CC BY
9
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No.1
Научная статья УДК 519.6: 537.2
doi: 10.18522/1026-2237-2022-1-12-22
АНТИПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ОСЦИЛЛИРУЮЩЕЙ НАГРУЗКИ ПО ГРАНИЦЕ УПРУГОЙ ИЗОТРОПНОЙ ПОЛОСЫ ПРИ НАЛИЧИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Тамара Ипполитовна Калининаш, Андрей Викторович Наседкин2
1 Южно-Российский государственный политехнический университет имени М.И. Платова, Новочеркасск, Россия 2Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия 1kalinina-toma@yandex. ru^ 2nasedkin@math.sfedu.ru
Аннотация. Рассматриваются симметричная и антисимметричная антиплоские задачи о движении с постоянной дозвуковой скоростью осциллирующей нагрузки по границе упругой изотропной нанотонкой полосы. Учет наноразмерности толщины полосы осуществляется введением поверхностных напряжений по теории Гуртина - Мурдоха. Согласно этой теории, принимается, что на торцах слоя помимо внешних нагрузок действуют также поверхностные напряжения, которые описываются поверхностным законом Гука. В результате свойства упругого материала полосы с наноразмерной толщиной становятся отличными от свойств материала тела обычной размерности. Для решения использовалась стандартная техника, включающая применение принципа предельного поглощения, преобразования Фурье по бесконечно протяженной координате и теории вычетов для нахождения обратного преобразования Фурье. При различных толщинах полосы были получены решения в виде рядов по собственным волнам, изучены дисперсионные соотношения и построены графики амплитуд перемещений по толщине. Проведенный анализ показал, что при фиксированных значениях частоты и скорости движения источника значения неотрицательных вещественных волновых чисел больше при наличии поверхностных напряжений, чем значения волновых чисел для классического случая задач без поверхностных напряжений. Отмечено, что поверхностные напряжения оказывают существенное влияние только при уменьшении толщины полосы до наноразмеров.
Ключевые слова: установившиеся колебания, движущаяся нагрузка, дисперсионное уравнение, фазовая скорость, упругая полоса, нанотолщина, поверхностные напряжения, модель Гуртина - Мурдоха
Для цитирования: Калинина Т.И., Наседкин А.В. Антиплоские задачи о движении осциллирующей нагрузки по границе упругой изотропной полосы при наличии поверхностных напряжений // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2022. № 1. С. 12-22.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Original article
ANTIPLANE PROBLEMS ABOUT OSCILLATING LOAD MOTION ALONG THE BOUNDARY OF AN ELASTIC ISOTROPIC STRIP IN THE PRESENCE OF SURFACE STRESSES
Тамара I. Kalinina1B, Andrey V. Nasedkin2
1Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia 2Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia 1kalinina-toma@yandex.ruB 2nasedkin@math.sfedu.ru
© Калинина Т.И., Наседкин А.В., 2022
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No.1
Abstract. In this paper, symmetric and antisymmetric antiplane problems about the motion with a constant subsonic velocity of an oscillating load along the boundary of an elastic isotropic nanothin strip are considered. The nanoscale strip thickness is considered by introducing surface stresses in accordance with the Gurtin-Murdoch theory. According to this theory, it is assumed that, in addition to external loads, surface stresses act on the layer boundaries, which are described by Hooke's surface law. As a result, the properties of the elastic material of the strip with nanoscale thickness become different from the material properties of a regular-sized body. A standard technique was used for the solution, including the application of limiting absorption principle, the Fourier transform over infinitely extended coordinate and the theory of residues for finding the inverse Fourier transform. For various strip thicknesses, solutions were obtained in the form of series in natural waves, dispersion relations were studied, and graphs of the displacement amplitudes along the thickness were plotted. The analysis showed that for fixed values offrequency and velocity of the source, the values of non-negative real wave numbers are greater in the presence of surface stresses than the values of the wave numbers for the classical case of the problem without surface stresses. It is noted that surface stresses have a significant effect only when the strip thickness decreases to nanosizes.
Keywords: steady-state oscillations, moving load, dispersion equation, phase velocity, elastic layer, nanothickness, surface stresses, Gurtin-Murdoch model
For citation: Kalinina T.I., Nasedkin A.V. Antiplane Problems about Oscillating Load Motion along the Boundary
of an Elastic Isotropic Strip in the Presence of Surface Stresses. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(1):12-22. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).
