ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 2. С. 83-87.
УДК 530.12:531.51 А.К. Гуц
АНТИГРАВИТАЦИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ И ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ
Показано, что общая теория относительности и ее интуиционистское обобщение описывают не только явление гравитации (притяжение), но и антигравитации (отталкивание), которые являются проявлением искривлености пространства-времени. Приводится семейство пространств-времен, т. е. семейство 4-мерных бран в 5-мерном балке, в которых при движении в балке сила гравитации меняет знак, т. е. притяжение заменяется на отталкивание.
Ключевые слова: антигравитация, общая теория относительности, интуиционистская теория гравитации.
Физика развивалась как наука о материи, которая обладает универсальным свойством, именуемым гравитацией, т. е. взаимным тяготением, притяжением тел.
Однако для физика, считающего для себя важным время от времени философски вглядываться в природу вещей, картина Природы, допускающей только притяжение тел без возможности их отталкивания, представлялась неполной.
Фридрих Энгельс в книге «Диалектика природы», о которой хорошо отозвался Эйнштейн, писал: «Обыкновенно принимается, что тяжесть есть наиболее всеобщее определение материальности, т. е., что притяжение, а не отталкивание есть необходимое свойство материи. Но притяжение и отталкивание столь же неотделимы друг от друга, как положительное и отрицательное, и поэтому уже на основании самой диалектики можно предсказать, что истинная теория материи должна отвести отталкиванию такое же важное место, как и притяжению, и что теория материи, основывающаяся только на притяжении, ложна, недостаточна, половинчата» [1, с.193].
Что говорит физика о гравитации и антигравитации в начале XXI в.?
1. Гравитация
Под гравитацией имеется ввиду свойство тел притягивать друг друга.
Ньютон писал: «Под словом “притяжение” я разумею здесь вообще какое бы то ни было стремление тел к взаимному сближению, происходит ли это стремление от действия самих тел, которые или стараются приблизиться друг к другу, или которые приводят друг друга в движение посредством испускаемого эфира, или это стремление вызывается эфиром или воздухом, или вообще какою-либо средою, материальною или нематериальною, заставляющей погруженные в нее тела приводить друг друга в движение» [2, с. 244]. Причину «свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю. Все же, что не выводится из явлений, должно называться гипотезою, гипотезам же метафизическим, физическим, механическим, скрытым свойствам, не место в экспериментальной философии. В такой философии предложения выводятся из явлений и обобщаются помощию наведения. Так были изучены непроницаемость, подвижность и напор тел, законы движения и тяготение. Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам, и вполне достаточно для объяснения всех движений небесных тел и моря» [2, с. 662].
М.В. Ломоносов в свое время возражал против теории гравитации Ньютона поскольку не мог согласиться, что одно тело действует на другое
© А.К. Гуц, 2012
на расстоянии без каких-либо промежуточных агентов. Он говорил о том, что причиной проявления притяжения является «тяго-тительная материя», наполняющая Вселенную. Взаимодействие частиц этой материи с телами и вызывает эффект тяготения друг к другу. В 1782 г. Ж. Лесаж предположил, развивая мысль Ломоносова, что всю вселенную заполняют бесчисленные очень малые «мировые» частицы. Они двигаются хаотически во всех направлениях с очень большими скоростями и при соударении с телами передают им свой импульс. Тела являются друг для друга экраном от этих частиц и разница переданных импульсов создает силу тяготения этих тел.
В какой-то мере Ломоносов и, особенно, Лесаж предугадали, что квантами гравитационного взаимодействтя являются гравитоны и гравитино.
2. Классическая теория гравитации Эйнштейна
Общая теория относительности (далее -ОТО) создавалась Эйнштеном как теория гравитации, т. е. притяжения.
