О.
Пусть /(х1,х2,...,хт) е Рд и имеет соответствующий ей приведенный полином О/ над Рд.
Введем функционал
1о (/) = шш(/(О/)),
обозначающий длину полинома О/. Значение ¡с (/) называют сложностью функции / в классе приведенных полиномов.
Также введем в рассмотрение функцию
Ь,о (т) = шах (1о (/
/ еРд (т)
которая характеризует сложность «самой сложной функции» от т-переменных в классе приведенных полиномов. Функ-
ция Ьс (т) называется функцией Шеннона сложности в классе приведенных полиномов.
Тогда можно доказать следующие утверждения для нижней и верхней оценок сложности функций.
Теорема 3.1
Нижняя оценка для функции Шеннона сложности в классе приведенных полиномов над ОГ (д) задается неравенством
ат
ЬО (т) >-*-.
т ^ а (д +1)
Доказательство
Пусть Ьо (т) = Ь. Всего существует (д + 1)т мономов (элементарных конъюнкций при д = 2) от т -переменных, поэтому количество полиномов длины не больше Ь от т переменных не превосходит ((д + 1)т)Ь. Число функций Рд от т
ат
переменных равно ф . Очевидно, что количество полиномов не может быть меньше числа функций, иначе найдется функция, для которой не существует эквивалентного ей полинома длины < Ь, что противоречит определению Ьо (т). Следовательно,
(а+1)тЬ > ддП.
Выразив Ь из данного неравенства, получаем
Lg (m) >
q
m logq (q + 1)
(3)
Оценку сверху для Ьо (т) можно получить, обобщив на случай многозначной логики верхнюю оценку для булевских функций.А именно [13]
2т
ЬР (т) < 2--(1 + 1п(т)).
2 т
Тогда для приведенного полинома в Рд получим
_т+1
Lg (m) <1-(1 + ln(m)).
(4)
Как видно из выражений (3) и (4), при аппроксимации аддитивных нечетких систем приведенными полиномами над ОГ (дт) по-прежнему, как и в классических нечетких продукционных моделях, имеет место экспоненциальный рост количества правил при стремлении к нулю ошибки аппроксимации, что приводит к существенному росту вычислительной сложности и практической неприменимости.
С практической точки зрения достаточно иметь приемлемую для адекватного принятия решения точность аппроксимации. В этом случае задача сводится к поиску компромисса между указанной точностью и количеством правил модели. Подходы к поиску такого компромисса могут быть следующими:
1) использовать алгоритмы формирования приближенных приведенных полиномов;
2) модифицировать известные имеющиеся рекурсивные алгоритмы, базирующиеся на формировании эквивалентных генераторов т-последовательностей (последовательностей максимальной длины);
3) строить иерархические конструкции из адаптивных нечетких систем или их изоморфных образов над конечными полями, используя возможность представления приве-
денного полинома в виде произведения его неприводимых сомножителей.
Первый подход при его классической реализации позволяет снизить сложность формирования приближенного приведенного полинома по сравнению с исходным на порядок. Покажем это.
Понятие приближенного полинома базируется на использовании некоторой действительной константы 5 е [0,1], которая обозначает долю наборов, на которых значения полиномов g1 (xm) и g2 (xm) различаются в смысле расстояния Хэмминга d (g1, g 2). То есть говорят, что полином g1( xm) является
5 -приближением полинома g2 (xm), если d(g1'g2) < 5 (для
q
полинома Жегалкина q = 2). Иными словами, доля совпадений между значениями g1 (xm) и g2 (xm) должна быть не менее 1 -5.
В частности, верхние и нижние оценки функций сложности над классом приближенных приведенных полиномов могут быть также получены обобщением известных оценок для полиномов Жегалкина, последние из которых приведены в [13].
Для оценки сложности приближенных полиномов введены в рассмотрение четыре функции сложности:
rs (g) = min r(Pq) - ранг приближенного полинома g
g1-5-g2
(число сомножителей максимального монома);
ls (g) = min l(Pq) - длина приближенного полинома g;
g1-5-g2
I5 (m) = max l q(g)- функция Шеннона сложности в
g1-5-g2 4
классе приближенных приведенных полиномов;
Г5 (m) = max r q (g) - асимптотика ранга приближенно-
g1-5-g2 4
го полинома g.