Введение
В последние годы интенсивно разрабатываются новые наноразмерные устройства, в том числе ультратонкие пленочные структуры. Это определяет актуальность исследований динамических задач наномеханики для полуограниченных тел. Такие задачи существенно отличаются от соответствующих задач для тел обычных размеров, поскольку масштабный фактор, как было отмечено во многих экспериментальных и теоретических исследованиях, приводит к изменению механических свойств [1-3]. Для описания наноразмерных эффектов разработаны различные теоретические и инженерные подходы: теория, основанная на методах молекулярной динамики, градиентная теория упругости, нелокальные теории и различные модели поверхностной упругости. Среди этих теорий одной из наиболее простых и популярных является модель поверхностных напряжений Гуртина - Мурдоха [4, 5], которая, как и другие аналогичные модели, отражает размерный фактор, связанный с увеличением отношения поверхности тела к его объему при переходе на наноуровень.
В [1-3, 6, 7] проанализированы различные математические модели поверхностной упругости, позволяющие учитывать масштабные факторы, обсуждены свойства тел с неидеальной поверхностью или покрытием. Показано, что эти свойства в значительной степени зависят от микроструктуры поверхностей или покрытий. Было отмечено, что распространение поверхностных и объемных волн при наличии поверхностной упругости имеет большое значение в области тонкопленочных приложений, например для микроэлектронных и микроэлектромеханических систем.
В [5-16] исследованы задачи о распространении волн в упругих полубесконечных средах с учетом поверхностных напряжений по теории Гуртина - Мурдоха. В большинстве этих работ изучались антиплоские задачи об установившихся колебаниях. Волны Лява в полупространстве и слое, сцепленном с полупространством, рассматривались в [6-8, 10, 12, 14], а сдвиговые волны в слое и составном слое - в [11, 13]. При этом в [8] кроме поверхностных напряжений предполагался также неидеальный контакт на интерфейсной границе, а в [14] интерфейсная поверхность была шероховатой. Плоские двумерные задачи изучались в [5, 9, 10, 15, 16]. В [5, 15] рассматривалось отражение плоских волн на границах с поверхностными напряжениями, в [10, 16] изучались волны Рэлея и Стоунли в полупространстве, а в [9] - волны Лэмба в полосе.
Проведенные исследования позволили оценить влияние поверхностных напряжений на поверхностные волны. Было отмечено, что при учете поверхностных эффектов могут появиться типы волн, отсутствующие в соответствующих классических задачах, и все поверхностные волны являются дисперсионными.
В настоящей работе в продолжение [17] изучаются антиплоские симметричные и антисимметричные задачи для ультратонкой полосы с поверхностными напряжениями Гуртина - Мурдоха. В обеих задачах на границах полосы действуют осциллирующие источники сдвиговых волн, которые могут также перемещаться вдоль полосы с постоянной скоростью.
Следуя [18], задачи, в которых источник волн движется с постоянной скоростью w и одновременно осциллирует с частотой ш, будем называть задачами В. Если же w = 0, ш ^ 0, то имеем классические задачи об установившихся колебаниях, которые будем называть задачами А. Как и для обычных задач теории упругости с подвижными источниками без поверхностных напряжений, будем использовать принцип соответствия между задачами А и В, известный для аналогичных задач с макроразмерными параметрами [18]. Этот подход позволяет исследовать задачу В, используя дисперсионные свойства более простой задачи А [18].
Постановка задачи
Обозначим через О^^^з неподвижную систему координат, отнесенную к рассматриваемой упругой полосе. Пусть т - время; и ((Ц, ^2, Кз>т) - вектор перемещений. Предположим, что упругая изотропная среда с модулем сдвига /л и плотностью р занимает объем V = {1^1 < ж, 1^1 < ж, — h/2 < ^3 < h/2}.
Будем считать, что в плоскости О^^з существует возможность постановки антиплоской задачи при действии на границах полосы = ±h/2 нагрузки f± = [0,f2±, 0}, ft = f2±(^i,T), распределённой внутри отрезка Ш < а , т.е. ft = 0 при ЦЦ > а.
Тогда в полосе генерируется поле перемещений, зависящее от переменных Ц, %3, т, причем у вектора механических перемещений имеется только одна ненулевая компонента в направлении, перпендикулярном плоскости ОЩз: u = {0,u2,0}, u2 = u2(^i,^3,r).
Уравнение движения для антиплоской задачи будет иметь вид
di°2i + дзЪз = ри-2, (1)
где д] = д/ d^j, j = 1,3, а компоненты напряжений о^ и О23 связаны с перемещением U2 по обычным формулам антиплоской задачи: о^ = M d1U2, О23 = ^ дзЩ.
В соответствии с теорией Гуртина - Мурдоха [4, 5] примем следующие граничные условия:
±G23 = diU2Si — psU2 + f±, Ï3 = ± h/2. (2)
В условии (2) предполагается наличие на границе полосы поверхностных напряжений o2i и поверхностных инерционных нагрузок для среды с поверхностной плотностью ps на границах. Поверхностные напряжения o2i связаны с компонентой перемещения U2 поверхностным законом Гука о21 = ^ s diu2, где ^ s - поверхностный модуль сдвига.
