Аппроксимация дисперсных линий высокоскоростного доступа универсальной полиномиальной моделью Текст научной статьи по специальности «Математика»

У

ТЕХНОЛОГИИ

Аппроксимация дисперсных линий высокоскоростного доступа универсальной полиномиальной моделью

Ключевые слова: универсальная полиномиальная модель, метод формирующего фильтра.

Разработана универсальная полиномиальная модель для различных дисперсных радиолиний связи. Используется метод формирующего фильтра. Основой модели является обобщенный ряд Фурье. Модель позволяет учитывать реальные характеристики радиолиний при использовании цифровых несущих, форма которых определяется самой линией.

Урядников Ю.Ф.

Для моделирования радиолинии воспользуемся феноменологическим подходом, который заключается в том, что радиолиния представляется в виде «черного ящика» и описывается одной из системных характеристик, например, передаточной функцией #( /'&>) или связанной с ней через Фурье - преобразование импульсной характеристикой /г(/).

При использовании цифровых несущих (ЦН) принципиальным является формирование сигнала самой радиолинией. Это приводит к необходимости рассматривать новую концепцию радиосвязи, связанную с рассмотрением переходных процессов в радиолинии. Если в традиционных системах радиосвязи стационарный процесс (вынужденные колебания) был полезен (фактически именно такой процесс и используется для передачи информационного символа), то при использовании ЦН полезными являются свободные колебания радиолинии [1]. Поскольку центральная часть радиолинии - физическая среда распространения радиоволн - обладает существенной сложностью, то для ее описания широко используются различные эмпирические модели амплитудных и фазовых дисперсий на трассе распространения гармонических сигналов [1,2,3]. Существуют экспериментальные исследования частотных характеристик и дисперсионных свойств сверхширо-кополосных радиолиний различных диапазонов волн [2,3 и др.]. Наиболее сложной является радиолиния декаметрового диапазона, частотные характеристики которой носят полимо-дальный характер при одном доминирующем максимуме. Однако при использовании ионосферных радиоволн для построения систем доступа с цифровыми несущими нет необходимости рассматривать многолучевость радиолинии. Это объясняется тем, что сверхширокополосные сигналы позволяют разделить скачковые моды, так как их интервал корреляции в В„ раз меньше интервала корреляции сигналов с гармоническими несущими, где Ви - база цифровой несущей. Сигналы отдельных лучей могут быть практически полностью разделены на выходе согласованного приемника и использованы для повышения помехоустойчивости радиосвязи. Поэтому при дальнейшем рассмотрении будем оценивать дисперсионные свойства одномодовых радиолиний.

Построение модели радиолинии в виде формирующего фильтра, учитывающей существенную дисперсионность линии связи, может быть основано на теории синтеза фильтров и теории неминимально-фазовых цепей [6]. Модели при этом получаются универсальные и относительно простые. Для описания амплитудных дисперсий используется амплитудночастотная характеристика (АЧХ), например, фильтра Баттер-ворта, а для описания фазовых дисперсий неминимально — фазовая цепь с фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) в виде аппроксимирующего ряда, в частности, ряда Тейлора.

(АЧХ и ФЧХ не связаны друг с другом). Такие модели являются общими для рассмотренных в работах [1,3,5].

Поскольку общий вид экспериментальных АЧХ, например, метровых и декаметровых радиолиний в широком диапазоне частот подобен некоторому полосовому фильтру, то в качестве исходной функции для разработки ортонормиро-ванного базиса целесообразно принять его АЧХ. В пользу такой гипотезы говорит и известная эквивалентная электрическая цепь, моделирующая входное сопротивление резонансной антенны в виде комплексного сопротивления. Активная (резистивная) составляющая сопротивления характеризует величину сопротивления излучения и сопротивления потерь, а реактивная составляющая характеризует запас реактивной энергии в ближней зоне антенны.

Из теории электрических фильтров известно, что наиболее простой передаточной функцией полосового фильтра, является дробно-рациональная функция вила

Н(р)= *ПР , (1)

р~ + к - р + \

где к - параметр, определяющий широкополосность простой модели радиолинии, П — основное ослабление сигнала на трассе распространения, при нормировке П = 1. Тогда на основе функций (1) можно построить линейно-независимую систему функций АЧХ:

I (2)

ЯД П) =

где

о =

1 +-Ц-(--П)2 к2 П

- нормированная частота, ыр- рабочая частота

радиолинии.

Пусть / е 1,/?, тогда система функций (2) является счетным множеством, принадлежащем, как и частотные характеристики радиолинии, пространству Поскольку параметр широкополосности к может принимать любые непрерывные значения от 0 до оо, то можно, совместив максимумы простой модели и экспериментальной АЧХ, предварительно подобрать соответствующее значение широкополосности.

На рис. 1 показаны четыре функции, причем предварительно выбрано значение широкополосности к = 2.

T-Comm #5-2012

61

т

ТЕХНОЛОГИИ

Первая функция (/ = 1) исходной системы будет соответствовать простой модели радиолинии (1), т.е. Я, (£2) = Н(С1) ■ Неминимально-фазовую модель однолучевой дисперсионной радиолинии можно характеризовать комплексной передаточной функцией следующего вида

Я(УП) = Я(П)ехр[7>(П)] (3)

где Н(О) и ч>(0) - амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики радиолинии.