Опуская громоздкие умозаключения [13], приведем верхние оценки для двух последних функций:
ls (m) = qm при 5 = 0;
ls (m) < ^ (1 -5) • qm +1 при 5е^ 0,|j ; r5 (m) = m при 5 = 0;
r5(m)~q—1 • m при 5е| 0,1
q \ 2
На рисунке приведены графики функций Шеннона сложности для характеристики поля д = 5. Видно, что при т > 16 число мономов даже приближенного приведенного полинома весьма велико (транспортировка такого полинома потребует около 100 тысяч агентов при условии, что каждый агент транспортирует 1000 мономов). При необходимости транспортировки полной базы правил в виде такого «длинного» приведенного полинома потребуется его дополнительная обработка - обратимая свертка (например, алгоритмом Бер-лекэмпа - Месси).
Наличие целевой функции у агента позволяет добиться регулируемого баланса между количеством правил и точностью аппроксимации, формируя иерархические нечеткие продукционные модели (аддитивные т-входные иерархические нечеткие модели), включающие в себя (т - 1)-входные нечеткие продукционные модели [15]. Иерархическая схема
Функция Шеннона сложности (q=5)
Границы функций сложности Шеннона при построении приведенных полиномов над конечными полями
при этом, очевидно, должна учитывать рейтингование вложенных в нее нечетких моделей (рейтинговые механизмы в данной статье не рассматриваются).
Докажем, что аддитивные т-входные иерархические нечеткие модели также являются универсальными аппрок-симаторами. Для этого следует показать, что вид полинома, аппроксимирующего аддитивную нечеткую модель, может быть представлен некоторой иерархической структурой. Иерархическая структура, в свою очередь, всегда может быть получена из мультипликативной формы полинома.
Поэтому на основании теорем Коско и Вейерштрасса может быть сформулировано следующее утверждение.
Теорема 3.2
Существует полином р^) ^ У с вещественными коэффициентами и с мультипликативной структурой своих одночленов, который аппроксимирует аддитивная нечеткая система ¥ со сколь угодно малой точностью е > 0, если множество X компактно.
Доказательство
Возможность представления произвольного полинома в виде мультипликативной структуры его членов вытекает из существования интерполяционной формулы Лагранжа, а также непосредственно из утверждений теорем 2.1-2.3, Вейерштрасса и Коско. Формула Лагранжа в данном случае имеет вид
/(х1,..., хт ) =
= X /(а1а2...ат )(х1 + а1 + 1)...(хт + ат + 1). ■
(а1а2 ...ат )
Как аддитивная, так и мультипликативная форма приведенного полинома, который является образом аддитивной нечеткой модели, позволяет распределять (и перераспределять) его мономы (элементарные дизъюнкции и конъюнкции при д = 2) между отдельными агентами, объединенными в одну группу для выполнения целевой функции. Целевая функция представляет собой не что иное, как полную (или полную с заданной точностью аппроксимации) форму приведенного полинома (аддитивную или мультипликативную).
В целом отметим, что иерархические адаптивные ней-ро-нечеткие модели, представленные приведенными по-
линомами, позволяют реализовать принципы распределенности многоагентных систем, а их практическое воплощение [15] подтверждает эффективность функционирования в распределенных производственных информационно-телекоммуникационных системах.
Заключение
В данной статье на основании теорем об универсальной аппроксимации нечетких продукционных моделей, опирающихся на доказательствах теорем Вейерштрасса, Вейерштрасса - Стоуна, а также теоремы Коско доказана теорема о существовании фиксированного простого числа q, при котором аддитивная нечеткая система F с симметричными функциями принадлежности для ее входных x. и выходной переменной y на компакте X может быть аппроксимирована со сколь угодно малой точностью £ приведенным полиномом (естественным обобщением полинома Жегалкина для многозначной логики).
Приведены верхние и нижние оценки функций Шеннона сложности для точных и приближенных приведенных полиномов над конечными полями Галуа. Показана возможность аппроксимации иерархических нечетких и нейро-нечетких систем приведенными полиномами над конечными полями Галуа.
