Аппроксимация диффузионного процесса на бесконечномерном пространстве при помощи усреднения случайных сдвигов общего вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98, 519.2

В. М. Бусовиков

Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Аппроксимация диффузионного процесса на бесконечномерном пространстве при помощи усреднения случайных сдвигов общего вида

Целью данной работы является изучение динамики диффузионного процесса на бесконечномерном пространстве, в частности, его аппроксимация при помощи случайных блужданий. Показано, что для любого распределения векторов довольно общего вида процесс усреднения случайного сдвига вдоль указанных векторов сходится к эволюции диффузионного процесса. Данный результат можно также рассматривать как аналог центральной предельной теоремы для операторозначных функций на гильбертовом пространстве.

Ключевые слова: конечно-аддитивная мера, трансляционно инвариантные меры на банаховых пространствах, случайные блуждания, теорема Чернова

V. М. Busovikov

Moscow Institute of Physics and Technology

Approximation of a diffusion process on an infinite-dimensional space using averaging of random shifts of general form

The purpose of this work is to study the dynamics of the diffusion process in an infinite-dimensional space, in particular, its approximation using random walks. It is shown that for any distribution of vectors of a fairly general form, the process of averaging a random shift along these vectors converges to the evolution of the diffusion process. This result can also be considered as an analogue of central limit theorem for operator-valued functions on a Hilbert space.

Key words: finitely additive measure, translation invariant measures on Banach spaces, random walks, Chernoff's theorem

1. Введение

Полугруппа и(£), задающая эволюцию диффузионного процесса на сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве Е, может быть получена как математическое ожидание случайного сдвига на вектор, имеющий гауссовское распределение с параметрами, зависящими от При этом, в силу того, что и(¿) является полугруппой, последовательность усреднений Уп(Ь) = (и(Ь/п))п равна и(¿) для любого п. Однако для негауссовского распределения у математическое ожидание случайного сдвига V(Ь)/(х) = Е^)/(х — К) не является полугруппой, соответственно осмысленным является вопрос о сходимости последовательности (V(Ь/п))п к полугруппе и(Ь) или к какой-либо другой операторознач-ной функции М+ ^ В(Е). По аналогии с центральной предельной теоремой для случайных величин на М, которая изучает сходимость по распределению усреднений одинаково

© Вусовников В. М., 2024

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2024

1 п

распределенных независимых величин ^^ ^ (Xk — Exk), установление сходимости после-

Vn к=1

довательности (V(t/n))n можно считать аналогом центральной предельной теоремы для композиции независимых одинаково распределенных операторов сдвига. В теореме 9 установлена обобщенная сходимость по распределению (см. подробнее [1]) последовательности

1 п

усреднений случайных сдвигов на вектор ^^ ^ hk к случайному сдвигу на гауссовский

Vn к= 1

вектор. Ключом к доказательству сходимости является теорема Чернова, которую можно сформулировать следующим образом.

Теорема 1 (Chernoff, f2], Corollary 5.3 chapter III). Пусть функция V : R+ ^ В(Н) удовлетворяет условиям

1) V(0) = ц

2) ЦУ(t)kУ ^ М exp(wkt) для некоторых М,к е R и всех к е N,t е R+;

3) найдется такое линейное подпространство D С Н и оператор А на нем, т,акие, что для всех х е D выполнено

Ах = lim -(F(t)x — х); t^-o t

4) либо найдется такое А0 > w, что и D и (Х0 — A)D плотны в Н, либо замыкание А оператора А является генератором некоторой сильно-непрерывной однопарам,стоической полугруппы.

Тогда замыкание А оператора, А порождает, сильно-непрерывную полугруппу Т(t) : R+ ^ В(Н); для, которой выполнена, сходим,ост,ь

lim sup ||Т(t)x — (V(t/k))kхЦн = 0 te[o,T ]

для, всех х е Ни также выполнено неравенство

ЦТ(t)lB(H) < Мexp(wt).

