CC BY
11
№ 3 (84)
UNIVERSUM:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
март, 2021 г.
BUILDING AND ARCHITECTURE
DOI: 10.32743/UniTech.2021.84.3-4.71-76
APPLICATION OF THE METHOD OF FINITE DIFFERENCES TO THE CALCULATION OF SHALLOW SHELLS
Inomjon Hamzaev
Candidate of technical sciences, Associate Professor Ferghana Polytechnic Institute, The Republic of Uzbekistan, Ferghana E-mail: hamzayevinomjon@gmail.com
Kodirjon Gapparov
Senior Lecturer at Fergana Polytechnic Institute, The Republic of Uzbekistan, Ferghana E-mail: gapparov19 78@bk. ru
Elmurod Umarov
Assistent
Ferghana Polytechnic Institute, The Republic of Uzbekistan, Ferghana E-mail: eumarov15@gmail.com
Zokirjon Abdullaev
Teacher,
Ferghana Polytechnic Institute, city Ferghana, The Republic of Uzbekistan, Ferghana E-mail: msha1969@mail.ru
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ К РАСЧЕТУ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
Хамзаев Иномжон Хамзаевич
канд. техн. наук, доцент, Ферганского политехнического института, Республики Узбекистан, г.Фергана
Гаппаров Кодиржон Гуломович
старший преподаватель Ферганского политехнического института Республика Узбекистан, , г. Фергана
Умаров Элмурод Сотволдиевич
ассистент,
Ферганского политехнического института Республики Узбекистан, г.Фергана
Абдуллаев Зокиржон Джураевич
преподаватель Ферганского политехнического института Республика Узбекистан, г.Фергана
АННОТАЦИЯ
Приведено методика расчета пологих оболочек по методу конечных разностей. В качество примера пологих оболочек рассмотрен расчет оболочек эллиптического параболоида с шарнирно - неподвижным опиранием находящихся под действием равномерно распределенной нагрузкой.
Bibliographic description: Application of the method of finite differences to the calculation of shallow shells // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. Hamzaev I. [и др.]. 2021. 3(84). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/11453 (дата обращения: 25.03.2021).
UNIVERSUM:
■ ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ABSTRACT
A method for calculating hollow shells using the finite difference method is presented. As an example of shallow shells, I considered the calculation of shells of an elliptic paraboloid with a pivotally motionless support under the action of a uniformly distributed load.
Ключевые слова: оболочки, пологая оболочка, конечные разности, прогиб, функция напряжений, кривизна, толщина оболочки, усилия, моменты, кинематическая условия, статические условия, граничные условия.
Keywords: shell, shallow shell, finite differences, deflection, stress function, curvature, shell thickness, forces, moments, kinematic conditions, static conditions, boundary conditions.
№ 3 (84)
Consider thin shallow shells, in which the ratio of the boom of the lift in the center f to the smaller size and in plan is compiled (Fig. 1a)
f 1 — < —
(1)
and the ratio of the shell thickness h to the smallest radius of curvature
h
R
20
(2)
5
a
Figure 1 The ratio of the boom of the lift in the center f to the smaller size and in plan is compiled
The differential operator has the form
In view of the shell slope (2), the geometry of its surface is identified with the geometry on the plane of their projection and the curvilinear coordinate system of the surface is replaced by the coordinate system on the plane.
In a rectangular Cartesian coordinate system, the resolving equilibrium equations of a shallow shell in mixed form can be written in the form [1,2].
DV2V2 w -V >- P = 0
— V KV > + V2 w = 0 Eh K
(3)
Where w = w(x,y) - прогиб; cp = p(x,y) - stress function
The first of equation (3) is an equilibrium equation, the second is a condition for compatibility of deformations.
2 у дх2 х дхду
k- (4)
ду
Where
к
dLz
дх '
-; к
ду '
д2 z дхду
(5)
The bending curvature in the direction of the x and y axes and the torsion curvature of the coordinate lines, respectively.