Полученные в статье доказательства могут быть использованы при решении задач автоматического квантования баз знаний, реализованных в виде аддитивных нечетких и нейро-нечетких сетей, что особенно важно при разработке интеллектуальных агентов ОМАС распределенных информационно-телекоммуникационных систем.
Литература
1. Тимофеев А. В. Интеллектуализация процессов управления и навигации робототехнических систем / А. В. Тимофеев, Р. М. Юсупов // Робототехника и техническая кибернетика. - 2014. - № 2 (3). - С. 19-22.
2. Pat. USA 7532724 H04L 9/00. Method for encrypting and decrypting data for multi-level access control in an ad-hoc network. Bezzateev S., Jung Tae-chul, Lee Kyung-hee, Krouk E., Sitalov A.
3. Фомичева С. Г. Защита информации в распределенных иерархических системах / С. Г. Фомичева // Науч.-технич. ведомости СПбГТУ. Информатика, телекоммуникации, управление. - 2008. - № 2. - С. 91-97.
4. Борисов В. В. Нечеткие модели и сети / В. В. Борисов,
A. С. Круглов, А. С. Федулов. - М.: Горячая линия - Телеком, 2012. - 284 с.
5. Kosco B. Fuzzy system as universal approximators /
B. Kosco // Proc. of IEEE Int. Conf. on Fuzzy Systems. - San Diego, 1992. - Р. 1153-1162.
6. Wang L. X. Fuzzy systems are universal approximators / L. Wang // Proc. of IEEE Int. Conf. on Fuzzy Systems. - San Diego, 1992. - Р. 1163-1169.
7. Ying H. Sufficient conditions on uniform approximation of multivariate functions by general Takagi-Sugeno fuzzy systems with linear rule consequents / H. Ying // IEEE Trans. Systems, Man and Cybernetics. Part A. - 1998. - Vol. 28, no. 4. - P. 515520.
8. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. - М.: Физматлит, 2003. - 680 с.
9. Лидл P. Конечные поля. В 2 т. Т. 1. / P. Лидл, Г. Нидер-райтер; пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - 430 с.
10. Виноградов И. М. Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов. - М.: Сов. энциклопедия, 1977-1985. -URL: http://enc-dic.com/enc_math/Galua-pole-6052.html (дата обращения 25.01.2017).
11. Фомичева С. Г. Теория потоковых систем защиты информации / С. Г. Фомичева. - Норильск: Норильский ин-дустр. ин-т, 2007. - 243 с.
12. Глушков В. М. Энциклопедия кибернетики. Т. 1. Же-галкина алгебра / В. М. Глушков, Н. М. Амосов, И. А. Арте-менко. - URL: http://edu.sernam.ru/book_kiber1.php?id=455 (дата обращения 25.01.2017).
13. Селезнева С. Н. Булевы функции и полиномы / С. Н. Селезнева. - URL: http://mk.cs.msu.ru/images/e/ea/Bool_ polynoms.pdf (дата обращения 25.01.2017).
14. Фомичева С. Г. Моделирование развития информационно-телекоммуникационных систем / С. Г. Фомичева; под ред. к.т.н., д.э.н., проф. А. В. Бабкина. - СПб.: Синтез-Бук, 2009. - 384 с.
15. Konev A. A. Adaptive control system for silicon oxide concentration in slags at processing cooper-nickel ores / A.A. Ko-nev, S. G. Fomicheva // Software & systems. Int. Res. Practice J. - 2014. - no. 3 (107). - Р. 131-141.
The Fuzzy Models Approximation are Given by Polynomials Over Finite Galois Fields
Fomicheva S. G. Norilsk state industrial Institute Norilsk, Russia levikha@rambler.ru
Abstract. Given the proofs of theorems that allow you to perform isomorphic transformations for the classical additive fuzzy networks operating in the field of real numbers to their analogs able to function on the finite Galois fields. The existence of such iso-morphic transformations lead to the possibility for an adequate quantization of the knowledge bases represented as additive fuzzy and neuro-fuzzy systems. The ability to operate in finite fields and their extensions allow you to apply for them the protect information mechanisms on the theory of error-correcting coding theory and cryptography.