Для того чтобы определить на Е оператор Лапласа, нам потребуется построить специальную меру и ввести необходимые пространства интегрируемых функций. Выбор меры на Е сам по себе является нетривиальной задачей. Как известно (см. [3,4]), на бесконечномерном топологическом векторном пространстве не существует аналога меры Лебега, т.е. не существует такой нетривиальной меры, удовлетворяющей одновременно следующим свойствам:

1) борелевость,

2) счётная аддитивность,

3) ст-конечность,

4) локальная конечность,

5) инвариантность относительно сдвига на любой вектор этого пространства.

В силу несуществования нетривиальной меры, удовлетворяющей стразу всем, перечисленным свойствам, изучались меры, инвариантные относительно сдвига на векторы из некоторого максимального допустимого подпространства, как в [5]. Или, например, не а-конечные меры, как в [6] или [7,8].

В данной работе мы остановимся на мере, предложенной В. Ж. Сакбаевым [9-12], поскольку она является трансляционно инвариантной, сдвиг квадратично интегрируемой по ней функции на произвольный вектор будет унитарным оператором, а результат усреднений случайных сдвигов — самосопряженным оператором. Также в этом случае оператор Лапласа будет самосопряженным и его область определения можно точно установить. Отсутствие меры Лебега на гильбертовом пространстве не позволяло перенести эти известные факты о конечномерных случайных блужданиях на бесконечномерный случай.

2. Пространства интегрируемых функций

В этом разделе мы рассмотрим конструкцию конечно-аддитивной меры на вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве Е, инвариантной относительно сдвигов, и введем все необходимые пространства функций для дальнейшей работы. Конструкция зависит от выбора ортонормированного базиса, так что здесь и далее мы фиксируем орто-нормированный базис £ = [е\, в2,...}■

Под (a, Ь) будем понимать конечный промежуток с концами а и & при а ^ Ь, и пустое множество при а > Ь. При этом если а = Ь, множество (а, Ь) может быть как одноточечным, так и пустым в зависимости от типа промежутка.

Определение 1. Будем называть множество брусом, если оно представляется в виде П = {х е Е : (х, ej) е (aj, bj) V j е N}, a,b е

Если ряд

те

^max{0, ln(bi - ai)} 3=1

сходится, то брус будем называть измеримым. Множество измеримых брусов обозначим за р.

На измеримых брусах введем функцию множества Л : р ^ [0, следующим образом:

*№,) = MlHb'- ai)) •=0> 0,

Теорема 2 [9]. Функция множества \ является аддитивной функцией на р и однозначно продолжается по аддитивности на минимальное кольцо г, содержащее р.

Для произвольного множества X С Е введем соответственно верхнюю и нижнюю меру стандартным образом:

\(Х )= inf X(Q),

QZr,XcQ Х(Х) = sup X(Q).

Qer,QcX

Множества, нижняя и верхняя мера которых совпадают и конечны, мы будем называть измеримыми. Измеримые множества образуют кольцо, которое мы обозначим за R, а функция множества А, продолженная на R по правилу Х(Х) = Х(Х) = Х(Х) < является конечно-аддитивной мерой.

Введем С-линейное пространство S(E,R, C), состоящее из линейных комбинаций индикаторных функций из кольца R. Определим на нем неотрицательно определенную эрмитову полуторалинейную форму по следующему правилу: для любых А, В е R положим Р(ха,Хв) = X(Af^\B), а для произвольных функций u,v е S(E,R, С) вида

п т

и = ^2 Су ХА3 , V = ^2 ЪкХвк ПОЛОЖИМ ]=1 к=1

Р{и,у) = (и,ь)н = I Е СуХА3, Е ъкхвк I = ЕЕ ЬкСу{ха^,хвк)-у=1 к=1 ) к=11=1

Обозначим за Б2(Е,К, С) линейное подпространство 5(Е,К, С), состоящее из таких функций /, для которых ) конечно, а за М2(Е,К, С) — линейное подпространство

$2{Е, К, С) состоящее из функций /, для которых выполнено /) = 0.