Будем рассматривать два вида граничных условий. Для симметричной задачи примем, что f2 = f— = /2, а для антисимметричной задачи будем считать, что ft = ±f2-
Предположим, что источник колебаний f2 движется с постоянной скоростью w вдоль оси %i и одновременно осциллирует с частотой ш и амплитудой колебаний f(^i — wr)
f2=f2(ïi,T)=f(ïi — WT)eiMr. (3)
Введём в рассмотрение подвижную систему координат 0x^2X3, движущуюся относительно неподвижной системы координат со скоростью источника w. Время в подвижной системе координат обозначим через t. Эти две системы координат связаны между собой следующим образом:
Xi = ^i— WT, Х2 = Ï2, хз = Ï3, t = т, (4)
d/dÇj = d/dxj = dj, дт = dt — w di. (5)
Будем считать, что при действии источника (3) для перемещений U2 в подвижной системе координат (4) существует режим установившихся колебаний:
u2 = v(xi,x3)eiat.
В (1), (2) перейдем к подвижной системе координат (4), (5). Тогда для амплитуды перемещений v с учетом объемного и поверхностного законов Гука получим краевую задачу
^(д^р + д33р) = p(iw — w д!)2у, (6)
д^р = д3р + ps(iw — w д!)2у — f±, x3 = ±h/2, (7)
где дjj = д2/ дх2.
Отметим, что при ps = 0, ps = 0 имеем обычную задачу об антиплоских колебаниях полосы без поверхностных эффектов, решение которой хорошо известно. Анализ размерности показывает, что величины ps и ps отличаются от соответствующих величин p и p в объеме по размерности. Так, в системе Си p измеряется в Н/м2, p - в кг/м3, тогда как ps измеряется в Н/м, а ps - в кг/м2. Экспериментальные данные показывают, что значения соответствующих поверхностных и объемных величин различаются так, что они оказываются сопоставимыми p~ps/d, p~ps/d при характерных пространственных размерах d порядка 10-9 (м) и меньше. В рассматриваемой задаче таким параметром d является толщина полосы h, и поэтому следует ожидать, что поверхностные эффекты будут оказывать влияние при нано-размерных толщинах полосы.
Для удобства дальнейшего анализа перейдем в (6), (7) к безразмерным величинам: Xi = Xi/h, v = v/h, p. = 1, W = wh/c, с = ^p/p, w = w/c, с = 1, ¡5 = 1, ps = ps/(ph), ps = (psc2)/(ph), f = f /p. Как видно, поверхностные коэффициенты ps и ps обратно пропорциональны толщине, и поэтому будут существенны только при малых h.
Знак «тильда» далее будем опускать, и тогда задача (6), (7) примет вид
d11v + d33v = (iw — w d1)2v, (8)
ps d11v = ±d3v +ps(iw-wd1)2v-f±, x3 = ±1/2. (9)
Для выделения единственного решения задачи (8), (9) используем принцип предельного поглощения [18], согласно которому перейдем к е-задаче, заменив в (8), (9) w на w£ = w — is, 0 < s << 1, а v на v£. По принципу предельного поглощения под решением задачи будем понимать предел решения е-задачи: v = lim vF.
Аналитические решения
Применив к е-задаче интегральное преобразование Фурье по координате х1
r + œ
V£(a,x3) = —f-œ v£(x1,x3) eiaXldx1, из (8), (9) получим
дззУЕ — YeVe = 0, (10)
—psa2V£ = ±d3V£ — psQ.2V£ — F±(a), Хз = ±1/2, (11)
и £ I
где у£ = ^а2 — 0.1, П.Е = шЕ + 'ша, Р+(а) = Р-(а) = Р(а) (для симметричной задачи), Р±(а) = ±Р(а) (для антисимметричной задачи), Р(а) = /_ f(x1)eiaXldx1.
Решение уравнения (10) будем искать в виде У£ = А^(у£х3) + В5^у£х3). Используя граничные условия (11), для антисимметричной задачи находим коэффициенты А и В в виде А = 0, В = —--
0%(а, ше) = уеСл (¿у,) + (ц3а2 — р3П2^ (¿у,).
Р(а) 0*(а,шЕУ
о*(а, ше) = у^ (^у£) + (ц3а2 — р3П2)Сл (^у£).
Тогда решение е-задачи находится в результате обратного преобразования Фурье и для антисимметричного случая будет иметь вид
Аналогично для симметричной задачи
рЕ(х1,х3) е-^а, (12)
а для симметричной задачи получаем формулу
р£(х1,х3)=1$+тПа1сЬ(Г£Хз) е-^а. (13)
Дисперсионные уравнения записываются обычно при отсутствии поглощения и, следовательно, имеют вид
0в(а,ш) = 0, (14)
где йв(а, ш) = йв(а, ш) или йв(а, ш) = ОВВ(а, ш).
