CC BY
15
43/2005
Вестник Ставропольского государственного университета
МИТЕН
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ БЕЗОШИБОЧНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В СИСТЕМЕ ОСТАТОЧНЫХ КЛАССОВ
Н.И. Червяков, М.В. Лобес
FUNCTION APPROXIMATION BASED ON EXACT CALCULATION METHODS IN THE SYSTEM OF REMANENT CLASSES
N.I. Chervyakov, M.V. Lobes
The algorithm of exact calculations is suggested to be used in the system of remanent classes for reducing the error of function approximation. The considered algorithm allows not to take round-off errors into account and to parallelize calculations deeply, increasing thereby the operating speed of computers.
Предложено использовать алгоритм безошибочных вычислений в системе остаточных классов для уменьшения погрешности аппроксимации функций. Рассмотренны1й алгоритм позволяет не учитывать ошибки округления и глубоко распараллеливать вычисления, тем самы1м, увеличивая быстродействие ЭВМ.
Вычисление математических функций принадлежит к числу важнейших задач, решаемых ЭВМ. Так как ЭВМ является конечной машиной, то эта задача сводится к выбору метода аппроксимации функций и последующей оценке погрешности приближения.
Как известно, погрешность приближения состоит из двух частей: неустранимой и устранимой. В свою очередь, устранимая погрешность включает в себя погрешность метода аппроксимации и погрешность округлений.
Погрешность метода аппроксимации чаще всего является регулируемой, то есть теоретически она может быть уменьшена до любого значения путем изменения, например, шага интерполирования или числа членов усеченного ряда. Погрешность метода обычно стараются довести до величины, в несколько раз меньшей неустранимой погрешности. Дальнейшее снижение погрешности не приводит к повышению точности результатов, а лишь увеличивает стоимость расчетов из-за необоснованного увеличения объема вычислений [1]. Общеизвестными и достаточно глубоко изученными методами аппроксимации функций являются: степенные разложения, многочленные (алгебраические и тригонометрические) и рациональные приближения, разложения в цепные дроби, приближение сплайнами. Каждый из этих методов имеет свои достоинства и недостатки. При выборе метода аппроксимации следует исходить из конкретной задачи
Червяков Н.И., Лобес М.В.
«Аппроксимация функций на основе методов безошибочных вычислений в системе...»
исследования. Обычно чем более простой метод используется для аппроксимации, тем более приблизительны получаемые значения функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь должен найти компромисс между простотой реализации метода и величиной погрешности, получаемой в результате.
Вопросом более сложным технически является учет ошибок округлений, которые возникают как при представлении вещественных чисел машинными, так и при выполнении арифметических операций. Если количество выполняемых арифметических операций невелико, то обычно погрешности округлений не проявляются, так как в ЭВМ числа представляются с 10 и более десятичными значащими цифрами, а окончательный результат редко бывает нужен более чем с 5 десятичными значащими цифрами [2]. Однако в сложных научно-технических задачах накопление ошибок округлений приводит к значительной потере точности. Ошибки округлений могут быть несколько уменьшены, если, например, при выполнении арифметических операций сложение чисел проводить по мере их возрастания, избегать вычитания близких чисел или, при использовании степенных рядов, наложить на независимую переменную ограничение
|х| < 1. Традиционным техническим приемом повышения точности вычислений является увеличение разрядной сетки устройств ЭВМ. Однако те или иные отдельные приемы уменьшения ошибок округлений не решают проблему точности вычислений основательно, а лишь приводят к дополнительным аппаратурным и вычислительным затратам. Кроме того, существует большое количество задач, например вычисление определителей больших размеров, которые предельно чувствительны даже к малым погрешностям.
Подходом, позволяющим избежать ошибок округлений является использование алгоритма, основанного на применении методов безошибочных вычислений в системе остаточных классов (СОК) [3]. Основная идея состоит в следующем: при выполнении
арифметических операций рациональные операнды переводятся во множество целых чисел II т по выбранному модулю т , проводятся необходимые арифметические операции в этом множестве, а затем полученные целочисленные результаты отображаются в соответствующие рациональные числа.
При некотором специальном выборе модуля т прямое отображение Q ® IIт
множества рациональных чисел Q на множество целых чисел IIт может быть выполнено всегда. Трудность возникает при выполнении обратного отображения Q ® IIт .
