Аппроксимация кривизны гладких классов плоских кривых элементами конечномерных подпространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 41-47

= Математика =

УДК 517.518

Аппроксимация кривизны гладких классов плоских кривых элементами конечномерных подпространств *

Ю. Н. Субботин

Аннотация. Рассматриваются проблемы аппроксимации кривизны плоских гладких кривых в среднеквадратической метрике конечномерными подпространствами (тригонометрическими полиномами, периодическими интерполяционными сплайнами с равномерными узлами и интерполяционными сплайнами нечетной степени, удовлетворяющим краевым условиям первого типа).

Ключевые слова: кривизна, тригонометрические полиномы, сплайны, оценки погрешности аппроксимации, среднеквадратическая метрика.

В работе рассматриваются плоские явно заданные 2-^-периодические кривые у = (х) [0 ^ х ^ 2^] и предполагается, что (г — 1)-я производная

функции f (х) абсолютно непрерывна, а г-я производная удовлетворяет неравенству

2п

У и (г\х)]2 йх ^ 1, Г ^ 3. (1)

0

В.Н.Габушин, иногда с соавторами (см., например [1]) обобщал результаты А. Н. Колмогорова [2] и других авторов об оценках норм промежуточных производных через нормы функции и старшей производной на нелинейные операторы, например, на операторы кривизны.

В настоящей работе рассматриваются вопросы аппроксимации кривизны в метрике ¿2[0,2^] на классах плоских кривых, удовлетворяющих неравенству (1). При этом рассматривается аппроксимация тригонометрическими полиномами порядка не выше (п — 1), или 2^-периодическими

* Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных исследований Президиума РАН «Математическая теория управления» (проект 12-П-1-1022) и интеграционного проекта, выполняемого совместно учеными УрО РАН и СО РАН (проект 12-С-1-1017).

сплайнами Б2Г-1,п(х) степени (2г — 1) с равномерными узлами склейки и интерполяции {кп/п}, п € М, к € Ъ в случае 2п-периодических функций.

В случае непериодических функций применяются те же сплайны, но удовлетворяющие краевым условиям 1-го типа:

и ^(х) = ^211п(х), х = 0, 2п, в = 1,...,г.

Положим

К (ух = п+хур ■ (2)

[1 + у'(х)]2

где 2

у'(х) = ‘Ух! , у»(х) = ^ .

йх йх2

Далее пусть Б = Б(х) — аппроксимирующая кривая. Тогда

у" Б"

\К (у, х) — К (Б, х)| =

[1 + (у')2] 2 [1 + (Б')2] 2

<

< \у'' — Б''\ + Б \[1 + (Б')2] 2 — [1 + (у')2] 2 \ (3)

"[1 + (у' )2]2 [1+ у')2]2 [1 + (Б')2]2 ’

где К(х,у) определено в (2).

Обозначим X = [1 + (Б')2]1, У = [1 + (у')2]1, тогда

\ X3 — У3 \ = \ X — У \ \ X2 + ХУ + У2 \ <

< \X — У\( \X \ + \ У\ )2 = \ X2 — У2 \(X + У). (4)

Из (3), (4) следует неравенство

\ К (у,х) — К (Б, х) \ < \ у'' — Б'' \ + + \Б''\ \ у' — Б'\( \у'\ + \ Б' \)[(1 + (Б')2)1 + (1 + (у')2)2]

[1 + (у')2]2 [1 + (Б')2]2 '

Положим для краткости х = у' , у = Б' и оценим величину

(х + у)[(1 + х2)1 + (1 + у2)1 ]

и (х, у) 3 0 3

[1 + х2] 2 [1 + у2] 2

= (х + у) 1

(1 + х2)(1 + у2)

+

(1 + у2) 2 (1 + х2) 2

<

х + у 3\/3 ,

< 2(1+ х2)(1 + у2) < ~Г (х,у ^ 0)' (6)

Из (5) и (6) следует, что

\ К (у,х) — К (Б, х) \ < \ у'' — Б'' \ + ^ \ Б'' \ • \ у' — Б' \. (7)

1

1

Теорема 1. Пусть y = y(x) — 2п-периодическая функция, (г — 1)-я производная которой абсолютно непрерывна, а r-я производная удовлетворяет неравенству

(2п V 2

■“ У [y(r)(x)j2 dx\ ^ 1, r ^ 3, (8)