Для примера изучим поведение решения (12) при х1 > а. Так как подынтегральная функция не имеет точек ветвления, то решение задачи можно найти в результате вычисления обратного преобразования Фурье и применения методов теории функции комплексного переменного в виде суммы вычетов в нулях дисперсионного уравнения (14) для е-задачи:
V(X1,X3) = limve = iYiï=oY0(x3)e-<Xl + iHj?=oY*(x3)e-i<Xl,
Ve — Vcfv л —
= (X3) = Ac+Bcw ,
Ae=^ch (1Ye) (l +1 - Psn2)) + aCsh (Ire) ((2¡is +1),
Be = 7kch&С) (1 -'("О2 + pSQ?) -1)- nsh(¿rC) (2Ps +1),
k
где с = 0,р; a0 и - вещественные и комплексные нули а дисперсионного уравнения (14);
1та* < 0; у0 = — П2, у* = — П2,П = П(а) = ш + ыа.
Решение симметричной задачи находится из (13) аналогичным образом.
Отметим, что справедливы известные соотношения, связывающие дисперсионные уравнения и групповые скорости задач А и В:
Ов(а,ш) = 0А(а,П) = 0А(а,ш + ыа),сЦ\а=ак = с$\а=ак-ы, (15)
где П = ш + wа; ПА(а,ш) = 0 - дисперсионное уравнение задачи А; с£ = — дайА/ дшйА, Свв = — даИв /дшИв - групповые скорости в задачах А и В; ак - один из нулей дисперсионного уравнения. Соотношения (15) позволяют исследовать дисперсионные уравнения задач В по дисперсионным уравнениям задач А и определять смещения корней дисперсионных уравнений в комплексную полуплоскость при введении малого трения [18].
Численные результаты
Следуя проведенным исследованиям задачи А [13, 17], примем, что материал полосы характеризуется упругими константами: ^ = 6,98 ■ 1010 Н/м2; р = 7000 кг/м3; ^ = 2.5 Н/м и рБ = 7 ■ 10-6 кг/м2. В качестве внешнего источника (3) будем рассматривать сосредоточенную силу с безразмерной амплитудой, равной единице: /(х1) = 8(х1).
Находя из (14), (15) корни дисперсионных уравнений, можно для задач А при w = 0 построить зависимости безразмерных вещественных волновых чисел а от безразмерной частоты ш = П. Эти дисперсионные кривые показаны на рис. 1 для симметричной (а) и антисимметричной (б) задач. Пунктирные кривые здесь соответствуют задачам с поверхностными эффектами при толщине полосы к = 10 нм, сплошные кривые - задачам без поверхностных напряжений.
а/а
Рис. 1. Зависимость безразмерного волнового числа от безразмерной частоты для симметричной (а) и антисимметричной (б) задач / Fig. 1. The dependence of the dimensionless wavenumber on the dimensionless frequency for the symmetric (a) and antisymmetric (b) problems
Согласно принципу соответствия, для задач В соответствующие дисперсионные кривые можно не строить, поскольку волновые числа а в задачах В находятся как точки пересечения дисперсионных кривых задачи А с прямой fl = fl(a), П(а) = ш„ + wa. Эта прямая при ^„ = 10 и w = 0,2 показана на рис. 1 жирной линией.
Из рис. 1 видно, что при фиксированных значениях частоты ш „ и дозвуковой скорости движения источника наличие поверхностных напряжений приводит к возрастанию волновых чисел а в области а > 0. (Этот вывод отличается от результатов работы [13], в которой дисперсионное уравнение для симметричных мод задачи A было записано с ошибкой в знаке.)
Влияние поверхностных напряжений на дисперсионные кривые можно оценить и аналитически. Так, частоты отсечки , т.е. частоты дисперсионных кривых при а = 0, для малой безразмерной поверхностной плотности р* сдвигаются вниз относительно соответствующих частот классической антиплоской задачи согласно формуле » шк(1 — 2ps), где шк = 2п(к — 1) - для симметричной задачи; = п(2к — 1) - для антисимметричной. Как следует из формулы обезразмеривания для плотности ps, этот сдвиг обратно пропорционален толщине полосы h.
Можно также отметить, что если в симметричной задаче А без поверхностных напряжений первая дисперсионная кривая является бездисперсионной (прямая сплошная линия на рис. 1 а), то в задачах с поверхностными напряжениями все дисперсионные кривые обладают дисперсией. Как видно, этот известный для задач А факт [13, 17] имеет место и для задач В.