Определение 2. Пополнение факторпространства Б2(Е,К, С)/М2(Е,К, С) по норме II/II = л//) будем обозначать % ми Ь2(Е,К, С) и называть функциями, квадратично интегрируемыми относительно меры А. Функцию скалярного произведения на нем будет играть форма [3.

Лемма 1 [10,12]. Пространство % не сепарабельно.

Определение 3. Будем говорить, что функция / £ % дифференцируема вдоль направления к £ Е, если найдется такая функция д £ %, что

Нш

о

/(* + гн) - /М - д{х)

0.

í

Функцию д(х) будем в таком случае называть производной / вдоль вектора к.

В случае, если к равен базисному вектору е^ производную вдоль к будем обозначать ду. Также при помощи определения 3 можно определить и производные высших порядков.

Определение 4. Пусть И — невырожденный, положительно определенный оператор на Е, диагональный в базисе Е. Обозначим за ^ его диагональные элементы.

Определим пространство Соболева Ш12 п = %1П поряд ка I как подпростр анство %, состоящее из функций /, у которых корректно определены все производные д1к / £ % и конечна норма

те

II/= н/Ни + Е ^ f Ни' к=1

Скалярное произведение в пространстве Соболева положим равным

те

а, д)туь в = а, 9)и+Е ^ (^ 1, 9)и- (1)

к=1

Лемма 2 [15]. Пространство со скалярным, произведением, (1) является гильбертовым.

3. Усреднение случайных сдвигов

В этом разделе мы введем полугруппу усреднений случайных сдвигов на гауссовский вектор и рассмотрим свойства сглаженных функций, которые получаются при помощи таких усреднений.

Перед тем как говорить о случайных сдвигах, введем оператор детерменированного к

Я/(х) = /(х - к), / £%,к £ Е.

Введем в Е линейное подпространство Li(E), состоящее из таких векторов h, для которых

те

\МЫ£) = Е l(h, ek)l k=l

конечно.

Лемма 3 [11, теорема 4.1]. Однопараметрическая группа унитарных операторов Sth, t £ R является сильно непрерывной в том и только в том случае, если h £ Ll(8). Лемма 4. Пусть h £ Ll(8). Пусть Рт : Е ^ Е — оператор проекции на первые т базисных координат,. В таком случае первые т координат, Pmh в базисе 8 совпадают с координатам,и h, а, остальные равны нулю. Тогда, для, любого f £ % выполнено

lim sup У (Sth -StPmh)f \\н = 0. (2)

Доказательство

Для характеристической функции бруса нулевой меры утверждение тривиально. Рассмотрим произвольный брус П = Па,5 положительной меры со сторонами [ak, bk]• Оценим норму разности Stejxn — Хп в предположении, что t < bj — af

\\Ste3Xn — Хп\\н = 2А(П) — 2А((П +1е3) П П). (3)

Мера пересечения (П + tej) П П непуста в силу vcловия t < bj — aj, следовательно

j-1 ^ ъ _ _f

А((П +1ej) П П) = Ц(bk — ak) ■ (bj — aj — t) ■ [] (bk — ak) = j _ ^ . А(П). (4)

- XIV- ь -а

к=1 к=]+1 •'

Подставим (4) в (3):

те 1

Н^ХП - ХПIIн = 2í е I--Л(п)

Ьк-ак

В силу положительности меры бруса П инфимум {Ьк — ак}те=1 положителен, и поэтому

Н&е Дп — Хп Нн = ^П,

где константа Сп зависит только от бруса П. Следовательно,

тете

I I — БгРтЛ)ПНн < е Н^П — П|К ^п е ^к|.

к=т+1 к=т+1

Переходя к супремуму,

те

lim sup \\(Sth — Stpmh)f \\н <TCn > |hk|,

-^те^[0,Т ] k=t+l

что доказывает верность сходимости (2) для характеристических функций измеримых бру-сов. А поскольку характеристические функции брусов являются плотными в %, то условие (2) верно и для производной квадратично интегрируемой функции.