For a surface in the form of an elliptical paraboloid
8 f 8 f k =f ; k =f ; k = 0 the same with
x a2 y b1 xy
f = f2 = 0,5 f ; kx = 4f / a2, ky = 4f / b2 Hkxy = 0
forces and moments through deflection similarly to expressions for plates in finite differences for the "i" square grid [1,3].
9
д
к
№ 3 (84)
UNIVERSUM:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
март. 2021 г.
Л2Mx = - [Dx (Wk + w, ) + D (w, + w, ) - 2 (Dx + D ) w, ] Л My = - [ D ( wt + w, ) + Dy ( w m + wn ) - 2 ( D + Dx ) w, ] 2Л2 Mv = Dy [(wq + wr ) - (w„ + wp )]
2Л3в, = - [-2 (D + H) (w, + wt ) + D (w, - w, ) + H (w2 - w0 + wp - w, )] 2Лвг = - [-2 (D + H) (w,„ + w,, ) + D (w. - w, ) + H (wo - w, + ww - wp )] 2 Л3б* = - [-2 (Dx + H - 2Dy ) (w, + wt ) + D, (w, - ws ) + ( H - 2D„ ) (w2 - wo + wp - w, )] 2Л3о; = - [-2 (Dy + H - 2Dv ) (w, - w, ) + Dy (w. - wv ) + (H - 2Dv ) (wo - w, + wr - wp )]
(6)
Where
É h
É h3
D = Dx; = 12
D = EXh
12
D =
Gh 12
■; H = D + 2D
(7)
and without moment forces, stress functions 9 are expressed and coincide with expressions for a plane problem.
а2щ
[( 6а2 + 8а + 6 ) w ]-
-4 (1 + а)[а( wk + w, ) + ( w, + w, )] + +2а (w0 + wp + w + w ) + а2 (w + w ) + wu +
+w + 2
kk +аk; lu -
k; (çk +u )-kx (и, + U )-10 = 0
aU
x = a;2
a U.
a U a, a;
■ / x;
Here - y is the bulk density We introduce the notation:
Pz • a4 _ ащ P • a4 _
104 D
n2 104 /
, Л y ^2 а -, 67 /.
а = \ ~г~ ; n = -т ; Р = - ; / = т ;
Лх J Л a h
Щ = 12 (1 -v2) /2; k = Ol kx ;
V / x / ;
T ab - b2 ,
kxy =— kxy ; ky =— ky;
(8)
(9)
Where w - dimensionless deflection, $ - dimension-less stress function, f - dimensionless swelling, kx , k , k - dimensionless curvature
Then the cutting equations (3) for the point i of the rectangular grid will take the form [1,31
(6а2 + 8а + 6)и -411 + а)[а(и + U) + Um +Un
+2а(и0 +U +çr ) + а' (çs ) + U -
"2| k +—Ï ky I w2 ky ( wk + w, )-
v- г /
kx> (
w + w - w a - w
}r ) = 0
(10)
Expressions for effort. We introduce the following notation
Mx = ; My = My— ; M^ = M p0
x x 10. y y xy
10
Q = gPL ; Q = Q ^a! ;
Qx Qx 10 ; Qy Qy ;
N =-nPL; N =-N PL
x x 102 h y y h
N =- N pa 2
(11)
xy 10 h
Where Mx, m , M^ - dimensionless moments; Q , Q - dimensionless shear forces; N N - dimension-
x x y
less longitudinal forces, N - dimensionless tangential
force. Then, for the point i of the rectangular grid, these expressions take the form:[1, 2, 31
4
n
№ 3 (84)
UNIVERSUM:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
март, 2021 г.