На рис. 1 штриховыми линиями приведены еще асимптоты дисперсионных кривых ш = +kja
(j = 1,2, k1 = 1, к2 = ^^s/ps). При этом асимптота ш = ±kja на рис. 1а совпадает с первой дисперсионной кривой симметричной задачи А без поверхностных напряжений, и поэтому штриховая прямая здесь сливается со сплошной. Важно отметить появление новых асимптот ш = +к2а в задачах с поверхностными напряжениями, связанных со сдвиговыми волнами в модели Гуртина - Мурдоха [6, 7, 10, 14].
Для задач с поверхностными напряжениями представляет интерес исследование свойств дисперсионных соотношений при различных толщинах полосы. Так, на рис. 2 для симметричной (а) и антисимметричной (б) задач А (ш = fl) приведены первые дисперсионные кривые при различной толщине h: кривая 1 построена для случая, когда h = 10 нм, кривая 2 - для h = 30 нм, кривая 3 - для h = 100 нм, а кривая 4 описывает классический случай без поверхностных напряжений. (Здесь используются размерные значения толщины h, влияющие на безразмерные поверхностные модули.)
а/а б/b
Рис. 2. Первые дисперсионные кривые для симметричной (а) и антисимметричной (б) задач при различных значениях толщины / Fig. 2. The first dispersion curves for the symmetric (a) and antisymmetric (b) problems at different thickness values
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No.1
Как можно заметить из рис. 2, при увеличении толщины слоя дисперсионные кривые задач с поверхностными эффектами приближаются к соответствующим кривым классической задачи, что соответствует ожидаемому. Однако при малых толщинах (кривые 1 и 2) поверхностные эффекты оказывают уже существенную роль, и с ростом ш или а различия в дисперсионных кривых становятся достаточно заметными.
На рис. 3 изображены графики амплитуд безразмерных смещений У]° = У10(хз) впереди источника для первой моды колебаний в зависимости от изменения толщины пластины к при фиксированном значении безразмерной частоты ш = 14 для симметричной (а) и для антисимметричной (б) задач В при w = 0,1. Номера кривых здесь соответствуют принятым для различной толщины номерам кривых из рис. 2.
Рис. 3. Графики амплитуды первой моды смещений в зависимости от изменения толщины пластины для симметричной (а) и антисимметричной (б) задачи / Fig. 3. Graphs of the amplitude of the first displacement mode depending on the change in thickness for the symmetric (a) and antisymmetric (b) problems
Отметим, что приведенные на рис. 3 значения амплитуд У10(хз) являются безразмерными, причем отнесенными к толщине полосы ft. Поэтому для получения размерных амплитуд надо умножать соответствующие безразмерные амплитуды на толщину пластины, которая для кривых с номерами 1-4 разная. В связи с этим здесь имеет смысл анализировать относительные значения, например отношения К°(х3) = У,10(х3)/У10(0). Как можно заметить из рис. 3, значения Kj°(x3) при наличии поверхностных напряжений оказываются локализованными у торцов полосы Х3 = +1/2, причем эта локализация возрастает при уменьшении толщины полосы, что обусловлено ростом влияния поверхностных напряжений.
На рис. 4, 5 представлены графики безразмерных амплитуд смещений У]0 = У]0 (Х3) для первой моды колебаний в зависимости от изменения скорости движения источника при фиксированных значениях безразмерной частоты ш = 14 и толщины ft = 10 нм для симметричной и для антисимметричной задач соответственно. При этом на рис. 4, 5а показаны смещения впереди источника, а на рис. 4, 5б - позади источника. Сплошные кривые здесь построены при w = 0, пунктирные кривые - при w = 0,05, а штриховые - при w = 0,1. Отметим, что при принятых входных данных безразмерная скорость сдвиговых волн, обусловленных поверхностными напряжениями Гуртина - Мурдоха, оказывается равной = 0,189. Таким образом, все рассматриваемые режимы движения на рис. 4, 5 с w£ [0, 0,1] являются дозвуковыми. (Мы называем режим движения источника дозвуковым, если при соответствующих значениях w не образуются медленные волны позади источника c П(а0) < 0 [19]. В рассматриваемой задаче это имеет место при w < Л^)
Как можно заметить из рис. 4, для симметричной задачи увеличение скорости приводит к уменьшению амплитуд смещений первой формы колебаний У]0 в большей части полосы впереди источника. Наоборот, позади источника при увеличении скорости модули амплитуд смещений первой формы колебаний | У]01 возрастают.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No.1