■

Напомним (см. [13]), что гауссовской мерой на гильбертовом пространстве Е называется конечно-аддитивная функция множества на минимальной алгебре Л(Е), содержащей цилиндрические множества Е, сужение которой на совокупность цилиндрических множеств с конечномерными основаниями является гауссовской мерой на конечномерном евклидовом пространстве. Гауссовская мера и, определенная на ст-алгебре С(Е) (минимальной а-алгебре, содержащей цилиндрические подмножеств пространства Е, порождаемые функционалами из Е), имеет единственное счетно аддитивное продолжение до меры на а-алгебре В(Е) борелевских подмножеств пространства Е тогда и только тогда (см. [13], теоремы 2.1, 2.3), когда она обладает ядерным ковариационным оператором И.

Пусть ь*£>, £ > 0, - однопараметрическое семейство гауссовских мер на пространстве Е с нулевым математическим ожиданием и ковариационным оператором Ш (ядерность ковариационного оператора меры эквивалентна существованию у меры конечного второго момента, теорема 2.1, [13]). Однопараметрическое семейство гауссовских мер щ-£>, t > 0, на пространстве Е образует полугруппу относительно операции свертки (см. [14]):

ида * ^в = и^+^в V г, в £ К+.

Определение 5. Определим однопараметрическое семейство Ыв(^), £ > 0 преобразований пространства % как усреднение случайного сдвига Бь при условии, что случайный вектор к £ Е в момент времени £ > 0 задается мерой на пространстве Е:

Ыв(£)и(х) = ! &ни(х)йщв(к),

Е

где интеграл понимается в смысле Петтиса:

(ив(^и,у)н = ! (Ъни,у)нйщв(к) V V £%.

Е

Теорема 3 [10, лемма 8]. Пусть и о - гауссовская мера, на прос т,ранет,ее Е с ядерным, ковариационным, оператором И, диагональным в базисе Е. Тогда, однопараметрическое семейство операторов Ыв Ю, £ > 0; является полугруппой сжимающих самосопряженных операторов:

щ(г)и0(з) = ив(г + в) V г, в £ п+.

Теорема 4 [10, теорема 2]. Пусть И - невырожденный неотрицательный ядерный, оператор в пространстве Е, диагональный в базисе Е. Пусть также оператор В1/2 является ядерным,. Тогда, полугруппа Ыв^), £ > 0, является сильно непрерывной. Теорема 5 [15]. Генератором полугруппы Ю является самосопряженный оператор, определенный на действующий по правилу

те

Ад / (х) = Е ¿к д\ / (х). к=1

Теорема 6 [12, лемма 7.1]. Пусть И - невырожденный неотрицательный ядерный, оператор в пространстве Е, диагональный в базисе Е. Пусть также оператор В1/2 является ядерным,. Тогда, функция f = Ыюи, t > 0,и £ % является бесконечно дифференцируем,ой, вдоль всех базисных направлений, причем верна оценка,

/ Ни =

щ и™ и

С1

и ^ Ш12

1М1

и,

(5)

где константа зависит, только от, порядка, производной, I. Также для набора индексов $1,..., ]к выполнено

| | dh ...djk UtDf \\н < Ck \\f\\H.

Vah ... a3k

Ввиду последнего свойства мы будем называть функции из линейного пространства

Cd = {UtDu,t> 0,u £П}

гладкими. Заметим, что несмотря на бесконечную дифференцируемость вдоль базисных направлений, гладкие функции не обязаны быть непрерывными вдоль других направлений.

При помощи неравенства (5) и сильной непрерывности полугруппы UtD можно доказать следующий результат.

Теорема 7 [15, теорема 9]. Пусть D - невырожденный неотрицательный ядерный оператор в гильбертовом пространстве Е, такой, что оператор D1 является ядерным при некотором j > 0. Пусть I £ N. Тогда если b > la + 7 при некотором a £ [7, то выполняется

условие C%a (Е) С Wl2 Db (Е).

Если, кроме того, выполнено условие a > 27, то линейное многообразие C^a (Е) плотно в пространстве W^ Db (Е) ■

D

D1/2 ядерный, то C^i/2 лежит в W^d и плотно в нем.