Основой ОТО являются уравнения Эйнштейна1
„ 1 „ 8яв ^
~~ --------- Tik. (1)
2 с
Общая теория относительности трактует гравитацию как кривизну пространства-времени. Потенциалы гравитационного поля gk, а их десять, - это метрика пространства-времени, или, на языке дифференциальной геометрии, - первая квадратичная форма, с помощью которой измеряются длины мировых линий, площади и объемы областей, (внутренняя) кривизна.
ОТО дает объяснение природе гравитации (притяжению), говоря, что мы наблюдаем силу притяжения, поскольку тело оказывается в точке пространства-времени с ненулевой кривизной. Кривизна пространства-времени и есть причина гравитации2.
Поскольку никто не наблюдал падающих вверх вещей, то вопрос, может ли кривизна проявиться как отталкивание, как-то выпадал из внимания. Все силы исследователей были направлены на проблемы тяготеющей материи, и хотя сам Эйнштейн, вводя космологическую постоянную Л и записывая уравнения поля в более общем виде г. 1 п л 8пО
- 2 gkR + М* =—Г Тгк, (2)
2 с
ввел в теорию антигравитацию на большом расстоянии, а Гильберт [4-6] и Бауэр [7] обнаружили ее на малых расстояниях, все эти странные, непривычные проявления кривизны не считались характерными для общей теории относительности и поэтому не включались в учебники.
Обнаружение темной энергии, т. е. антитяготеющей материи говорит нам о том, что общая теория относительности не есть теория только тяготеющей материи, а есть теория пространства, времени и материи. Материя искривляет пространство-время и кривизна проявляется то как притяжение, то как отталкивание.
Источником гравитации являются вещество и поля; источником антигравитации
- космологическая постоянная и темная энергия. Уравнения Эйнштейна связывают кривизну пространства-времени с материей (вещество и поля, темная материя, космологическая постоянная и темная энергия). Поэтому кривизна проявляется или как гравитация (притяжения), или как антигравитация (отталкивание).
Тем самым Эйнштейн построил теорию пространства, времени и материи, о необходимости которой писал философ-диалектик Энгельс.
2.1. Антигравитация
Под антигравитацией имеется ввиду свойство тел отталкивать друг друга. Иначе говоря, явление отдаления одного тела от другого. Причем это отталкивание никоим образом не обязано наличию у этих тел одноименного электрического заряда.
2.2. Космологическая антигравитация
Эйнштейн ввел в общую теорию относительности космологическую постоянную в 1917 г. при построении модели Вселенной. Вселенная, по мнению Эйнштейна, должна была быть статичной и пространственно замкнутой. Для того чтобы получить нужную модель, ему пришлось подправить уравнения гравитационного поля, добавляя к ним член gikЛ .
Модифицированные уравнения поля были записаны в виде (2).
Космологическая постоянная означала наличие отрицательного давления, сказывающегося на больших расстояниях и препятствующего гравитационному сжатию материи во Вселенной. Другими словами, космологическая постоянная означала наличие антигравитационных сил на больших расстояниях.
Позже, благодаря статье Фридмана, в которой были найдены нестационарные модели Вселенной с расширяющимся пространством, Эйнштейн отказался от необходимости учитывать космологическую постоянную.
2.2.1. Модель Вселенной Фридмана
Однородная и изотропная Вселенная может быть описана нестационарной (т. е. зависящей от времени) метрикой специального вида (так называемая метрика Фрид-мана-Робертсона-Уокера)
ds2 = c2dt2 - a2(t) x
dr2
1 - Kr2
r 2sin
2ф dq>2
(З)
К = -1,0,+1, где постоянная к определяет одну из трех возможных геометрий пространства (плоское К = 0, постоянной положительной кривизны, К = +1, постоянной отрицательной кривизны К = —1), а функция а (ґ) - масштабный фактор, зависящая от времени величина.
Подставляя метрику (3) в уравнения Эйнштейна (2) с тензором энергии-импульса для идеальной жидкости в правой части:
Tk =(c P+ p)UuUk - pg ik ,
(4)
получаем уравнения. Фридмана для эволюции масштабного фактора:
а
a
'а
a
8nGp
3
4nG
a
з p P + “
Л^
Лc2
и уравнение неразрывности:
dJP = -5H (p + Ц
dt ^ c
где H = ala - <<постоянная>> Хаббла.