о '

а Sn(x) — частная сумма ряда Фурье функции y(x) = af + ak cos kx +

k=1

n— 1

+ bk sin kx, т. е. Sn(x) = af + ak cos kx + bk sin kx, тогда

2 k=1

1

(1У[К(у,х) — К(Бп,х)]2 ‘Л < п— + ^ 11БПII С[0 , 2п] ПТ-Т , (9)

V —п '

где

Шар,2п] < \/2. (10)

Доказательство. При выводе неравенства (9) используем неравенство (7) и неравенство треугольника. Оценки ||у(г)(х) — БПг)(х)||¿2(0,2п) < (* =

= 1, 2) следуют, например, из результатов А. Н. Колмогорова [2].

П— 1 /-------

Далее \БП(х)\ < ^ к2рк (г ^ 3, рк = \Ы2к + Ък). Имеем к=1 *

n—1 i / n— 1 і \ 2 / n—1 \ 2

EjT—2 • k'^k « £ ^ £k2>k «

k=1 \k=1 / \k=1 /

«(■+S ¿0' ‘ ('*£n—*)' = * (111

Из (11) следует (10).

Теорема 2. Пусть у = у(х) — 2п-периодическая функция, (г — 1) производная которой абсолютно непрерывна, а г-я производная удовлетворяет неравенству (8), а В2г-1>п(у,х) — интерполяционный

2п-периодический сплайн степени 2г — 1 дефекта 1 с узлами интерполяции и склейки , к Є п Є М, тогда

(2п ч 2

П + У"[К(у,х) — К(Б2г—1 ,п, х)]2 йх\ ^

0 '

^ ПГ-2 + “4“ 115'2/г-1 ,пІІС[0 , 2п] п— , (12)

где ||Б2'г-1 ,п11а[0 , 2п] < V2 + , Г ^ 3-

п 77

Доказательство. Вновь пользуемся неравенством (7). В работе [3] показано, что при условии (1) имеют место неравенства

||у(г)(х) — Б2?-1,п(у,х)|Ь2(0,2п) < (* = 0, 1,''',Г)' (13)

Позднее [4] более изящное доказательство неравенства (13) получил А. А. Сазанов. Хотя работа [4] вышла из печати раньше [3], но приоритетность результата (13) в [3] следует из протокола семинарских занятий Отдела теории приближения функций ИММ УрО РАН от 25.10.1977 г. Поэтому при г = 1, 2 получаем такие же оценки, как и при доказательстве теоремы 1. Остается получить оценку для ЦБ2Г-1п(у,х)Ца[0,2п].

Оценим \Б'2Г_ 1 п(у,х) \. Для любого х € [0,2п] существуют точки — п, пп, ^п, что х € (- п, п). Так как

п п п п п

п) — Б2т-1 ,п(у, п) =0 (г = —1,0,1),

то существует А € п, п) , что

у"№ — б2Г-1(у,^) = 0.

Отсюда

\у''(х) — Б2г- 1 ,п(у,х) \ <

X

\у'''(и) — Б2Т_ 1,п(у,и) \ йи

<

2п N 2

2

< \х — А\ "(у \у'''(и) — Б2т- 1,п(у, и) \ 2 ‘Л < п-Т (г > 3). (14

Имеем

\ Б2т-1,п(у, х) \ < \ у''(х) \ + \ у''(х) — Б2г-1,п(у,х) \. Далее положим рк = (ак + Ък) 2, тогда (г ^ 3)

<

\ у''(х) \ < ]т к2рк < ^ Е к2г^] к2г р^

< - * »»

Таким образом, из (14) и (15) следует, что

\Б2г-1(у,х) \ < V2 + (г ^ 3). (16)

Из (16) и (13) при і = 2 следует (12). Теорема доказана.

Далее рассматриваются не 2п-периодические функции у(х) на [0, 2п], у которых (г — 1)-производная абсолютно непрерывна, а

2п ч і

1 Л (г) 4 2

/ у

П

0

У"[у(г)(х)]2 йх\ ^ 1. (17)

Теорема 3. Пусть у(х) удовлетворяет условию (17), а £2^1,п(у, х) — интеграционный сплайн степени 2г — 1 дефекта 1 с узлами интерполяции и склейки { П } (к = 0,1,..., 2п), удовлетворяющий краевым условиям 1-го

кп п

типа, т. е.