4. Формула Тейлора и усреднение случайных сдвигов на негауссовские векторы

D

тор с собственным базисом 8, такой что D1/2 тоже ядерный. Пусть h £ Li(8) такой вектор, что последовательность D- также лежит в Li(8). Тогда для, функции f = Usdu(x) £ Cjj выполнено

n fk

Sthf (x) = E ^dkf (x)(h, ...,h) + rn+i, k=0 '

где

dk

dkf (x)(h,...,h)= E (hn...h,k) --— f(x)

n,...,JkeN dXjl ...dXj

и

t'n+1

\\r'n+i \\н < S(n+i) /2{n + l)l \\D-l/2h\\ S?e) \\uWн.

Доказательство

Пусть h(m) = Pmh. Рассмотрим функции

V(t) = f(x + th) = Sthf (X), <Pm(t) = f (X + th(m)) = Sth(m) f(x). В силу леммы 4 выполнена поточечная сходимость:

Ш lim \ \ ^m(t) -p(t)\\=0.

По теореме 3, v f(x) определены все смешанные производные вдоль координатных направлений, и выполнено неравенство

k

d f(x)

d<Xj^ ... dXjk

< , kdCk d Mu||. V S kdj1 ...dj

м3к

При этом дифференциалы любого порядка функции фундаментальны по норме %

-к

—к- ¿¡гасс1ксМкрт+р(1)

т+р

< ¿к Е 1 ■■■ 1к3к1 ■ г ас-к-Хз1 ... ¿Хзк /(х)

<

31,..., Зк = 1

3зк ^т+1

/т+р

<

(е -Щ \М1 < ^-к/2\\о-1/2чкЬ1 {£) 1Н1.

Следовательно, по теореме о равномерной сходимости производных, можно доказать по индукции, что функция ^(Ь) также бесконечно дифференцируема и

Ф) = ^ е (^1 ...^)

¿к

-хп ...

/ (х).

31,...,3к&1

Для Б^т)/(х) можно написать формулу Тейлора остаточным членом в форме Лагранжа [16, теорема 12.4.4]:

к

/(х - Ш(т)) = Е /(х)(Ъ(т),...,Ъ(т))+1— (1 - в)п-Г/(х + 9Ш(т))(Ъ(т),...,Ъ(т))с1и

г+1

к=0

откуда

/(х - Ш(т)) - Е 1-к/(х)(Н(т\ Ъ(т))

к=0

<

ГП+1

—— \ \ -п/(х + 9Ш(т))(Ъ(т),...,Ъ(т))\\ <

(п + 1)!'

<

г+1

-(п+т \ \ п-1/2Н\\п+1 \ и,

(п + 1)Г 11 ~ \ \ к1(£) \

где оценка не зависит от т. Переходя к пределу при т ^ ж, получаем формулу Тейлора для (р(Ь). ■

Лемма 5. Пусть Ъ € Е — случайный вектор с нулевым мат ожиданием, и диагональным, в базисе 6 оператором ковариции, И, корень из которого ядерный. Пусть также существует ядерный, оператор В, диагональный, в базисе 6, корень из которого тоже ядерный, такой, что В-1/2Ъ € Ь\(6) почти наверно и \В-1/2Ъ\\кг(£) < Тогда для любого / € Сфункция

А(1) = Е^/(х) дважды, дифференцируема в нуле, и выполнено

\ \ ЕнБш/(х) - /(х) - 112А0/(х)\\ < С3.

Доказательство

Для каждого фиксированного Ъ = Ъ(ш), такого, что В-1/2Ъ € Ь\(6), справедливо равенство

2 ^

Яш/(х) = /(х) + I Е Ъкдк/(х) + - Е ЪкЪдкд1 /(х) + г(1, Ъ)

к=1

к,1=1

где г(1, Ъ) < - \\ В-1/2Ъ\\ \\и||.

1

о

Переходя к матожиданию по h, получаем

t2 ^

EhSthf (х) = f (х) + fa-J (х)+ (h, t),

k=l

где по условию

| | Eh г(h, t) \\ < Ct3.