Рис. 4. Графики амплитуды первой моды смещений в зависимости от изменения скорости источника для симметричной задачи впереди (а) и позади (б) источника / Fig. 4. Graphs of the amplitude of the first displacement mode depending on the velocity change for the symmetric problem ahead (a) and behind (b) the source
Рис. 5. Графики амплитуды первой моды смещений в зависимости от изменения скорости источника для антисимметричной задачи впереди (а) и позади (б) источника / Fig. 5. Graphs of the amplitude of the first displacement mode depending on the velocity change for the antisymmetric problem ahead (a) and behind (b) the source
Из рис. 5 видно, что аналогичные зависимости наблюдаются и для амплитуд смещений первой формы колебаний для антисимметричной задачи. Такое поведение смещений можно объяснить тем, что впереди источника смещения вычисляются при положительных волновых числах а0, которые возрастают при увеличении скорости, а позади источника - при отрицательных а0, которые по модулю уменьшаются с ростом w.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No.1
Заключение
Итак, в настоящей работе приведены решения симметричной и антисимметричной антиплоских задач о движении с постоянной скоростью осциллирующей нагрузки по границе упругой изотропной нанополосы. Для получения решений использовалась стандартная техника, применяемая для решения обычных динамических задач теории упругости для полуограниченных тел. Для описания наноэффек-тов здесь использовалась теория поверхностных напряжений Гуртина - Мурдоха, которая привела к ряду особенностей в полученных решениях. Так, при учете поверхностных напряжений все дисперсионные кривые обладают дисперсией, а также появляется дополнительная асимптота, соответствующая сдвиговой волне типа волны Лява, обусловленной поверхностными напряжениями.
Проведенные исследования подтвердили известное заключение [9, 11—13], что поверхностные эффекты оказывают заметное влияние только при существенном уменьшении толщины слоя, т.е. когда упругий слой превращается в ультратонкую нанопленку.
Отметим, что использованная методология позволяет исследовать также задачи для пьезоэлектрических полуограниченных сред с поверхностными эффектами [20-22], причем механические и электрические поверхностные поля могут быть как связанными, так и несвязанными [23].
Список источников
1. Eremeyev V.A. On effective properties of materials at the nano- and microscales considering surface effects // Acta Mech. 2016. Vol. 227. P. 29-42. Doi: 10.1007/s00707-015-1427-y.
2. Wang J., Huang Z., Duan H., Yu S., FengX., Wang G., Zhang W., Wang T. Surface stress effect in mechanics of nanostructured materials // Acta Mech. Solida Sin. 2011. Vol. 24, № 1. P. 52-82. Doi: 10.1016/S0894-9166(11)60009-8.
3. Wang K.F., Wang B.L., Kitamura T. A review on the application of modified continuum models in modeling and simulation of nanostructures // Acta Mech. Sin. 2016. Vol. 32, № 1. P. 83-100. Doi: 10.1007/s10409-015-0508-4.
4. Gurtin M.E., Murdoch A.I. A continuum theory of elastic material surfaces // Arch. Rational Mech. Anal. 1975. Vol. 57, № 4. P. 291-323. Doi: 10.1007/BF00261375.
5. Gurtin M.E., Murdoch A.I. Surface stress in solids // Int. J. Solids Struct. 1978. Vol. 14, № 6. P. 431-440. Doi: 10.1016/0020-7683(78)90008-2.
6. Eremeyev V.A. Strongly anisotropic surface elasticity and antiplane surface waves // Phil. Trans. R. Soc. A. 2019. Vol. 378. P. 20190100. Doi: 10.1098/rsta.2019.0100.
7. Eremeyev V.A., Rosi G., Naili S. Comparison of anti-plane surface waves in strain-gradient materials and materials with surface stresses // Math. Mech. Solids. 2019. Vol. 24, № 8. P. 2526-2535. Doi: 10.1177/1081286518769960.
8. ChakrabortyA. The effect of surface stress on the propagation of Lamb waves // Ultrasonics. 2010. Vol. 50, № 7. P. 645-649. Doi: 10.1016/j.ultras.2010.02.004.
9. Enzevaee C., Shodja H.M. Crystallography and surface effects on the propagation of Love and Rayleigh surface waves in fcc semi-infinite solids // Int. J. Solids Struct. 2018. Vol. 138. P. 109-117. Doi: 10.1016/j.ijsolstr.2018.01.003.
10. Eremeyev V.A., Rosi G., Naili S. Surface/interfacial anti-plane waves in solids with surface energy // Mech. Res. Commun. 2016. Vol. 74. P. 8-13. Doi: 10.1016/j.mechrescom.2016.02.018.
11. Jia F., Zhang Z., ZhangH., FengX.-Q., Gu B. Shear horizontal wave dispersion in nanolayers with surface effects and determination of surface elastic constants // Thin Solid Films. 2018. Vol. 645. P. 134-138. Doi: 10.1016/j.tsf.2017.10.025.