Keywords: additive fuzzy models, multi-agent telecommunication systems, isomorphism, quantization, finite Galois field, given polynomials over finite field
References
1. Timofeev A. V., Yusupov R. M. Intellectualization of the Processes for Control and Robotic Navigation Systems [Intellektu-alizatsiia protsessov upravleniia i navigatsii robototekhnicheskikh sistem], Robototekhnika i tekhnicheskaia kibernetika [Robotics and Technical Cybernetics], 2014, № 2 (3), pp. 19-22.
2. Patent USA 7532724 H04L 9/00. Method for encrypting and decrypting data for multi-level access control in an ad-hoc network. Bezzateev S., Jung Tae-chul, Lee Kyung-hee, Krouk E., Sitalov A.
3. Fomicheva S. G. Zaschita informatsii v raspredelennyh ier-arhicheskih sistemah, Nauchno-tehnicheskie vedomosti SPbG-TU. Informatika, telekommunikatsii, upravlenie [St. Petersburg State Polytech. Univ. J. Comput. Sci. Telecommunication and Control Systems], 2008, № 2, pp. 91-97.
4. Borisov V. V., KruglovA. S., Fedulov A. S. Nechetkie mod-eli i seti [Fuzzy Models and Nets], Moscow, Goryachaya Liniya Telekom, 2012, 284 p.
5. Kosco B. Fuzzy System as Universal Approximators, Proc. of IEEE Int. Conf. on Fuzzy Systems, San Diego,1992, pp. 11531162.
6. Wang L. X. Fuzzy Systems are Universal Approximators, Proc. of IEEE Int. Conf. on Fuzzy Systems, San Diego, 1992, pp. 1163-1169.
7. Ying H. Sufficient Conditions on Uniform Approximation of Multivariate Functions by General Takagi-Sugeno Fuzzy Systems with Linear Rule Consequents, IEEE Transaction on Systems, Man and Cybernetics, Part A, 1998, Vol. 28, no. 4, pp. 515-520.
8. Fikhtengol'ts G. M. Kurs differentsial'nogo i integral'-nogo ischisleniia [Course of Differential and Integral Calculus, in 3 vol., t. 1, Moscow, Fizmatlit, 2003, 680 p.
9. Lidl R., Niederreiter H. Konechnyepolia [FiniteFields]. Vol. 1, Moscow, Mir, 1988, 430 p.
10. Vinogradov I. M. Matematicheskaja "entsiklopedija [Mathematical Encyclopedia], Moscow, Sovetskaja "entsiklopedija, 1977-1985. Available at: http://enc-dic.com/enc_math/Ga-lua-pole-6052.html (accessed 25 January 2017).
11. Fomicheva S. G. Teoriiapotokovykh sistem zashchity informatsii [The Stream Systems Theory for Information Protection], Norilisk, Norilskii industrialniy institut, 2007, 243 p.
12. Glushkov V. M., Amosov N. M., Artemenko I.A. Entsiklopedija kibernetiki [Encyclopedias of Cybernetics]. T. 1. Zhegalkina algebra [Zhelgalkin Algebra]. Available at: http://edu.sernam.ru/book_kiber1.php?id=455 (accessed 25 January 2017).
13. Selezneva S. N. Bulevy functsii ipolinomy [The Boolean Functions and Polynomial's]. Available at: http://mk.cs. msu.ru/images/e/ea/Bool_polynoms.pdf (accessed 25 January 2017).
14. Fomicheva S. G. et. al. Modelirovanie razvitiia infor-matsionno-telekommunikatsionnykh sistem [The Simulation of the Development for Information and Telecommunication Systems], ed. A. V. Babkin. St. Petersburg, Sintez-Buk, 2009, 384 p.
15. Konev A.A., Fomicheva S. G. Adaptive Control System for Silicon Oxide Concentration in Slags at Processing Cooper-nickel Ores [Software & systems Int. Res. practice J], 2014, no. 3 (107), pp. 131-141.