■

Теорема 9. Пусть h £ E — случайный вектор с распределением ß, обладающий следующими свойствами:

1) Eh = 0;

2) Eh2 = D, где D диагонален в £ и D1/3 ядерный;

3) вектор D-1/3h лежит в L\(£) почти наверно;

4) E 11 D-l/3h\\sLi(£) <

h

V (t)= ESvth = J SvthMh).

E

Тогда выполнена сходимость

lim sup

n^te[o,T ]

VI -)Y-eAot

Ш

и

= 0 УТ> 0, Уи eH. (6)

и

Доказательство

Положим В = И2/3 и воспользуемся леммой 5, которая гарантирует нам, что V(Ь2) дважды дифференцируема в нуле, и

I I V^2)}(Х) -/(Х) - ^2Дд/ш ^сч3

для любого / е СД2/з. Заметим, что в силу того, что ядерный, пространство Сд2/з плотно в

Отсюда следует, что V(Ь) дифференцируема в нуле, и ее производная равна плотно определенному оператору 2 Д д, который, по теореме 3, является генератором сильно непрерывной полугруппы. При этом, очевидно, V(0) = I и IV(£)Ц ^ 1. Воспользовавшись теоремой Чернова, получим сходимость (6).

Заключение

В данной работе была исследована динамика диффузионного процесса на бесконечномерном пространстве с использованием аппроксимации через случайные блуждания. Основной целью исследования было показать, что процесс усреднения случайного сдвига вдоль указанных векторов для любого распределения векторов общего вида сходится к эволюции диффузионного процесса.

Наши результаты подтверждают, что предложенная методология является эффективным инструментом для моделирования и анализа сложных диффузионных процессов в бесконечномерных пространствах. В частности, мы продемонстрировали, что аналог центральной предельной теоремы применим к операторозначным функциям на гильбертовом пространстве, что открывает новые перспективы для дальнейших исследований в этой области.

Полученные выводы имеют важное значение для теоретической и прикладной математики, особенно в контексте изучения стохастических процессов и их применений в различных научных и инженерных дисциплинах. В будущем планируется расширить данное исследование, включив в него более сложные типы случайных блужданий и другие виды бесконечномерных пространств, чтобы углубить понимание и расширить область применения полученных результатов.

Таким образом, проведенное исследование не только подтвердило гипотезу о сходстве процессов усреднения случайного сдвига к диффузионному процессу, но и заложило основу для дальнейших исследований в данной области, способствуя развитию математических методов анализа сложных систем.

Список литературы

1. Sakbaev V.Z., Shmidt Е. V., Shmidt V. Limit distribution for compositions of random operators // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2022. V. 43. N 7. P. 1740-1754.

2. Engel К.-J., Nagel R., Brendle S. One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, 2000. V. 194.

3. Vakhania N., Tarieladze V., Chobanyan S. Probability Distributions on Banach Spaces. V. 14. Springer, Georgia, 2012.

4. Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применение. Москва : Изд. иностр. лит., 1950.

5. Vershik A.M. Does there exist a Lebesgue measure in the infinite-dimensional space? // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2007. V. 259, N 1. P. 248-272. (in Russian).

6. Baker R. «Lebesgue measure» on R^ // Proceedings of the AMS. 1991. V. 113, N 4. P. 1023-1029.

7. Завадский Д.В. Инвариантные относительно сдвигов меры на пространствах последовательностей // Труды МФТИ. 2017. Т. 9, № 4. С. 142-148.

8. Завадский Д.В. Аналоги меры Лебега в пространствах последовательностей и классы интегрируемых по ним функций // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры». Москва : ВИНИТИ, 2018. Т. 151. С. 37-44.

9. Сакбаев В.Ж. Конечно-аддитивные меры на банаховых пространствах, инвариантные относительно сдвигов. Квантовая динамика и функциональные интегралы // Материалы научной конференции 1111 \! им М.В. Келдыша РАН. Россия. Москва, 14 марта 2016 г. Москва : НИМ им. Келдыша, 2016.

10. Сакбаев В.Ж. Усреднение случайных блужданий и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвига // ТМФ. 2017. Т. 191, № 3. С. 886-909.