Б2?-1 , п(у,х)= уь)(х), х = 0, 2п, і = 1, 2,... ,г — 1.

Тогда

(2п \ 1

1 J [К (у,х) — К (^т-1 ,п,х)]2 ¿Л < ^ ІІ^2Г-1 ,пІІС[0, 2п] п— ,

0

(18)

где |Б2г-1,п|С[0,2п] ^ л/2 + -^-ТТ , г ^ 3.

Доказательство. Положим <^(х) = у(х) — Б2г-1,п(у,х). Тогда в силу краевых условий I типа <^(х) — непрерывная 2-^-периодическая функция вместе с производными по (г — 1)-ый порядок включительно. А в силу первого интегрального соотношения [5]

2п 2п 2п

1 / г (т) / м 2 1 / г (т) / м 2 1 / г ^(т)

^ т)(х)]2 ¿х = 1 уу(т)(х)]2 ¿х — 1 у[Б(Т-1,п(у,х)]2 ¿х <

0 0 0

2п

^ — У[у(т)(х)]2 ¿х ^ 1. (19)

0

Далее следуем [4]. Если функция ^(х) абсолютно непрерывна на

[0,п], ф(0) = ^(п) = 0 и она по нечетности продолжена на [—п, 0], тогда с

помощью равенства Парсеваля следует, что

ІМІІ2[0,п] < ІІ^,Уі2[0,п]. (20)

Далее, полагая в (20) х = пі, ф(пі) = ф(і), получаем

п п

]<рМ) л « Д>/ (~°дтУ Л-

00

Используя сдвиг, получаем аналогичные неравенства на [п, П.

Складывая эти неравенства, деленные на п, и извлекая квадратный корень,

получаем 1

||^Нь2[—п,п] ^ П В^ II ¿2 —п,п]- (21)

Из неравенства Колмогорова в Ь2[—п,п]

»^(*)»12 < в^в^л^(г) в! (22)

при в = 1 из неравенств (21) и (22) получаем

Отсюда и из (22) имеем

ll^’llfa « (i)"ИЛ (0 « s « г). (23)

Для завершения доказательства теоремы осталось оценить равномерную норму второй производной сплайна S2r-i,n(y, x). Нужная оценка выводится так же как и при доказательстве теоремы 2. Отсюда, из неравенства треугольников, из (7) и (23) следует справедливость теоремы 3.

Список литературы

1. Габушин В.Н. Оценка кривизны различных классов кривых // Проблемы физико-математического образования в педагогических ВУЗах на современном этапе: тез. докладов. Магнитогорск. 1996. С.90.

2. Kolmogoroff A. Über die beste Annäherung von Functionen einer gegebenen Functionenklasse // Ann. Math. 1936. V.37. P.107-111. ( Комбинаторная теория групп. М: Мир, 1980.)

3. Субботин Ю.Н. Экстремальные задачи теории приближения функций при неполной информации // Труды МИАН СССР. 1980. Т.145. С.152-168.

4. Bogley W.A., Pride S.J. Aspherical relative presentations // Proc. of Edinburg Math. Soc. 1992. V.35. P.1-39.

5. Сазанов А.А. Верхние грани уклонений интерполяционных сплайнов на некоторых классах функций // Вычислительные системы. 1979. Вып.81.

С.31-41.

6. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 316 с.

Субботин Юрий Николаевич (yunsub@imm.uran.ru), д.ф.-м.н., член-корр. РАН, Институт математики и механики УрО РАН; Уральский федеральный университет, Екатеринбург.

Approximation of the curvature for certain smooth classes of plane curves by elements of finite-dimensional spaces

Yu. N. Subbotin

Abstract. Problem in approximation of the curvature of plane curves in the mean-aquare metric by the finite-dimensional spaces (trigonometric polynomials, periodic interpolating splines with equidistant knots and interpolating splines of odd degree with boundary conditions of the first type) are considered.

Keywords: curvature, trigonometric polynomials, splines,estimates of accuracy of approximation, mean-square metric.

Subbotin Yurii (yunsub@imm.uran.ru), doctor of physical and mathematical sciences, corresponding member of RAS, Institute of Mathematics and Mechanics, Russian Academy of Sciences, Ural Branch; Ural Federal University, Ekaterinburg.

Поступила 03.10.2012