12. Li Y.D., Lee K.Y. Size-dependent behavior of Love wave propagation in a nanocoating // Mod. Phys. Lett. B. 2010. Vol. 24. P. 3015-3023. Doi: 10.1142/S0217984910025346.
13. Liu H., Liu H., Yang J.L. Surface effects on the propagation of shear horizontal waves in thin films with nanoscale thickness // Physica E. 2013. Vol. 49. P. 13-17. Doi: 10.1016/j.physe.2013.01.013.
14. Mikhasev G.I., BotogovaM.G., Eremeyev V.A. On the influence of a surface roughness on propagation of antiplane short-length localized waves in a medium with surface coating // Int. J. Eng. Sci. 2021. Vol. 158. P. 103428. Doi: 10.1016/j.ijengsci.2020.103428.
15. Murdoch A.I. The effect of interfacial stress on the propagation of stoneley waves // J. Sound Vib. 1977. Vol. 50. P. 111. Doi: 10.1016/0022-460X(77)90547-8.
16. Pal P.K., Acharya D., Sengupta P.R. Effect of surface stresses on surface waves in elastic solids // Sadhana. 1997. Vol. 22. P. 659-670. Doi: 10.1007/BF02802553.
17. Калинина Т.И. Антиплоские задачи об установившихся колебаниях при наличии поверхностных напряжений // Современные проблемы механики сплошной среды: тр. XIX Междунар. конф. (15-18 октября 2018 г., Ростов-на-Дону). Ростов н/Д.; Таганрог: Изд-во ЮФУ, 2018. Т. 2. С. 123-127.
18. Белоконь А.В. Колебания упругой неоднородной полосы, вызванные движущимися нагрузками // ПММ. 1982. Т. 46, № 2. С. 296-302.
19. Белоконь А.В., Наседкин А.В. Энергетика волн, генерируемых подвижными источниками // Акустический журнал. 1993. Т. 39, вып. 3. С. 421-427.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No.1
20. Xu L.M., WangX., Fan H. Anti-plane waves near an interface between two piezoelectric half-spaces // Mech. Res. Commun. 2015. Vol. 67. P. 8-12. Doi: 10.1016/j.mechrescom.2015.04.006.
21. Zhang C., Chen W., Zhang C. On propagation of anti-plane shear waves in piezoelectric plates with surface effect // Phys. Lett. A. 2012. Vol. 376. P. 3281-3286. Doi: 10.1016/j.physleta.2012.09.027.
22. Zhang L.L., Liu J.X., FangX.Q., Nie G.Q. Size-dependent dispersion characteristics in piezoelectric nanoplates with surface effects // Physica E. 2014. Vol. 57. P. 169-174. Doi: 10.1016/j.physe.2013.11.007.
23. Eremeyev V.A., Nasedkin A.V. Mathematical models and finite element approaches for nanosized piezoelectric bodies with uncoulped and coupled surface effects // Wave Dynamics and Composite Mechanics for Microstructured Materials and Metamaterials. Advanced Structured Materials. Ed. M.A. Sumbatyan. Singapore: Springer, 2017. Vol. 59, ch. 1. P. 1-18. Doi: 10.1007/978-981-10-3797-9_1.
References
1. Eremeyev V.A. On effective properties of materials at the nano- and microscales considering surface effects. Acta Mech. 2016;227:29-42. Doi: 10.1007/s00707-015-1427-y.
2. Wang J., Huang Z., Duan H., Yu S., Feng X., Wang G., Zhang W., Wang T. Surface stress effect in mechanics of nanostructured materials. Acta Mech. Solida Sin. 2011;24(1):52-82. Doi: 10.1016/S0894-9166(11)60009-8.
3. Wang K.F., Wang B.L., Kitamura T. A review on the application of modified continuum models in modeling and simulation of nanostructures. Acta Mech. Sin. 2016;32(1):83-100. Doi: 10.1007/s10409-015-0508-4.
4. Gurtin M.E., Murdoch A.I. A continuum theory of elastic material surfaces. Arch. Rational Mech. Anal. 1975;57(4):291-323. Doi: 10.1007/BF00261375.
5. Gurtin M.E., Murdoch A.I. Surface stress in solids. Int. J. Solids Struct. 1978;14(6):431-440. Doi: 10.1016/0020-7683(78)90008-2.
6. Eremeyev V.A. Strongly anisotropic surface elasticity and antiplane surface waves. Phil. Trans. R. Soc. A. 2019;378:20190100. Doi: 10.1098/rsta.2019.0100.
7. Eremeyev V.A., Rosi G., Naili S. Comparison of anti-plane surface waves in strain-gradient materials and materials with surface stresses. Math. Mech. Solids. 2019;24(8):2526-2535. Doi: 10.1177/1081286518769960.