Mx =\^а ^ (We - 2W' + Wk ) + V (W" - 2W' + Wm ^
M
У 10^ ^ W - 2W + Wm ) + ^ ( Wk - 2Wi + We ^
n2
(1 - V ) /- - - - \
mxy = t^tt ( Wo- wp- wq- w)
4 10 y a
Qx =
n
2102
- 1/
- - - - \ 2 (1 + v ) _ _
2 v Wp + W, - W0 - Wq )----( We - Wk ) - W,
Qy = -
[ wv +a( wp + wq - W0 - W2 )-2 (1 + V )( wn - Wm )- Wu ]
2ay[ä-10
Nx =-0,12Я(1 - v2)(ç -2ç + ç) Ny =-0,12Л(1 - v2 - Щ + ç ) Nxy = -0,03Л (1 - v2 ) (ç + çp -çt - ç )
(12 )
Normal and tangential stresses will be[2,3]
a
a
= -(Nx ±6Mx) = -( Ny ± 6 My
- \ pa
102 - h:
2
pa
102 - h h
(13)
=-(Ny ± 6Mxy )
p a
IFTh7
Border conditions. Hinged - fixed mount.
Let st be the edge of the shell, then for point i we can write three kinematic conditions
w=0; u=0; v=0 and one static condition
Mv=0
(14)
(15)
Conditions (14) are equivalent to the following two conditions
J_
Eh
д2 ç д2 ç д y2 v дx2
д3й , ч д3й —V + ( 2 + v)—^
^ 3 V / >-\ >-\ 2
дy дyдx
1 дw + к — = 0 x дy
(16)
(17)
From the condition that the contour is equal to zero curvature in the plane of the contour. Ny - along the contour st unknown then y is equal to zero. Thus, at the point i wi=0 and the values of y are unknown. Therefore, in this case, of the two resolving equations in circuit i, write only one strain compatibility equation, and for point m, two equations. Then the unknown edge values are, wn, and
The additional equations for finding are (15), (16) and (17) which in finite differences for point i has the form.
va(ç+Çe )-(йт +) + 2 (1 - va ) й = 0
[(1 -a)( 2 - v )](Çn -Çm )-(Çv -Ç )--a (2 + v) (Çq -ç0 +çp -Çr ) - EMxÀ2y ( Wn - Wm ) = 0
(19)
(20)
For cases when the edge uv parallel to the y axis has a pivotally fixed fastening, then we obtain the following dependencies
w. = - w,
(21)
a(< + <)-v(<pm + < )-2(a-v)<t = 0 (22) -2 ( 2 + a + V )(< )-
-a-(2 + v )(< <o +<p)- (23) -EhX2y (we - wk) = 0
We calculate a shell of the type of an elliptic paraboloid with a square plan (a=B) and with a pivotally motionless support under the action of a uniformly distributed load.
Mid-surface equation
z = - f
1 - ~2 ( x2 + у 2 )
(24)
w. = - w
(18)
d2 z 4 f -Where from k = —t = ? k = 4 similarly
dx a x
ky = 4; kxy = 0 Source data.
7=10; v=0,17; select the quadrant grid in steps
Ax =ly = a; (fig. 2). Wherein a = 1; ( = 1; n = 6; 6
W = 12 (1 - v2 )100 = 1165; n4 = 1,12;104 8,6
aw
3
n
№ 3 (84)
A, UNI
Am te;
UNIVERSUM:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
март. 2021 г.
Figure 2 The quadrant grid in steps
due to symmetry, the equation can be limited for point I. (10)
20^ -8(2çn + çx + ^ ) +
+2 ( ) + 2^ni +ç4+çiU = 0
From conditions (18), (19) and (20)
0,17 ( 2фи + ^ ) + 2 (1 - 0,17 Щ = 0
[ 1 + ( 2 + 0,17 )-(^14)-
-( 2 + 0,17 )(^11l 1 +çxx1 ï )-
- Eh • 4Л2 ( w - w ) = 0 For point I, we write two equations (10)
1,12 [20w - 8 (2w2 + w4 ) + 2 (2w5 ) + 2w3 + w6 + w1 1 ] + +2(4 + 4)u - 4(2U2 )-4(u + U )-8,6 = 0
20U1 - 8 ( 2^2 + U +U ) + 2 ( 2U5 +U11 ) + +2u +U + U - 2 ( 4 + 4 ) w + 4 ( 2 w2 ) = 0
Similarly, we write equations for other points, and having solved the resulting system of equations, we find the values $ and w , and, using formulas (12), bending
and membrane forces. So, for example, for point 6 we find by formulas (12).