Можно на основе функций (2) построить линейнонезависимую на бесконечном интервале систему функций и далее используя ортогонализацию функций по методу Грама-Шмидта найти ортонормированную систему (базис {//(/,О) |) для аппроксимации частотных характеристик произвольного вида ортогональным многочленом в виде обобщенного ряда Фурье [5].

Для примера на рис. 2 приведены графики первых четырех функций при выбранном ранее параметре широкополос-ности к = 2, рассчитанных с помощью программы \iuthcad.

Рис. 2. Ортонормированная система базисных функций

С помощью полученной системы ортонормированных функций любая амплитудно-частотная характеристика радиолинии может быть аппроксимирована обобщенным рядом Фурье

"Л П) = £с(/)./7(/,П), (4)

/=|

где С(1) = (/;(/,О), //(£})) - коэффициенты обобщенного

ряда Фурье (скалярное произведение базисной функции и аппроксимируемой характеристики радиолинии).

При аппроксимации (4) точность приближения растет с ростом числа членов ряда, причем значение коэффициентов С(1) не зависит от п. Такой выбор коэффициентов ряда гарантирует минимум среднеквадратической погрешности аппроксимации, т.е.

]|Яи„(П)-Я;,,(П)|\Ю = тт.

О

Так как проделанная процедура ортогонализации и нормирования порождает то же самое многообразие функций, то, объединяя слагаемые в правой части (4) с одинаковыми

функциями //^ (О) получим другую форму аппроксимации

Я„(П) = ¿6,-#,(«)’ (5)

(=1

где н (О) исходная система функций, а коэффициенты Ь/

определяются числом п.

Назовем такой способ аппроксимации методом п трапеций (логарифмические асимптотические характеристики (2) имеют вид трапеций). Используя базовую модель радиолинии (1) можно аппроксимировать с помощью ряда (5) любую реальную амплитудную дисперсию.

Можно существенно уменьшить число членов аппроксимирующего ряда, если подобрать параметр широкополосно-сти к, соответствующий /У(Г2) при ее аппроксимации пер-

62

вой функцией. Это позволит обеспечить требуемую точность аппроксимации при наименьшем числе членов и аппроксимирующего ряда или при неизменном количестве п используемых ортонормированных функций достичь наибольшей точности приближения. Часто, особенно для одномодовых радиолиний, достаточно при аппроксимации лишь этой первой функции. Аппроксимацию фазовой дисперсии удобно представлять в виде полиномиальной модели в окрестности рабочей частоты [2,3]

<р((о) = <р((о„) + £ --¡-(б) -ыр) (6>

' /=1 / +1 '

В работе [3] проведено достаточно глубокое и детальное исследование фазовой дисперсии в широком диапазоне частот, причем приведено первое основное приближение в виде полинома второй степени:

<р(а>) = <р(юр) + т(ыр к« ~(Ор) + s((üp ){(о-(Op)2 (7)

где т(-) - групповое время запаздывания (ГВЗ), «(^-скорость изменения ГВЗ.

В представлении ФЧХ рядом (7) первая производная равна ГВЗ и не вызывает дисперсионные искажения сигнала. Вторая производная, например, для наклонного распространения в дека метровом диапазоне оценивается величиной порядка (10'ч-10 ) с2 и при условии малости старших производных характеризует нелинейный набег фазы (дисперсионные искажения). Если задаваться допустимым набегом фазы порядка 1рад, то полоса когерентности радиолинии КВ-канала будет определяться формулой [3]

л. 2 (8)

и лежать в пределах от 40 кГц до 1,5 МГц.

Используя разработанную универсальную неминимальнофазовую модель (3) можно не только аппроксимировать любую частотную характеристику дисперсной радиолинии, по и найти ее временные системные характеристики для расчета цифровых несущих на выходе радиолинии.

Литература

1. Аджемов A.C., Урядников Ю.Ф. Сверхширокополосная связь. Теория и применение. — М.: СЛОН-Пресс. 2005. — 368 с.

2. Арсенин В.Я. Распространение электромагнитных импульсов над земной поверхностью. — М.: МГУ, 1970. — 186 с.

3. Иванов Д.В. Методы и математические модели исследования распространения в ионосфере сложных декаметровых сигналов и коррекции их дисперсионных искажений: монография / Иванов Д.В. - Йошкар-Ола: МарГТУ, 2006. - 268 с.

4. Г. Корн и Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров // Пер. с англ. / Под ред. И.А. Арамановича. — М. “Наука”, 1968.-720 с.

5. Урядников Ю.Ф., Гаврилов М.И. Модель цифровых сигналов на выходе земного радиоканала // Радиотехника, 1991. — №2.

6. Хашсл Г.Е. Справочник по расчету фильтров // Пер. с англ. / Под ред. А.Е. Знаменского. - М.: Сов. радио, 1974. - 288 с.

Approximation of disperse lines of high-speed access by universal polinomialny model

Uryadnikov Yu.F.

T-Comm #5-2012