(Б)
(6)
(7)
2.2.2. Статичная Вселенная Эйнштейна
В случае статичной Вселенной, так как когда a = const и Л = 0 имеем H = a/a = 0 , a/a = 0 и
р = -3р=8лЬ |8)
Из (8) следует, что либо р, либо p отрицательно.
Эйнштейн, строя в 1917 г. модель статической Вселенной, чтобы обеспечить положительность р и p, ввел в уравнения поля космологическую постоянную. Тогда при p = 0 и Л Ф 0 из уравнений (5), (6) вытекает, что
P
h^c2
(9)
4яО а~
Поскольку Р >0, то Л >0. Значит К = +1, т. е. пространство является 3-мерной сферой с радиусом а = 1/\/Л".
Тяготение стремится собрать все вещество в точку, но мы имеем радиус Вселенной неизменным. Следовательно, космологическая постоянная обеспечивает противодействие притяжению и действует как антигравитация.
2.3. Гильбертово отталкивание
В 1917 г. Гильберт сделал выдающееся открытие - он обнаружил гравитационное отталкивание в поле Шварцшильда [4- 6]. Удивительно, но об этом никогда не упоми-
нается в многочисленных учебниках по общей теории относительности.
Радиальная компонента уравнений геодезических в пространстве-времени Шварцшильда
ds 2=(1 -
dr2
1-
2m
- r 2(dd2 + sm2edq>2\
где m = GMIc2 имеет вид (а = 2m):
d 2r
За
dr
а^ - а)
2r3
dt 2r( r -а)
Запишем первый интеграл:
(10)
= 0. (11)
dr
r-а
r -а
(12)
г ) ^ г
где константа А отрицательна для массивной пробной частицы и равна нулю для фотона.
Уравнение (11) показывает, что радиальное ускорение либо отрицательно, либо положительно. Другими словами, гравитация (кривизна) действует либо как притяжение к центру г = 0, в котором находится точечный источник т гравитационного поля, либо как отталкивание от центра в зависимости от абсолютной величины скорости частицы.
Если
<
1 r-а
V3
то имеет место притяжение, а если
>
1 r -а
л/з r
- наблюдается отталкивание.
(13)
(14)
3. Интуиционистская теория гравитации
В [8] была предложена теория гравитации, основанная на неклассическом дифференциальном исчислении Кока-Ловера.
Переход от классического дифференциального и интегрального исчисления к анализу Кока-Ловера означает переход от классической двузначной логики к интуиционистской логике.
Место поля вещественных чисел 1Я занимает коммутативное кольцо Я, элементами которого кроме вещественных чисел являются бесконечно малые величины (ин-финитезималы).
Теория множеств не может уже служить способом интерпретации объектов такой теории, и приходится использовать теорию то-посов. Топосные модели представляют окружающий нас Мир более многогранным, многовариантным, наделенным новыми физическими свойствами. В топосной модели каждая физическая величина размножается, предстает в бесчисленном количестве клас-
сических вариантов. Иначе говоря, Мир, Вселенная предстает в бесчисленном количестве вариантов, каждый из которых подчинен классической логике. Интуиционизм теории проявился во множественности вселенных. Это соответствует семантике Крипке.
Таким образом, предлагаемая интуиционистская теория гравитации является теорией гравитации Мультиверса (multiver-se), т. е. теорий, в которой Мир описывается как бесконечное множество взаимодействующих вселенных (universes).
Lop
В топосе Sets , где L - категория гладких колец вида IA = C “ (IRm )/I, I - конечно-порожденный идеал, каждый вариант интуиционистской физической величины v описывается с помощью классической величины v(lA), относящейся к гладкому кольцу IA . Это называется «величиной v в стадии IA ».