N = Ny =-0,12-10(1 -0,172)($ -2$6 + $) = 1,277
Values obtained
w = 0,280, Mx = -0,003, My = -0,003 close to analytical solution [21.
List of references:
1. А.А. Назаров. Основы теории и методе расчета пологих оболочек М. 1966г. -302 с.
2. В.З. Власов. избранные труды т. 1 М. издательство АН.СССР.1962 г.
3. П.М. Варвак. Д.В. Вайнберг. Метод сеток в приложения к расчету пластин и оболочек Справочник проектировщика II. разд. 15 под ред. А.А. Уманского. М. Стройиздат 1973 г.
4. В.В. Новожилов Теория тонких оболочек. Л., 1962 г,
5. Маткаримов Ш.А., Ахмедов А.У. Расчет асфальтобетонных дорожных покрытий на упругом основании // Universumтехнические науки: эл. научн. журн. 2020. 12(81). URL: https://7universum.com/ru/tech/ar-chive/item/11058 (дата выпуска: 07.01.2021).
6. С.П. Тимошенко, С. Войновский - Кригер. Пластинки и оболочки. М. Физматгиз. 1963 г.
7. Б.Н. Жемечкин. Теория упругости. М. издательство литературы по строительству и архитектуре 1957г. -256 с.
8. Выбор вязкости и определение используемых смазочных материалов (масла) при расчете механических передач Тиллавалдиев Б.Т., Гаппаров К.Г., Зияев А.Т.; Международный научно-образовательный электронный журнал «Образование и наука в XXI веке». Выпуск №7 (октябрь, 2020); https://www.mpcareer.ru/oinv21veke
9. И.Х. Хамзаев, Э.С. Умаров. Применение метода конечных разностей к расчету балок-стенок - ФарПИ ИТЖ НТЖ ФерПИ (STJ FerPI), 2018.Том 22. №4 48-52.
w 1 = - w
№ 3 (84)
UNIVERSUM:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
март, 2021 г.
10. Х.И. Хамзаев, Э.С. Умаров Применение метода конечных разностей к расчету пологих оболочек -Tadqiqot.uz ISSN 2181-9696 Doi Journal 10.26739/2181-9696. "TECHNICAL SCIENCES" №1 (2020) TOSHKENT-2020 11-17 с.
11. Опытное определение расхода газа, подаваемое на пылеочищающую установку с контактным элементом, работающим в режиме спутникового вихря // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. Эрга-шев Н.А. [и др.]. 2019. № 12(69). URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/8582
12. Абдуллаев З.Д. Зависимость интенсивности просеивания частиц сыпучего материала от скорости их перемещения и геометрических параметров // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2021. 1(82). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/11179 (дата обращения: 17.03.2021).
13. Hamzaev I.H., Umarov E.S., & Muminov J.A. Calculation ofthe bearing capacity of steel beams, taking into account the development of plastic deformations in the operational stage.
14. Umarov E.S. On the effect of axial displacements on the strength of frames Tadqiqot.uz ISSN 2181-9696 Doi Journal 10.26739/2181-9696
15. E.S. Umarov, I.H. Hamzaev, J.A. Mo'minov. Tadqiqot.uz ISSN 2181-9696 Doi Journal 10.26739/2181-9696. https://tadqiqot.uz/wp-content/uploads/2020/04/texnika-2020-02.pdf
