CC BY
60
УДК 621.837.001.57:531.3
Т. О. Невенчанная, А. Ю. Митин, Е. В. Пономарева
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ РАБОЧЕЙ НАГРУЗКИ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО МЕХАНИЗМА ПРЕССА С КРУГОВЫМИ ЗВЕНЬЯМИ
Механизмы с круговыми звеньями нашли применение в различных областях, например в прессостроении. Достоинством таких механизмов является компактность; их звенья выдерживают значительные нагрузки.
Для исследования движения исполнительного механизма пресса с круговыми звеньями была составлена расчетная схема кривошипношатунного механизма стержневого исполнения, моделирующая экспериментальную установку пресса с круговыми звеньями. При помещении центра масс каждого из стержневых звеньев в точке, где расположен центр масс кругового звена, применение стержневой расчетной схемы допустимо.
Получено решение задачи динамики исполнительного механизма пресса с круговыми звеньями, используемого для штамповочных операций. За основу была принята расчетная схема, показанная на рис. 1 (показано стержневое исполнение, эквивалентное круглозвенному), состоящая из кривошипа OA, шатуна AB и ползуна B.
Движение механизма с учетом динамических параметров описывается дифференциальным уравнением Лагранжа второго рода.
Вид нагрузки на ползуне имеет периодический характер, причем существенное значение нагрузки соответствует моменту времени, когда на ползуне прикладываются силы полезного сопротивления (рабочей нагрузки). В этом случае нагрузка на ползуне представляется в виде дискретно-периодической функции, имеющей ненулевые значения лишь при приложении рабочей нагрузки.
Заданную таким образом дискретно-периодическую функцию, в которой нагрузка зависит от угла поворота кривошипа, возможно описать в виде ряда Фурье [1-4]. Период данной функции принимается 2л радиан.
Опишем вид принятой нагрузки на ползуне, причем на рисунках изобразим ее числовую интерпретацию.
Рис. 1. Схема для расчета исполнительного механизма пресса с круговыми звеньями
Примем, что нагрузка, прикладываемая к ползуну, имеет форму параболы (рис. 2). При этом нагрузка прикладывается к ползуну с таким значением угла поворота кривошипа фнач, когда до крайнего нижнего положения остается расстояние Ъ1+ Ъ2 (горизонтальная прямая а (рис. 3)) и снимается при угле поворота кривошипа фкон, когда до крайнего нижнего положения остается расстояние Ъ2 (горизонтальная прямая Ь (рис. 3)). При этом на ползуне возникает максимальная нагрузка Ртах .
Рис. 2. Общий вид функции изменения нагрузки на ползуне от угла поворота кривошипа
Необходимо определить угол поворота кривошипа фнач , при котором начинает прикладываться нагрузка на ползуне, и угол поворота фкон , при котором нагрузка снимается. Для этого решаем два уравнения (1) и (2).
В первом из них приравниваем перемещение ползуна и расстояние от центра вращения кривошипа до начала приложения нагрузки, во втором - приравниваем перемещение ползуна и расстояние от центра враще-
ния кривошипа до точки, в которой нагрузка снимается.
Хд = —/1 +/2 + // + /2; (1)
Хд = —/1 + /2 + /1, (2)
/1 - длина кривошипа;
/2 - длина шатуна;
/1 - расстояние, на котором действует приложенная нагрузка;
/2 - расстояние до крайнего нижнего положения, при котором нагрузка с ползуна снимается.
Ниже это уравнение представлено графически (рис. 3).
Ф, рад
Рис. 3. Определение углов поворота кривошипа фнач и фкон.: точки I, II соответствуют рабочему ходу ползуна; точки I’, II’ соответствуют холостому ходу ползуна
При решении уравнений (1) и (2) получаем в качестве результатов значения угла поворота кривошипа в точках I, I’, II, II’. При этом для дальнейшего расчета используется значение ф, соответствующее точкам I и II, так как другие найденные точки соответствуют холостому ходу ползуна, когда нагрузка с него уже снята: из уравнения (1) определяем фнач; из уравнения (2) - фкон.
Далее составляем уравнения для определения постоянных коэффициентов в уравнении описывающей прикладываемую нагрузку параболы, которую представим в форме:
Р(ф) = а ф2 + Ь ф - с, где а, Ь, с - искомые постоянные коэффициенты.