Бесконечно малые величины, инфини-тезималы, - это элементы объекта
D = {d : d2 =0} , которые могут быть проинтерпретированы в стадии C“ (IRm)/I как гладкие функции d(a) е C“ (IRm), d 2(a) e I.
Какая физика может нас ожидать, если мы рассмотрим уравнения Эйнштейна, в правой части которых стоит бесконечно малая (инфинитезимальная) плотность материи?
3.1. Решение уравнений Эйнштейна
Рассмотрим интуиционистские уравнения Эйнштейна с ненулевым почтивакуум-ным тензором энергии-импульса:
^ 1 , г. 8жО
Rik -- ga(R - 2Л ) = —г р• uUk, (15)
2 с
_ u k 1 g,ku u =1,
где плотность материи р = d е D - произвольно взятый инфинитезимал.
Неклассическая плотность вакуумной материи согласуется с привычным занулением правой части уравнений Эйнштейна в случае вакуума в общей теории относительности, поскольку в классическом случае d = 0.
Неклассическое сферически-симметри-чное решение уравнений с инфинитези-мальной плотностью материи р имеет вид
ds 2 =
1-
(кс1 р- 2Л) r
.2 Л
(Л + кс 2р)г2
dr2 - r2(dd2 + sin20^dq>2),
u=
1
0,0,0
(кс2р - 2Л)r2
2Лр = кс2р2, к = 8пО/с4,
Л - необратимая величина кольца Я.
В стадии 1 = 1С“ (1Я)/(х) эта метрика совпадает с метрикой пространства-времени Минковского. Грубо говоря, неклассический «пылевидный» вакуум имеет «бесконечно малое» слабое гравитационное поле. Это решение в стадии
Ор = 1С “ (1Я)/{ар+1} принимает вид:
ыа) = I+£ (кс'Рк;2Л к) • г,
gn(a) = -
г
1 -I
(кс2рк +Лк) ^ r2ak
(16)
g22(a) = - r, gss(a) = -r sin20.
Оно удовлетворяет уравнениям
Rk(a) - 2 g л ( a )[ R( a ) - 2 Л ( a )] =
8nG
р(a) • u (a )uk (a )mod (ap+1), (17)
где
^■(a) = 1Л kak, р(с! ) = Ik
ak.
k=1
k=1
3.2. Антигравитация
Для решения Шварцшильда-Котлера
(16) в стадии £С“(1Я)/{а3} , когда Л,р зависят только от одной переменной, например, от а е 1Я [1, с. 295], рассматривая случай Л = Л1а,р = р2 а2, имеем
goo(a) = 1 + “(кс2 р2а - 2Л1)аг2.
6
Тогда гравитационная сила в постоянном поле [9, с. 327]
а =^= \--Ь +
1 - с-
дхв
(§ V >0в
дха
\6 00 J
действующая на пробную частицу, равна
fr = -
тс
[Кс2р2a - 2Л1J ar
6^1 - v2 /с2
1 +—(кср^ - 2 Л1 )ar2 6
по mod (a ),
f = fo =0. Следовательно3,
fr = -
mc
6>A - v2/^
кс 2р2 - -3 Л;2r2 j a -2Л1
ar,
k=1
3
k=1
/9 = Л = 0.
Пусть р2 >0 , т. е. плотность материи
положительна.
Если г Ф су](3/2)кр2/ | Л1 |, то на каждой
сфере радиуса г при переходе изменяющегося параметра а через значение
а(г) = 2Л1/(кс2р2 - 2/3 К^г2) направление вектор-силы / меняется на противоположное, т. е. гравитационное притяжение заменятся на гравитационное отталкивание.
На сфере г = с^(3/2)кр2/ | Л1 | гравитация переходит в антигравитацию при переходе а через значение а = 0 .
Таким образом, можем наблюдать антигравитацию для любого г > 0 .