8. Chakraborty A. The effect of surface stress on the propagation of Lamb waves. Ultrasonics. 2010;50(7):645-649. Doi: 10.1016/j.ultras.2010.02.004.
9. Enzevaee C., Shodja H.M. Crystallography and surface effects on the propagation of Love and Rayleigh surface waves in fcc semi-infinite solids. Int. J. Solids Struct. 2018;138:109-117. Doi: 10.1016/j.ijsolstr.2018.01.003.
10. Eremeyev V.A., Rosi G., Naili S. Surface/interfacial anti-plane waves in solids with surface energy. Mech. Res. Commun. 2016;74:8-13. Doi: 10.1016/j.mechrescom.2016.02.018.
11. Jia F., Zhang Z., Zhang H., Feng X.-Q., Gu B. Shear horizontal wave dispersion in nanolayers with surface effects and determination of surface elastic constants. Thin Solid Films. 2018;645:134-138. Doi: 10.1016/j.tsf.2017.10.025.
12. Li Y.D., Lee K.Y. Size-dependent behavior of Love wave propagation in a nanocoating. Mod. Phys. Lett. B. 2010;24:3015-3023. Doi: 10.1142/S0217984910025346.
13. Liu H., Liu H., Yang J.L. Surface effects on the propagation of shear horizontal waves in thin films with nanoscale thickness. PhysicaE. 2013;49:13-17. Doi: 10.1016/j.physe.2013.01.013.
14. Mikhasev G.I., Botogova M.G., Eremeyev V.A. On the influence of a surface roughness on propagation of antiplane short-length localized waves in a medium with surface coating. Int. J. Eng. Sci. 2021;158:103428. Doi: 10.1016/j.ijengsci.2020.103428.
15. Murdoch A.I. The effect of interfacial stress on the propagation of stoneley waves. J. Sound Vib. 1977;50:1-11. Doi: 10.1016/0022-460X(77)90547-8.
16. Pal P.K., Acharya D., Sengupta P.R. Effect of surface stresses on surface waves in elastic solids. Sadhana. 1997;22:659-670. Doi: 10.1007/BF02802553.
17. Kalinina T.I. Antiplane problems of steady-state oscillations of elastic isotropic layer with the surface stress. Modern problems of continuum mechanics. Proceedings of the XIX International Conference (October 15-18, 2018, Rostov-on-Don). Rostov-on-Don, Taganrog: SFedU Press, 2018;2:123-127. (In Russ.).
18. Belokon' A.V. Oscillations of an elastic inhomogeneous strip caused by moving loads. J. Appl. Math. Mech. 1982;46(2):225-230. Doi: 10.1016/0021-8928(82)90142-3.
19. Belokon' A.V., Nasedkin A.V. Energy characteristics of wave generated by moving sources. Akusticheskii zhurnal = Acoustic Magazine. 1993;39(3):421-427. (In Russ.).
20. Xu L.M., Wang X., Fan H. Anti-plane waves near an interface between two piezoelectric half-spaces. Mech. Res. Commun. 2015;67:8-12. Doi: 10.1016/j.mechrescom.2015.04.006.
21. Zhang C., Chen W., Zhang C. On propagation of anti-plane shear waves in piezoelectric plates with surface effect. Phys. Lett. A. 2012;376:3281-3286. Doi: 10.1016/j.physleta.2012.09.027.
22. Zhang L.L., Liu J.X., Fang X.Q., Nie G.Q. Size-dependent dispersion characteristics in piezoelectric nanoplates with surface effects. PhysicaE. 2014;57:169-174. Doi: 10.1016/j.physe.2013.11.007.
23. Eremeyev V.A., Nasedkin A.V. Mathematical models and finite element approaches for nanosized piezoelectric
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No.1
bodies with uncoulped and coupled surface effects. Wave Dynamics and Composite Mechanics for Microstructured Materials and Metamaterials. Advanced Structured Materials. M.A. Sumbatyan, ed. Singapore: Springer; 2017;59(1):1-18. Doi: 10.1007/978-981-10-3797-9_1.
Информация об авторах
Калинина Т.И. - ассистент кафедры математики и математического моделирования.
Наседкин А.В. - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.
Information about the authors
Kalinina Т..I. - Assistant of Department of Mathematics and Mathematical Modeling.
Nasedkin A.V. - Doctor of Science (Physic and Matematics), Professor, Head of the Department of Mathematical Modeling, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.
Статья поступила в редакцию 03.11.2021; одобрена после рецензирования 15.11.2021; принята к публикации 16.03.2022. The article was submitted 03.11.2021; approved after reviewing 15.11.2021; accepted for publication 16.03.2022.