Оказывается, что это отображение не является взаимнооднозначным, так как каждому целому числу к е IIт соответствует некоторое подмножество Q. Для однозначного отображения Q ® IIт в СОК могут быть
использованы дроби Фарея порядка N, т.е. дроби вида [4]:
FN = {р/Ь е ^ : (а,Ь)= 1,0 < |а| < N, 0 < |Ь| < N, N е 7, N > о}
В тех случаях, когда решение задачи не является дробью Фарея порядка N, где N
удовлетворяет неравенству: 2N2 +1 < т, возникает ситуация, называемая псевдопереполнением. Алгоритм безошибочных вычислений в СОК представлен на рисунке.
Главным недостатком безошибочных вычислений в СОК является быстрый рост разрядностей результатов. Это приводит к возникновению ошибки псевдопереполнения и выходу результата вычислений за пределы допустимого диапазона. Для расширения диапазона представления чисел и повышения быстродействия безошибочных вычислений может быть использована многомодульная СОК. Еще более расширить диапазон представления результатов безошибочных вычислений в СОК можно используя алгоритм, основанный на применении
43/2005
Вестник Ставропольского государственного университета
Рис. Схема безошибочных вычислений с рациональными числами в системе остаточных классов.
неравенства N +1 < т, вместо 2N2 +1 < т [6].
При решении многих прикладных задач и использовании приведенных приемов расширения диапазона представления результатов безошибочных вычислений в СОК часто все же приходится выбирать достаточно большие модули, так как результаты могут выходить за пределы допустимого диапазона. Требование взаимной простоты модулей не позволяет выбирать их скученно на небольшом участке ряда натуральных чисел. В этом случае возникает необходимость увеличения разрядности регистров, хранящих остатки чисел рассматриваемого диапазона, что приводит к усложнению аппаратуры рассматриваемого устройства и увеличению времени выполнения операций. Стремление по возможности уменьшить величину оснований привело к мысли строить СОК в несколько ступеней. Преимущество такой СОК состоит в том, что уменьшается избыточность одного элементарного устройства, однако при каждом увеличении ступени оснований избыточность всего арифметического устройства значительно увеличивается [7].
Таким образом, применение методов безошибочных вычислений в СОК при аппроксимации функций, позволяет значительно уменьшить величину погрешности приближения. Кроме того, так как для этой системы характерно глубокое распараллеливание вычислений и отсутствие информационных обменов в процессе вычислений, то наряду с повышением точности этот алгоритм позволяет увеличить быстродействие ЭВМ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. - М.: Физматлит, 2002.
2. Волков Е. А. Численные методы. - М.: Лань, 2004.
3. Грегори Р., Кришномурти Е. Безошибочные вычисления. Методы и приложения. - М.: Мир, 1988.
4. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
5. Оцоков Ш.А. Структурная организация ней-ропроцессора с использованием модели безошибочных вычислений // Нейрокомпьютеры: разработка и применение. - 2004. -№ 12. - С. 31-32.
6. Оцоков Ш.А. Нейронный алгоритм расширения диапозона представления результатов
Червяков Н.И., Лобес М.В.
«Аппроксимация функций на основе методов безошибочных вычислений в системе.»
безошибочных вычислений // Нейрокомпьютеры: разработка и применение. - 2004. -№ 12. - С. 33-34. 7. Акушский Н.Я., Юдицкий Д.И. Машинная арифметика в остаточных классах. - М.: Сов. радио, 1968.
Об авторах
Червяков Николай Иванович, заслуженный деятель науки и техники РФ, профессор, доктор технических наук, профессор кафедры алгебры Ставропольского государственного университета, руководитель научного направления Нейро-
математика и модулярные нейрокомпьютеры. Сфера научных интересов - приложение алгебры и теории чисел, математической логики к вопросам модулярной арифметики, нейроинформатики и защиты информации. Автор 7 монографий и более 250 публикаций.
Лобес Мария Владимировна, старший преподаватель кафедры алгебры Ставропольского государственного университета. Сфера научных интересов - применение модулярных вычислительных структур и нейропроцессорных средств для аппроксимации функций.