Заметим, что метрику (16) можно рассматривать в рамках классической теории гравитации, гравитационная сила, действующая на пробное тело, для которой вычисляется также с помощью формул, данных для /г, /о .
В этом случае очевидно, что можно подобрать функции Л = Л1а,р = р2а2 так, что р2 >0 , а /г меняет знак в точках а = 0 и
а = 2Л1/(кс 2р2) внутри обширной пространственной области с радиусом
г < с^6кр2/ | Л1 |4, т. е. притяжение к центру г = 0 заменяется отталкиванием от центра г = 0 , причем плотность материи, представляющая собой покоящуюся пыль, всегда положительна.
При переходе через а = 0 меняет знак космологическая постоянная, и наблюдаемую смену гравитации на антигравитацию можно расценивать как проявление космологического отталкивания. Но при переходе
через точку а = 2Л1/(кс2р2) космологическая постоянная сохраняет знак, а значит мы имеем иной тип антигравитации.
Если г > с^6кр2/ | Л1 |, то знаменатель
выражения для /г остается положительным при
а > а+ (г) = —2— [Л1 +4л\ - (6кс2р2/г2) ] кс —
или
а < а(г) = —2—[Л1 -у/л2, - (6—с2—2/г2)].
—с —
При Л1 >0 имеем а+ (г)< 2Л1/( —с2—2).
Следовательно, для любого г > с-^6—2/Л1 параметр а , изменясь в некотором (достаточно малом) интервале
(2Л1/(—с2 — 2) - £(г), 2Л1/(— с2— 2) + е(г)) изменит знак величины /г, меняя тем самым притяжение на отталкивание.
При Л1 <0 имеем 2Л1/(—с2—2) < а_(г).
Следовательно, для любого г > с у] 6к—2/Л1 параметр а, изменясь в том же интервале, также поменяет знак гравитационной силы.
Параметр a, как в классическом случае, так и в интуиционистском, можно рассматривать как 5-ю координату. Получаем, что при смене браны по мере продвижения в 5-мерном балке гравитация заменяется на антигравитацию. Уравнение для балка в интуиционистской теории гравитации — это уравнения для физических констант, зависящих от a [8]. В классическом случае прибегают, как правило, к многомерным обобщениям общей теории относительности.
ПРИМЕЧАНИЯ
1 Впервые точный вид уравнений гравитационного поля нашел Гильберт, выписав их в открытке, посланной Эйнштейну.
2 Впрочем, Мак-Витти считал, что сказать, «что тяготение есть проявление кривизны четырехмерного геометрического многообразия, это значит объяснить некоторую тайну с помощью загадки и придать физическое значение одной из математических функций, полезной при описании физической ситуации» [3, с. 24]. Иначе говоря, кривизна, по его мнению, как и поле, например, гравитационное, - это не более чем вспомогательное средство при вычислениях [3, с. 25].
3 Используется формальная формула:
—1— = 1+a + a2 + a3 +... = 1 + a + a2(mod(a3)). 1-a
4 Неравенство получено как условие положительности знаменателя в формуле для fr при любом a.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Энгельс Ф. Диалектика природы. М. : Государственное издательство политической литературы, 1953.
[2] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М. : Наука, 1989.
[3] Мак Витти Дж. Общая теория относительности и космология. М. : ИЛ, 1961.
[4] Hilbert D. Die Grundlagen der Physik // Оцйтдег Nachr. 1915. S. 395 (Erste Mitteilung, vorgelegt am 20. Nov. 1915).
[5] Hilbert D. Die Grundlagen der Physik // Math. Annalen. 1924. B. 92. S. 1-32.
[6] Hilbert D. Gesammelte Abhandlungen. Berlin: Dritter Band (Verlag von J. Springer), 1935. P. 258.
[7] Bauer H. Mathematische Emltl^ng in die Gravi-tationstheorie Einsteins. Leiptzig, 1922.
[8] Гуц А. К. Элементы теории времени. М. : Издательство ЛКИ, 2011.
[9] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М. : ФМ, 1967.