О а фнач + Ь фнач + С;
Ртах а фкон + Ь фкон + С; (3)
0 а (2 фкон — фнач) + Ь (2 фкон — фнач) + с.
Уравнения (3) оставлены для значений в точках К, Ь, N (рис. 4) соот-
ветственно:
первое уравнение описывает нулевое значение нагрузки на ползуне при угле поворота кривошипа, равном фнач;
второе уравнение описывает максимальное значение нагрузки на ползуне (экстремум квадратной параболы) при угле поворота кривошипа, равном фКон;
третье уравнение описывает нулевое значение параболы как математической кривой при угле поворота кривошипа, равном (2 фкон - фнач).
При совместном решении этих уравнений получаем значения постоянных коэффициентов а, Ь, с.
Таким образом, решив совместно уравнения (3), определяем уравнение параболы, описывающей прикладываемую нагрузку на ползуне.
Общий вид параболы нагружения показан на рис. 4.
Ф, рад
Рис. 4. Схема к определению уравнения параболы
Полученная дискретно-периодическая функция используется при составлении дифференциального уравнения движения, причем для всех участков в каждом периоде нагружения придется составлять собственное уравнение движения и для него использовать начальные условия, полученные при решении дифференциального уравнения движения для предыдущего участка нагружения.
Подобные операции достаточно громоздки и трудоемки. Для упрощения процедуры составления диффыренциального уравнения движения используется метод задания нагрузки путем аппроксимации найденной дискретно-периодической функции в ряд Фурье, позволяющий составить лишь одно дифференциальное уравнение движения, что значительно облегчит процедуру расчета при незначительной величине погрешности.
Коэффициенты Фурье для функции Р = Р (ф), где Р - нагрузка на ползуне, ф - угол поворота кривошипа, имеющей период от -л радиан до л радиан, определяются по формулам (4):
1 р 1 Р
а0 = — | Р(ф) ф; ап = — | Р(ф) • соБ(иф) ф;
Р -Р Р -Р
(4)
1 р
Ьп = — | Р(ф) • БШ(пф)йф .
Р-р
Общая форма для заданной таким образом нагрузки будет иметь вид
Р(ф) = 2а0 + • соБ(пф) + Ьп ■ 8ш(пф)^. (5)
Предположим, что функция Р(ф) известна и ее значения могут быть представлены аналитически, табличными данными, либо графически. В этих случаях коэффициенты Фурье довольно просто вычисляются с заданной точностью вычислений. Существуют также методы, упрощающие вычисление коэффициентов Фурье, однако при использовании современных вычислительных средств необходимость в их применении пропадает.
Силовое воздействие, обусловленное приложением рабочей нагрузки на ползуне при установившемся режиме, является периодическим и имеет стационарный характер. Для описания реальных связей нагрузки с ползуном достаточно использовать усеченный ряд гармонических функций, ограничиваясь несколькими первыми гармониками.
При этом полученная величина отклонения нагрузки не окажет существенного влияния на точность выполненных расчетов.
На рис. 5 показана диаграмма нагрузки на ползуне и ее аппроксимация гармонической функцией.
Рис. 5. Диаграмма нагрузки на ползуне и ее аппроксимация гармонической функцией: 1 - дискретная модель диаграммы нагрузки на ползуне; 2 - непрерывная модель диаграммы нагрузки на ползуне
Предложенный подход к построению модели диаграммы нагрузки на ползуне кривошипно-шатунного механизма позволяет исследовать динамику системы с учетом особенностей ее работы.
Был произведен динамический расчет механизма в установившемся режиме работы, когда на ползун действует нагрузка, величина которой зависит от угла поворота кривошипа.
В результате были получены кинематические параметры движения механизма с учетом динамики: зависимости угловой скорости кривошипа от времени ю и угла поворота кривошипа ф от времени. Эти параметры являются ключевыми при определении других кинематических параметров движения, а также определении динамических параметров.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Манжосов В. К., Абдраимов С., Невенчанная Т. О. Крутильные колебания в трансмиссиях буровых машин. - Фрунзе: Илим, 1982. - 168 с.
2. Бабаков И. М. Теория колебания. - М.: Недра, 1968.
3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - Т. 2. - М.: Наука, 1970.
4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -Т. 3. - М.: Наука, 1969.