11. Сакбаев В.Ж. Полугруппы преобразований пространства функций, квадратично интегрируемых по трансляционно инвариантной мере на банаховом пространстве // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры». Москва : ВИНИТИ, 2018. Т. 151. С. 73-90.

12. Сакбаев В.Ж. Случайные блуждания и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов и поворотов Дифференциальные уравнения. Математическая физика // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. 140. Москва : ВИНИТИ, 2017. С.'88-118.

13. Го Х.С. Гауссовские меры в банаховых пространствах. Москва : Мир, 1979.

14. Вогачев В.И. Гауссовские меры. Москва : Физматлит, 1997.

15. Бусовиков В.М., Сакбаев В.Ж. Пространства Соболева функций на гильбертовом пространстве с трансляциоппо инвариантной мерой и аппроксимации полугрупп // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020. Т. 84. № 4. С. 79-109.

16. Bogachev V.I., Smolyanov О.G. Real and functional analysis. Springer, 2020. References

1. Sakbaev V.Z., Shmidt E. V., Shmidt V. Limit distribution for compositions of random operators. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2022. V. 43. N 7. P. 1740-1754.

2. Engel K.-J., Nagel R., Brendle S. One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, 2000. V. 194.

3. Vakhania N., Tarieladze V., Chobanyan S. Probability Distributions on Banach Spaces. V. 14. Springer, Georgia, 2012.

4. Weil A. L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications. Moscow : Izd. In. Lit., 1950. (in Russian).

5. Vershik A.M. Does there exist a Lebesgue measure in the infinite-dimensional space? Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2007. V. 259, N 1. P. 248-272.

6. Baker R. «Lebesgue measure» on R^. Proceedings of the AMS. 1991. V. 113, N 4. P. 1023-1029.

7. Zavadsky D. V. Shift-invariant measures on sequance spaces Proceedings of MIPT, 2017. V. 9. N 4. P. 142-148. (in Russian).

8. Zavadsky D. V. Analogs of the Lebesgue measure in spaces of sequences and classes of functions integrable with respect to these measures. The results of science and technology. The series «Modern computer science and its applications. Thematic reviews». Moscow : VINITI, 2018. V. 151. P. 37-44. (in Russian).

9. Sakbaev V.Zh. Finite-additive measures on Banach spaces, invariant with respect to shifts. Quantum dynamics and functional integrals. Materials of the scientific conference of the IPM named after M.V. Keldvsh of the Russian Academy of Sciences. Russia. Moscow, 14 March 2016. Moscow : IPM named after Keldvsh, 2016. (in Russian).

10. Sakbaev V.Zh. Averaging of random walks and shift-invariant measures on a Hilbert space. Theor. Math. Phvs. 2017. V. 191, N 3. P. 886-909. (in Russian).

11. Sakbaev V.Zh. Semigroups of transformations of the space of functions quadraticallv integrable by a translationallv invariant measure on a Banach space. Results of science and technology. The series «Modern mathematics and its applications. Thematic reviews». Moscow : VINITI, 2018. V. 151. P. 73-90. (in Russian).

12. Sakbaev V.Zh. Random walks and measures on Hilbert space that are invariant with respect to shifts and rotations. Mathematical physics. Results of science and technology. Ser. Lie. mate, and her adj. Thematic overview 140. Moscow : VINITI, 2017. P. 88-118. (in Russian).

13. Kuo. H.H. Gaussian measures in banach spaces. Moscow : Mir, 1979. (in Russian).

14. Bogachev V. Gaussian measures. Moscow : Fizmatlit, 1997. (in Russian).

15. Busovikov V.M., Sakbaev V.Zh. Sobolev spaces of functions on a Hilbert space endowed with a translation-in variant measure and approximations of semigroups. Izvestiva RAS: Mathematics. 2020. V. 84, N 4. P. 79-109. (in Russian).

16. Bogachev V.I., Smolyanov O.G. Real and functional analysis. Springer, 2020.

Поступим в редакцию 16.06.2024